FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRER: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVESITETET I AGDE Gimsa E K S A E N S O P P G A V E : FAG: A-9 aemaikk ÆE: Pe Heik Hogsa Klasse: Dao: 5.. Eksamesi, fa-il: 9.. Eksamesoppgave beså av følgee Aall sie: 5 ikl. fosie Aall oppgave: 5 Aall velegg: Tillae hjelpemile e: Kalklao Fomelsamlig illa å skive i fomelsamlige KANDIDATEN Å SEV KONTOEE AT OPPGAVESETTET E FUSTENDIG

2 A-9 Usa eksame Oppg Poeg a b a b c e f 5 a b c Sm 9 Poegee vise vek-foelige fo e ekele el-spøsmålee. Ve kaakeseig veklegges selvfølgelig i illegg e oal-veig, bl.a. e veig av i hvilke ga kaiae ha kskape iefo e like omåee gi i oppgave-see. YKKE TI!

3 . Vi eke oss e paikkel som bevege seg i omme. Paikkeles posisjosveko som fksjo av ie paameee e gi ve: i j k [,, ] Besem hasighevekoe, akseleasjosvekoe og ehesagevekoe som fksjo av ie.. a Vi ha gi følgee kve, kal e heli se fig.:, [ cos,si ] Fig. Besem lege av e ele av ee kve som svae il b Vi ha gi følgee kve i polakooiae se fig.: si Fig. Besem aeale av e ee sløfe e skavee sløfe i føse kvaa.

4 . Besem masse-seee ofe kal gepke il e seg som gjø halvsikelbe i -plae me se fig.. asseehee e gi ve δ,. Fig.. Vi ha gi e pla, e paaboloie og e vekofel gi ve: F i j 5k 5 [,, ] a Teg e skisse som vise e omåe D som ligge mellom ee plae og ee paaboloie. b Besem volme av D, vs volme av e omåe som ligge eefo plae - og ovefo paaboloie. c Besem cle hvivlige og ivegese il e gie vekofele. Besem siklasjoe F hvo e skjæigskve som femkomme ve skjæig mellom plae og paaboloie og hvo oieeige av kve e mo klokka se ovefa lags -akse i eig e mo -plae. e Besem flkse av e gie vekofele av omåe D. f Besem flkse av e gie vekofele av e ele av oveflae av omåe D som gjøes av paaboloieflae.

5 5. Vi ha gi fksjoe f ve: f.5 < < a Uvi fksjoe f ve e såkal lik oe,jev vielse gi ve: f f S f < < < < og slik a fksjoe f S bli peioisk me peioe 8. Teg gafe il fksjoe f S. b Foea e Foie sis-viklig lik, oe, jev viklig av fksjoe f S ve å skive fksjoe som e Foie-ekke. c Vi ha e homoge, jevkk meallsav me lege cm. Saves emiske iffsivie e gi ve k. cm /s. Save e vame-isole på sie-oveflae. Vi vame opp save slik a empeae øke lieæ jev fa i e vese ee il i e høe ee. Ve ie plassees i begge savese eepke e blaig av is og va som hole kosa empea. Vameligige fo e slik sav e gi ve: k e, e saves empea mål i i posisjo mål i cm ve ie mål i s. øsige av vameligige me e gie iiialbeigelsee e gi ve:, b e k si Besem empeae i save ee mie i posisjo cm fa saves vese ee..

6 øsig:. a,, 5,,,,,,,, ',, ',, v v T v a v

7 . a ege av kve: ' ' [ cos,si, ] [ si,cos,] [ si,cos,] si cos 5 s s v '

8 b Aeale av e skavee sløfe i føse kvaa: si si cos cos 8 si 8 si v J A A si si G G Elle: si cos cos 8 si 8 si A

9 . E gla paameeiseig av kve e gi ve: [ cos,si ] [ ], De eivee av -veko sam ees lege e gi ve: ' ' [ si,cos ] [, ] [ si,cos ] si cos asse av sege e gi ve: s m δs δ δ v δ ' cos si 6 6 asseseees -kooia: m 6 δs 8cos cos cos cos s δ cos cos cos cos asseseees -kooia: m 6 δs si si cos s δ δ v 8si cos si cos si si δ v δ ' si cos si δ ' 6 cos cos si cos

