Løsning 1med teori, IM3 høst 2011.
|
|
- Hjørdis Christiansen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsning med teori, IM høst 0 Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er = 0 Innsatt gir dette sin( ), 0 Langs - aksen sin( ) cos( ) er = 0 Innsatt gir dette, 0, fra L Hopitals regel, som gjelder for fnksjoner a en ariabel Siden grensen ikke kan ha to forskjellige erdier følger sin( ) at grensen lim ikke eksisterer (, ) (0,0) + e sin( ) sin( ) e b) lim = e = e sin( ) (, ) ( =,,) siden ttrkket er bestemt og fnksjonen er kontinerlig i grensepnktet + 0 c) Innsetting gir = =, som er bestemt ( ) + 0 (, ) = (,) Vi brker ettpnktsformelen for rette linjer gjennom grensepnktet (,) Disse er på formen = m( ( )) = + m( + ) Vi stderer grensen langs disse linjene gjennom grensepnktet Innsatt får i + + m( + ) + + m( + ) ( + m)( + ) = = + + m( + ) ( + ) + m( + ) ( + m)( + ) ( + m)( + ) ( + m) ( + m) Langs linjene blir grensen lim = lim = som ahenger a linjas 0 ( + m)( + ) 0 ( + m) ( + m) stigning og derfor ikke er en bestemt erdi Vi har ist at lim ikke eksisterer (, ) (,) d) Graden til samtlige ledd i telleren i grensettrkket lim er større enn (, ) (0,0) graden til nener Dette kan tde på at grensen eksisterer, men den behøer ikke eksistere Nøkkelen er at neneren i polare koordinater er = r som er ahengig a inkelen θ Dette gjør det mlig for neneren å nærme seg 0 på en inkelahengig måte og dermed blåse opp erdien til ttrkket langs kren Uttrkket blir i polare koordinater ( rcos θ) + ( rsin θ) r (cos θ + sin θ) = = = r (cos θ + sin θ ) ( rcos θ) + ( rsin θ) r (cos θ + sin θ) Det er ikke nok at r 0 for i må sikre at ikke resten a ttrkket er begrenset eller ten grense på annen måte For reelle tall gjelder likheten a+ b a + b og n a n = a
2 Løsning med teori, IM høst 0 For årt ttrkk innebærer det at cos θ + sin θ cos θ + sin θ = cosθ + sinθ + = Siden (, ) (0,0) r 0 følger at = r (cos θ + sin θ) r 0, r 0 Siden for alle tall a = 0 a= 0 følger at lim = lim r (cos θ + sin θ) lim r = 0 (, ) (0,0) r 0 r 0 Dette gir lim = 0 (, ) (0,0) Oppgae a) Temperatren stiger hrtigst i gradientens retning Gradienten er T T T T =,, = z T (,, ) = (,, ) ( + z + 0) ( + z + 0) ( + z + 0),, = (,, z) z Temperatreksten i pnktet (,,) er størst i retning (,, ) og maksimalerdien i pnktet er T (,, ) = (,, ) = + ( ) + = 8 b) etningene for ingen endring eller rate nll i pnktet er kjent Innfører en kjent retningsektor = (,, z), som ikke behøer ære en enhetsektor Teori: Den deriert til fnksjonen med hensn på en ektor er f ( a+ t) f( a) Df ( a) = lim, his grensen eksisterer His retningsektoren er en t enhetsektor, så er den derierte med hensn på ektoren det samme som den f ( a+ t) f( a) retningsderierte Vi innfører enhetsektoren = og får Dfa ( ) = lim for t den retningsderierte i skal finne sammenhengen mellom disse derierte Vi ttrkker retningsektoren ed enhetsektoren i samme retning som = Innsatt i grensen for den derierte med hensn f ( a+ t ) f( a) på får i Df ( a) = lim t h Vi innfører n ariabel h= t med t = Det er klart at t 0 h 0 så grensen kan
3 skries Løsning med teori, IM høst 0 f( a+ h) f( a) f( a+ h) f( a) Df ( a) = lim = lim = Df ( a) Teori sltt h h esltat: Når er en enhetsektor i samme retning som er Df ( a) = Df ( a), ds den derierte med hensn på en ektor kan finnes fra den retningsderiert ed å mltiplisere med retningsektorens lengde Dette resltatet har i fnnet tidligere fra kjerneregelen esltatet blir brkt når et pnktformet objekt passerer gjennom obserasjonspnktet, a, jfr pnkt d Siden Df ( a) = Df ( a) har i at Dfa ( ) = 0 Dfa ( ) = 0 Vi behøer ikke brke en enhetsektor for å bestemme retningene til ingen endring / nll rate i pnktet Vi har T (,,) = (,,) Siden fnksjonens partielt derierte er kontinerlige i pnktet er fnksjonen derierbar med hensn på enher ektor i pnktet og den derierte er gitt ed formelen D f( a) = D f( a) = f( a) = f( a) siden = Innsatt får i likningen Df ( a) = f( a) = ( z,, ) (,,) = + z= 0 Likningen for planet gjennom origo er + z = 0 Siden komponentene til ektoren oppfller likningen for planet så ligger ektoren i planet Vi trenger to lineært ahengige ektorer sol ligger i planet, ds oppfller planets likning Disse kan elges på mange forskjellige måter og i skal kn finne to a disse Skrier planets likning som = + z Vi har kn ett kra og kan elge to a de kjente Valget = z = 0 = 0 og dermed blir ektoren nll som ikke har retning Dette er det eneste alget a erdier for og z som ikke kan brkes Velger = 0, z = = + z = 0 + = og ektoren er = (,0,) Velger =, z = 0 = + z = + 0 = og ektoren er = (,, 0) At ektorene er lineært ahengige følger fra nderdeterminanten = Alle ektorene i et ektorrom er en lineær kombinasjon a basisektorene for ektorrommet For de aktelle retningsektorene innebærer det at = s+ t for reelle tall s, t Utskreet: ( z,, ) = s(, 0,) + t(,, 0), som på komponentform blir = s+ t, = t, z = s Merk at i får den samme samlingen med ektorer ansett hilket alg i gjør for ektorene og T T ( ) ( ) c) Gradienten er T =, =, = (, ) Den retningsderierte til temperatren i pnkt a og i retning er DT( a) = T( a) Vi skal ha temperatrendringen i a = (,) Verdien a gradienten i pnktet er T( a) = T(,) = (, ) = (, )
4 Løsning med teori, IM høst 0 etningen t fra pnktet er (, 7) Vi må bestemme enhetsektoren i denne retningen (, 7) (, 7) (, 7) Vektoren diideres med sin egen lengde som gir = = = (, 7) () + ( 7) 5 Den retningsderierte a temperatren i angitt pnkt og retning er (, 7) 7 DT ( a) = 5 (, ) = 5 ( + ( 7) ) = 5 (6 ) = I tillegg skal i ha prosentdelen a maksimal ekst i pnktet Maksimal ekst i pnktet er gitt ed lengden a gradienten i pnktet Ta ( ) = (, ) = ( ) + ( ) = + = = DT ( a) 6 Den prosentise eksten a maksimal ekst er 00% 5 00% 0 00% 60% T( a) = = = 6 Temperatreksten i gitt retning tgjør 60% a temperatrens maksimale endring i pnktet d) Maksimal temperatrekst i et pnkt er gitt ed lengden a gradienten i pnktet T T T Partiell deriasjon gir T =,, = (,, 5) z Verdien i pnktet er T (,,) = (,, 5) Maksimal ekst i pnktet P (,,) er T(,,) = (,, 5) = + + ( 5) = 7 dt Den retningsderierte i pnktet er = DT ( P) = T( P), hor er en enhetsektor i ds (,,) (,,) gitt retning Vi har = = (,,) P Den retningsderierte er dt ds P (,,) 7 = (,, 5) = 0 Temperatrendringen som registreres a sonden i pnktet er dt dt ds dt 7 8 = = = 67 dt ds dt ds = Oppgae a) Sidene i trekanten er deler a rette linjer gjennom pnktene Linjen gjennom (0,0) og (, 0) har = 0 og må ære aksen Linjen gjennom (,0) og (,) har = og er parallell med aksen Linja gjennom pnktene (0,0) og (,) skjærer aksen i 0 og har stigning likningen for linja er =
5 Løsning med teori, IM høst 0 Beskrielse a området som enkelt Det integreres først parallelt med aksen Det blir fra aksen til linja = Dette gir begrensningen 0 Til sltt integreres det i som gir begrensningen 0 0 Integrasjonsområdet som enkelt område blir = 0 Fbinis setning for som enkelt område: + da = + dd = [ + ] d = + d = [ + ] = + = Tilsarende beskries integrasjonsområdet som enkelt Integrasjonen er parallell med aksen og i kommer først til linja = før i når linja = Vi snt på ttrkket og får = for linja sett fra aksen Dette gir Agrensingen i blir nå 0 Beskrielsen som enkelt område blir = 0 Vi får fra Fbinis setning om iterert integrasjon: da = + dd = [ + ] d = + d = [ ] = = b) Glet er i h h = (, ) = 9 ( + ) = 0 Dette gir disken 0 r I polare koordinater beskries glet som = 0 θ Volmet a teltet er V = 9 ( ) da I polare koordinater blir dette = 9= med radis V = 9 ( ) da= (9 r ) rdrdθ = 9 r r drdθ = [ r r ] dθ = θ 0 ( )[ ] = Erstattes høden i teltet med en konstant høde blir rommet en sirklær slinder med flatt tak Volmet a slinderen er V = h = 9 h Volmene må ære like, noe som gir likningen for gjennomsnittlig høde i teltet: 8 V 9 h = = = = 5 a ( ) 9 5
6 Løsning med teori, IM høst 0 Et telt er formet som en omdreiningsparaboloide og høden fra markniå i meter er h h = (, ) = 9 ( + ) Beskri glet i teltet i polare koordinater og bestem gjennomsnittshøden i teltet 6
Løsning 1 med teori, IM3 høst 2012.
Løsning med teori, IM3 høst Oppgae a) Vi obsererer at ttrkket er bestemt og i ndersøker det først langs koordinataksene Langs - aksen er Innsatt gir dette sin( ), Langs - aksen er Innsatt gir dette sin(
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 14 (12).
Løsning til talgte oppgaer fra kapittel () For å gi et inntrkk a integrasjonsrekkefølgens betdning er oppgaene fra asnitt løst på begge måtene Vi får forskjellige ttrkk ahengig a integrasjonsrekkefølgen
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Vektorer.
I dette lille notatet skal jeg gi en kortfattet oersikt oer grnnleggende ektorregning Me a dette er forhåpentlig kjent fra før, men det skader sikkert ikke med en kort repetisjon Definisjoner Mange a de
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 12 (15).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel (5) Oppgave 7 ( 5) Vi skal btte integrasjonsrekkefølgen i integralet dd Når vi btter integrasjons- rekkefølgen må integrasjonsområdet beskrives på ntt Dobbelintegralet
DetaljerLøsning til eksamen i ingeniørmatematikk
Løsning til eksamen i ingeniørmatematikk 3 78 Oppgave Vektorfeltet har komponenter og er funksjon av variable Jacobimatrisen er av type ( xy) ( xy) x y ( yx) ( yx) xy x y xy Innsatt finner vi JF ( x, y)
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 18/10-22/10
Fasit til utalgte oppgaer MAT00, uka 8/0-/0 Øyind Ryan (oyindry@ifiuiono October 5, 00 Oppgae 645 a g er definert der neneren er 0, det il si der tan 0, og der tan er definert Førstnente utelukker bare
DetaljerVektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme
Vektoranalyse TFE4120 Elektromagnetisme Johannes kaar, NTNU 4. januar 2010 1 Integraler og notasjon Linjeintegral Et linjeintegral a et ektorfelt A oer en kure C skrier i C A d l. Når kuren er lukket tegner
DetaljerLøsning MET Matematikk Dato 03. juni 2016 kl
Løsning MET 803 Matematikk Dato 03. jni 206 kl 0900-400 Oppgave. (a) Vi løser det lineære sstemet for s 8 ved Gass-eliminasjon: 6 3 3 3 6 3 3 2 2 0 5 3 3 3 6 z 5 0 0 0 z 0 Vi ser at z er en fri variabel,
DetaljerPARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE
1 PARAMETERFRAMSTILLING FOR EN KULEFLATE Vi har tidligere sett hordan i kan lage en parameterframstilling for et plan ed å uttrykke koordinatene ed to parametere, f. eks s og t. Fra 1.2 et i at x = x0
DetaljerLøsning IM
Løsning IM 6 Oppgave x + y Grensen lim er ubestemt da både teller og nevner blir Vi skal vise at grensen ( xy, ) (,) x + y ikke eksisterer og bruker rette linjer inn mot origo De enkleste linjene er koordinataksene
DetaljerMatematikk R1. Odd Heir Gunnar Erstad Ørnulf Borgan Håvard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL
Matematikk R Odd Heir Gnnar Erstad Ørnlf Borgan Håard Moe Per Arne Skrede BOKMÅL Matematikk R dekker målene i læreplanen a 006 for Matematikk R i stdiespesialiserende tdanningsprogram H Aschehog & Co (W
DetaljerR2 - Kapittel 1: Vektorer
R2 - Kapittel : Vektorer Kompetanseniåer: L(at), M(iddels), H(øyt) Vanlige feil og tips: I (L) Løsningsskisser Korrekt og konsekent arunding: Teoretiske oppgaer: Eksakte tall eller 3 gjeldende siffer.
