FAG: MA-209 Matematikk 3 LÆRERE: Per Henrik Hogstad KANDIDATEN MÅ SELV KONTROLLERE AT OPPGAVESETTET ER FULLSTENDIG

Transkript

1 UNIVERSITETET I AGDER Gimsad E K S A M E N S O P P G A V E : FAG: MA-9 Maemaikk ÆRERE: Pe Heik Hogsad Klasse: Dao: Eksamesid fa-il: Eksamesoppgave beså av følgede Aall side: 4 ikl. foside vedlegg Aall oppgave: 4 Aall vedlegg: Tillae hjelpemidle e: Kalkulao Hogsad: Fomle MA-9 Hauga: Fomle og abelle illa å skive på de fem sise sidee KANDIDATEN MÅ SEV KONTROERE AT OPPGAVESETTET ER FUSTENDIG

2 MA-9 Eksame Vå 9 Oppg Poeg a b c d e f g h 4 a b Sum 6 Poegee vise vek-fodelige fo de ekele del-spøsmålee. Ved kaakeseig veklegges selvfølgelig i illegg e oal-vudeig bl.a. e vudeig av i hvilke gad kadidae ha kuskape iefo de ulike omådee gi i oppgave-see. YKKE TI!

3 . Vi ha gi følgede kuve veko-fel og legeme: Kuve C: cos i si j si k Veko-fel F : F i j k [ ] egeme V begese av følgede e flae: [ cos si si ] a Teg e skisse av legeme V. Gi e ko foklaig av hva slags ulike flae dee legeme e begese av. b Besem hasighesvekoe akseleasjosvekoe og ehesage-vekoe il kuve C i puke.. c Besem hvovid kuve C ligge på oveflae il legeme V. d Kuve C ligge i e pla paallell med -akse. Fi ligige fo dee plae. e Beeg diveges divf og cul culf il de gie veko-fele. f Beeg F d C dieke ue buk av Sokes eoem. g Koolle svae i f vha Sokes eoem. h a S væe oveflae av V og eheesomale il S med eig uove. Beeg: F S ds

4 . Beeg vha ippel-iegal volume av de legeme som e begese av i illegg il koodia-plaee - - og -pla følgede o pla: 4. øs følgede paielle diffeesial-ligig med de gie illeggs-beigelsee: 4. E kloss med masse m. kg ka bevege seg fiksjosfi på e hoisoal udelag. Klosse e fese il de ee ede av e elasisk fjæ med fjækosa k. N/m. De ade ede av fjæe e fese il e veikal vegg. I illegg il fjækafe vike e e påk kaf F N på klosse. e he ide mål i sekude. De e ige dempigskaf i dee svige-sseme. Newos. lov gi å følgede diffeesialligig il beskivels av posisjoe i dee svigebevegelse: ' ' a oss å aa a vi skal sudee svigebevegelse i løpe av de føse sekude dvs ide skal ligge i de lukkede ievalle fa og med sekud il og med sekud. Videe aa vi a svige-bevegelse e igagsa på e slik måe a klosse passee likevek-sillige både ved ide s og ved ide s Følgede diffeesialligig med iiial-beigelse vil å beskive svige-bevegelse: '' Tilleggs beigelse a Fi de geeelle eksake aaliske løsig il de gie diffeesial-ligige. Hi: Fo å fie e paikulæ løsig pøv med p C b Uvid de e kafe F il å bli e peiodisk fuksjo med passede peiode mh de gie illeggs-beigelsee og ufø e Fouie sius-uviklig av F. De skal vises delig hvoda dee Fouie sius-ekke femkomme. Besem deee løsig il diffeesialligige med de gie illeggs-beigelsee ved å bee de eve Fouie sius-ekke..