10 . a Skisse av omåe D begese av plae og paaboloie. e akve som femkomme ve skjæig mellom plae og paaboloie. e omåe begese av pojeksjoe e i -plae av akve. b Pojeksjoe e i -plae av skjæigskve mellom flae og paaboloie e gi ve: Av kke ovefo se vi a pojeksjoe e i -plae av skjæigskve mellom e gie flae og e gie paaboloie e e sikel me sem i,- og ais. Ve å bee polakooiae me sem i,-, ka ee kve beskives ve: cos - si vs cos si. Dee ka bees i ovegage mellom lije og lije 5 i beegigee vis eefo. Elle vi ka i lije i beegigee eefo foea e sbsisjo, v i obbel-iegale. Jacobieemiae vil bli lik e e alli ilfelle ve e e aslasjo. Deee ka vi å bee polakooiae ve å see cos v si. cos si

11 Volme av legeme D: 8 si cos A A A A V V G G D D c l og iveges av e gie vekofele: 5 5 5,,5,, F ivf,, 5,, 5 5 k j i F clf,,5 F

12 Beegig av siklasjoe av vekofele lags kve. Vi bee Sokes eoem. Vi ege a e flae som ha som a. Vi ha o æliggee mlighee, emlig e ele av e plae flae som ligge iefo ae og e ele av paaboloie-oveflae som ligge eefo plae. Av isse o mligheee vil e føseve plae flae væe e eklese valge. Vi ege e omalveko il e plae flae. a fksjoe f f,, væe gi ve: f,, Plae vil å væe e ivåflae il f, emlig ivåflae f,,. Gaiee il f vil efo væe e omalveko il plae. f f f ga f,, [,, ] Dee omalvekoe vil ha eig av e posiive sie av flae som ha som a. Nå vi bevege oss lags kve i eig mo klokka se i eig eove lags -akse, vil vi ha e posiive ele av flae fa plae på vese sie. ege av ee omalvekoe e gi ve: f 5 Bk av Sokes eoem: F clf S F F,, 5 [,, ] [,,] 5 5,, p k Aealeav 6

13 e Flkse av vekofele av omåe D. Vi bee ivegeseoeme. Φ F S ivfv 5V 5 V 5 8 S D D D VolmeavD f Besemmelse av flkse av e gie vekofele av e ele av oveflae av omåe D som gjøes av paaboloieflae. Vi besemme føs flkse av flae S som e e ele av e plae flae som e begese av kve. Φ S F S,,5 5 [,,] [,,] F F cos si 5 6 p k,, 5 5 cos cos 8 6cos si 5 8 6si cos 5 si 5 5 si Flkse av e gie vekofele av e ele av oveflae av omåe D som gjøes av paaboloieflae e å gi ve iffeese mellom e oale flkse av omåe D mis flkse av flae S som e e ele av e plae flae som e begese av kve. Φ Φ Φ 6 5. a fa hvo A.5

14 Vi skal foea e Foie sis-viklig av ee fksjoe f. a Uvi fksjoe f ve e såkal lik oe vielse gi ve: < < < < f f f S Ve e Foie sis-viklig vil alle a-koeffisieee væe lik ll. b Foie sis-ekke f b hvo b f si si e f A få vi viee: A f b hvo b f si si si cos cos si cos elvis iegasjo cos cos sbsisjo si si si A A A A A A A A A b ο 5b fos

15 A b f b si A si Koklsjo fo 5b: Fksjoe f e føs vie il e lik oe fksjo f S. Deee e ee fksjoe peioise slik a vi ka bee e Foieviklig he Foiesisviklig. eslae vises øves på ee sie hvo f e skeve som e eelig sm av sis-le cosis-leee fosvie ve e lik oe fksjo. I e o figee ovefo vises ee smme ilæmige il f, ø fage hvo e e a me heholsvis og 5 le i ekke. Jo flee le i ekke som as me, jo me vil ekkesmme æme seg e peioisee fksjoe f. Peioiseige e fø fo å ke bee Foieekkeviklig, me e e k ilæmige av e oppielige fksjoe f << som e av ieesse i ee oppgave. De gå gafee i figee ovefo e e ekele le i Foieekke. De e smme av alle isse gå fksjoee som il samme ae ilæmige il fksjoe f ø fksjo. c Fa vameligige ha vi å:

16 , k e b si hvo b f si A A.5 Tempea som fksjo av posisjoe og ie he e a me le i ekke: Tempea i gae elsis i posisjo cm ve ie 8 seke Tempeae som fksjo av ie fo cm Tempeae som fksjo av posisjoe fo 8 seke