Løsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimalt elektrisk felt er

Transkript

1 Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme Flervalgsoppgaver 1. Dersom en kondensaor har en kapasians på på 7.28 µf, hvor mye må plaene lades opp for a poensialdifferansen mellom plaene skal bli 25.0 V?. 15 nc B. 182 µc C. 26 µc D. 47 mc E. 3 C Løsning: Kapasiansen er C = Q/V ab, slik a Q = CV ab = ( F)(25.0 V) = C = 182 µc, der en plae har ladning +Q og den andre Q. 2. En plaekondensaor har kapasians C 0 = 5.00 pf og avsand mellom plaene d = 1.50 mm. De er kun luf mellom plaene. Hvor sor ladning kan plaene maksimal ha dersom de elekriske fele mellom plaene ikke skal oversige V/m? C B C C C D C E C Løsning: V = Ed og C = Q/V. Spenningen ved maksimal elekrisk fel er V = Ed = ( V/m)( m) = 45.0 V. Da blir ladningen på plaene Q = C 0 V = ( F)(45.0 V) = C. 3. Samme spørsmål som over, men nå med en dielekrisk plae med dielekrisk konsan K = 2.70 mellom plaene i kondensaoren C B C C C D C E C Løsning: Med e dielekrikum mellom plaene blir kapasiansen C = KC 0, og maksimal ladning blir Q = CV = KC 0 V = 2.70(5.00 pf)(45.0 V) = ( F)(45.0 V) = C. Med e dielekrikum i kondensaoren kan plaene holde en sørre ladning for en gi poensialforskjell og elekrisk fel mellom plaene. 4. Spenningen over hver kondensaor i en seriekobling av kondensaorer er. uavhengig av kondensaorens kapasians B. proporsjonal med kondensaorens kapasians C. omvend proporsjonal med kondensaorens kapasians D. lik E. ingen av svarene -D er rikig Løsning: Ladningen er lik over alle kondensaorer (Q = CV ), slik a spenning og kapasians er omvend proporsjonale. 5. En ladd kondensaor har iniiel e elekrisk fel E 0 mellom plaene og en spenning V 0 over plaene. Uen å koble il noen spenningskilde seer du inn e dielekrikum (ε r > 1) mellom plaene. De

2 Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme elekriske fele og spenningen over plaene blir nå respekiv E d og V d. Hvilke av følgende er re for de elekriske fele og for spenningen?. E d > E 0 og V d > V 0 B. E d > E 0 og V d = V 0 C. E d < E 0 og V d > V 0 D. E d < E 0 og V d < V 0 E. E d > E 0 og V d = V 0 Løsning: Da spenningsforsyningen er koble fra er ladningen Q konsan. Kapasiansen øker slik a spenning V = Q/C og E = V/d avar. 6. Hva er rikig urykk for kapasiansen i en parallellplaekondensaor med plaeavsand D dersom ei dielekrisk plae med ykkelse d < D og relaiv permiivie ε r pues inn i kondensaoren, som vis i figuren?. C = B. C = d + ε r (D + d) D + ε r (D d) E. C = d + ε 0 (D d) d + ε r (D d) C. C = D + ε 0 (D d) D. C = Løsning: Siuasjonen blir som seriekobling av o kondensaorer, som vis i figuren, der () er ekvivalen med (B), så C = C 1 C 2 C 1 + C 2 = ε 0 ε 0 D d ε rε 0 d D d + ε rε 0 d = d + ε r (D d). 7. En parallellplaekondensaor med avsand d har luf mellom plaene. Dersom spenningskilden er frakoble og vi ser bor fra endeeffeker, hvilken sørrelse endrer seg ikke dersom vi øker avsanden mellom plaene?. Kapasiansen B. De elekriske fele mellom plaene C. Den poensielle energien lagre i kondensaoren D. Poensialforskjellen mellom plaene E. lle -D Løsning: Vi ve a de elekriske fele fra e sor ladd plan er uavhengig av avsanden fra plane, alså er fele mellom o slike plan også uavhengig av avsanden mellom planene. En økning i d endrer alså ikke den elekriske felsyrken. De andre alernaivene kan ikke være ree da; økning i d reduksjon i C, økning i V og økning i energi E = 1 2 V Q (energiøkningen fra ilfør arbeid for å rekke plaene fra hverandre, som ilrekkes pga. mosa ladning). Page 2

3 Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme Cellemembraner 8. Cellemembraner er ypisk 7.5 nm ykke. De er semipermeable (halvgjennomrengelige), så de kan slippe gjennom ladde molekyler eer behov. Like sore men mosae ladningseheer bygger seg opp på innsiden og usiden av membranene, og disse ladningene forhindrer a eksra ladninger renger seg gjennom celleveggen. Vi kan modellere en cellemembran som en parallellplaekondensaor, der membranen inneholder proeiner som er innebygd i organisk maeriale som gir en dielekrisk konsan på rund 10. (a) Hva er kapasiansen per kvadracenimeer for en slik cellevegg? (b) I sin normale hvileilsand har en celle en poensialforskjell på ca. 85 mv over membranen. Hvor sor er de elekriske fele inni membranen? Løsning: Vi modellerer cellemembranen som en parallellplaekondensaor, så vi har a kapasiansen il membranen er C = KC 0 = Kɛ 0 d, og poensialforskjellen V = Ed gjelder uanse om de er dielekrika il sede. (a) Vi har = 1.0 cm 2 = m 2, så kapasiansen per kvadracenimeer blir per cm 2. C = Kɛ 0 d = (10)( F/m)( m 2 ) = 1.18 µf m (b) De elekriske fele inni membranen er E = V d = 85 mv m = V/m. De dielekriske maeriale i cellemembranen øker kapasiansen. Dersom dielekrikume ikke var il sede ville den samme ladningseheen på membranen produser en sørre poensialforskjell over membranen. Kondensaor med luf og dielekrikum i parallell 9. En parallellplaekondensaor er sa sammen av o lederplaer med sidekaner på l = 12.0 cm i en avsand d = 4.50 mm fra hverandre. Du kan ana a areale er sor if. d slik a du kan se bor fra randeffeker og anvende resulaer ulede for uendelig sore plaer. Halve romme mellom plaene besår av luf, mens den andre halvparen besår av plexiglass med en dielekrisk konsan lik Lederplaene er koble il en spenningskilde på 18.0 V. (a) Hva er kapasiansen il dee oppsee? (b) Hvor mye energi er lagre i kondensaoren? (c) Hvor mye energi er lagre i kondensaoren hvis vi fjerner plexiglasse og lar al anne være uforandre? Løsning: (a) Dee oppsee er de samme som en parallellkobling av o kondensaorer. Hver plae har areal = l l 2, og kondensaoren med plexiglass har kapasians C = Kɛ 0 d. En parallellkobling av o kondensaorer har kapasians C = C 1 + C 2. Hver kondensaor har Page 3

4 Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme kapasians C 2 = ɛ 0 d = ( F/m)(0.120 m)(0.060 m) = F, m C 1 = KC 2 = (3.40)( F) = F. Da blir kapasiansen for hele syseme C = C 1 + C 2 = F F = F = 62.5 pf. (b) Energien lagre i en kondensaor er gi ved U = 1 2 CV 2, U = 1 2 ( F)(18.0 V) 2 = J. (c) I dee ilfelle blir C 1 = C 2 : C = 2( F) = F, U = 1 2 CV 2 = 1 2 ( F)(18.0 V) 2 = J. Dermed kan vi slue a plexiglasse øker kapasiansen og øker energien som lagres for en gi spenning over kondensaoren. Dielekrisk plae 10. Figuren under viser verrsni av ei dielekrisk (elekrisk isolerende) plae med permiivie ɛ, oal ykkelse 2 i z-reningen og uendelig usrekning i x- og y-reningene. Plaa har romladningsehe gi ved z ) ρ(z) = ρ 0 cos, 2 der z er avsanden fra midplane i plaa og ρ 0 er en konsan. Ladningseheen er visualiser med punkmarkeringer. Plaa er omgi av luf med permiivie ε 0. (a) Beregn den elekriske felsyrken E uenfor og inne i den dielekriske plaa. Begrunn fremgangsmåen. Tips: Vær oppmerksom på forskjell i permiivie inne i plaa og uenfor. I Gauss lov må permiivieen for maeriale på Gaussflaa brukes. Løsning: Reningen på de elekriske fele er langs z-aksen på grunn av symmerien i probleme, med E = E ˆk for z > 0 og E = E ( ˆk ) for z < 0 (illusrer ved E 1 = E 2 = E i figuren). Beregner førs den elekriske felsyrken E uenfor plaa, z > : Bruker Gauss Page 4

5 Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme lov, med en lukke, sylindrisk Gaussflae plasser symmerisk om z = 0 og som srekker seg uenfor plaa (vis på figuren): ɛ 0 E d = Qencl, med ɛ 0 fordi en skal bruke den den permiivie som ligger på Gaussflaa. Ingen bidrag for sideflaene der fele er parallell med flaene, men kun bidrag il fluksinegrale fra de o endeflaene, som har areal : ɛ 0 E d = 2ɛ0 E (1) Den valge Gaussflaa har ladning kun for z <, inegrerer for å finne oalladningen: Q encl = ˆ ˆ ρ(z)dz = ρ 0 cos 2 z ) 2 [ dz = ρ 0 sin π Fra krave (1) = (2) får vi de elekriske fele uenfor plaa: 2 z )] 4 = ρ 0 π E = ρ 02 πɛ 0 ˆk forz >, E = ρ 0 2 πɛ 0 ( ˆk ) forz <. (3) Ved beregning av de elekriske fele inne i plaa, z <, går vi fram på ilsvarende måe. Valg av Gaussflae blir som over, men den har høyde 2z som sluer innenfor plaa. Resulerende fluksinegral blir som ligning (1) fordi E er konsan for konsan z. Forskjellen ligger i ulik permiivie og en annen verdi av ladningen inneslue av den lukkede Gaussflaa: og fele blir Q encl = z 2 [ ρ(z)dz = ρ 0 sin π 2 z )] z 4 = ρ 0 z π sin 2 z ), E = ρ ( 02 π πɛ sin 2 z ) ˆk for z <. (4) Formelen ar vare på foregne slik a fele går i ˆk -rening for z > 0 og i ˆk -rening for z < 0. For z = ± er urykke (4) lik urykkene (3), men ulik ɛ. (b) Lag ei skisse av E som funksjon av z. Løsning: Figuren under viser en skisse av de elekriske fele. Diskoninuieen il E ved z = skyldes forskjell i permiivie. (2) Page 5

6 Gruppeøving 6 Elekrisie og magneisme (c) Beregn de elekriske poensiale V uenfor og inne i plaa. Velg nullreferansen for de elekriske poensiale mid inne i plaa (z = 0). Løsning: Med z = 0 som referanse er de elekriske poensiale for 0 < z < gi ved: V (z) V (z = 0) = 0 = ρ 02 πɛ E(z) dz = 2 [ cos π 2 z )] z 0 ρ 0 2 πɛ sin 2 z = ρ 04 2 π 2 ɛ [ cos ) dz 2 z ) ] 1 (for z < ). (5) V (z) er symmerisk om z = 0, og formelen gjelder også for negaiv z så lenge z <. Når V (z) skal beregnes for z >, kan vi bruke førse urykke i (3), og får følgende. ρ 0 2 V (z) V (z = ) = E(z) dz = dz = ρ 02 ( z), πɛ 0 πɛ 0 og fra (5) får vi V (z = ) = ρ 04 2 π 2, som gir ɛ V (z) = ρ 02 ( z) ρ 04 2 πɛ 0 π 2 ɛ = ρ 04 2 π 2 ɛ 0 2 ɛ ) 0 ρ 0 z ɛ πɛ 0 (forz > ), eller lignende urykk. Siden V (z) er symmerisk om z = 0 blir urykke de samme for z <, men med z ersae med z. Merk a V (z) er lineær for z >, som de skal være da E er konsan. (d) Lag ei skisse av V (z) som funksjon av z. Løsning: Figuren viser en skisse av de elekriske poensiale. Legg merke il a de er koninuerlig, men den derivere (som gir de elekriske fele) ikke er koninuerlig ved z =. Page 6