DetaljerNewtons lover i to og tre dimensjoner
Newtons loer i to og tre dimensjoner 6..17 FYS-MEK 111 6..17 1 Beegelse i tre dimensjoner Beegelsen er karakterisert ed posisjon, hastighet og akselerasjon. Vi må bruker ektorer: posisjon: r( = x t i +
DetaljerLøsning, Trippelintegraler
Ukeoppgaver, uke 7 Matematikk, rippelintegraler Løsning, rippelintegraler Oppgave a) b) c) 6 x + + ) d d dx x + +/) d dx x) d d dx x + + /] d dx x + /+/] dx x +6)dx 8 6 d ) ) d xdx 6 ) ) ) d d xdx 6 8
DetaljerTFE4120 Elektromagnetisme
NTNU IET, IME-fakultetet, Norge teknisk-naturitenskapelige uniersitet TFE412 Elektromagnetisme Løsningsforslag repetisjonsøing Oppgae 1 a) i) Her er alternati 1) riktig. His massetettheten er F, il et
DetaljerViktige Fourier-transform par. Konvolusjons-teoremet. 2-D Diskret Fourier-Transform (DFT) INF 2310 Digital bildebehandling
- iskret Forier-Transform FT INF 3 igital bildebehandling FILTRERING I FREKVENS-OMÈNET II Konolsjons-teoremet Lapass- øypass- og Båndpass-filter esign a filtre i frekens-doménet Rask implementasjon a konolsjons-filtre
DetaljerLøsning til utvalgte oppgaver fra kapittel 13, (16).
Løsning til utvalgte oppgaver fra kapittel, (6) Oppgave 7 ( 67 ) Kurven rt () (, t,), t t ligger i - planet Dette gir alternativ b eller f Setter inn t som gir punktet (, ) som bare er med i alternativ
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i REA2041 - Fysikk, 5.1.2009
Løsningsforslag til eksamen i EA04 - Fysikk, 5..009 Oppgae a) Klossen er i kontakt med sylinderen så lenge det irker en normalkraft N fra sylinderen på klossen og il forlate sylinderen i det N = 0. Summen
DetaljerLøsning IM3 15.06.2011.
Løsning IM 15611 1 Oppgave 1 Innsetting viser at både teller og nevner er i origo, så uttrykket er ubestemt Siden det ikke er noen umiddelbar omskriving som forenkler uttrykket satser vi på å vise at grensen
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TMA4105 Matematikk 2 8. August 2005
LØSNINGSFORSLAG TMA45 Matematikk 8. August 5 Oppgave Vi introduserer funksjonen g(x, y, z) x +y z slik at flaten z x + y er gitt ved g(x, y, z). I dette tilfellet utgjør gradienten til g en normalvektor
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF8052 VISUALISERING ONSDAG 11. DESEMBER 2002 KL LØSNINGSFORSLAG
Sde a 9 TU orges teknsk-natrtenskapelge nerstet Fakltet for fyskk nformatkk og matematkk Instttt for datateknkk og nformasjonstenskap EKSAME I FAG SIF85 VISUALISERIG OSDAG. DESEMER KL. 9. 4. LØSIGSFORSLAG
DetaljerTegn en skisse som tydelig viser integrasjonsområdet og grensene: = 1 3. dy = 1 3
Integral y x Vi har integralet e x dxdy yx y Tegn en skisse som tydelig iser integrasjonsområdet og grensene: Integrassjonsområdet bestemmes a øre og nedre grenser i integralene Integranten har ingen betydning
DetaljerKomplekse tall og komplekse funksjoner
KAPITTEL Komplekse tall og komplekse funksjoner. Komplekse tall.. Definisjon av komplekse tall. De komplekse tallene er en utvidelse av de reelle tallene. Dvs at de komplekse tallene er en tallmengde som
Detaljer2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5
Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene
DetaljerInstitutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-132 Geometri Fredag 7. desember 2007 kl Løsningsforslag. Bokmål
Institutt for matematiske fag EKSAMEN i MA-3 Geometri Fredag 7. desember 007 kl. 9.00-4.00 Løsningsforslag. Bokmål Oppgae Gitt et linjestykke. La a ære lengden a dette linjestykket. (Alternatit: Tegn ditt
DetaljerSIF5005 MATEMATIKK 2 VÅR r5 drdθ = 1 m. zrdzdrdθ = 1 m. zrdzdrdθ =
SIF55 MAEMAIKK Å 3 Løsningsforslag Hjemmeøving 5 Oppgave. Ser at massen fordeler seg symetrisk om z-aksen, derfor vil tyngdepunktet ligge på z-aksen. Det eneste vi da trenger å regne ut er z. zδd = m π
