Universitetet i Oslo Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 Uiversitetet i Oslo Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: FYS34-Matematiske metoder i fysikk Dato: jui 4 Tid for eksame: Oppgavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektroisk kalkulator, godkjet for videregåede skole To A4-ark med ege otater (ka beskrives på begge sider) Rottma: Matematisk formelsamlig Øgrim og Lia: Fysiske størrelser og eheter Kotrollér at oppgavesettet er komplett før du begyer å besvare spørsmålee Oppgave a) Bruk Cauchys itegralformel eller itegraluttrykket for de deriverte til å berege følgede tre itegraler: si3z I = dz, Itegrasjosvei C: z = 5, π C z+ iz e I = dz, Itegrasjosvei C: z =, z 3 C az e I = dz, Itegrasjosvei C: z = ( a er e reell kostat) z + 3 C b) Bruk residyteoremet til å berege itegralet si a I = d, + b der a og b er reelle kostater, a> og b> Blir resultatet ditt riktig ved grese iaz a (b )? Kommeter! (Hit: Start med et itegral som ieholder e ) Oppgave Løs følgede differesialligig ved hjelp av Fröbeiusmetode (rekkeutviklig): y'' y' + 8y=, med betigelsee y()=3, og y ()=

2 Oppgave 3 I dee oppgave skal Laplace-trasformasjo beyttes til å løse de partielle differesialligige ut (,) ut (,) + = t t, med betigelsee u(,)= og u(,t)= (, t ) a) La være e kostat parameter ved Laplace-trasformasjoe, og vis at de Laplace-trasformerte av u(,t) er gitt ved Cs () U( s, ) = + f() s, s der f(s) er e fuksjo av s som skal bestemmes Hva er variasjosområdet for s? b) Bestem C(s), og fi u(,t) Oppgave 4 E syklisk gruppe med orde 4 har elemetee G, G, G 3, G 4 =E a) Gjør rede for at dee gruppe har fire ikke-reduserbare represetasjoer, som alle er edimesjoale Ka du fie e udergruppe? b) For edimesjoale represetasjoer blir karaktere for et elemet lik ( α) ( α) represetasjosmatrise, dvs D ( G) = χ ( G) ( α Vi setter χ ) ( G) = z Gjør rede for at z 4 = for de sykliske gruppe med orde 4, og bestem z Sett opp karaktertabelle for gruppe Uiversitetet i Oslo Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: FYS34-Matematiske metoder i fysikk Dato: jui 5 Tid for eksame: Oppgavesettet: sider Tillatte hjelpemidler: Elektroisk kalkulator, godkjet for videregåede skole To A4-ark med ege otater (ka beskrives på begge sider) Rottma: Matematisk formelsamlig

3 Øgrim og Lia: Fysiske størrelser og eheter Kotrollér at oppgavesettet er komplett før du begyer å besvare spørsmålee Oppgave a) Gjør rede for at kvadratrote til det komplekse tallet z er gitt ved θ θ z = z cos( + kπ) + isi( + kπ), k =, Fi spesielt i og i b) Ata at e kompleks fuksjo f(z) ka skrives som f( z) f( z) =, f( z) der f (z) og f (z) er to fuksjoer som er aalytiske i hele plaet, dvs de ka utvikles i Taylorrekker Ata videre at f (z )=, f (z ), og de deriverte f '( z ) Vis at residyet til f(z) i z=z er gitt ved f ( z ) Res f ( z) = f'( z) c) Bruk residysatse til å berege det bestemte itegralet I = d Oppgave I dee oppgave skal du fie de geerelle løsige av de ihomogee differesialligige y'' + y' = a) Bruk metode med rekkeutviklig (Frøbeiusmetode) til å vise at de C homogee dele har e løsig yh( ) = C + 3

4 b) Fi så de geerelle løsige ved å bruke metode med variasjo av kostatee Oppgave 3 Gitt de partielle differesialligige f( t,) f( t,) = t a) Bruk metode med separasjo av variable til å vise at det fies e løsig av forme λ λt λt fλ( t,) = Ae + Be, der λ er et ubestemt reelt tall Gir de samme metode også e ae løsig? b) Fi e løsig som oppfyller betigelsee f(,) = og f( t,) år t c) Du skal å forsøke å løse de partielle differesialligige ovefor ved hjelp av Laplace-trasformasjo La t være e variabel og e kostat parameter f( t,) ved trasformasjoe Bruk videre betigelsee f(,)= og = for t t= Fi e differesialligig for de Laplacetrasformerte F(s,) av f(,t) d) Fra pukt b) ovefor ka vi ise at Fp (, s) = s + er e partikulær løsig Hvorfor? Fi til slutt de geerelle løsige F(s,) (Du skal ikke forsøke å ivertere F(s,)) Uiversitetet i Oslo Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: FYS34-Matematiske metoder i fysikk Dato: jui 7 Tid for eksame: 9- Oppgavesettet: 3 sider Vedlegg: Tabell over Laplace-trasformasjoer (to sider) Tillatte hjelpemidler: Elektroisk kalkulator, godkjet for videregåede skole To A4-ark med ege otater (ka beskrives på begge sider) Rottma: Matematisk formelsamlig 4

