Newtons lover i to og tre dimensjoner

Transkript

1 Newons loe i o og e dimensjone 5..3 oblige innleees mndg kl. bel fo læeboken FYS-MEK 5..3

2 Beegelse i e dimensjone Beegelsen e kkeise ed posisjon, hsighe og kselesjon. Vi må buke ekoe: posisjon: i j z k hsighe: kselesjon: d d d dz i j k i j d d d d z k d d d dz i j k i j d d d d z k hsighe: f: FYS-MEK 5..3

3 FYS-MEK Skle og ekoe skl: søelse, men ingen ening eksempel: msse, empeu, lengde, f,... eko: søelse og ening eksempel: posisjon, hsighe, kselesjon, kf,... nosjon: F,,, l T m,,, ekokomponene: z A A A A z i kesisk koodinssem: z z A A A k A j A i A A z A A A A Vi komme å buke også sfæiske og slindiske koodinsseme senee. î ĵ k

4 Regne med ekoe: ddisjon: b b c c kommui: b b ssosii: b c b c c b mulipliksjon med en skl: b b i Mlb: FYS-MEK

5 FYS-MEK Sklpoduk =indepoduk cos b b lineæ: c b c c b kommui: b b z z b b b b i komponene: k j i z,, k k j i i k j i z i Mlb:

6 idssekense ekoe mise : 3d-eko konsn oe iden 3 mise n: nll idsskie skl : 3d-eko elue ed n ide n3 mise : skl elue ed n ide n mise,: føse id linje i n3 mise = 3d-eko d: idsski skl linje i n3 mise = eko = eko + eko * skl linje i n mise = skl = skl + skl FYS-MEK

7 Geneell løsningsmeode Idenifise: Modelle: Løs: Anlse: Hilke objek beege seg? Hodn måle i? Define e koodinssem. Finn iniilbeingelsene. Finn kefene som påike objeke. Beski kefene med en modell. Buk Newons nde lo fo å finne kselesjonen. Løs beegelsesligningen. d d,, d d med iniilbeingelse nlisk elle numeisk. Finn hsighe og posisjon. E esulene fo og fonufig? Buk esulene fo se på spøsmåle. Inepee esulene. Vi buke den smme løsningsmeoden også i e dimensjone: kefene e ekoe og i må psse på ening ikig å definee koodinssem og æe konsisen beegelsesligning e en ekoligning spesiell i numeiske uegninge: æ kl oe h e eko, skl, mise FYS-MEK

8 Oppskif fo fi-legeme digmme:. Del pobleme inn i ssem og omgielse.. Tegn figu objeke og l som beøe de. 3. Tegn en lukke kue und sseme. 4. Finn konkpunke ho konkkefe ngipe. foenklinge: fle punk; flee / e punk 5. Nngi konkkefe og define smbole. Vi enge fosåelse og kfmodelle. He: nomlkf og fiksjonskf i smme punk 6. Idenifise lngekkende kefe og define smbole. 7. Tegn objeke med sklee kefe. Kefe e ekoe: ening og søelse 8. Tegn inn koodinsseme. ofe pkisk å legge en kse lngs beegelsesening FYS-MEK

9 Eksempel Tegn e fi-legeme digm fo den øese bllen. ssem: øe bllen omgielse: nede bllen, ke konkpunke konkkefe: nomlkf f egg på bll nomlkf f nede bll på øe bll lngekkende kf: gisjon ssem e i o: Fe Nw Nb G m N b N w G FYS-MEK

10 E slgskip ske smidig o skudd mo fiendeskip. An gnene følge de pbolske bnene is. Hilke skip bli uffe føs? Vi pøe å løse pobleme ssemisk. FYS-MEK 5..3

11 Skå ks E posjekil skes u f bkkeniå med f og inkelen med hoisonlen. ssem: posjekil omgielse: luf koodinssem: hoisonl, eikl iniilbeingelse: cos i sin j konkkefe: lufmosnd lngekkende kf gisjon De kn æe nig å egne hsighesekoen i e fi-legeme digm. Du må ikke blnde hsighe og kf ekoe! Hsighesekoen må ikke beøe sseme. FYS-MEK 5..3

12 Foenkel modell: i se bo f lufmosnden: Vi inkludee lufmosnden senee. gisjon e konsn på jodoeflen: F D G mg j ĵ î Newons nde lo: F G mg ne j m Fne g j m Dekomponeing i og ening: g ks uen lufmosnd: ingen kselesjon i ening FYS-MEK 5..3

13 Vi finne hsigheen ed å inegee kselesjonen: g j iniilbeingelse: cos i sin j d g j d g j g j i j g,, j cos i sin g j På komponenfom: cos sin g FYS-MEK

14 E slgskip ske smidig o skudd mo fiendeskip. An gnene følge de pbolske bnene is. Hilke skip bli uffe føs? Hjelpe hsigheen fo å finne u hilke skip bli uffe føs? cos sin g Hsigheen i ening e konsn og jo søe jo minde inkelen e. Men skip A ligge me næmee... FYS-MEK

15 FYS-MEK Vi finne bnen ed å inegee hsigheen: j g d j g d j g i sin cos På komponenfom: sin cos g j g iniilbeingelse: j g j i j g sin cos

16 E slgskip ske smidig o skudd mo fiendeskip. An gnene følge de pbolske bnene is. Hilke skip bli uffe føs? Vi h funne lengden og høden som funksjon iden: Posjekile effe skipe ed iden : sin g sin g sin g cos sin g Jo minde inkelen jo koee id fo å effe skipe. Skip B bli uffe føs. FYS-MEK

17 E slgskip ske smidig o skudd mo fiendeskip. An gnene følge de pbolske bnene is. Hilke skip bli uffe føs? Vi h buk oppskifen: funne kefe, løs beegelsesligninge... de e g meode og mn kn æe sikke å finne se. Beselse som enge li efing: beegelsen i og ening e koble f hende pbolsk bne e smmeisk: de like lng id å komme opp som ned jo høee hødepunke jo lenge id de å flle ned FYS-MEK

18 Velg inkelen med hoisonlen slik posjekile komme lengs mulig. Bllen effe bkken ed iden : sin g komponen posisjon ed id : cos sin cos g i deiee fo å finne mksimum: d d cos sin g cos sin n 45 Posjekile komme lengs med =45. FYS-MEK

19 Vis posjekile beege seg på en pbelbne. Vi h løs beegelsesligninge og funne bnen som funksjon iden. i cos sin g j fo å se bnen e en pbel: ukk eiklkomponenen som funksjon hoisonlkomponenen cos sin g cos sin cos g cos n g cos b FYS-MEK

20 FYS-MEK 5..3 Numeisk løsning f definisjonen: lim fo små idsseg : i Mlb: fo hsighe: Eule meode Eule-Come meode i Mlb:

21 Numeisk løsning FYS-MEK 5..3

22 [ ] Som foene komme posjekile lengs nå i elge 45. Posjekile komme like lng ed og 9 : sin cos g Komme posjekile også lengs med 45 his i ske f en høde h >? FYS-MEK 5..3

23 Komme posjekile også lengs med 45 his i ske f en høde h >? De e nskelig å egne u nlisk: h sin g sin g sin g h g cos og så må i finne mksimum... De e le å gjøe numeisk: FYS-MEK

24 [ ] His du ske f en høde h oe bkken, så e de bede å buke minde enn 45. Fo å finne den opimle inkelen kn i buke en sløfe il som iee. FYS-MEK