Detaljeru 4 du = 1 5 u5 + C = 1 5 (x2 +4) 5 + C u 1/2 du = 1 2 u1/2 + C = 1 2
4 Ukeoppgaver, ke 4, i Matematikk, Sbstitsjon. Fasit, Sbstitsjon. Oppgave a) Med = +4er = slik at d d = d =d. Dermed kan faktorene d i integralet erstattes med d, mens + 4 inne i parentesen erstattes med
Detaljer3.2.2 Tilstandsrommodeller
54 Dnamiske sstemer Sperposisjonsprinsippet. For lineære differensiallikninger men ikke for lineære gjelder sperposisjonsprinsippet: Den totale responsen som skldes avhengige inngangssignaler, vil være
DetaljerLøsning IM
Løsning IM Oppgave Den retningsderiverte er D f ( a) u f ( a), når funksjonen er deriverbar i punktet u f f ( y ) ( y ) Innsatt f,, ( y, y ) Den derivertes verdi i punktet er f (,) ( ( ),( ) ) (,) (,)
DetaljerECON 3610/4610 høsten 2012 Veiledning til seminaroppgave 2 uke 37
Jon Vislie ECO 360/460 høsten 0 Veiledning til seminaroppgae uke 37 I de første forelesningene har i sett på følgende problemstilling (modell): Velg den allokering a arbeidskraft til fremstilling a to
DetaljerFysikkolympiaden 1. runde 24. oktober 4. november 2016
Norsk Fysikklærerforening i samarbeid med Skolelaboratoriet Uniersitetet i Oslo Fysikkolympiaden 1. runde 4. oktober 4. noember 016 Hjelpemidler: Tabell og formelsamlinger i fysikk og matematikk Lommeregner
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4105 matematikk 2,
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av Løsningsforslag til eksamen i TMA45 matematikk, 9.5.4 Oppgave La fx, y, z) xy + arctanxz). La P være punktet,, ). a)
Detaljervære en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
DetaljerLøsningsforslag for Eksamen i MAT 100, H-03
Løsningsforslag for Eksamen i MAT, H- Del. Integralet cos( ) d er lik: Riktig svar: b) sin( ) + C. Begrunnelse: Vi setter u =, du = d og får: cos( ) d = cos u du = sin u + C = sin( ) + C. Integralet ln(
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 8 Løsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, vår 2009 Oppgave 1 Avgjør om grenseverdiene eksisterer:
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
DetaljerSIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag
SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et
DetaljerFasit til eksamen i MEK1100 høst 2006
Fasit til eksamen i MEK11 høst 26 Det er tilsammen 1 delspørsmål. Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til 1 (1 for fullstendig svar, for blank). Maksimal oppnåelig poengsum er 1. Kontroller at
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i Eksamensdag: 11. juni 21. Tid for eksamen: 14.3 17.3. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT111 Kalkulus
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAGET 5005/7 MATEMATIKK 2 1. august der k er et vilkårlig heltall. Det gir
LØNINGFOLAG IL EKAMEN I FAGE 55/7 MAEMAIKK. august Oppgave. (i Ja. (ii Ja. (iii Nei. Alternativt: (i Ja. (ii Ja. (iii Ja. Oppgave. curlf (x, y F i j k (x, y / x / y / z e y + ye x +x xe y + e x + Altså
DetaljerLøsning, Oppsummering av kapittel 10.
Ukeoppgaver, uke 36 Matematikk 3, Oppsummering av kapittel. Løsning, Oppsummering av kapittel. Oppgave a) = +, = + z og z =z +. b) f(,, z) = +, + z,z + så (f(, 3, ) = +3, 3+, +3=7, 3, 5 c ) Gradienten
DetaljerSIF5005 Matematikk 2, 13. mai 2002 Løsningsforslag
SIF55 Matematikk, 3. mai Oppgave Alternativ : At de to ligningene skjærer hverandre vil si at det finnes parameterverdier u og v som, innsatt i de to parametriseringene, gir samme punkt: Vi løser hver
DetaljerTest, 1 Geometri. 1.2 Regning med vektorer. X Riktig. X Galt. R2, Geometri Quiz løsning. Grete Larsen. 1) En vektor har lengde.