5 Øgrim og Lia: Fysiske størrelser og eheter Kotrollér at oppgavesettet er komplett før du begyer å besvare spørsmålee Oppgave De komplekse fuksjoe f(z) er gitt ved z m ( ) = e z, f z der m er et helt tall, m a) Fi Lauretrekka for f(z) om z= b) Bestem itegralet I = f( zdz ), C år C er sirkele z = Hva blir itegralet hvis m<? c) Bestem verdie (prisipalverdie) av itegralet si Ia ( ) = d, a der a er e reell kostat, a Er resultatet ditt gyldig også for a=? Oppgave Du skal i dee oppgave fie løsige av de ihomogee differesialligige y''( ) + y'( ) y ( ) = a) Fi løsige av de homogee ligige, og vis at de er ( ) c yh = c + b) Bruk metode med variasjo av kostatee til å fie e løsig av de ihomogee ligige Agi de geerelle løsige av differesialligige Bestem løsige som tilfredsstiller betigelsee y()=y()= c) Differesialligige ovefor kue også løses ved hjelp av Greesfuksjoe G(, ), dvs y ( ) = G (, ') d ' ' Sett dette uttrykket for y() i i differesialligige, og agi differesialligige som da fies for G(, ) Fi e løsig for G(, ) som oppfyller betigelsee y()=y()=, og slik at G(, ) er kotiuerlig i = (Løsige vil ieholde e ubestemt fuksjo C( ), og du skal ikke forsøke å fie y()) Oppgave 3 Du ka i dee oppgave ha ytte av vedlagte tabell over Laplace-trasformasjoer (s=p) 5

6 De Laplace-trasformerte av e fuksjo f(t) er F(s)=L[ f() t ] a) Vis følgede relasjoer for Laplace-trasformasjoe: at L e f() t = Fs ( + a) L [ f '( t )] = s L[ f t ] d Fs () ds () f() = L[ tf() t ] Bereg L[ si ] t kt b) Bruk Laplace-trasformasjo til å fie løsige y(t) av differesialligige t y''( t) y'( t) + yt () = e cos t, med betigelsee y()=y ()=3/ c) Bruk Laplace-trasformasjo til å fie y(t) av ligige t 3t 3 () cosh3 3 ( τ) τ τ yt = t e y e d (Hit: Foldigsteoremet) Oppgave 4 Karaktere for e reduserbar represetasjo for e gruppe med elemeter { G a } og orde g oppfyller følgede relasjo: ( α ) χ( G ) m χ ( G ) a =, α α der α viser til ikke-reduserbare represetasjoer med dimesjo α a) Vis at a g * χ( Ga) χ( Ga) = g m α (Hit: Ortogoalitet for karakteree) a= α b) For ehver edelig gruppe med orde g fies det e represetasjo som har karakteree χ( E) = g, χ( G a ) = for alle Ga E Reduser dee represetasjoe Prøv resultatet ditt på relasjoe uder a), og kommeter! Kortfattet løsig eksame FYS34/44 våre 4 Oppgave a) Cauchys itegralformel gir I =πi Fra itegraluttrykket for de deriverte fies I =-πi Cauchys itegralformel gir for I 3 6

7 az az e e I = dz = ( ) dz= πisi a z + i z i z+ i 3 z = z = b) Itegrasjosvei: -R til +R lags de reelle akse, halvsirkel i øvre halvpla si a π ab I = d= e + b (Husk Jordas lemma) For a= går ikke itegralet over halvsirkele mot år R, me får verdie πi Oppgave Ideksligige blir ass ( ) =, med løsiger s = og s = Prøver de laveste s-verdie s=, som gir relasjoe a + 8 = a ( + )( + ) Betigelse y()=3 gir da a =3, og betigelse y ()= gir a = Videre bryter rekka av etter a 4 Løsige blir: 4 y ( ) = s= gir ige løsig som passer med de gitte betigelsee Oppgave 3 De Laplace-trasformerte er gitt ved differesialligige d U( s, ) + su( s, ) =, s> d s Løser først de homogee ligige, og fier løsige Cs () Uh( s, ) = s Videre ser vi at e partikulær løsig av de ihomogee ligige har forme Up( s, ) = f() s, som isatt gir f() s = s ( s+ ) Løsige for de Laplace-trasformerte U(,s) blir da 7

8 Cs () Cs () U( s, ) = + = + ( + ) s s s ( s+ ) s s s+ C(s) bestemmes så av betigelse u(,t)=, som gir U(,s)=, som krever C(s)= Løsige blir da ut (,) = t ( + e t ) b) α = g = 4 Udergruppe er {, } α 4 z = har løsigee z =, z =, z3 = i, z4 = i, Oppgave 4 a) Dette er e Abelsk gruppe med fire elemeter, som dermed også har fire klasser Da har også gruppe fire ikke-reduserbsre represetasjoer, som alle må være edimesjoale etter regele EG dvs fire løsiger, e for hver av de fire ikke-reduserbare represetasjoee Karaktertabelle blir med ( α ) m m χ ( G ) = z : z z = E = G G G G 4 3 () D = = () D (3) z3 i D i = i (4) z4 i D i i Kortfattet løsig eksame FYS34/44 våre 5 Oppgave a) z = z e = z e = ze i ( ) ( )/ θ i θ + k π i k, z θ + π b) i =± ( + i), i =± ( i) f z f ( z) f ( z ) + f '( z )( z z ) + f ( z) f '( z )( z z ) + ( ) = =, lim f ( z ) Res f( z) = ( z z) f( z) = z z f'( z) c) Poler i øvre halvpla for z = ( + i) og z = ( i) Fier eklest residyee ved å bruke resultatet fra b): 8

9 Res f( z) = Res f( z) = i π I = Oppgave a) De homogee dele av ligige: '' ' yh + yh =, gir ved bruk av Frøbeiusmetode relasjoe a( + s)( + s+ ) = for alle, a Ideksligige blir s(s+)=, og løsige s=- gir a( ) = for alle, dvs a ka velges fritt og a = for > Løsige blir dermed y ( ) a h = + a b) Vi bruker metode med variasjo av kostatee til å fie e partikulær løsig på forme C( ) yp ( ) = C( ) + Resultatet blir C( ) = l= l + kostat, C ( ) = (kostate ikluderes i a i y h ()) De geerelle løsige får da forme y ( ) = A+ B + l, der A og B er ubestemte kostater Oppgave 3 a) f(,t)=f()t(t) Ved å velge e positiv separasjoskostat, dvs λ,fies λ λt λt = = +, og løsige blir på forme F( ) C, Tt () De Ee λ λt λt = + Valg av egativ separasjoskostat, dvs -λ f( t,) ( Ae Be ) ville gi e løsig på forme ( ' iλt ' iλt Ae + Be λ ), som ikke passer med betigelsee uder b) edefor b) Betigelsee er oppfylt for A=, B=λ=, og løsige blir f( t,) = e t c) Differesialligige for de Laplacetrasformerte F(s,) blir df(, s) d sfs = s (, ) ( ) 9

10 d) De Laplacetrasformerte av de spesielle løsige fuet uder b) er /(s+), som da må være e partikulær løsig av diffligige for F(s,) Løsige av de homogee dele av ligige for F(s,) er F (, s) = Cs () s, og de komplette løsige for de gitte betigelsee blir h Fs = + s + s (, ) Cs () Oppgave a) b) Løsig eksame FYS34/44 våre 7 z f ( z) = ez = z z = z!! m m m = = π i I = π ire sf () =, Resf() bestemmes av m--=-, dvs =m m! For m< blir Resf()=, dvs I= c) Starter med det komplekse itegralet iz ze dz, bruker Jordas z a lemma, og har i e P d= πire s( a) + πire sa ( ) a ia ia = πi e + e = πicos a si si π Videre: P d= P d= cos a a a si π a= gir direkte d = (Hevbar sigularitet i origo) Oppgave m a) Homoge ligig: y'' + y' y=, Euler-Cauchy, løsig y=, c m=±, og homoge løsig yh( ) = c + C( ) b) Partikulær løsig yp ( ) = C( ) +, y( R ) ( ) y( R ) ( ) C( ) = d, C( ) = d, W( ) W( ) y( ) =, y( ) =, R ( ) =,

11 y( ) y( ) W( ) = =, y'( ) y'( ) som gir: C( ) = l, C( ) = 4 Geerell løsig: c c y ( ) = c + + l = a+ + l, 4 der a er e y kostat lik c -/4+bidrag fra l=l +kostat Betigelsee y() = y() = gir a = c = og y ( ) = l c) Differesialligige for G(, ) blir d d G (, ') + G (, ') G (, ') = δ ( '), d d som har løsige B ( ') GI (, ') = A ( ') +, < ', B ( ') GII (, ') = A ( ') +, > ' Betigelsee y()=y()= gir G I (, )=G II (, )=, som videre medfører: B ( )= og B ( )=-A ( ) Kotiuitete i = gir til slutt A( ') ' = A( ') ' Setter vi C( )=A ( ) blir løsige: ' G (, ') = C ( '), ' ' < G (, ') = C ( '), > ' Oppgave 3 d d k ks a) L[ tsi kt ] = L[ si kt] = = ds ds s + k ( s + k ) b) Ved å Laplace-trasformere ligige og beytte betigelsee y()=y ()=3/ får vi: s 3 3 L [ yt ()]( s s+ ) ) = + s, ( s ) + ( s ) 3 s L [ yt ()] = + ( s ) + ( s ) + Ved hjelp av relasjoe fra a) iverteres dette til: t 3 t yt () = etsit+ e cos t

