Eksamen i Matematikk desember, Løsningsforslag. . Det gir iht tabell ( nr.[22] ): G(s) = 3

Transkript

1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for Tekologi Eksame i Maemaikk 5. desember Løsigsforslag OPPGAVE a) f () e si() Aleraiv s 8s Seer: g () si( ). De gir ih abell ( r.[] ): G(s) (s + ) (s + 9) Har a: f () e g(). Beyer.skifeorem ( abell r.[8] ) dvs vi byer u s med (s+). De gir: 8(s + ) 8s + 6 F(s) [(s + ) + 9] (s + s + ) Aleraiv Seer: g() e si(). De gir ih abell ( r.[] ): G(s) (s + ) Har a: f () g(). Muliplikasjo med gir ih abell ( r.[6] ): dg(s) 9 (s + ) F(s) ds [(s + ) + 9] 8(s + ) [(s + ) + 9] (s 8s s + ) + 9 (s + ) + 9

2 b) '' () + ' () + () f () () ' () Blokkskjema i s-plae (Tilsvarede sørrelser i idsplae er vis i kursiv) : F(s) + e(s) s X(s) sx(s) X(s) f() ''() ''() s '() s () Trasferfuksoe: Aleraiv Laplace-rasformerer de gie diff.likige ( abell r. [] & [] ): s X(s) + sx(s) + X(s) F(s) (s + s + ) X(s) F(s) X(s) Trasferfuksjoe blir: G(s) F(s) s + s + s + s + Aleraiv Tar ugagspuk i blokkskjemae og bruker regele for egaiv ilbakekoplig ( se vedlegg side ). sx(s) Idre sløyfe: s e(s) F(s) + e(s) sx(s) X(s) + s + s _ s + s Yre sløyfe: X(s) F(s) + s+ s s+ s s + s + G(s) X(s) F(s) s + s + c) s s s s e e e + e F(s) s Vha abell ( r.[] ): f () L {F(s)} ( u( ) u( ) u( ) + u( ) ) Aleraiv: f () for < 5 for < for < 5 for < for Skissér: 5 f() -5 Side av 6

3 d) Pådrage er e ehessprag: f () u() for F(s) s Vi har e.ordes sysem med idskosa: τ (sek) og saisk forserkig K. Y(s) K 5 Trasferfuksjoe blir ( se vedlegg s.) G(s) F(s) + τs + s s + Aleraiv: Respose er e ekspoeialfuksjo med τ (sek) og sluverdi: y. 5 Dvs: y () e. Av abell ( r.[] ) gir de: Y(s) G(s)F(s) s(s+ ) Y(s) 5 s 5 Trasferfuksjoe blir: G(s) F(s) s(s + ) s + a Kommear: Alle ekspoeialfuksjoer e hvor a R ka skrives på forme e τ. Tidskosae τ er besem av de -verdi som gir e. Alle.ordes sysemer på forme y() K ( e τ ) vil derfor eer idskosa ha ådd verdie: y( τ ) K ( e ) 6 K dvs ca. 6 % av sluverdie K. Eller: Y (s) dy G(s) s Y(s) g() e 5e F(s) d (Følger av abell (r.[]) og a y() (figur)) 5 G(s) ( abell (r.[8] ) s + Ved kryssmuliplikasjo får vi: (s + )Y(s) 5F(s) sy(s) + Y(s) 5F(s) Dee ilsvarer diff.likige ( abellr.[] ): y'() + y() 5f () eller y' () + y() f () 5 OPPGAVE a) Urykke i parees ugjør e uedelig geomerisk rekke med a og r < 9 ( Uedelig geomerisk rekke geerel: a + ar + ar + ar +.. ) a Summe blir derfor (vedlegg s.): S 9 r b). Seer: ( + ) u ( + ) u + + u Forholdskrierie (vedlegg s.) gir: ρ lim + lim u + ( + )(( + ) + ) ( + )( + ) ( + ) ( + )( + ) Side av 6

4 Rekka kovergerer hel sikker for ρ < dvs år < < <. Vi må i illegg udersøke greseverdiee: og. Prøver ved å see verdiee i i rekka. Med blir rekka: + ( ) ( + ) ( + ) F.eks gir jamførigskrierie (vedlegg s.) a: ( < + ) for alle. Me Derfor: kovergerer fordi dee er e p-rekke med p > (se vedlegg s.). kovergerer kovergerer. ( + ) ( Ka aleraiv vise a kovergerer ved a S lim S ( + ) + ) Med blir rekka: ( ) ( + ) Dee kovergerer fordi rekka Aleraiv: Alererede rekke hvor ( ) ( + ) lim a ( + ) lim (+ ) kovergerer. (Absolu koverges) Kovergerer ( vedl. s. ) Kovergesområde blir: eller c) Fra formelark (vedlegg s.): e !!! e Da blir: !!!!!! Vi iegrerer dee rekka ledd for ledd dvs: e d +! +! d !!!! !!! På summeform:! Side av 6

5 OPPGAVE Fuksjoe ka ekes sammesa av e odde-fuksjo og e kosaledd ( f () g() + ) og vil derfor ikke ieholde cosius-ledd. (a ). a f() - (sek) Fig. - 5 g() a 5 - (sek) Fig. -5 Periode: T Grufrekves (eller egelig vikelfrekves ): Fourierkoeffisieee ( vedlegg s.5 ): ω π π T a areal periode Aleraiv: d d [ ] [ ] ( ) ( + ) a a (pga odde-symmeri) Av fig.: ( ) ( ) ( b si π d si d cos ) cos π π + π π [ cos( π ) ] + [ cos( π ) cos( π )] cos( π ) π π π [ ] [ ( π )] ( ) ( ) ( ) Aleraiv av fig.: ( ) [ ( b si π d cos π )] ( cos( π ) ) cos( π ) π π π π π ( ) ( ) ( ) Fourierrekka blir: a π 6 ( ) π f () + b si(ω) + ( ) si + si π π ( ) Side 5 av 6

6 OPPGAVE z f (y) y + y a) f (ab) f ( ) ( ) + 6( ) + 6( ) + 5 f y fy 6 + 6y y f (a b) f ( ) 6( ) + ( ) + 6 fy (ab) fy ( ) 6( ) + 6.ordes Taylorpolyom (agepla): p(y) f (a b) + f (a b)( a) + fy (a b)(y b) 5 ( + ) 7 Tilærme fuksjosverdi: Aleraiv Direke isa: f (..) p (..) (.) 7 6. Aleraiv (Egelig ideisk med aleraiv me med e mer omsedelig akegag) Beyer likige for edelig ilveks (vedlegg s.6) z f (ab) + fy (ab) y Her: f (ab) fy (ab) a.+. y y b.. Gir: z (.) +.. f (..) f () + z ( jfr eksak svar: f (..) 6. 9 ) b) Kriiske puker: Disse fier vi der f og fy (samidig!) Fra pk. a): ( ) f y () fy 6 + 6y y () isa i (): ( ) 6 ( ) Gir: y y Vi har mao o kriiske puker: ( y) () eller (y) ( ) Klassifiserig: For å avgjøre ype kriisk puk må vi kjøre ".derivasjosese" (Vedlegg s.6) f + y fyy y 6 f y y 6 D ffyy fy 6( ) Isa ( y) () : f () D 6 > f > Dee er e miimumspuk fmi(y) ( Mi.pk : ( yz) ()) Isa ( y) ( ) f ( ) D 6( ) 6 < Dee er e sadelpuk ( yz) ( ) Side 6 av 6