Test, 1 Geometri Innhold 1.2 Regning med vektorer... 1 1.3 Vektorer på koordinatform... 6 1.4 Vektorproduktet... 11 1.5 Linjer i rommet... 16 1.6 Plan i rommet... 18 1.7 Kuleflater... 22 Grete Larsen 1.2
Detaljere y + ye x +2x xe y + e x +1 0 = 0
LØNINGFORLAG TIL EKAMEN I FAGET 55/7 MATEMATIKK. august Oppgave. (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Nei. Alternativt: (i) Ja. (ii) Ja. (iii) Ja. Oppgave. a) curlf (x, y) F i j k (x, y) / x / y / z e y + ye x +x xe
Detaljer, og dropper benevninger for enkelhets skyld: ( ) ( ) L = 432L L = L = 1750 m. = 0m/s, og a = 4.00 m/s.
eegelse øsninger på blandede oppgaer Side - Oppgae Vi kaller lengden a en runde for Faren il joggerne er da: A = m/s = m/s 6 6 + 48 48 = m/s = m/s 7 6 + 4 Når de møes, ar de løp like lenge Da er + 5 m
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1) = 2rcosθsinθi r +r( sinθsinθ+cosθcosθ)i θ
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r,θ) og kartesiske koordinater (x,y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y =
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5 1.3.5: Vi ønsker å finne de første ordens deriverte til funksjonen f definert ved f(, y) arctan(y/). Først finner vi den deriverte med ensyn på, ved å betrakte
DetaljerInnlevering i matematikk Obligatorisk innlevering nr. 5 Innleveringsfrist: 18. februar 2011 kl Antall oppgåver: 5 Ein skal grunngi alle svar.
Innleering i matematikk Obligatorisk innleering nr. Innleeringsfrist: 18. februar 2011 kl. 14.00 Antall oppgåer: Ein skal grunngi alle sar. Oppgåe 1 f(x) = x2 +3 x+1. Skjæring med aksane Nullpunkt: f(x)
DetaljerEksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 6. november 2002, kl Løysingsforslag:
Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 6 noember 2002, kl 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 0 løysing a det karakteristiske polynomet med mltiplisitet 2 pga t 3 -faktor i den partiklære løysinga
Detaljerβ = r 2 cosθsinθ. β = β β i+ j = yi+xj. (8.1)
Kapittel 8 Polarkoordinater Oppgave 1 Vi har gitt skalarfeltet β(x, y) = xy i kartesiske koordinater. a) For polarkoordinater (r, θ) og kartesiske koordinater (x, y) har vi sammenhengen x = rcosθ og y
DetaljerFASIT OG TIPS til Rinvold: Visuelle perspektiv. Lineær algebra. Caspar forlag, 1.utgave 2003 og 2.opplag 2004.
FAIT OG TIP til Rinvold: Visuelle perspektiv. Lineær algebra. Caspar forlag,.utgave og.opplag. Versjon..9. Det er ikke tatt med svar på alle oppgaver. Denne fasiten vil bli oppdatert etter hvert. Oppdager
DetaljerR2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012
R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA45 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 5.5.: Kulen er grafen til rφ, θ) asinφ) cosθ)i + sin φ sinθ)j + cosφ)k), φ π, θ < π. Vi har slik at φ θ acosφ) cosθ)i + sinφ) sinθ)j + cosφ)k)
DetaljerNTNU. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 5. Avsnitt Vi vil finne dx ( cos t dt).