12 t c) Foldigsteoremet: FsGs () () =L f( τ) gt ( τ) dτ Brukes til å bestemme y(t) av ligige t t 3t 3τ 3( t τ) () = cosh3 3 ( τ) τ = cosh3 3 ( τ) τ yt t e y e d t y e d Her er Fs= () L[ yt ()], Gs () =L 3 t e =, s 3 yt () s = 3L[ yt ()] s 3 s 3 yt () t =, og ivertert yt () = e s + 3 L[ ] L[ ] 3 s cosh3, som gir s 3 L[ t] = Oppgave 4 a) b) g g * ( α) ( β) * χ( Ga) χ( Ga) = mm α β χ ( Ga) χ ( Ga) a= αβ, a= = mmgδ = g m αβ, g mα = χ G χ G g α β αβ α α ( α) * ( a) ( a), a= ( α ) ( Ga) = for Ga E, ( E) = g, ( E) = α, χ χ χ som gir: mα = gα = α g, dvs alle ikke-reduserbare represetasjoer for gruppe kommer med i reduksjoe (ige m α = ) Isatt i relasjoe fra a): g χ = = = og til slutt a= * ( Ga) χ( Ga) g g mα g α, α α α = g, α dvs de viktige relasjoe som bestemmer dimesjoee for de ikkereduserbare represetasjoee HJEMMEEKSAMEN FYS34/44 VÅREN 7 Oppgave Fi verdie (prisipalverdie) av itegralet I = cosπ ( 4 )(+ 4 ) d

13 Oppgave Bruk Fröbeiusmetode (rekkeløsig) til å fie to lieært uavhegige løsiger av differesialligige y y y '' + ' + ( ) = Oppgave 3 Vi atar at e kompleks fuksjo f(z) ka utvikles i Taylorreke om z=, dvs f ( z) = az = i a) Sett z = re θ, ata at alle a er reelle, og bestem realdele urθ (, ) og imagiærdele v( r, θ ) av f(z) Kommeter resultatet, spesielt for r = b) Fi Taylorrekka for f(z)=l(+z) om z= Bestem koeffisietee a Vis at rekka kovergerer for z <, og divergerer for z = Det ka vises (skal ikke vises i oppgave) at rekka kovergerer for z =, med utak av z = (Beviset beytter for øvrig e setig som er kjet som Abels teorem) c) Bestem realdele for l(+z) uttrykt ved r og θ Sammelig med realdele for θ rekka, og fi e rekke for l cos ved å sette r = Agi + ( ) kovergesområdet for θ Bruk rekka til å vise at = l Oppgave 4 I dee oppgave skal vi beytte Fouriertrasformasjoee på forme iω f ( ) = F( ω) e dω π iω F( ω) = f( e ) d π Gitt fuksjoe f() ved (a>) + a a f ( ) = + a a ellers a) Teg e figur som viser f() Fi de Fouriertrasformerte F(ω) til f() b) Uttrykk f() ved hjelp av uttrykket du har fuet for F(ω) (Fourieritegral, itegralet skal ikke løses) c) Vis ved hjelp av resultatet fra b) at cosω π dω = ω = 3

14 Oppgave 5 Bruk Laplace-trasformasjo til å løse differesialligige ( hammerslag ) y'' + 3 y' + y= δ ( t ), med betigelsee y() = y'() = δ(t-) beteger Diracs delta-fuksjo Vis løsige di i e ekel figur, dvs y som fukjso av t omkrig t= Frist for ileverig: Fredag 3 mars kl 5 Leveres på istituttkotoret (låst skuff) Skriv kadidatr på besvarelse, ikke av Hjemmeeksame FYS34/44 V7 Kortfattet løsig Oppgave iπz e Starter med itegralet dz, der itegrasjosveie C er e lukket ( 4 z )(+ 4 z ) C kurve fra R til R på de reelle akse og e halvsirkel med radius R i øvre halvpla Etter Jordas lemma vil itegralet over halvsirkele gå mot ull år R Side itegrade har poler på de reelle akse for z=-/ og z=/, må vi også legge små halvsirkler rudt disse i øvre halvpla Videre er det i øvre halvpla e pol for z=i/ Prisipalverdie av itegralet er da gitt ved cosπ P d= πire sz ( = i/) + πires [ ( z = /) + Re sz ( = /) ] ( 4 )(+ 4 ) Alle polee er ekle, og vi har π Re sz ( = i/) = ie, 8 i Re sz ( = /) = Re sz ( = /) = 8 π cosπ π Resultatet blir da til slutt I = P d ( e ) = + ( 4 )(+ 4 ) 8 Oppgave Differesialligige på stadard form y'' + y' + y= Vi ser at ligige har et regulært sigulært pukt i origo, slik at de har løsig i form + s av e rekke y ( ) = a, a = Ideksligige blir ( φ() =, ψ() = ) s + s =, dvs s =, s = Isatt i diff ligige fier vi s [ ] + + s a ( + s)( + s ) + ( + s) + a = = = 4

15 Spesialtilfellee er: =: a [ ss ( ) + s ] =, som gir s = og s =-, som vi allerede har fuet =: a [ s s s ] : ( + ) + ( + ) = a = a [( + s)( + s ) + ( + s) ] For s=s =- fier vi a =, og dermed a = for alle odde Videre fier vi a = a /, a 4 =-a /8, etc Og vi har e løsig (setter a =) y( ) = For s=s = fier vi også a =, og igje a = for alle odde Her fier vi e løsig 3 5 ( ) y = + 8 Vi har dermed fuet to lieæert uavhegige løsiger i form av to rekker, og de geerelle løsige blir y ( ) = cy ( ) + cy ( ) Oppgave 3 a) b) i = = og f( z) = az = are θ, = = ur (, θ) = ar cos θ, vr (, θ) = ar si θ, dvs Fourier cosius- og siusrekker For r= ser vi spesielt at det er e ekel sammeheg mellom Taylorrekka og Fourierrekka på kompleks form ( ) + f( z) = l( + z) = az, a = f (), som gir a = ( ) for >, =! a =f()= Dermed blir rekka: + z l( + z) = ( ) Koverges: = + a z az + + = z <, dvs for z < For z=- blir rekka, som er diverget = c) l( + z) = l + z + iφ+ iπ, og realdele er l + z i / l + z = l + re θ = l (+ r + rcos θ) Sammeliget med realdele av rekka får vi: / + r l (+ r + rcos θ) = ( ) cos θ = For r= blir det eklere: 5