5 øsig:. a Paaboloide med opp - puk i og - akse som smmei - akse Slide med adiusog - akse som seeakse. Slidee gå fa - plae opp il. plae b [ cos si si ] Puke på kuve C svae il vedie elle PI i -veko. Dee se vi av cos si si med i ievalle il PI. Hasighes-veko: v v [ si cos cos ] [ sicoscos ] [ ] Akseleasjos-veko: a a v [ cos si si ] [ cos si si ] [-]

6 Ehesage-veko: d d T ds d [ si cos cos ] si cos cos si cos cos cos d ds d v v d ds v v d [ si cos cos ] [ si cos cos ] T cos [ sicoscos ] [ ] [ ] c Fa posisjos-vekoe -veko få vi følgede: cos si mi si mi si ma si ma si Dee vise a kuve C i si helhe ligge på slide-dele av oveflae il V og defo også på oveflae av V. Kuve beøe paaboloide fo /PI og -plae fo /PI.

7 d Fa posisjos-vekoe -veko få vi følgede: si si Dee vise a kuve C i si helhe ligge i plae på fome a b c d med a b- c d som e paallell med -akse side a elle side ikke e med i ukke fo plae dvs ka ha e vilkålig vedi. Elle: Ehve pla i omme ka skives på fome a b c d. Fa -veko få vi: a cos b si c si d a cos b c si c d Kuve C vil å ligge i e pla hvis vi ka vise a de fies kosae a b c og d ikke alle abcd lik ull slik a de siseve ligige semme fo alle i de oppgie lukkede ievalle fa il PI. Side høe-side e e kosa må koeffisiee a foa cos og koeffisiee bc foa si begge væe ull samidig som c må væe lik d. Vi få: a b c c d a c b d b b b b b Dee vise a kuve C i si helhe ligge i plae på fome a b c d med a b- c d som e paallell med -akse side a elle side ikke e med i ukke fo plae dvs ka ha e vilkålig vedi.

8 e [ ] k j i F Diveges: [ ] F divf Med divegese il F-veko lik e posiiv kosa vil de gie veko-fele gi eo fluks u oveal i omme divegese e lik eo fluks p volum u av e ifiiesimal volum-eleme. Cul: [ ] [ ] k j i F culf Med cul il F-veko ulik ull vil de gie veko-fele ieholde oasjos-edes i de eige hvo cul F ha e ikke-ull-kompoe cul e lik sikulasjo p aeal ove e sløfe-eleme med ifiiesimal aeal.

9 f Dieke beegig av kuve-iegale ue buk av Sokes eoem mek a side cul F ikke e ull-veko demed e e kuve-iegal av F-veko ikke vei-uavhegig ka vi ikke ekke sluig om a e lukke kuve-iegal av F-veko ødvedigvis e ull: Bee de gie paameeiseige av kuve C: C F d C C [ si cos si ] [ si cos cos ] cos si [ si si ] d F d d F vd si cos cos si cos d cos d d

10 g Buk av Sokes eoem: Ved buk av Sokes eoem må vi fie e flae som ha kuve C som ad. Side vi i oppg d vise a kuve C ligge i plae ka vi bee dee plae som de eve flae. Videe ege vi e ehes-omalveko il de eve flae. Dee ehes-omalvekoe ka vi fie ved å besemme e fuksjo f f som ha flae som ivåflae dvs ligige fo flae femkomme ved å see f lik e elle ae kosa c f c. Gadiee il f vil da væe e omal-veko il de eve flae. a f - Flae som kuve C ligge i e da gi ved ivåflae f. E omal-veko il dee flae e da gi ved: f f f f [ ] -kompoee il dee gadie-vekoe e ull i samsva med a plae e paallell med -akse. Side -kompoee av gadiee il f e egaiv samidig som -kompoee e posiiv vil dee omalvekoe gadiee il f peke u av de dele av plae som sees å vi e plasse ove flae på -akse og se edove lags -akse i egaiv -akse eig. Nå vi bevege oss på flae lags ade e iil kuve C i posiiv eig økede -vedi vil vi ha kuve C på vå høe håd samidig som vi vil ha de idligee eve oppovevede dele av flae på vå vese håd. De idligee eve omal-vekoe gadiee il f il dee flae peke defo u av de posiive side av flae. Med posiiv omløpseig av kuve C slik som vi ha beege kuveiegale i f peke dee oml-vekoe gadiee il f u av de posiive side av flae og vi ka bee dee omal-vekoe ee a de e juse il legde dvs ehes-omalveko i Sokes eoem.

