2. Bevegelse. Fysikk for ingeniører. Klassisk mekanikk. 2. Bevegelse. Side 2-1.

Transkript

1 Beegelse Side - Beegelse Vi skal nå a for oss beegelse Vi skal definere de grunnleggende begrepene posisjon, hasighe (og far), og akselerasjon Dee er begrep som du benyer il daglig, men i må presisere bruken a dem Vær forbered på a i noen ganger bruker disse begrepene li annerledes enn du er an il fra dagligalen Vi sarer forsikig med relinje beegelse Men i må også se på beegelse i plane og i romme Da er de smar å bruke ekorer Sel om du i saren kanskje synes a ekorformalismen er forirrende, il jeg anbefale a du lærer deg eknikken På sik il bruk a ekorer forenkle både skriemåe og løsing a mekanikk-problemer Relinje beegelse Vi sarer med å se på beegelse langs en re linje Posisjonen il en parikkel Far 3 Akselerasjon Legg merke il hordan far og akselerasjon kan defineres ed å deriere henholdsis posisjon og far Legg også merke il ha i mener med negai akselerasjon *4 E sørre eksempel Noen flere berakninger oer posisjon, far og akselerasjon 5 Beegelseslikninger når akselerasjonen er konsan Disse likningene danner ugangspunk for mange oppgaer Du må lære deg løsningseknikken 6 Fri fall Egenlig bare e spesialilfelle a punke oenfor *7 o parikler i samme koordinasysem Mer komplisere problemsillinger Beegelse i romme Nå må i inrodusere ekor-formalismen Posisjon, hasighe og akselerasjon Vi ar ugangspunk i de ilsarende definisjonene for relinje beegelse Men ekor-formen fører il e par nye egenskaper Legg spesiel merke il a i får akselerasjon når hasighesekoren skifer rening, sel om faren er konsan Beegelseslikninger Vi ser spesiel på beegelse med konsan akselerasjon 3 Prosjekilbeegelse Vi ser på kas uen lufmosand Populær oppgaesoff *4 Mer om beegelse i plane og i romme Noen mer komplisere problemer 5 Akselerasjon ed krumlinje beegelse Her kommer i nærmere inn på hordan i kan få akselerasjon når hasighesekoren endrer rening Vikig soff *6 Relai beegelse Ha skjer når en bå går på ers a srømmen i ela, eller når ind blåser en bå eller e fly u a kurs? *3 illegg Vi gjennomgår dealjer og uleder formler som bare er skree re ned i punkene oenfor 3 Akselerasjon ed krumlinje beegelse 4 Sammendrag 5 Oppgaer med løsninger 5 Småoppgaer i eksen 5 Blandede oppgaer 53 Løsning på småoppgaer 54 Sar på blandede oppgaer

2 Relinje beegelse Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk Beegelse Side - Posisjonen il en parikkel Vi skal nå beskrie beegelsen il en parikkel som beeger seg langs en re linje En parikkel er e punkforme legeme, ds e legeme som har sær lien usrekning Da kan i bla neglisjere en eenuell roasjon om legemes egen akse Vi sarer med å legge inn en koordinaakse langs den linja som parikkelen følger På denne aksen merker i a e origo, en posii rening, og en enhe Nå kan parikkelens posisjon angis enydig som e punk på denne aksen Posisjonen il parikkelen il normal endre seg med iden Dersom i bruker symbole for id og for posisjon, har i a er en funksjon a Vi skrier f eller enklere 4 3,5 3,5,5,5 m,5,5,5 3 3,5 4 s De er ofe nyig å ise sammenhengen mellom og i e koordinasysem Da aseer i langs førseaksen og langs andreaksen Grafen oenfor iser beegelsen il en parikkel som sarer i origo ed s, og går i posii rening langs -aksen i sekunder Da er parikkelen komme il 4m Der snur den, og er ilbake i origo ed idspunke 4s En slik graf kalles gjerne en --graf Merk a er parikkelens posisjon, ikke den srekningen som parikkelen har ilbakelag Far Ana a du en dag il måle faren il bilene som kjører forbi huse di Den naurlige framgangsmåen er da å merke a o punker og på eien, og måle asanden mellom disse punkene Dereer finner du fram soppeklokka, og måler hor lang id en bil renger for å kjøre denne srekningen Ved å regne u sørrelsen, finner du hor mange meer bilen i gjennomsni har kjør pr sekund

3 Beegelse Side - 3 Vi bruker samme framgangsmåe når i skal finne gjennomsnisfaren il en parikkel Ana a parikkelen befinner seg i en posisjon ed idspunke, og i en posisjon ed idspunke Da definerer i: A B Gjennomsnisfaren Du ser a gjennomsnisfar måles i m/s I figuren oenfor er og egne inn i en --graf Du ser a faren blir signingsalle il den ree linja mellom sar-ilsanden A og slu-ilsanden B I praksis il idsineralle allid ære posii Da ser du a er posii dersom, slik a parikkelen beeger seg i posii rening En negai gjennomsnisfar sarer il a, slik a parikkelen beeger seg i negai rening Eksempel : En bil bruker 5s på å kjøre en srekning 5m Finn bilens gjennomsnisfar på srekningen Løsning: Gjennomsnisfaren er 5m m/s 5s Definisjonen oenfor gir oss bare gjennomsnisfaren i idsineralle Vi er ofe mer ineresser i momenanfaren ed e idspunk Da kan i enke oss a i måler gjennomsnisfaren oer sadig korere idsinerall Momenanfaren blir da grenseerdien for gjennomsnisfaren når Ved å benye de i kan fra maemaikken, får i a: A Momenanfaren lim d d Momenanfaren blir da den deriere a med hensyn på I en --graf sarer dee il signingsalle il angenen il grafen il i punke A Siuasjonen er illusrer oenfor il ensre Dersom de ikke kan misforsås, sir i bare far når i mener momenanfar Eksempel : Ana a 4m/s Løsning: Faren er Hor sor er faren?

4 Beegelse Side - 4 d d 4m/s 4m/s 4m/s d d Legg merke il a i urykke 4m/s fordi iden måles i sekund (s) har begge sider a likhesegne enhe meer Dersom faren er konsan, har i en enkel sammenheng mellom far, srekning og id : Eksempel 3: En bil kjører 5 meer med konsan far på 9km/h Hor lang id bruker bilen? Løsning: Vi må førs regne om faren il m/s: 3 9 m 9km/h 5m/s 6 6s 5m 6s 5m/s Oppgaer:, 3 Akselerasjon Fra dagligalen forbinder du sikker begrepe akselerasjon med farsøking Vi renger en mer presis definisjon Vi definerer førs gjennomsnis-akselerasjon slik: Dersom en parikkels far endres fra il i løpe a e idsinerall, er gjennomsnis-akselerasjonen i dee idsineralle gi ed a A B His i aseer faren som funksjon a iden i e -diagram, kan i illusrere definisjonen oenfor som is il ensre Gjennomsnis-akselerasjonen blir signingsalle il den ree linja gjennom A og B Siden måles i m/s, og id måles i s, får gjennomsnis-akselerasjon benening m/s m/s s