NTNU Instittt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 5 Avsnitt 5.4 ( + cos x)dx = dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π. 44 Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
Detaljera) For å finne den minste nødvendige flytegrensen for akselmaterialet vil vi bruke von = =
SK1 ASKINKONSTUKSJON Kap. Oppgae.1.4 ØVING 1: BEEGNING AV SPENNINGE Oppgae.1 a) For å finne den minste nødendige fltegrensen for akselmaterialet il i ruke on e ises kriteriet uttrkt som ek n ma + 3 till
DetaljerFlervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte
Flervariable funksjoner: Kjerneregel og retningsderiverte Forelest: 5. Nov, 2004 Først skal vi ta for oss kjerneregelen for funksjoner av flere variable. Se metodeark 7 og 8 for flervariable funksjoner.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TMA4105 MATEMATIKK 2 Lørdag 14. aug 2004
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ide av LØNINGFOLAG EKAMEN TMA4 MATEMATIKK 2 Lørdag 4. aug 24 Oppgave Grenseverdien eksisterer ikke. For eksempel er grenseverdien
DetaljerLøsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerBetinget bevegelse
Beinge beegelse 13.0.017 FYS-MEK 1110 13.0.017 1 epeisjon: ball som spreer lfmosand: F D = D () normalkraf: = +k y j 0 y y > graiasjon: G = mgj nmerisk beregning: hensiksmessig alg a idsseg = 0.001 s =
Detaljer=,,,,, = det( A) a a a a a a a a a a + a a 0 1. a11 a12 a22 a12 a11 a22 a12 a21 a11a12 + a12 a11
3.3 Oppgaver 3.3.1 1 2 3 1 2 3 2 0 1.La A,,,,, 3 4 B 2 1 C 0 1 a -1 b 1 c 2 Regn ut (a) A a, (b) B b, (c) C c, (d) A B, (e) A B C ( a) ( c) ( e) ( f ) 1-2 2 1 2 + ( 2) ( 1) 4 A a 3 4 1 3 2 + 4 ( 1 ( b)
DetaljerLøsning, funksjoner av flere variable.
Ukeoppgaver, uke 3 Matematikk 3, funksjoner av flere variable 1 Løsning, funksjoner av flere variable Oppgave 1 a) = +=, b) =, =y3 d ) e ) = 3+= 3 Selv om ikke x er med kan det betraktes som funksjon av
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1101/MA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 Løsningsforslag, eksamen MA0/MA60 07.2.09 Oppgave La f() = e 4 2 2 8. a) Finn alle ekstremalpunktene til funksjonen
DetaljerR2 - Vektorer i rommet
R2 - Vektorer i rommet - 26.01.17 Del I - Uten hjelpemidler Løsningsskisser - versjon 31.01.17 Oppgave 1 Gitt vektorene u 1, 2, 3 og v 2, 1, 4. a) Regn ut u v b) Regn ut u v c) Regn ut w u t v d) Løs vektorligningen
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerFelt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering
Kapittel 1 Felt i naturen, skalar- og vektorfelt, skalering Oppgave 1 To vektorer u og v er parallelle hvis vi kan skrive u = cv, der c er en skalar. 2a 1 6 b = c 1 4 b 3a a2+3c+b 16 14 c = 0. Dette gir
DetaljerR2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerPlan. I dag. Neste uke
Plan I dag Referansegruppe... Ta opp igjen kurvelengde Areal bestemt av en kurve En annen måte å beskrive punkt i planet Kurver med denne beskrivelsen Tangenter, kurvelengde og areal Neste uke Kjeglesnitt
DetaljerLøsningsforslag eksamen TMA4105 matematikk 2, 25. mai 2005
Løsningsforslag eksamen TMA5 matematikk, 5. mai 5 Oppgave Vi finner de partiellderiverte av første og annen orden av f, ) = sin : f = sin, f = cos, f =, f = cos, f = sin. Finner de kritiske punktene ved
DetaljerLøsningsforslag kontinuasjonseksamen FYS1000 H11 = 43, 6. sin 90 sin 43, 6
Løsningsforslag kontinuasjonseksamen YS1 H11 Oppgae 1 Sar KORTpå disse oppgaene: a) Totalrefleksjon: Når lyset inn mot en flate kommer i en slik inkel at ingenting blir brutt og alt blir reflektert. Kriteriet
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerFasit for eksamen i MEK1100 torsdag 13. desember 2007 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra 0 til 10 (10 for perfekt svar).
Fasit for eksamen i MEK torsdag 3. desember 27 Hvert delspørsmål honoreres med poengsum fra til ( for perfekt svar). Oppgave Vi har gitt to vektorfelt i kartesiske koordinater (x,y,z) A = yi+coszj +xy
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerTMA4100 Matematikk1 Høst 2008
TMA400 Matematikk Høst 008 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 4 4..3 Vi skal finne absolutt maksimum og absolutt minimum verdiene for funksjonen
DetaljerKortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT1100, høsten 2014
Kortfattet løsningsforslag til ekstra prøveeksamen i MAT, høsten 4 DEL Oppgave. 3 poeng Hvis f, y = ye y, er f y lik: A y 3 e y B y e y C e y ye y D e y y e y E e y ye y Riktig svar: D e y y e y Oppgave.