11 Til beegig av ehes-omalvekoe ege vi videe legde av de eve omalvekoe: f [ ] Heav få vi følgede sikulasjo med buk av Sokes eoem: C F d S S A [ ] [ ] [ ] [ ] A A culf ds F ds f F f da A da f da f p Semme ovees med svae fa oppg f. da

12 h Oppgave gå u på å besemme eo fluks av vekofele F u av de lukkede oveflae S il legeme V. Side dee flae S beså av ulike flae pla flae i -plae bue slideflae sideflae og paaboloideflae oppe ka de væe hesiksmessig å bees Gauss eoem il besemmelse av dee flukse spesiel fodi divegese il F i oppg e ble beege il å væe elaiv ekel. Gauss eoem sie a vi ved eo fluks beegig ove e lukke flae S i sede ka beege volumiegale av divegese il F ove de legeme V som ha flae S som si oveflae. Dee e mulig side eofluks ove ide dele av V kasellees il ull divegese il F e eofluks p volumehe. Bee Gauss eoem: [ ] d d d dd dd da da dda dv dv divfdv ds F A A A V V V S

13 .. Volume V e gi ved med o ulike ak e de hesiksmessig ikke å iegee mh føs: V [ ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 4 ] [ 4 ] [ ] [ ] [ 4 4 ] 4 [ ] 4 4 d d 4 ddd dd dd dd d d d d d Semme ovees med volum av pamide V /*G*h /**4* 8/

14 Ulike hesiksmessige iegasjos-ekkefølge: ddd V ddd V ddd V ddd V

15 . G H G d F d F d F d d Dee e de geeelle løsige ieholde o vilkålige uavhegige fuksjoe he kal G og H av de gie paielle diffeesial-ligige ue illeggs-beigelse. Med illeggs-beigelsee få vi videe: H H H H H G G H G d F

16 4. a De geeelle løsig av de ilhøede homogee diffeesialligig e gi ved: si cos si cos c c m k c c ω ω ω E paikulæ løsig av de gie ihomogee ligig e gi ved: 5 '' ' C C C C p p p

17 De geeelle eksake aaliske løsig av de oppielige ihomogee diffeesialligig e defo gi ved: c cos c si 5 Med iiial-beigelsee få vi: c cos c si 5 c c si 5 5 c si 5 c si 5 5 si si

18 b Vi peiodisee kafe F iehold i de lukkede ievalle fa il slik a de peiodiske fuksjoe bli smmeisk om oigo med peiode sekude. Ved Fouie-uviklig odde Fouie-uviklig Fouie sius-uviklig av dee peiodiske fuksjoe vil vi ivaea oppgaves illeggs-beigelse passeig av oigo ved ide og ved ide side de Fouie-uviklede fuksjoe vil gå gjeom oigo samidig som de også vil gå gjeom puke de siseve pga a e gjeomsis-vedie av og - -/.

19 Vi få: d F b hvo b F si si Med F A få vi videe: [ ] [ ] [ ] [ ] A A cos A cos A siu u cosu A iegasjo delvis cosudu u cosu A u subsiusjo u siudu A d si A d Asi d Fsi b hvo si b F ο Heav med A og : si si si A F

20 øsig av diff-ligige vil å væe: si B Deivasjo gi å: si '' cos ' si B B B Iseig i de oppielige diff.lig. gi å: [ ] [ ] [ ] si si B B B Heav få vi følgede løsig av de oppielige diff.lig. med illeggs-beigelse: si si si B

21 Mahcad-løsig med 5 ledd i Fouie-ekke: