14 Plateberegninger. Litteratur: Cook & Young, Advanced Mechanics of Materials, kap Larsen, Dimensjonering av stålkonstruksjoner, kap. 9.

Transkript

1 14 Plateberegiger Ihold: Forskjellige strategier for plateberegig Naviers plateløsig Virtuelle forskvigers prisipp for plater Raleigh-Ritz' metode for plater Litteratur: Cook & Youg, Advaced Mechaics of Materials, kap. 1.4 Larse, Dimesjoerig av stålkostruksjoer, kap. 9.1 TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

2 Løsig av tplateproblemer E eksakt løsig av platas differesialligig w w w q + + = 4 4 D er ku mulig for plater med regelmessig geometri, kurate radbetigelser og sill lastfuksjo q(,). Som regel må laste (og løsige w(,)) utvikles i Fourierrekker. Lærebøker og diverse oppslagsverk ieholder ofte e del eksakte løsiger for rektagulære og sirkulære plater. Sirkulære plater (ikke pesum) er behadlet i Cook & Youg avsitt Tradisjoelt har også e ivers metode vært e del bettet: Ma har e fuksjo som tilfredsstiller platas differesialligig, og fier ut hvilke last og hvilke radbetigelser som er assosiert med dee fuksjoe. E tilærmet løsig basert på virtuelle forskvigers prisipp og Raleigh-Ritz' metode ka etableres for et oe bredere utvalg av plateproblemer e hva som ka hådteres med e eksakt løsig. Hvis ma ku er ute etter platas kapasitet, ka e fltelijeberegig bettes. Dee gir imidlertid ige iformasjo om deformasjoee i plata. Fltelijeteorie er behadlet i Cook & Youg avsitt 1.9 og Per Kr Larses Stålkostruksjoer avsitt 1.. I praktiske igeiørproblemer er elemetmetode det desidert viktigste verktøet i dag. Svært ofte vil platefelt være avstivet og da er det utfordrede ok å etablere e umerisk modell som represeterer de fsiske oppførsele. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

3 Eksempel 14.1: Ivers metode R Figure viser e halvsirkelformet plate med radius R og kostat tkkelse. Platestivhet og tverrkotraksjostall er hhv D og ν. Ata at plates edbøig ka beskrives med fuksjoe w(,) = A( + R ) a) Sett de oppgitte w(, ) i i plates differesialligig, og foreta e tilpasig av kostate A ut fra det krav at lastfuksjoe q(, ) skal ha verdie q i pukt (, ) = (,R). Hvlir det matematiske uttrkket for q(, )? Skisser q(, ). b) Påvis hvilke radbetigelser de oppgitte edbøigsfuksjoe w(, ) tilfredsstiller. c) Bereg platemometet M som fuksjo av i sittet =. Skisser diagrammet for M. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

4 Fritt opplagt, rektagulær plate med siusformet forskvig a b E rektagulær plate med dimesjoer a og b i - og -retig og tkkelse t skal aalseres. Plate har stivhet D. Forskvigsfuksjoe til plate har forme π π w(, ) = w si si Hvilket problem er dette løsige til? Eller alterativt: Hvilke radbetigelser og last har plate? Forskvig lags reder: π π w(, ) = w si si =, = a w = =, = b w = Helig lags reder: π π π w, = w cos si a π π π w, = w si cos b =, = a w, ; w, = =, = b w, = ; w, TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

5 Fritt opplagt, rektagulær plate med siusformet forskvig (forts) Krumig lags reder: π π π w, = w si si a π π π w, = w si si b π π π w, = w cos cos ab w, = =, = a w, = =, = b w, Radbetigelser: Forskvige w og krumigee w, og w, er lik ull lags alle redee til plate. Dette betr at også mometet M er lik ull, og plate er følgelig fritt opplagt lags alle reder. Belastig: Plates differesialligig: w, + w, + w, = q D Isettig av w(, ) gir: π π π π q = D + w si si q Oppsummerig: Siusformet last gir siusformet forskvig (og vice versa) Forholdet mellom lastamplitude q og resposamplitude w er gitt ved: w q = π π D + TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