DetaljerHøgskolen i Bergen. Formelsamling. for. ingeniørutdanningen. FOA150 høsten 2006 fellespensum. 3.utgave
Høgskolen i Bergen Formelsmling for ingeniørutdnningen FOA5 høsten 6 fellespensum. 3.utgve Funksjoner. Elementære regneregler og funksjoner: y = y, ( ) =, y y =,, =, = ) = ) = = log = ln ln c) ln y = y
DetaljerLøysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016
Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som
Detaljerx=1 V = x=0 1 x x 4 dx 2 x5
TMA Høst 6 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 7.. Lat oss først skissera området R som skal roterast om -aksen for å danna S.,) R Me startar med å bruka skivemetoden
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNVERTETET OLO Det matematisk-naturitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys1120 Eksamensdag: Onsdag 12. desember 2018 Tid for eksamen: 0900 1300 Oppgaesettet er på: 5 sider Vedlegg: Formelark Tilatte hjelpemidler
DetaljerEksamen R1, Våren 2015
Eksamen R1, Våren 015 Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 3 3 b) g( ) ln( ) c) h
DetaljerTrigonometri. Kompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Formlikhet 200, 201, 202, 203, 204, 206 209, 210, 211, 212, 213, 215 219, 220, 221, 222, 223, 224
2 Trigonometri Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleen skal kunne gjøre rede for definisjonene a sinus, cosinus og tangens og bruke trigonometri til å beregne lengder, inkler og areal i ilkårlige
DetaljerEKSAMEN. Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Matematikk. EMNENUMMER: REA42/REA42F EKSAMENSDATO: Mandag 9. august 2 KLASSE: Ingeniør- og Fleksibel ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 3.. FAGANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
DetaljerTDT4195 Bildeteknikk
TDT495 Bildeteknikk Grafikk Vår 29 Forelesning 5 Jo Skjermo Jo.skjermo@idi.ntnu.no Department of Computer And Information Science Jo Skjermo, TDT423 Visualisering 2 TDT495 Forrige gang Attributter til
Detaljer1 Geometri R2 Oppgaver
1 Geometri R2 Oppgaver Innhold 1.1 Vektorer... 2 1.2 Regning med vektorer... 15 1.3 Vektorer på koordinatform... 19 1.4 Vektorprodukt... 22 1.5 Linjer i rommet... 27 1.6 Plan i rommet... 30 1.7 Kuleflater...
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne
DetaljerNorges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF5009 MATEMATIKK 3 Bokmål Man
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 7 L SNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I SIF59 MATEMATIKK Bokmål Mandag. desember Oppgave a) Karakteristisk polynom er + = ;
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/
Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss
DetaljerPartieltderiverte og gradient
Partieltderiverte og gradient Kap 2 Matematisk Institutt, UiO MEK1100, FELTTEORI OG VEKTORANALYSE våren 2009 Framstilling Kommentarer, relasjon til andre kurs Struktur Mye er repitisjon fra MAT1100, litt
DetaljerLøsningsforslag, eksamen MA1103 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 Løsningsforslag, eksamen MA11 Flerdimensjonal analyse, 8.juni 21 Oppgave 1 a) Finn og klassifiser alle kritiske
DetaljerBetinget bevegelse
Beinge beegelse 15.0.016 FYS-MEK 1110 15.0.016 1 epeisjon: ball som spreer lfmosand: F D = D () normalkraf: = +k y j 0 y y > graiasjon: G = mgj nmerisk beregning: hensiksmessig alg a idsseg = 0.001 s =
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
TMA405 Matematikk Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 3..9: Vi starter med å finne de kritiske punktene. De deriverte blir T x (x, y) = ( x xy)e x y T y (x, y) = ( y xy)e x y, slik at de kritiske
DetaljerFigur 2: Fortegnsskjema for g (x)
Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 998 Oppgave a) g) = e ) = e ) Figur : Fortegnsskjema for g) g) > 0 for < 0 og > og g) < 0 for 0 <
DetaljerI et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x Y = ax + b:
OPPGAVE I et eksperiment er det målt følgende sammenheng mellom to størrelser x og y. x 7 74 546 y 48 6 45 a) Plott Y ln y mot X ln x i et rettvinklet koordinatsystem. ) Finn en lineær sammenheng mellom
DetaljerLøsningsforslag Eksamen M001 Våren 2002
Løsningsforslag Eksamen M Våren Oppgave f(x) = (x )e x Bruker produktregelen i derivasjonen f (x) = e x + (x ) (e x ) For å derivere e x velges kjernen u = x, og vi får (e x ) = e u. f (x) = e x + (x )
Detaljer