16 / θ / θ + cos θ l (+ cos θ ) = l (4cos ) = l cos = ( ) = θ Vi har altså fuet e Fourier cosiusrekke for l cos Vi ser at vi må ha θ cos, dvs θ ± π, som betyr z, som vetet For adre verdier av θ skal rekka være koverget etter Abels teorem + ( ) Setter vi θ= får vi summert rekka l= = Oppgave 4 a) Vi ser at f() er e like-fuksjo, slik at Fouriertrasformasjoe blir e cosiustrasformasjo: iω F( ω) = f ( e ) d f( )cos( ωd ) π = π = (+ a)cos( ωd ) + ( + a)cos( ωd ) π π a a = ( a)cos( ωd ) π + Utreget gir dette itegralet 4 F( ω) = [ cos( ωa) ] π ω b) Vi merker oss at F(ω) er e like-fuksjo i ω, som vetet, slik at Fourieritegralet for f() også blir e cosius-trasformasjo: iω f( ) = F( ω) e dω F( ω)cos( ωd ) ω π = π cos( ωa) = cos( ωd ) ω π ω c) Vi setter =, dvs f()=a, og a= og har cosω cos = d, ω π og dermed ω cos dω ω dω π ω = ω = ω Oppgave 5 sa Først merker vi oss at de Laplace-trasformerte av deltafuksjoe δ(t-a) er e Med betigelsee y() = y'() = gir Laplace-trasformasjo av diff ligige ( s 3s ) Y() s e s, + + = der Y(s) er de Laplace-trasformerte av y(t) Videre: s s s e e e Y() s = = s + 3s+ s+ s+ a 6

17 Det følger av dette uttrykket at ( t ) ( t ) yt () = Ht ( ) e Ht ( ) e, der Ht ( ) er Heaviside step-fuksjo Løsige ka også skrives slik: t < yt () = ( t ) ( t ) e e t > HJEMMEEKSAMEN FYS34/44 VÅREN 5 Oppgave a) Fi Lauretrekka om z=- for fuksjoe f( z) = ( z 3)si z + Hva er kovergesområdet? (Agi de fire første leddee i rekka) Bereg så itegralet z+ = f ( zdz ) b) Fi e Lauretrekke om z=3 som kovergerer for < z-3 <3 for fuksjoe f( z) = zz ( 3) Agi de fire første leddee i rekka Bereg så itegralee f( zdz ) og f( zdz ) z 3 = z 3 = 4 Oppgave a) Bereg prisipalverdie av følgede itegral: si P d, a der a er e reell kostat og a Kommeter tilfellet a= (svar: π cos a, hit: Jordas lemma) b) Vi starter å med de to itegralee (ta gjere dette puktet og c) edefor til slutt) iz iz ze ze I = dz og I = dz, z ( a+ iε) z ( a iε) C C 7

18 Der a og ε er reelle kostater, a> og ε> Vis ved å velge passede itegrasjosveier C og C at vi får i e ε ia d= πie e, ( a+ iε) i e ε d= πie e ( a iε) ia c) Beytt de to itegralee fuet ovefor til å berege lim si si d+ d ε ( a+ iε) ( a iε) Sammelig med resultatet uder a), og kommeter! Oppgave 3 Fi de geerelle løsige av de ihomogee differesialligige e y'' y' + y = (Hit: variasjo av kostatee) Oppgave 4 Vi skal i dee oppgave forsøke å løse differesialligige y'' + y' y= ved hjelp av Fröbeiusmetode (rekkeløsig) a) Vis at ideksligige gir de to løsigee s = og s =- Gjør rede for at s =- ikke gir oe løsig b) Vis at s= gir e løsig y () i form av e rekke som lett lar seg summere (til e ekel fuksjo, test resultatet på diff ligige!) c) Forsøk å fie e ae løsig y () ved variasjo av kostate (du eder ok opp med et problematisk itegral som ikke skal løses) Oppgave 5 Fi Fourierrekka for fuksjoe f() gitt ved f( ) = ( L+ ) L <, f( ) = ( L ) < L Bruk resultatet til å bestemme summe si( ) = Kortfattet besvarelse Hjemmeeksame FYS34/44 V5 8