5 Beegelse Side - 5 Dersom faren hele iden er posii, il denne definisjonen bare ære en presisering a dagligalens inuiie bruk a begrepe akselerasjon Men når faren blir negai, kan i få oerraskelser som eksemple nedenfor iser Eksempel 4: Finn den gjennomsnilige akselerasjonen i disse ilfellene: a) Faren endres fra m/s il 4m/s i løpe a e idsinerall s b) Faren endres fra 8m/s il m/s i løpe a e idsinerall 6s c) Faren endres fra m/s il 6m/s i løpe a e idsinerall 4s Løsning: a) 4 m/s m/s a m/s s b) m/s 8 m/s a m/s 6s c) 6 m/s m/s a m/s 4s I del b a eksemple oenfor, ser du a når en posii far aar, får i en negai akselerasjon Dee kalles også reardasjon Del c er mer spesiell Der får parikkelen sørre far i negai rening Akselerasjonen er også da negai Vi definerer momenan akselerasjon (eller bare akselerasjon) på ilsarende måe som for far, ed a i beregner gjennomsnis akselerasjon oer sadig korere idsinerall: A Dersom en parikkels far endres med er akselerasjonen gi ed d a lim d løpe a e idsinerall, Den momenane akselerasjonen a blir da den deriere a med hensyn på I en --graf sarer dee il signingsalle il angenen il grafen il i punke A Siuasjonen er illusrer oenfor Dersom i kjenner faren som funksjon a, kan i finne akselerasjonen a ed å deriere slik eksemplene nedenfor iser: Eksempel 5: Finn akselerasjonen i disse ilfellene: 3 m/s 4 m/s a) s 5 m/s e b) Løsning: d a) a 3 m/s 3 m/s d -

6 b) Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk Beegelse Side - 6 s s d a 5 m/s s e m/s e d I eksemplene oenfor har jeg ær nøye med å få re benening Dee fører il a urykkene kan bli lie oersiklige Noen ganger ser i gjennom fingrene med slik benenings-pirk Se s for eksempel på eksponenialledde e Eksponenen må ære e ubenen all Men i e a har benening sekund Da må konsanen ha benening s Vi ser imidlerid ofe a slike eksponenialledd skries mer oersiklig som, sel om dee gir gal benening Ved å sammenholde definisjonene på far og akselerasjon, finner i denne sammenhengen: e Akselerasjon d d d d a d d d d Akselerasjonen er alså den andrederiere a posisjonen Oppgae: 3 *4 E sørre eksempel Vi skal nå gå gjennom e sørre eksempel, der i får illusrer mange egenskaper ed posisjon, far og akselerasjon Eksempel 6: Posisjonen il en parikkel er gi ed 6m/s m/s 3 3, s 6s a) Besem gjennomsnisfaren mellom s og 3s b) Finn faren som funksjon a Hor sor er faren når s? c) Når er parikkelen lengs fra sarpunke? Hor er parikkelen da? d) Besem gjennomsnis akselerasjon mellom s og s e) Finn akselerasjonen som funksjon a Hor sor er akselerasjonen når 5s? f) Når er faren sørs, og hor sor er denne faren? Løsning: a) s 6m/s s m/s s 5m 3 3s 6m/s 3s m/s 3s 7m 3s s 7 5 m m/s 3 s s b) d 6m/s m/s 3 m/s 3m/s d s m/s s 3m/s s m/s

7 Beegelse Side - 7 På grafen i sluen a eksemple sarer dee il signingsalle il angenen på --grafen når s Denne angenen aiker li fra den ree linja i del a) c) Parikkelen er lengs fra sarpunke ide den snur Da er faren lik null, slik a i må løse likningen 3 m/s 3m/s m/s Vi løser den ilhørende likningen med bare all-koeffisiener: Når s, er også m Den enese brukbare løsningen er derfor 4s Da er 3 3 ma 4s 6m/s 4s m/s 4s 3m 3 d) s m/s s 3m/s s 9m/s 3 s s 9 m/s s m/s s 3m/s s m/s a 3m/s s s På grafen sarer dee il signingsalle il ei re linje med signingsall 3 3 d d a m/s 3m/s m/s 3m/s d d e) m/s 6m/s 3 a 5s m/s 6m/s 5s 3m/s På grafen sarer dee il signingsalle il angenen på --grafen når 5s Denne angenen har samme signingsall som linja i del d) f) Faren er sørs når d m/s a m/s d Løser den ilhørende likningen med all-koeffisiener: 6 Da er 3 ma s m/s s 3m/s s m/s La oss se nærmere på sammenhenger mellom grafene: I idsromme fra il er akselerasjonen posii Da øker faren Vi ser også a - -grafen er koneks Ved idspunke er akselerasjonen lik null Da er faren sørs, og --grafen har e endepunk

8 Beegelse Side - 8 Når s 6s, er akselerasjonen negai Faren aar da, og blir eer her negai Vi ser a --grafen er konka I førse del a dee idsromme ( s 4s ) er faren ennå posii, og øker Når 4s, er faren lik null Da er parikkelen lengs fra sarpunke, og den snur Når 4s 6s, er faren negai Dee innebærer a parikkelen beeger seg i rening a aakende -erdier, og parikkelen er ilbake i sarpunke når 6s m m/s s s a m/s s Oppgae: 4, 5

9 Beegelse Side Beegelseslikninger når akselerasjonen er konsan Hiil har i gå u fra a i kjenner posisjonen som funksjon a iden Dereer har i funne far og akselerasjon ed deriasjon I praksis er de mye anligere a i går den mosae eien Vi ar ugangspunk i en kjen akselerasjon, og finner far og posisjon Grunnen il dee er a i ofe kjenner de krefene som irker på parikkelen Ved hjelp a Newons lo (som i snar skal komme il) finner i akselerasjonen Den generelle framgangsmåen er slik: Du e a sammenhengen mellom akselerasjon a og far er d a d Dersom a er kjen, kan dee oppfaes som en differensiallikning som du kan finne faren a Du e også a sammenhengen mellom far og posisjon er d d er kjen, kan dee oppfaes som en differensiallikning som du kan finne Når faren posisjonen a Disse o likningene for og kaller i beegelseslikningene for parikkelen (mer presis: beegelseslikningene for den akuelle akselerasjonen) I prinsippe bør i ulede nye beegelseslikninger hor her enese siuasjon Men de er i alle fall en siuasjon som forekommer så ofe a i uleder beegelseslikningene en gang for alle og bruker dem her gang i har anledning il de: beegelse med konsan akselerasjon Du kjenner sikker disse likningene fra ideregående skole eller forkurs Men for sikkerhes skyld skal jeg ulede dem fra grunnen a: Vi skal ana a ed sar-idspunke er sarposisjonen og sarfaren Vi ar ugangpunk i definisjonen a akselerasjon, og mulipliserer med d på begge sider a likhesegne slik: d a d a d d Nå kan i inegrere på begge sider a likhesegne På ensre side inegrerer i fra sarfaren il en ilkårlig slufar På høyre side inegrerer i fra saridspunke il e ilkårlig idspunk Under inegrasjonene il jeg bruke og både som inegrasjonsariabel og som symbol for øre grense, sel om dee formel se er gal Vi ser bor fra denne abben, og får: Konsan a d a d a a Li ordning gir a