6 Fritt opplagt, rektagulær plate med siusformet forskvig (forts) Forskvigsfelt med m halvbølger: Vi har å betraktet e siusfuksjo med é halvbølge i både - og -retig. Bruk av m halvbølger i -retig og halvbølger i -retig gir aalogt resultat. Forskvigsfeltet til plate skrives å på forme hvor m og er positive heltall. mπ π w(, ) = w m si si Plates radbetigelser forblir uedret dvs. plate er fritt opplagt lags alle fire sider. Et uttrkk for tverrlaste fies ved isettig i plates differesialligig: mπ π mπ π q = D + w m si si a b q m Forskvigsamplitude uttrkt ved lastamplitude, dimesjoer og platestivhet: qm w m = mπ π D + a b Forskvigsfeltet er å bestemt av laste, og mometer og skjærkrefter ka bestemmes fra etablerte formler. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

7 Rekkeutviklig av laste Fra matematikke: E vilkårlig fuksjo ka utvikles i e Fourier-rekke uder svært geerelle betigelser, f. eks. π π f( ) = b si ; b = f( )si d L L L = 1 L Plateproblemet: I plateproblemet har vi to uavhegige variable og, og laste q(,) må derfor utvikles i e dobbel Fourier-rekke mπ π q(, ) qm si si M N = m= 1 = 1 med koeffisieter 4 mπ π qm = q(, )si si d d ab Oppsummerig: E hvilke som helst last q(,) ka dermed utvikles i e Fourier-rekke, og hvert ledd i rekke gir et bidrag i e tilsvarede rekke for edbøige mπ π w(, ) w m si si M N = m= 1 = 1 TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

8 Naviers plateløsig z q a b Avedelsesområde: Metode ka bettes for fritt opplagte, rektagulære plater: w = og M = lags alle reder Belastige av plate ka være e vilkårlig tverrlast både fordelte og kosetrerte laster ka behadles. Metode: Løsigsmetode ieholder følgede tre steg: 1. Plates forskvig beskrives som e dobbel Fourierrekke: M N mπ π w(, ) = w m si si m= 1 = 1 hvor w m er ukjete koeffisieter, og a og b er plates dimesjoer i hhv. - og -retig. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

9 Naviers plateløsig (forts). Tverrlaste rekkeutvikles i e Fourier-rekke av samme tpe: M N mπ π q(, ) = qm si si m= 1 = 1 hvor koeffisietee q m bereges som 4 mπ π qm = q(, )si si d d ab 3. Isettig i plates differesialligig gir uttrkkee for de ukjete forskvigskoeffisietee w m = D q m a b 4 m π + for m = 1,,..., M og = 1,,..., N. NB! Hvor raskt rekke kovergerer avheger blat aet av tverrlastes fordelig over plate. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

10 Eksempel 14.: Naviers plateløsig q z a t b (Jfr. Eksempel 13.1.) Plate på figure er rektagulær og fritt opplagt lags alle reder. Plate er påkjet av e jevt fordelt last q. Data: a = 4 mm b = 8 mm t = 16 mm q =.15 N/mm E = 1 N/mm ν =.3 Bestem maksimal bøespeig og edbøig ved bruk av Naviers plateløsig. Fasit: σ ma = σ,ma = 68MPa, w ma = 9,5mm TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

11 Idre virtuelt arbeid for plate Uttrkket for idre virtuelt arbeid i pla speigstilstad er gitt ved W ɶ = ( σ ε ɶ + σ ε ɶ + τ γɶ )dv i V (Forutsetter tplate, se lsark 13-11: ε ɶ = γ ɶ = γ ɶ = Følgede sammeheger gjelder for ei plate: z z z ) 3 M M M t σ = z ; σ = z ; τ = z I = I I I 1 wɶ wɶ wɶ ε ɶ = z ; ε ɶ ; = z γ ɶ = z der wɶ er virtuell forskvig. Kombiasjo av ligigee leder til følgede uttrkk for idre virtuelt arbeid i plata: w w w W ɶ ɶ ɶ ɶ = (M + M + M )d A i A hvor A er arealet av plata i -plaet. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