19 Oppgave a) Skriver z-3 som z+-5, rekkeutvikler siusfuksjoe, og får 5 5 f( z) = 3 z+ 3!( z+ ) + 3!( z+ ) + Rekka kovergerer for z - Vi ser videre at f(z) har e vesetlig sigularitet for z=- Videre leser vi av Resf(z=-)=-5, og itegralet blir lik -πi b) Her rekkeutvikler vi /z om z=3 ved at vi først setter z=z-3+3 Resultatet blir ( z 3) f ( z) = ( ), koverget for < z 3 < 3 + = 3 f(z) har e pol av orde i z=3, og rekka gir direkte Resf(z=3)=-/9, og itegralet rudt sirkele z-3 = blir da lik -πi/9 Itegrasjosveie z-3 =4 omslutter begge sigularitetee, og er lik itegralet rudt e sirkel med uedelig radius, dvs lik ull (Du får samme svar ved å bestemme residyet også for z=) Oppgave iz ze a) Vi starter med itegralet dz og lar C være e halvsirkel om origo i øvre z a C halvpla, samt små halvsirkler i øvre halvpla om de to sigulære puktee a og a Når vi beytter Jordas lemma for itegralet lags de store halvsirkele (R ), samt lar radie i de små halvsirklee gå mot ull, fier vi i e P d= πi [ Re sf( a) + Re sf( a) ] a Videre fies (ekle poler) Resf(-a)= ia e, Resf(a)= ia e, og resultatet blir si P d= πcos a a b) For itegralet I velger vi e itegrasjosvei lags de reelle akse og e halvsirkel i øvre halvpla som omslutter pole i z=a+iε Vi får da ved å beytte Jordas lemma det oppgitte resultat For I ka vi legge halvsirkele i edre halvpla slik at pole i z=a-iε omsluttes (husk at det å blir egativ itegrasjosretig) Jordas lemma gjelder da år radie for halvsirkele går mot uedelig, og resultatet blir som oppgitt Alterativt ka vi substituere z=-z, dz=-dz, og itegrere lags e halvsirkel i øvre halvpla (pass på itegrasjosretige! z=-r gir z =R) c) Ved å ta halve differese mellom de to itegralee uder b) og bestemme grese for ε fier vi igje prisipalverdie for itegralet, dvs π cos a Dette gir e ae måte å bestemme prisipalverdie av et itegral, dvs vi starter med poler utefor de reelle akse, og flytter disse til de reelle akse Geerelt skal ma være forsiktig med sigulære itegraler, de ka få ulike verdier for ulike greseprosesser Prøv itegralet med cos og sammelig resultater fra a og b! 9

20 Oppgave 3 De homogee dele av differesialligige e y'' y' + y= har løsige yc ( ) = Ce + Ce E partikulær løsig for de ihomogee ligige fies ved hjelp av metode med variasjo av kostatee: y ( ) = C ( e ) + C ( e ), p som girc( ) = og C( ) = l Løsige av differesialligige blir da y ( ) = y ( ) + y ( ) = Ce + Ce + e l (C = C ) c p 3 3 Vi ser at y() har forme y()=g()e, dvs faktorisert, så e alterativ løsigsmåte ville være faktoriserig, me det kue vi jo ikke så lett gjette på i utgagspuktet Oppgave 4 a) Vi skriver først ligige på forme y'' + ( y ) ' y= Prøver rekkeløsig + s y ( ) = a, a = Isatt i differesialligige fies s + [ ] + + s a ( + + s)( + s) + ( + s+ ) a ( + s+ ) = = = Dette gir for =- ideksligige s(s-)+s= med løsiger s = og s =- For fies videre relasjoe + s+ a+ = a = a ( + + s)( + s) + ( + s+ ) + + s Prøver først s=- som gir a = a +, og dermed a =, mot forutsetige om a Dermed fies ige løsig for s=- b) Prøver så s= som gir + a+ = a = a = a, eller a = a ( + ) + ( + ) + ( + )!! Dermed har vi e løsig y( ) = a = ae! =

21 c) E ae løsig y () ka fies ved variasjo av kostate, dvs av y( ) = Ce ( ) Isatt i diff ligige fies C''( ) + ( + ) C'( ) = e Dette er e førsteordes ligig i C () som har løsige C'( ) =, som gir e e e C ( ) = d= d Her er det så videre mulig å rekkeutvikle itegrade og itegrere rekka ledd for ledd slik at det fies e form for rekkeløsig også for y () Vi merker oss at y () som vetet har e sigularitet i origo Oppgave 5 Fourierrekka er geerelt gitt ved a π π f ( ) = + acos + bsi, = L = L og koeffisietee fies av L L π π a = f( )cos d, b f( )si d L = L L L L L Vi merker oss at f() i dee oppgave er e odde-fuksjo, slik at vi har a = for alle Videre fier vi for b side f() er odde-fuksjo L L L π π π b = f( )si d f( )si d ( L )si d L = L L = L L L L For å bestemme b behøver vi følgede itegraler: L π L si d = ( ), L π L π L si d = ( ) (delvis itegrasjo) L π Til samme fies da L b =, π og fourierrekka for f() blir L π f( ) = si π = L For L=π fies spesielt ` ( π + ) π < si = = ( π ) < π