10 Beegelse Side - Så ar de den andre sammenhengen: d d d a d d Jeg fusker på samme måe som før og lar ære både inegrasjonsariabel og symbol for sluposisjonen På ensre side inegrerer jeg fra sarposisjonen il sluposisjonen : Konsan a d a d a a Ordning gir nå: a Vi summerer opp: Dersom en parikkel beeger seg med konsan akselerasjon a fra en sarposisjon der sarfaren er, il parikkelen eer en id ha: Posisjon a Far a Disse o likningene er egenlig al i renger for å handere relinje beegelse med konsan akselerasjon Men dersom akselerasjonen a eller iden ikke inngår i probleme, kan de ære gunsig å eliminere a eller fra disse likningene en gang for alle Da får i: Eliminerer a: Eliminerer : a Du klarer sikker å ulede disse likningene sel Men for sikkerhes skyld skal jeg ise en måe å gjøre de på Jeg sarer da med å benye a a a a a Seer førs urykke for a inn i formelen for, og får Så seer jeg urykke for inn i urykke oenfor, og rekker sammen ed hjelp a 3 kadrasening: a a a Adarsel: Husk a i foruseer a akselerasjonen a er konsan Du må ikke bruke disse likningene dersom akselerasjonen ikke er konsan Nå er de på ide å se på e par eksempler på beegelse med konsan akselerasjon Men førs skal jeg see opp framgangsmåen for å løse slike problem:

11 Beegelse Side - egn en figur egn inn en -akse, elg posii rening, og merk a nullpunke Noer ned alle de kjene opplysningene 3 Skri ned beegelseslikningene, og merk a de sørrelsene som du kjenner 4 Løs likningene Så går i i gang: Eksempel 7: En parikkel slippes fra oppen a e 96 meer lang skråplan Den når bunnen a skråplane 8 sekunder eer a den ble sluppe Finn faren ed bunnen a skråplane, og finn også akselerasjonen når du anar a akselerasjonen er konsan Løsning: Vi sarer med å egne en figur, der i egner inn en -akse I dee probleme er de naurlig å legge -aksen langs skråplane, med posii rening nedoer Videre er de naurlig å legge nullpunke (origo) i parikkelens sarpunk slik a m Nå seer i opp de opplysningene i har A parikkelen ble sluppe innebærer a sarfaren m/s Ved idspunke 8s er posisjonen 96m Så seer i opp beegelseslikningene, og merker a de sørrelsene som er kjen I oppsee nedenfor er de kjene sørrelsene ramme inn: () a () a Vi ser a i likning () er alle sørrelsene unna a kjen Vi kan derfor bruke den il å finne a Når a er funne, kan i bruke () il å finne slufaren Vi går i gang: () 96m m m/s 8s a 8s Når i jobber med slike likninger, er de anlig å ersae beegelseslikningene (som også har beneninger) med ilsarende algebraiske likninger med all-koeffisiener Da får i: 96 () 96 8 a 8 96 a 64 3a a 3 3 Akselerasjonen er alså a 3 m/s Så bruker i () il å finne slufaren ed bunnen a skråplane: 8s m/s 3m/s 8s 4m/s () Eksempel 8: Vi forseer med samme parikkel og samme skråplan som i eksemple foran, der parikkelen har en akselerasjon 3m/s med rening ned langs skråplane Nå sender i parikkelen opp langs skråplane med en sarfar 8m/s Vi il ie hor lang opp på skråplane parikkelen kommer, og hor lang id de ar før parikkelen snur

12 Løsning: () a () a Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk Beegelse Side - Jeg elger å legge -aksen langs skråplane med posii rening oppoer og nullpunk i parikkelens sarpunk Med dee alge a posii rening blir akselerasjonen a 3 m/s Vi e også a når parikkelen snur i si høyese punk på skråplane, er faren m/s Nå er jeg klar il å see opp beegelseslikningene, og merke a de kjene sørrelsene: Sraegien blir å finne iden il parikkelens høyese punk a (), og dereer finne srekningen a () 8m/s () m/s 8m/s 3m/s 6s 3m/s De ar alså 6 s fra parikkelen sarer il den snur () 6s m 8m/s 6s 3m/s 6s 54m Parikkelen kommer alså 54 m opp skråplane før den snur Oppgae: 6 6 Fri fall Nøyakige eksperimener har is a dersom o legemer slippes samidig fra samme sed, il de falle like for dersom i kan eliminere lufmosanden A de faller like for, innebærer a de har samme akselerasjon Denne akselerasjonen kalles yngdens akselerasjon Sørrelsen a denne akselerasjonen arierer li fra sed il sed, men de er anlig å si a: Sørrelsen a yngdens akselerasjon er g 98m/s yngdens akselerasjon er allid ree mo jordas senrum Når i løser oppgaer med fri fall, er de anlig å bruke y som symbol for parikkelens posisjon Dersom i lar posii y-akse peke oppoer, blir yngdens akselerasjon negai Lar i posii y-akse peke nedoer, blir yngdens akselerasjon posii Ellers benyer i beegelseslikningene for konsan akselerasjon slik eksemple nedenfor iser Eksempel 9: Vi kaser e legeme re opp med sarfar m/s a) Hor lag id ar de før legeme er ilbake i sarposisjonen? b) Hor høy kommer legeme før de snur? c) Hor lang id ar de før legeme er haleis il oppen?

13 Beegelse Side - 3 Løsning: Legger en y-akse med nullpunk i sarpunke og posii rening oppoer Da er y og a g Beegelseslikningene blir: () g () y g a) Når legeme er ilbake i sarposisjonen, er y Benyer da () il å see opp en algebraisk likning med bare all-koeffisiener: Den brukbare løsningen er 45 s b) De er rimelig å gjee a parikkelen bruker like lang id opp il oppen som fra oppen og ned, slik a iden il oppen blir 45 s 3s Men i kan beregne iden uen å gjee Vi benyer da a når parikkelen er i si høyese punk, er faren m/s Likning () gir da m/s m/s m/s 98m/s s 98m/s Og dee er neopp halparen a iden for hele beegelsen opp og ned igjen Nå kan i finne sørse høyde a (): y m/s s 98m/s s 734m ma Sørse høyde blir alså yma 734 m Den oppmerksomme leser il sikker innende a dee kunne i funne enklere Vi har jo a a y Seer i a y y y når m/s, og a a g, får i ma m/s 734m 98m/s g ma c) Når parikkelen er haleis il oppen, er y 734 m 367 m Seer dee inn i (), og lager en algebraisk likning med bare all-koeffisiener: Dee olker i slik: De ar 36 s før parikkelen når haleis opp il oppen, og 9 s før den passerer samme punk på ei ned Oppgae: 7

14 Beegelse Side - 4 *7 o parikler i samme koordinasysem Vi kommer ofe bor i problemer der o eller flere legemer beeger seg samidig langs samme ree linje Da lønner de seg å elge e felles koordinasysem for alle legemene, og see opp beegelseslikningene for legemene i dee koordinasyseme De er ikig å ære konseken, slik a du hele iden holder deg il samme origo og samme alg a posii rening Når du seer opp beegelseslikningene, må du ær nøye med bruk a indekser som iser hilke legeme som her likning gjelder for Eksemplene nedenfor iser framgangsmåen Eksempel : På samme måe som i eksemplene 8 og 9 har i e 96 m lang skråplan der parikler kan gli opp eller ned uen friksjon Vi anar a begge pariklene har en akselerasjon a 3m/s med rening nedoer langs skråplane enen pariklene beeger seg oppoer eller nedoer Vi slipper en parikkel A øers på skråplane samidig som i sender en parikkel B re oppoer langs skråplane fra skråplanes fo Pariklene kolliderer på skråplane a) Hor kolliderer pariklene når B har en sarfar 6m/s opp langs skråplane? b) Hor sor må sarfaren il parikkel B ære for a pariklene skal kollidere ide B snur? c) Ha er den minse sarfaren B kan ha for a pariklene skal kollidere på skråplane? Løsning: De er o naurlige muligheer for alg a akse: Posii rening oppoer med origo i skråplanes fo, eller posii rening nedoer med origo på oppen a skråplane Jeg elger posii rening oppoer, mes fordi sarfaren il B da blir posii Men akselerasjonen blir nå negai: a 3m/s Da får jeg figuren nedenfor il ensre, og seer opp beegelseslikningene for her parikkel Parikkel A har null sarfar Men med mi alg a origo blir sarposisjonen A A 96m Da blir: B a, a B a, a B B B B Når pariklene kolliderer, er A B Da blir a a A B A B A A A Parikkel B har sarfar B, men sarposisjonen blir lik null Da blir: a) Når sarfaren er B 6m/s, blir A 96m A B 6s B 6m/s Da er posisjonen a 96m 3m/s 6s 4m A A Du får selsag samme sar dersom du bruker urykke for B b) Ide B snur, er a a B B m/s B m/s Ve allerede a pariklene kolliderer når

