t [0, t ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunktet

Transkript

1 FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Del Prakisk bruk av inegral Oppgave parikkelfar Hasigheen il en parikkel ved iden er gi ved v () = i m/min. Tiden er ( + ) + regne i min, for angivelse av posisjon. [, ]. Den er i bevegelse langs en bane. Med origo menes her nullpunke a) Besem posisjonen il parikkelen ved iden. b) Til å begynne med er parikkelen på veg mo origo, hvordan kan vi se de? c) Hvor lang har parikkelen bevege seg i løpe av de 9 førse minuene. Oppgave legemsfar 4 S() E legeme har posisjonen s () og dermed blir hasigheen v () = s'(). Hasigheen er oppgi som v() = ( + )(4 ) for På grafen er posisjonen s () vis i km og iden er regne i minu. a) 6 8 i) Finn en generell formel for s (). ii)ana a sarposisjonen er s () = 5. Hvor er legeme eer minuer, dvs for =? iii) Angi bevegelsesreningen il legeme når de har gå minuer og når de har gå mer enn 4 min. b) Bevegelsen kan også suderes ved å inegrere s () = v() i sede for å aniderivere v (). Vis a vi får: s () = s() + v( τ ) dτ c) En Mahcad uregning gir 4 6 vd= () (km).

2 FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Se opp en ligning med som ukjen, hvor er iden når den er ilbake di den sare. Husk a når v () <, så er legeme på vei ilbake. Svare inneholder e inegral som kan regnes u, men du renger ikke gjøre de. Oppgave vannank Vann renner inn i en ank med en ilsrømningshasighe, (volumsrømmen inn), som ved iden er gi ved v () lier/min. Vann renner samidig u gjennom e hull i bunnen med en usrømningshasighe på v () lier /min. La V() være vannvolume i lier ved en vilkårlig id. Tiden er mål i sekunder. a) Forklar kor a vannvolume i anken ved iden kan skrives som: [ ] V () = V() + v v du b) Ana de var lier vann i anken ved = og a vann renner inn med en konsan volumsrøm på 5 lier/min, dvs v () = 5, og a usrømningshasigheen er: v() = +. Hvor mye vann er der i anken eer 9 min? Oppgåve krafmomen En bjelke, 8 m lang bærer en las med krafehe f() kn/m. Figuren viser grafen il f(). Krafen er fordel over de 6 førse merene. Den maksimale krafeheen er på 4 og er lokaliser 4 meer fra vensre endepunk. a) Besem f(). b) Se opp e inegral som besemmer krafen F. Regn så u F på o måer. i) v.h.a. figuren. ii) v.h.a. inegrale. c) Se opp e inegralurykk for momene som lasen uøver på bjelken om e vilkårlig punk C på bjelken gi ved = c.

3 FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Regn så u momene om vensre endrepunk. Del Inegral for areal og volum Oppgave krukkevolum En keramisk krukke er lage med sirkulær verrsni. Vi legger e koordinasysem slik a y aksen faller langs symmeriaksen il krukka og slik a origo ligger mid i bunnen. De beyr bl.a a bunnen svarer il y =. Lengdeenheen for koordinasyseme er dm. Overflaen il krukka fremkommer ved å roere kurven: aksen. y = 4;, 6⁰ om y a) Finn radien i de verrsnie som ligger i en avsand y over bunnen, og finn dereer A( y ) = areale av verrsnie som ligger i en avsand y over bunnen. Vi minner om a vi får volume ved å inegrere verrsnisareale. Dvs volume som rommes opp il høyden h over bunnen blir lik: h V( h) = A( y) dy b) Krukka fylles med vann il en høyde h over bunnen. Beregn dee inegrale. b) Hvor mye rommer krukka når den er full? Del Inegrasjon og derivasjon Oppgave a) Deriver b) Regn u f( ) = +. d ved a du unyer resulae fra a). + c) Vis ved delvis inegrasjon a ln d= ln + d) Vi har en sening som sier a d ln d = ln d, bok s.4, Teorem 8.6.

4 FAO 9 Forberedelse il skoleprøve Sjekk a dee virkelig er rikig for den funksjonen som vi har. Oppgave a) Beregn inegralene: d d og + + d d b) Beregn = lim + A +. A Oppgave Figuren viser grafen il en funksjon f() som ikke har noen negaive funksjonsverdier, dvs vi har a f( ) > for alle. f() F() er definer ved inegrale [ ] F( ) = f( ) d,, a a) Finn F'( ) b) Gi o grunner for a F er en økende funksjon. = a Oppgave 4 Bruk følgende derivasjoner il å finne de angie inegrale a) 4 i) ( )' = 4, d =? ii) sin(+ )' = cos(+ ), cos(+ ) d=? iii) ( )' =, d =? iv) A rcan( )' =,? d = b) Angi en anideriver il funksjonene i) ii) iii) Besem også de aniderivere som for argumene = gir verdien 4. sin c) Funksjonen f er definer ved f ( ) = d π i) Regn u f(), f '( ), f '( π ).

5 FAO 9 Forberedelse il skoleprøve ii) Finn den aniderivere funksjonen g il sin som får verdien for =. sin Alså er g () = og g'( ) =. Oppgave 5 Funksjonen f er en sammensa funksjon og Alså er den indre funksjonen.. f ( ) = e d = g( ) a) Angi den yre funksjonen g og deriver den. b) Bruk så kjerneregelen og finn den derivere f '( ). Oppgave 6 a) Finn e ubesem inegral for hver av funksjonene: sin( + ) (ii) + 4 (iii) (iv) e b) Regn u følgende: ln( d ) (ii) e d (iii) + 4 d når > 4 (iv) + 4 d når < 4. Oppgave 7 Mahcad gir oss følgende uregning: ln() d ln( ) Sjekk på enklese måe om dee er rikig. Oppgave 8 a) La f være en eller annen funksjon, vi renger ikke å vie hvilken (anne enn a den derivere kan inegreres). Regn da u: f () d. a b) Regn u inegralene:

6 FAO 9 Forberedelse il skoleprøve 4 d (ii) 4 d (iii) 4 4 d c) Regn u: π sin( ) d kunne du har foruse svare? Forklar. (ii) π sin( ) d (iii) π sin( ) d kunne du ha gi svare på (iii) ved hjelp av (ii)? Forklar.