22 HJEMMEEKSAMEN FYS34 VÅREN 4 (Frist for ileverig: Fredag 3april) Oppgave a) De Fouriertrasformerte til e fuksjo f(t) er gitt ved ibω e F( ω) =, ω + a der a og b er reelle kostater, a> og b> Fuksjoe f(t) er da gitt ved ibω iωt e e f() t = dω π ω + a Bestem dette itegralet og dermed f(t) ved å ata at ω er e kompleks variabel, og velg e passede itegrasjosvei i det komplekse plaet (Hit: Du ka få bruk for Jordas lemma Observer at t-b ka være både positiv og egativ Se også oppgave 3a i læreboka) b) Ata å at vi har F( ω) =, a er reell og a ω a > Fi f(t) som uder a) ved å la ω være e kompleks variabel (Hit: Du må å bestemme prisipalverdie av itegralet) (svar b): π f() t = si a t ) a Oppgave Løs Laguerres differesialligig y'' + ( y ) ' + λ y= ved Fröbeius-metode Du vil fie s =s, dvs du fier bare e løsig, og skal ikke prøve å fie e ae Gjør rede for at løsige du har fuet blir et polyom av grad N dersom du atar λ=n, der N er et helt tall, N Vis at i dette tilfelle blir løsige Oppgave 3 N! y ( ) = a ( ) N N = ( N )!(!) Vi skal i dee oppgave se på løsige av differesialligige

23 '' + ' + ( + k ) = Ft (), k, med betigelsee ()= ()= Dee ligige ka for eksempel represetere bevegelse til e dempet oscillator med ytre påtrykt kraft F(t) a) Ata F(t)=H(t), der H(t) er Heaviside step-fuksjo Løs ligige ved hjelp av Laplace-trasformasjo Til å ivertere Laplace-trasformasjoe ka du bruke foldigsteoremet ( Covolutio theorem ) eller delbrøkoppspaltig Prøv begge deler! Med e mer geerell form for krafte F(t) ka det fort bli problemer med Laplacetrasformasjoe Tekikke med Grees-fuksjo ka da være best eget b) Skriv ed differesialligige for Grees-fuksjoe G(t,τ) for problemet vårt Gjør rede for at vi har t () = Gt (, τ) F( τ) dτ Vis at G(t,τ) er gitt ved [ ] [ ] t Gt (, τ) = e A( τ)cos kt+ B( τ)si kt, t < τ t Gt (, τ) = e C( τ)cos kt+ D( τ)si kt, t > τ d c) Gjør rede for at vi ka ata G(,τ)= og Gt (, τ ) t= = Bruk disse betigelsee dt d samme med kravee til G(t,τ) og Gt (, τ ) ved t=τ til å bestemme A(τ), B(τ), dt C(τ) og D(τ) d) Vis at ( t τ) Gt (, τ) = e si kt ( τ), t > τ k Gt (, τ) =, t < τ e) Fi (t) for F(t)=H(t) Kjeer du igje itegralet for (t) fra a)? Du bør uasett metode fie t () = e coskt e si kt t t + k k Oppgave 4 Eksame FYS 995 oppgave 4 (Se kompedium med oppgaver for FYS) Løsig hjemmeeksame FYS34 V4 3

24 Oppgave a) Start med itegralet it ( b) z e dz π z + a Itegrasjosvei: Halvsirkel i øvre halvpla med radius R Itegrade har e ekel pol i at ( b) e øvre halvpla i z=ia, med tilhørede residy lik For t b vil itegralet π ia over halvsirkele gå mot ull år R etter Jordas lemma Resultatet blir da π f t d e t b iω( t b) e at ( b) () = ω for π = ω + a a For tilfellet t<b vil vi kue bruke Jordas lemma ved å legge itegrasjosveie til edre halvpla Ma ka også gjøre e ekel substitusjo av itegrasjosvariabel til w=-z, beholde itegrasjosvie i øvre halvpla, me å med motsatt itegrasjosretig Det geerelt riktige svaret blir som ovefor, me med t-b erstattet med t-b b) Itegrasjosveie blir som for a), me å er det ekle poler på de reelle akse i a og a Vi legger små halvsirkler i øvre halvpla med setrum i a og a hhv Det er å ige adre poler, of f(t) blir gitt ved prisipalverdie av itegralet: iω t e f() t = P dω = πi(re s( a) + Re sa ( )) π ω a π = si at a Her har vi også brukt Jordas lemma for øvre halvpla og atatt t For t< ka vi gjøre som uder a), legge itegrasjosveie til edre halvpla, eller eklest substituere w=-z Resultatet blir at t i svaret ovefor geerelt må erstattes med t Oppgave Laguerres differesialligig: Fröbeius: y'' + ( y ) ' + λ y= y= a = + s Isatt gir det ideksligige (=-): ass ( ) + as =, og med a fier vi da s =s =, dvs bare e løsig For >- gjelder relasjoe a λ = ( + ) + a 4