12 Ytre virtuelt arbeid for plate og virtuelle forskvigers prisipp Platas tre virtuelle arbeid består av bidrag fra fordelt last q over arealet A samt distribuerte mometer M og effektive (Kirchhoff) skjærkrefter V lags platerada R : e w M Wɶ ɶ s = qwda ɶ M d s + V + w d s ɶ s A R R wɶ e = qwda ɶ M d s + V wɶ d s A R R hvor s er koordiate lags rade. R s Virtuelle forskvigers prisipp for plate: wɶ wɶ wɶ (M + M M )d A + A wɶ e = qwda ɶ M d s + V wɶ d s A R R TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

13 Raleigh-Ritz' metode for plater Avedelsesområde: Metode ka bettes for vilkårlige plategeometrier, radbetigelser og laster. Metode: 1. Plates forskvig beskrives som e fuksjosrekke på forme N = + i= 1 w(, ) w (, ) a f (, ) i i hvor a i er geeraliserte frihetsgrader og w(, ) er lieært uavhegige fuksjoer. Fuksjoe w(, ) må oppflle essesielle radkrav. Dette oppås ved følgede valg: w (, ) skal oppflle ihomogee radkrav w(, ) skal oppflle homogee radkrav. Et virtuelt forskvigsfelt for plate som oppfller homogee, kiematiske radkrav er gitt ved N = ɶ i i= 1 w( ɶ, ) a f (, ) i hvor aɶ i er virtuelle, geeraliserte frihetsgrader. TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

14 Raleigh-Ritz' metode for plater (forts) 3. Bereg virkelige og virtuelle krumiger som tilfredsstiller kiematisk kompatibilitet: κ = w, ; κ = w, ; κ = w, κ ɶ = w, ɶ ; κ ɶ = w, ɶ ; κ ɶ = w, ɶ 4. Bereg speigsresultater (mometer) i hehold til elastisk materiallov: M = D(w, +ν w, ) M = D(w, +ν w, ) M = D(1 ν) w, 5. Virtuelle forskvigers prisipp bettes deretter til å bestemme de ukjete, geeraliserte forskvigee: hvor Wɶ = Wɶ i W ɶ = (M w, ɶ + M w, ɶ + M w, ɶ )d A i A M Wɶ s = qwda ɶ M w, ɶ d s + V + wɶ d s s A R R TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

15 Eksempel 14.3: Plate med trekatlast z q L L Figure viser e fritt opplagt kvadratisk plate med sidekater L, kostat tkkelse t og platestivhet D. Plate er belastet med e trekatlast q(,) = q / L. Bereg plates maksimale edbøig ved bruk av Raleigh- Ritz' metode og forskvigsfeltet π π w(, ) = a si si L L Sammelig med eksakt løsig (ν =.3): w(.5l,.5l) = q L 4 /D w ma = w(.5l,.55l) = q L 4 /D Foreslå dessute e forbedret forskvigsfuksjo w. Fasit: L L wma = w, =,8 1 q L D 3 4 TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger

16 Eksempel 14.4: Betogflåte t L P L E kvadratisk betogflåte med sidekater L og kostat tkkelse t flter i sjøva. I flåtes seterpukt virker det e puktlast P. Ata at oppdriftselemeter sørger for at uderside av flåte ligger i flukt med vaspeilet år flåte er ubelastet. Bereg de største laste P som ka virke på flåte ute at de oversvømmes. Bruk Raleigh-Ritz' metode. Geometri: L = 3 m t =.4 m Betog: E = N/m ν =. Sjøva: ρ w = 15 kg/m 3 TKT414 Mekaikk 3, høst Plateberegiger