EKSAMEN I FAG FASTE STOFFERS FYSIKK 2 Fakultet for fysikk, informatikk og matematikk Fredag 16. januar 1998 Tid:

Transkript

1 Side av 4 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for fysikk Faglig kotakt uder eksae: Nav: Ola Huderi Tlf.: 934 EKSAMEN I FAG FASTE STOFFERS FYSIKK Fakultet for fysikk, iforatikk og ateatikk Fredag 6. jauar 998 Tid: Tillatte hjelpeidler: B - Typegodkjet kalkulator, ed tot ie O.Jahre og K.J. Kutse: Forelsalig i ateatikk K. Rotta: Mateatische Forelsalug/Mateatisk forelsalig S. Barrett og T.M. Croi: Matheatical Forulae Oppgave Når atakelse o sterkt bude elektroer beyttes, fier e at eergie for et elektro i et periodisk gitter er gitt so hvor rr ikρ ε ε γ e γ a o γ φ * r r r r 3 ( + ρ ) V'( ) φ ( ) d r a a H φ ε φ o a a a V' V V < 0 gitter ato a) Fi dispersjosrelasjoe ε(k) for et kubisk gitter. Suer bare opp til og ed æreste aboer.

2 Side av 4 b) Fi ε(k) ær toppe og bue av eergibådet. Skisser hvorda flatee for kostate eergiverdier ser ut i. Brillouisoe. Fi de effektive asse * ær toppe og bue av eergibådet. Er egative effektive asser fysisk eigsfylt? Gi e kort forklarig. c) Ata så at vi har et kubisk todiesjoalt ateriale ed et krystall-potesial gitt so V(x,y) - 4Ucos(πx/a) cos(πy/a) Skisser de laveste eergibådee i "epty lattice" tilærelse lags retigee [,0] og [,]. Bereg så oppsplittige av eergiivåee i puktet (π/a, π/a) i Brilloui-soe. Vis at det er tilstrekkelig å beytte e x deteriat. Oppgave a) Bereg tilstadstetthete i et syste av Ferioer (elektroer), der eergie er gitt av: x y z h k k k Ek ( ) + + b) Betrakt e eergiflate so har for av rotasjos-ellipsoide 33 Ek ( ) k + k h x y t kz + l Bereg syklotrofrekvese ω c for det tilfelle at agetfeltet har retig lags z-akse og utled fra dette syklotroasse c. c) Gjeta beregige for det tilfelle at agetfeltet daer vikele θ ed z-akse. Vis at resultatet ka skrives på fore ω c / cos θ si θ eb + t t l Oppgitt: ω c πeb h A / E ( ) k Oppgave 3 a) Vis at logitudiale plasaoscillasjoer i et uedelig syste, bare ka eksistere derso ε(k,ω) 0.

3 Side 3 av 4 b) Vi skal å se på betigelse for at såkalte overflateplasoer ka eksistere. Betrakt et halvuedelig plasa av fri elektroer i orådet z > 0. E løsig av Laplaces ligig φ 0 i plasaet er φ Acoskxe -kz Vis at de tilsvarede løsig av Laplaces ligig i vakuu (z < 0) er gitt av φ 0 Acoskxe kz og at dee tilfredsstiller betigelse at E skal være kotiuerlig på greseflata. Vis videre at betigelse o at D skal være kotiuerlig på greseflata bare er oppfylt derso ε(k,ω) -. Vis tilslutt at frekvese for overflateplasoee ω s for e fri elektro gass er da gitt av ωs ω p der ω p er bulk plasa frekvese. c) Vi skal så se på de såkalte gap plasoee. Betrakt to halv-uedelige edia ed overflater på z ± d (se figur ). Dielektrisitetsfuksjoe for de to ediee er ε(ω). z 0 d Figur Vi skal vise at overflateplasoer so er syetriske o z 0 ka eksistere i gapet derso ε(ω) - tahkd, der K k x + k y () Vis først at løsige av Laplaces ligig i gapet vil være av fore φ f(z)exp(ik x x + ik y y) og fi f(z). Løsigee i etallet vil være av fore φ A exp(±kz) exp(ik x x + ik y y)

4 Side 4 av 4 Oppgave 4 Her er A e kostat. + teget gjelder for z -d og teget gjelder for z d. Bruk gresebetigelsee fra Maxwells ligiger til å vise at overflateplasoee bare ka eksistere i gapet derso betigelse () er oppfylt. a) Ma ka vise at trasisjoskoeffisiete for lys gjeo e ty etallfil ed tykkelse d << λ, der λ er bølgelegde til lyset, er gitt av følgede forel T( ω) + dzσ dzσ + Her er z e kostat lik 376,6 Ω. σ er realdele og σ er iagiærdele av koduktivitete. Ata at realdele av koduktivitete for e superleder er gitt av σ (ω) Ω p δ(ω) idet Cooper-paree fører til e δ-fuksjo i σ for ω 0. Bereg σ (ω) ved hjelp av Kraers-Kroig-relasjoee og vis at dette fører til e trasisjo for ω 0 gitt av T( ω) d z Ω + πω p Oppgitt: Kraers-Kroig relasjoee er: α'( ω) α"( s) P ds π s ω α"( ω) α'( s) P π s ω ds b) Ligige for itregig av et agetfelt B i e superleder er gitt av differesialligige B λ B hvor λ er itregigsdybde. Vis at B(x) ie i e superledede plate perpedikulær til x-akse og av tykkelse δ er gitt ved B B a cosh( x / λ) cosh( δ/ λ)

5 Side 5 av 4 hvor B a er feltet utefor plate og parallell til de. x 0 er i idte av plate. c) Vis at de effektive agetiserig M(x) i plate defiert so er gitt ved år δ/λ <<. µ o M(x) B(x) - B a µ o M(x) - B a 8 λ (δ - 4x )