25 Vi ser at for λ=n vil rekka bryte av, dvs a + = for N Med s= blir da løsige et polyom av grad N E fier videre at a N! = ( ) a, og ( N )!(!) N N! yn ( ) = a ( ) = ( N )!(!) (Kommetar: På side 545 i læreboka fies ideksligige og dermed s (eller σ) ved å dele med z σ-, og så sette z= Ma må være forsiktig med hva ma deler med, bla ikke Dette er ige god fremgagsmåte, ideksligige fies av at rekka dere fier må være lik ledd for ledd (ulike poteser, se forelesig) Vi trekker ikke poeg for dere som har løst problemet slik, me dere får e kommetar) Oppgave 3 Differesialligige '' + ' + ( + k ) = Ft (), k a) Med F(t)=H(t) og de gitte betigelser blir de Laplacetrasformerte av gitt ved k L[ ] = GsFs () () s ( s+ ) + k = s k ( s+ ) + k = Vi ser at de Laplace-trasformerte er faktorisert som G(s)F(s), svarede til g(t)= og t f() t = e si kt k Etter foldigsteoremet er da (t) gitt ved t τ t t () = e sikτdτ e (coskt si kt) k = + + k k Dette resultatet kue også fies ved delbrøkoppspaltig: s + = ( ) k s s k + s ( s+ ) + k ( s+ ) + k + + b) Grees-fuksjo Iitialbetigelsee gitt ved t=, og vi ka vi la t gå til Differesialligige som bestemmer G(t,τ) er som følger: d d Gt (, τ) + Gt (, τ) + ( + k ) Gt (, τ) = δ( t τ) dt dt Vi har separate løsiger for t<τ og t>τ hvor ligige er homoge Løsigee er gitt i oppgavetekste 5

26 c) Av t () = Gt (, τ) F( τ) dτ følger at ()= og () er oppfylt ved å kreve G(,τ)= d og Gt (, τ ) t= = Videre har vi kravet om at G(t,τ) skal være kotiuerlig for t=τ, dt d mes Gt (, τ ) skal ha e diskotiuitet på ved t=τ Vi fier da lett at A(τ)=B(τ)= dt C(τ) og D(τ) fies av ligigssettet C( τ)cos kτ + D( τ)sikτ = -C( τ)sik τ+d( τ)cosk τ= k Løsige er τ τ C( τ) = e si kτ, D( τ) = e cos kτ k k Dette gir da løsigee for G(t,τ) so er gitt i oppgave: ( t τ) Gt (, τ) = e si kt ( τ), t > τ k Gt (, τ) =, t < τ e τ e) Side G(t,τ)= for t<τ behøver vi bare å itegrere fra til t år vi skal bestemme (t) Med F(t)=H(t) fier vi da: t t ( t τ) t () = Gt (, τ) F( τ) dτ = e si kt ( τ) dτ k t u = e si kudu, u = t τ k Resultatet blir som oppgitt i oppgave og fuet uder a) Vi ser at Grees-fuksjoe gir samme itegralet for (t) som vi fat ved bruk av Laplace-trasformasjo og foldigsteoremet Oppgave 4 Laplace-lgige i plae polarkoordiater r og θ: ur (, θ) ur (, θ) ur θ = r + = (, ) ( ) r r r r θ a) Separasjo av variable: u(r,θ)=r(r)f(θ) gir følgede ligiger for R(r) og f(θ): 6

27 drr () dr() r r + r = λ Rr () dr dr d f( θ ) = λ f( θ) dθ Ligige for R(r) er av Euler-Cauchy type og har løsig λ λ Rr () = Cr + Dr, mes ligige for f(θ) er e valig svigeligig med løsig iλθ iλθ f( θ ) = Ee + Fe Betigelse u(r,θ)=u(r,θ+π) krever i λπ iλπ e = e =, eller λπ = mπ, m=,,3,,, dvs λ=m For å kue oppfylle dee betigelse ag θ må vi ha e svigeligig, dvs separasjoskostate må velges positiv, dvs som λ For λ= fier vi R(r)=alr+b f(θ)=cθ+d (a, b, c og d kostater), og betigelse ag θ er oppfylt for c= Ved å omskrive løsige for f(θ) til trigoometrisk form fier vi løsiger av type u (, r θ) = A ()cos r mθ + B ()si r mθ, m m m A () r = C r + D r ' m ' m m m m B () r = C r + D r '' m '' m m m m A() r = al r+ b Superposisjo av slike løsiger gir da e geerell løsig: [ m m ] ur (, θ) = A ()cos r mθ + B ()si r mθ m= b) For å oppfylle betigelse u(r,θ) år r må vi ha C C a b ' '' m = m = = = Videre medfører betigelse u(d,θ)=g(θ)=-g(-θ) at u(r,θ) må være e odde-fuksjo i θ, ' og dermed må vi ha e siusrekke, dvs vi må også ha D = Vi har da følgede: m ur (, θ) = D r simθ m= m= '' m m ud (, θ) = D d si mθ = g( θ) '' m m Av de siste ligige ovefor fier vi så: 7

28 π '' m D m = d si mθg ( θ ) dθ ved å beytte at π π π Til samme får vi da π simθ siθdθ = simθsi θdθ = πδ m m π d B () r = g( θ)si mθdθ, A () r = m m π r c) Vi må dele itegralet som bestemmer Resultatet blir: '' D m opp to deler, fra til π/, og fra π/ til π '' V m m D m = d ( ( ) ), og πm m 8V d ur (, θ) = si mθ m π mr m=,3,5,, 8