15 Beegelse Side - 5 B A B B B a A 3m/s 96m 7 m/s a c) For a pariklene skal kollidere på skråplane, må kollisjonen innreffe mens B m Seer opp dee som en ulikhe, der jeg benyer a A A B : B A B B a B a B a fordi a 3m/s 96m 44m /s m/s B A B B Vi ar e eksempel il mens i er i gang: Eksempel : Som anlig er Anne sen ue for å nå bussen Ide bussen kjører u fra holdeplassen, er Anne en srekning s bak bussen Vi anar a Anne løper med konsan far A 6m/s, mens bussen (som sarer i ro) har en konsan akselerasjon ab m/s Anne løper i samme rening som bussen kjører Ha er den sørse asanden s Anne kan ære bak bussen dersom hun skal klare å a den igjen? Løsning: Lager førs en figur der både Anne og bussen oppfaes som parikler: A A B -s AB Jeg legger inn e koordinasysem med origo der bussen sarer, og seer opp beegelseslikningene Merk a Anne sarer i posisjon s Anne: A s A, A 6m/s Bussen: B a B, B ab Her er iden som er gå siden bussen kjøre u fra holdeplassen Vi skal løse probleme med o forskjellige resonnemen: ) I de øyeblikke Anne ar igjen bussen, er A B s A ab Dee er en andregradslikning i Ordner og løser den, og får: A A B A A B ab A s ab ab For a denne likningen skal ha noen løsning, må 4 a s a s 6 m/s a s s 9 m A A B ab m/s Dersom s 9m, får likningen o løsninger Den minse -erdien er de idspunke da Anne når igjen bussen Men så foruseer likningene a både Anne og bussen forseer som før Den sørse -erdien er da de idspunke der bussen kjører forbi Anne igjen

16 Beegelse Side - 6 ) Vi kan også resonnere slik: Dersom Anne så id skal nå igjen bussen, il bussen ha få samme far som Anne ide Anne når den igjen Da er A 6 m/s B A ab A 3s ab m/s Ved dee idspunke er s a A B A B A s a 6 m/s 3s m/s 3s 9 m B Oppgaer: 8, 9, Beegelse i romme Posisjon, hasighe og akselerasjon Hiil har i bare se på relinje beegelse Nå er de på ide å løsrie seg fra den ree linja, og gå u i romme Vi skal see opp likninger for beegelse i e redimensjonal koordinasysem, men skal sor se benye dem på plan beegelse (ds beegelse i e odimensjonal koordinasysem) Posisjonen il en parikkel angis med en ekor r i e koordinasysem som ligger fas i romme Under behandlingen a Newons loer skal i se nærmere på ha i mener med a koordinasyseme ligger "fas i romme" Siden posisjonen arierer med iden, bør i skrie r, men som regel skrier i bare r og lar de ære underforså a r er en funksjon a y j i r i yj Når parikkelen beeger seg i e plan, er posisjonen gi ed en - og en y-koordina Vi innfører nå en enhesekor i som peker langs -aksen, og en enhesekor j som peker langs y-aksen Da kan parikkelens posisjon gis ed ekoren r i yj slik figuren il ensre iser z k i j i yj r i yj zkˆ y I e 3-dimensjonal rom lar i y-plane ære gul mens i føyer il en z-akse som angir høyden oer gule slik figuren il ensre iser Der er de også føyd il en ny enhesekor ˆk som peker langs z- aksen Da kan parikkelens posisjon gis ed ekoren r i yj zk ˆ slik figuren il ensre iser

17 Beegelse Side - 7 Den skriemåen for ekorer som i har bruk hiil, er nok den mes korreke ed a enhesekorene i og j (og ˆk ) angir reningene il komponenene, mens og y (og z) angir hor lange her komponen er I praksis brukes ofe enklere skriemåer som is nedenfor: r i yj zk ˆ y z y z Når i bruker de o sise skriemåene, er enhesekorene og deres reninger underforså Den miderse formen kalles en radekor, mens den sise kalles en kolonneekor Bruk den formen som du liker bes Ved relinje beegelse definere i far som posisjonsendring pr idsenhe, eller mer presis som den deriere a posisjonen Ved beegelse i plane eller i romme skal i på ilsarende måe definere hasighe som endring a posisjonsekor pr idsenhe, eller mer presis ed å deriere posisjonsekoren Ana a parikkelens posisjon ed idspunke er gi ed ekoren r, og a posisjonen ed e li senere idspunk er gi ed ekoren r r r slik figuren nedenfor iser Vi definerer nå parikkelens hasighe slik: Dersom r er posisjonsendringen il en parikkel i løpe a idsineralle parikkelens hasighe r dr lim d, er i z k r j r r r r y Vi får alså parikkelens hasighe ed å deriere urykke for posisjonsekor med hensyn på A figuren ser du a r er nær angen il parikkelens bane Når, il r nærme seg r Da il r komme sadig nærmere angenen il banen, slik a: Hasighesekoren har allid rening langs angenen il parikkelens bane Når i derierer en ekor, må i huske på a enhesekorene i og j (og ˆk ) har konsan lengde og ligger fas i romme De kan derfor berakes som konsaner under deriasjonen Da får i: d d dr d ˆ ˆ ˆ d ˆ dy ˆ dz ˆ dy i yj zk i j k d d d d d d dz d Vi derierer alså en ekor ed å deriere komponenene forusa a ekoren er uryk ed fase enhesekorer

18 Beegelse Side - 8 Hasigheen er en ekor, og har således både en sørrelse og en rening Dersom i bare er ineresser i sørrelsen a hasigheen uen å bry oss om reningen, angir i dee ed å skrie (absoluerdien a ) Merk a aldri kan bli negai Dersom de ikke kan føre il misforsåelser, kan i også skrie bare isedenfor Vi sier a er faren il parikkelen Ved relinje beegelse definere i akselerasjon som den deriere a faren Ved beegelse i plane eller i romme skal i definere akselerasjon som den deriere a hasighesekoren: Dersom en parikkel har hasighe ed idspunke og hasighe ed e li senere idspunk, er parikkelens akselerasjon d d r lim a d d ˆk î z ĵ r r y Siuasjonen er illusrer på figuren il ensre Merk a hasighesekorene og er angener il banen De o hasighesekorene og sam endringen er egne inn for seg på en lien figur Legg merke il a akselerasjonsekoren a må ha samme rening som Vi ser a figuren a sel om og er like lange (ds a faren ikke endres) kan i likeel ha en akselerasjon fordi hasigheen endrer rening Dee er en språkbruk som srider mo anlig dagligale Vi skal se nærmere på dee i kap 5 Eksempel : Posisjonen il en parikkel er gi ed r, a) egn en skisse a parikkelens bane, gjerne ed hjelp a e daaerkøy a Ha foreller - b) Finn parikkelens hasighe og parikkelens akselerasjon komponenene a og a deg? c) Beregn og egn inn og 5, og a og a 5 Løsning:

19 Beegelse Side - 9 y Beregner - og y-erdier for,, 4,, 6 Grafen er egne il ensre dr d 6 d a d 4 Jeg har derier y ed å oppfae urykke som e produk a og 6, og dereer 6 bruk kjerneregelen Da blir en felles fakor som sees uenfor parenes: 6 6 dy d A urykke for 6 ser i a farskomponenen i -rening er konsan lik Da må a akselerasjonen i -rening ære lik, noe i også ser a urykke for y a a5 5 6 Seer inn og 5, og får: 5 6 a a Hasighes- og akselerasjons-ekorene er egne inn i diagramme oenfor Vi ser a hasighesekorene er angener il grafen Oppgae: Beegelseslikninger Vi har nå definer posisjon r, hasighe og akselerasjon a for en redimensjonal beegelse slik a d d a, r d d Disse o sammenhengene kan nå oppfaes som differensiallikninger på ekorform Generel kan slike sysem a differensiallikninger ære anskelige å løse Men i har e ikig spesial-

20 Beegelse Side - ilfelle som er le å handere: Konsan akselerasjon Da får i ekor-likninger som minner serk om de ilsarende likningene for relinje beegelse: Dersom akselerasjonen a er konsan (og kun da) er sammenhengen mellom posisjon r, hasighe og akselerasjon a gi ed a r r a der r og er sarposisjon og sarhasighe Uledningen følger samme framgangsmåe som for relinje beegelse Vi ar ugangspunk i definisjonen a akselerasjon: d a d Dee er egenlig 3 differensiallikninger, en for -reningen, en for y-reningen og en for z- reningen Men i kan slå alle re sammen il en ekor som oenfor Dersom akselerasjonen er konsan, kan i nå inegrere de re reningene her for seg og slå sammen resulae il en ny ekor Men i kan også gjøre de enklere, og benye ekor-noasjon slik de er gjor nedenfor: d a d ad d d d a a a a Som før har jeg slure og bruk samme symbol både for inegrasjonsariabel og for inegrasjonsgrense Vi oerser den abben, og går løs på den nese sammenhengen på samme måe: dr r dr d ad d d d r r a r r a r r a r r a r ilsynelaende er dee bare o likninger Men for en 3-dimensjonal beegelse inneholder her a ekorlikningene 3 komponen-likninger, slik a hele see besår a 6 likninger De sier seg sel a slike likningssysem kan bli brysomme å løse Vi skal derfor begrense oss il e spesialilfelle, prosjekilbeegelse 3 Prosjekilbeegelse Vi har idligere se a når e legeme slippes nær jordoerflaen og lufmosanden ikke spiller noen rolle, il legeme få en konsan akselerasjon som i kaller yngdens akselerasjon Denne akselerasjonen har sørrelse g 98m/s og rening inn mo jordas senrum Når i suderer prosjekilbeegelse (ds beegelsen il parikler som kases nær jordoerflaen) er de anlig å benye e koordinasysem med -akse i horisonalplane og y- akse re oppoer I e slik koordinasysem blir yngdens akselerasjon ggj

21 Beegelse Side - der j er en enhesekor med rening re oppoer (langs posii y-akse) Da blir akselerasjonen: a g g j g Vi kan nå see opp beegelseslikningene for slik prosjekilbeegelse Vi skal bruke indeks il å angi sar-ilsand (ds ilsand når ) Da får i: a y y g y g Her er og y komponenene il hasighesekoren, mens og y er komponenene il sarhasigheen Merk a hasigheskomponenen i -rening er konsan r r a y y y g y y g Vi kan si a en slik prosjekilbeegelse er sammensa a en beegelse med konsan far i - rening, og en beegelse med konsan akselerasjon g med rening nedoer i y-rening På figuren nedenfor ser du prosjekilbanen med sarposisjonen r og sarhasigheen innegne I en ilkårlig posisjon r er hasigheen Alle ekorene er dekomponer y y y y r y r j i Eksempel : Lille Peer kaser de nye klinkekulene som han fikk il jul u indue En a dem kases med ugangsfar m/s skrå oppoer med en inkel på 53 med horisonalplane Kula sarer 5 m oer bakken Se bor fra lufmosand, og finn: a) Kulas sørse høyde oer bakken b) Kaseidden, ds den horisonale asanden fra huseggen il de punke der kula reffer bakken når i foruseer a bakken er horisonal c) Kulas far og rening ide den reffer bakken

22 Beegelse Side - Løsning: Vi sarer med å lage en figur Dereer plasserer i koordinasyseme inn i figuren De er naurlig å la y-aksen følge huseggen Vi kan legge -aksen enen langs bakken eller i høyde med indue Slik spørsmålene er sil, irker de mes naurlig å legge -aksen langs bakken Vi får da figuren nedenfor: Slik i har lag koordinasyseme, er sarposisjonen m r y 5m og sarhasigheen cos y sin m/s cos53 6m/s m/s sin53 8m/s Ved e ilkårlig idspunk er da posisjonen -8 6m/s r y y y g 5m 8m/s g og hasigheen 6m/s y y g 8m/s g Jeg ener med å see inn allerdi for g a) Når kula er i si høyese punk, er hasighesekoren horisonal Da er 8m/s 8m/s y m 8m/s g m/s 8s g 98m/s Høyden oer bakken ed dee idspunke er y 5m 8m/s g 5m 8m/s 8s 98m/s 8s 86m b) Ide kula reffer bakken, er y m 5m 8m/s g m g g 8m/s 8m/s 4 5m 8m/s 64 98m/s 48s 98m/s s Den brukbare erdien er s Da er kasidden 6 6 m/s s 66 m c) Vi e allerede a kula reffer bakken når s Da er hasigheen

23 Beegelse Side - 3 6m/s 6m/s 6m/s y 8m/s g 8m/s 98m/s s 7 m/s Sørrelsen a faren er y 6m/s 7m/s 4m/s Vinkelen med bakken er gi ed y 7 m/s an 647 6m/s Noen ganger kan slike problem også løses ed hjelp a energiberakninger Vi skal komme ilbake il dee senere Oppgae: *4 Mer om beegelse i plane og i romme Når o eller flere legemer beeger seg samidig, il de kollidere dersom de har samme posisjonsekor ed samme idspunk Vi skal se e par eksempler på dee nedenfor Vi sarer med å legge merke il a: Dersom hasigheen er konsan lik, blir posisjonen r r Eksempel 3: 4 y 4 m/s 8 S m/s r S 4 m 8 m 4 m/s P En kysaksasjon oppdager e farøy som de misenker for å drie smugling De il derfor sende u en paruljebå for å askjære farøye Ide paruljebåen sarer, befinner farøye seg i posisjon 4 m r S 8 m i forhold il kysaksasjonen, og holder en hasighe 4 m/s S m/s m/s Beregn hilken kurs paruljebåen må ha Paruljebåen holder konsan far P (ds finn inkelen ) for a paruljebåen raskes mulig skal reffe smuglerfarøye, og beregn hor og når båene møes Vi foruseer a smuglerfarøye holder konsan hasighe Løsning:

24 sin P y P m/s cos P Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk Beegelse Side - 4 Hasigheen il paruljebåen blir P cos m/s cos P P sin m/s sin Ved idspunke har paruljebåen posisjon m/s cos rp P m/s sin mens smuglerfarøyes posisjon er r 4 m 4 m/s 4 m 4 m/s S r S S 8 m m/s 8 m m/s For a båene skal kunne møes, må r m/s cos 4 m 4 m/s P r S m/s sin 8 m m/s Dee gir o likninger som i kan finne og a For enkelhes skyld sløyfer jeg beneningene når jeg seer opp disse likningene: cos 4 4 cos 4 4 sin 8 sin 8 Kadrerer begge likningene før jeg legger dem sammen: cos sin cos sin Da blir cos 4 4 cos 8 sin 8 sin Posisjonen finnes for eksempel a posisjonsekoren for paruljebåen: r m/s cos m/s 8 s 8 m P P m/s sin m/s 6 s 6 m Eksempel 4: o små kuler A og B kases u samidig Kule A kases B, u med sarfar A, 5m/s og med rening 369 oer horisonalplane Kule B sarer en høyde h re h A, oer kule A, og kases horisonal u med sarfar B, 4 m/s Se yngdens akselerasjon g 98m/s, og se bor fra lufmosand Ana a beegelsen foregår i e plan a) Vis a kulene kolliderer i lufa b) Besem h slik a kulene kolliderer når kule A er i si høyese punk

25 Beegelse Side - 5 Løsning: 4 3 a) Får bruk for a cos369 5 og sin369 5 Ser også bor fra beneninger Da blir: A A, cos 369 ra A, A, y r a A A, sin 369 g B B, 4 rb B, B, y r a B h g h 49 Dersom kulene skal kollidere, må de ære e idspunk der r r y y A B A B A B Vi ser a A allid er lik B For å få ya y, må i ha a h 3 49 h 49 3 h 3 m/s Så lenge h har denne likningen allid en posii erdi a som løsning Alså må de o kulene kollidere b) Får nå bruk for a 4 A, A, cos A A, 3 a A, y A, sin 369 g Kule A er i si høyese punk når 3 m/s A, y s 98m/s Vi har allerede is a kulene kolliderer når h h 3 m/s 36s 9 m 3 m/s B Oppgaer: 3 5 Akselerasjon ed krumlinje beegelse Sirkelbeegelse Vi har idligere nen a siden hasighe er en ekor, kan i få akselerasjon både når denne ekoren endrer sørrelse og når den endrer rening Vi skal nå se nærmere på dee û û N ˆ u Vi innfører en enhesekor û som angen il banen i farsreningen, og en annen enhesekor û N som sår normal på banen og peker innoer, ds mo banens konkae side Siden hasighesekoren allid er angen il banen, kan i skrie u ˆ der er faren il parikkelen

26 Beegelse Side - 6 Vi finner parikkelens akselerasjon ed å deriere hasighesekoren Dee er gjor i kap 3 Resulae er: Akselerasjonen a kan allid skries på formen d a ˆ ˆ N d u R u der er parikkelens far mens R er radien i den sirkelen som banen kan enkes å ære en del a nær parikkelens posisjon Akselerasjonen kan alså dekomponeres slik: d En baneakselerasjon med sørrelse a og rening langs hasighesekoren d En senripealakselerasjon med sørrelse an og rening mo banens krumningssener R Sirkelbeegelse med konsan far er e spesialilfelle a krumlinje beegelse Dersom en parikkel bruker en id på en hel omdreining a en sirkel med radius R, er den konsane faren R Da blir senripealakselerasjonen a R 4 R 4 R R R R N Vi oppsummerer: En parikkel som beeger seg med konsan far i en sirkel med radius R, har en senripealakselerasjon a med sørrelse 4 R an R og rening inn mo senrum i sirkelen Eksempel 5: En bil kjører med far på 36 km/h gjennom en horisonal rundkjøring som har radius R m Hor sor er senripealakselerasjonen? Løsning: Faren er m 36 km/h 36 m/s 36s Da blir senripealakselerasjonen

27 Beegelse Side - 7 a N R m/s 5m/s m Oppgae: 4 Vi skal senere se mer på sirkelbeegelse i forbindelse med krefer *6 Relai beegelse A B r r P B B A r P A P Hiil har i hele iden referer all beegelse il e koordinasysem Noen ganger må i forholde oss il o koordinasysem, og undersøke hordan en beegelse beskries i de o koordinasysemene Vi enker oss da a i har e fas koordinasysem A og e anne koordinasysem B, der B beeger seg med konsan far BA i forhold il A uen å roere Posisjonen il en parikkel P er r PA i forhold il koordinasysem A, og r PB i forhold il de koordinasysem B Dersom r BA er posisjonen il origo i B i forhold il A, blir r r r P A P B B A Vi derierer denne sammenhengen, og får a d r P A d P B d B A r r d d d Men disse urykkene er jo hasigheer, slik a i får: P A P B B A Dee er den generelle sammenhengen mellom hasigheen il en parikkel mål i o koordinasysem som beeger seg med konsan far i forhold il herandre uen å roere Eksempel 6: Du skal ro oer en el som er 6 m bred I sille ann ror du med en konsan far på 5m/s Ela srømmer med konsan far på 5m/s a) Hor reffer du den andre elebredden dersom du ror inkelre på bredden? b) Hordan må du ro dersom du skal reffe elebredden re oenfor sarsede? Løsning: Her er R B R E E B der i har: er hasigheen il robåen i forhold il bredden RB RE 5m/s er hasigheen il robåen i forhold il ela

28 Beegelse Side - 8 EB 5m/s er hasigheen il ela i forhold il bredden E B L=6 R E R B y A figuren ser i a båen får en adrif gi ed inkelen der EB 5m/s an 3 5m/s RE Da reffer du den andre bredden en srekning y Lan 6m m 3 nedenfor e punk som ligger re oenfor sarsede b) For å reffe bredden re oenfor sarsede, må hasigheene ære som is nedenfor: R E Vi ser a for å unngå adrif, må du ro skrå mo srømmen i en inkel gi ed E B R B EB 5m/s sin 95 5m/s 3 RE Oppgae: 5 *3 Uledninger 3 Akselerasjon ed krumlinje beegelse Vi skal nå a ugangspunk i a hasigheen kan skries på formen u ˆ der û er en enhesekor som er angen il banen Så skal i finne akselerasjonen ed å deriere dee urykke Men da må i huske på a enhesekoren û ikke lenger er konsan Siden den allid skal ære angen il banen, kan den derfor endre rening under beegelsen Når i derierer, må i derfor bruke deriasjonsregelen for e produk: d duˆ d duˆ a u ˆ d d d d Vi ser a akselerasjonsekoren må dekomponeres i o reninger: Sørrelsen d angir den momenane endringen a faren med hensyn på id Dee er d neopp de i il daglig kaller akselerasjon Denne sørrelsen har rening langs angenen il banen Vi kaller den derfor angenialakselerasjon eller baneakselerasjon duˆ Sørrelsen d blir e mål for reningsendringen il û

29 û s û N R R û û û Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk Beegelse Side - 9 uˆ duˆ La oss se nærmere på sørrelsen ed hjelp a figuren d il ensre Der er û og û enhesekoren û ed o idspunk På den lille figuren ser du uˆ ˆ ˆ u u Når inkelen er sær lien kan i ilnærme see R R R, der R er banens krumningsradius Vi finner igjen den samme inkelen uˆ s s uˆ uˆ R R fordi på begge figurene Da blir u ˆ Videre benyer i a når, må også slik a de ilnærmingene i har gjor blir sadig bedre Da får i: duˆ uˆ s ds lim lim d R R d R A figuren ser i også a når il u ˆ få samme rening som û N Vi samler rådene, og får: duˆ duˆ uˆ ˆ N u N d d R Nå gjensår de bare å see kronen på erke: d d duˆ d d a uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u un u un a u an u N d d d d R d R 4 Sammendrag Symbol: Norsk beegnelse: Engelsk beegnelse: id ime, r posisjon posiion far speed hasighe elociy a, a akselerasjon acceleraion r posisjonen il A i forhold il B A's posiion relaie o B A B hasigheen il A i forhold il B A's elociy relaie o B A B d d d, a d d d d r d d r d, a uˆ u ˆ N d d d d R Her er u en enhesekor som er angen il banen, R er banens krumningsradius i punke, og u N er en enhesekor som peker inn mo krumningssenere Dersom akselerasjonen er konsan, er

30 Beegelse Side - 3 a, a, a, a, r r a Dersom e koordinasysem B har posisjon rba og hasighe BA i forhold il koordinasysem A uen å roere, er rp A rp B r B A og P A P B B A 5 Oppgaer med løsninger 5 Småoppgaer i eksen Oppgae : Hor mye id sparer du inn pr km dersom den konsane faren økes fra 7km/h il 8km/h? Oppgae : En eisrekning har farsgrense på 8km/h Hor lang id il en bilis som nå bruker minuer på denne srekningen bruke dersom farsgrensen reduseres il 6km/h? Gå u fra a bilisen hele iden kjører nøyakig på farsgrensen Oppgae 3: Posisjonen il en parikkel (gi i meer) er gi ed m m e m e der s og s a) Horfor har og benening s? b) Finn faren og akselerasjonen a, og egn grafene il under herandre Ha ser du når a?, og a Oppgae 4: m/s s På figuren il ensre finner du en grafisk il en parikkel egn framsilling a faren figurer der du for de førse sekundene egner grafene il: a il parikkelen a) akselerasjonen b) posisjonen il parikkelen, når Oppgae 5: Posisjonen il en parikkel er gi ed 3 3 m/s m/s 36 m/s når s 6s, der er iden mål i sekunder a) egn e posisjon-id-diagram Bruk gjerne e eller anne daaerkøy

31 Beegelse Side - 3 b) Besem gjennomsnilig far i idsineralle fra s il s, og i idsineralle fra s il 5s c) Finn e urykk for parikkelens far som funksjon a iden, og bruk de urykke il å finne den momenane faren når s og når 4s d) Finn e urykk for parikkelens akselerasjon Beskri med ord hordan parikkelen beeger seg når akselerasjonen er lik null Oppgae 6: En bil som kjører i 6 km/h bråbremser Bremsesporene er 5 meer lange a) Finn bilens akselerasjon, og beregn hor lang id oppbremsingen ar b) En annen bil kjører i 8 km/h på samme srekningen Også denne bilen må bråbremse Hor lang kjører denne bilen før den sopper når du anar a akselerasjonen er den samme som for den førse bilen, sam a føreren a den sise bilen har en reaksjonsid på 5 sekunder fra han ser hindringen il bremsene begynner å irke Oppgae 7: En lien sein kases re oppoer fra e punk som ligger 98 meer oer bakken Seinen kommer 35 meer oer sarpunke før den snur Se bor fra lufmosand a) Hor sor sarfar hadde seinen? b) Hor lang id ar de før seinen reffer bakken, og hor sor far har den da? Oppgae 8: En bil kjører med en konsan far på 7 km/ime Desserre er farsgrensen på sede mye laere En poliikonsabel på moorsykkel ar opp jaken Ide moorsykkelen sarer, er bilen 48 meer foran Moorsykkelen har konsan akselerasjon på 4 m/s Hor sor far har moorsykkelen ide bilen as igjen? Oppgae 9: o parikler beeger seg på samme ree linje I sarøyeblikke befinner de seg i samme punk Parikkel A beeger seg da mo høyre med konsan far A m/s, mens parikkel B beeger seg mo ensre med sarfar,b 3m/s og akselerasjon a 4m/s, slik a B il snu og a opp jaken på A a) Vis a de ar 5 sekunder fra de sarer il B ar igjen A b) Hor lang srekning har her a de o pariklene ilbakelag ide B ar igjen A? Oppgae : I denne oppgaen skal du see yngdeakselerasjonen g m/s, og se bor fra lufmosand Ei kule slippes fra e punk A som ligger m oer bakken a) Hor sor far har kula når den passerer punke B som ligger 7 m under A? b) Ide kula passerer B, skyes ei anna kule re opp fra bakken Hor sor sarfar har denne kula når begge kulene reffer bakken samidig? Oppgae : Posisjonen il en parikkel er gi ed

32 Beegelse Side r y 4 5, a) Finn parikkelens hasighe og akselerasjon b) egn parikkelens bane egn også inn hasighesekoren ed idspunke 3, og finn sørrelsen a hasigheen ( faren ) ed dee idspunke Oppgae : 53, h 36,9 En lien sein kases med sarfar m/s og inkel 53 mo e husak Seinen reffer ake med far og inkel 369 under horisonalplane Se figuren oer Se bor fra lufmosand Finn faren, og is a de ar 55 sekunder fra seinen kases u og il den reffer ake Finn dereer kasidden og høyden h Oppgae 3: I denne oppgaen kan du see yngdens akselerasjon g m/s En lien kule A er plasser en høyde h 3m oer en annen lien kule B Begge kulene sees samidig i beegelse Kule A kases skrå u med sarfar som danner en inkel 53 oer horisonalplane Kule B beeger seg relinje i horisonalplane Se bor fra lufmosand, og berak kulene som parikler A h = 3 m B a) Kule B beeger seg med konsan far B 3m/s Besem sørrelsen il slik a kule A kan reffe kule B b) Vi gjenar forsøke, men lar nå kule B ha konsan akselerasjon a 3 m/s Kula sarer med sarfar m/s Besem også nå sørrelsen il sarfaren il kule A slik a den kan reffe kule B

33 Beegelse Side - 33 Oppgae 4: Vi anar a singen på en skøyebane er meer lang og forme som en halsirkel Finn senripealakselerasjonen il en dykig skøyeløper som går gjennom singen på 7 sekunder Oppgae 5: Ei ogn som er 6 m lang og 5 m bred glir langs en laserampe med far m/s En person går skrå oer ogna fra e hjørne il de diagonal mosae hjørne, med en far på 3m/s Finn sørrelse og rening il personens hasighe i forhold il laserampen 5 Blandede oppgaer Oppgae : o spreke fysikksudener, Arne og Bjarne, møes uenfor Nordlysobseraorie i romsø for å a sin daglige joggeur rund Presanne "Hor lang er en runde rund Presanne?" spør Arne "De kan i finne u", sarer Bjarne De sarer samidig fra samme sed, men løper i her sin rening Arne fullfører en runde på 6 minuer og 48 sekunder, forseer i samme far, og møer Bjarne 5 meer eer a Arne fullføre runden Bjarne fullfører sin runde på 7 minuer og sekunder Hor lang er en runde rund Presanne? Gå u fra a begge joggerne holder konsan far Oppgae : E skråplan har slik helning a en parikkel som glir på skråplane har en akselerasjon med sørrelse 4m/s ned langs skråplane Den skrå flaen er 8 m lang Se bor fra friksjon i hele oppgaen a) En parikkel slippes uen sarfar på oppen a skråplane Finn parikkelens far ed foen a skråplane Hor lang id renger den for å gli ned skråplane? b) Parikkelen sendes re opp skråplane, og renger da 3 sekunder fra skråplanes fo og il oppen Finn parikkelens far ed foen og på oppen a skråplane c) Parikkelen sendes på ny re opp skråplane, men har nå en sarfar på 5 m/s ed skråplanes fo En annen parikkel slippes samidig uen sarfar fra oppen a skråplane ) Hor il pariklene passere (eller reffe) herandre? ) Hor sor sarfar måe den nederse parikkelen ha dersom pariklene skulle mø herandre mid på skråplane? Oppgae 3: En opp-spriner løper meer på sekunder fra han forlaer sarblokkene il han passerer mållinja Vi anar a han har konsan akselerasjon de førse 5 merene, og a han dereer løper med konsan far de sise 75 merene Hor sor er denne konsane faren? Oppgae 4: e e Faren il en parikkel er gi ed Finn parikkelens akselerasjon a, og finn parikkelens posisjon når

34 Beegelse Side - 34 Oppgae 5: En parikkel beeger seg langs -aksen Faren il parikkelen er gi ed når 3 9 a) Finn parikkelens akselerasjon a Når har parikkelen sørs far? når du e a parikkelen sarer i origo ( b) Finn parikkelens posisjon ) Når er parikkelen lengs ekk fra origo, og hor sor er denne sørse asanden? Oppgae 6: Faren il en parikkel er gi ed a) Vis a ed idspunke har parikkelen beege seg en srekning s når s bg Du kan benye a d C b) o parikler A og B beeger seg i samme rening langs -aksen Begge pariklene sarer samidig fra origo A har den faren som er gi i oppgae a) oenfor B beeger seg med en konsan far B 4 I) Ved hilke idspunk er A lengs foran B? II) Ved hilke idspunk når B igjen A? c) Vi seer i gang e ny kappløp mellom A og B der pariklene har de hasigheene som er angi i oppgae b) oenfor Pariklene sarer samidig, men slik a B får e forsprang l på A Ha er de sørse forsprange B kan få for a A skal klare å a igjen B? Oppgae 7: m 36,9 m E kulesø måler meer Du har filme kulesøe, og finner a ide kula forlo handa il kulesøeren ar kula meer oer bakken mens inkelen mellom kulebanen og horisonalplane da ar 369 Hor sor far hadde kula ide den forlo handa il kulesøeren? Oppgae 8: Ei kanonkule skyes u a en kanon med ugangsfara 5m s Ugangsfara danner inkelen 35 med de horisonale underlage Vi anar a kanonkula skyes u ed bakkeniå a) Hor høy oer bakken er kanonkula på si høyese? b) En høy egg befinner seg m fra kanonen Hor høy på eggen il kanonkula reffe? c) Ved å ariere ugangsinkelen il kanonkula kunne reffe høyere oppe på eggen Ha må ugangsinkelen ære for a kula skal reffe høyes mulig på eggen, og hor høy reffer da kula?

35 Oppgae 9: B h y Fysikk for ingeniører Klassisk mekanikk Beegelse Side - 35 En kule A kases skrå oppoer med en sarfar og ugangsinkel 6 med horisonalplane Samidig kases en annen kule B horisonal med sarfar Sarpunke for B er re oer A, i en høyde h oer A Kulene beeger seg i samme erikale plan Vi ser bor fra lufmosand i hele oppgaen 6, a) Se opp beegelseslikningene (for posisjon og for hasighe) for her a kulene Bruk ekor- eller A komponenform eer alg b) Kulene reffer herandre i punke ) Finn koordinaene il uryk ed, g og h ) Besem slik a får y-komponen h, og is a da må ligge på oppen a kasbanen il kule A Oppgae : y Noen barn sier under ei låebru og skyer u 5 småsein Uskyningsinkelen er hele iden 6, og seinene skyes u fra origo Låebrua er gi ed P likningen y5 6, Se bor fra lufmosand, og se yngdens akselerasjon g m/s a) Finn koordinaene il reffpunke P når sarfaren m/s b) Ha er den minse sarfaren du kan ha for å reffe låebrua? Oppgae : I denne oppgaen skal i benye ei kule som skyes skrå oppoer med en sarfar under en inkel på 53 oer horisonalplane Gå u fra a alle beegelser foregår i e erikal plan a) m/s Kula har sarfar m/s, og skyes u mo en loddre mur som sår 5m fra uskyningspunke Hor høy opp på muren reffer h kula? 5 m b) m/s h y Kula har fremdeles sarfar m/s, og skyes u oppoer en mobakke der helningsinkelen er slik a y Hor reffer kula bakken?

36 Beegelse Side - 36 c) M M 5m/s 5m/s h 8m En måse M flyr med konsan far M 5m/s i konsan høyde h 8m oer fla mark Kula har nå sarfar 5m/s Hor må måsen ære ide kula skyes u for a kula skal reffe måsen, og hor lang er den horisonale srekningen fra de sede der kula ble sku u il de sede der kula reffer måsen? Oppgae : Banen il en parikkel er gi ed r 3 3 ˆi ˆj der î og ĵ er enhesekorer i henholdsis - og y-rening a) egn grafen il parikkelens bane når 3 Bruk gjerne daaerkøy b) Finn hasighesekoren og akselerasjonsekoren a c) ) Se, og is a da sår a inkelre på Hor er parikkelen da? egn inn og a på figuren fra a) Bruk passe lengdeenheer ) Forklar a når a sår inkelre på, har faren (ds ) enen lokal maksimum eller lokal minimum 3) Fins de andre punker der akselerasjonsekoren sår inkelre på hasighesekoren? 53 Løsninger på småoppgaer i eksen Oppgae : Vi benyer a når faren er konsan, er m 8 m 7km/h m/s, 8km/h m/s 36s 36s Innspar id pr km blir da m m 5s m/s m/s Oppgae : Når bilen kjører en srekning s med konsan far på en id, er s Siden bilen kjører like lang før og eer endringen a farsgrensen, er 8km/h min 6km/h 8km/h min 6min 6km/h Legg merke il a i ikke renger å regne om fra km/h il m/s fordi omregningsfakoren forkores bor

37 Beegelse Side - 37 Oppgae 3: a) Siden iden har benening sekund (s), må og ha benening s slik a eksponenen skal bli ubenen b) e e der s og s d m e m e d s s m s e m s e s s m/s e m/s e d a m/s s e m/s s e d s s s s m/s e 4m/s e m m/s s (I praksis dropper i gjerne beneningene i slike siuasjoner, og ar bare med allerdiene) Grafene er is il ensre Vi ser a så lenge a, il faren øke Når a, har faren sin sørse erdi Da okser også fores a m/s s s Oppgae 4: m/s a m/s s s Leser a noen daa fra figuren: Når s 3s er akselerasjonen konsan Vi får m/s 4m/s a m/s 3s Når 3s 5s er faren konsan: m/s, a m/s Når 5s 7s er akselerasjonen konsan Vi får m/s m/s a m/s s Når 7s s er faren konsan: m/s, a m/s Dee gir akselerasjonsgrafen il ensre