UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Eksamen i AST5220/9420 Kosmologi II Eksamensdag: Fredag 11. juni 2010 Tid for eksamen: Oppgavesettet er på 4 sider. Vedlegg: Ingen Tillatte hjelpemidler: Ingen. Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare spørsmålene. Merk at AST5220-studenter skal besvare oppgavene 1)-4), mens AST9420-studenter skal besvare oppgavene 1)-3) og 5), men ikke oppgave 4). Hver oppgave teller 25% av endelig resultat. 1

2 Oppgave 1 Oppvarming (AST5220 og AST9420) Besvar hvert spørsmål med tre-fire linjer. a) Hva er den fysiske tolkningen av konform tid? b) Hvordan skalerer den fysiske tettheten av baryoner som funksjon av skalafaktoren, a? Og hvordan skalerer energitettheten av fotoner? Hva er forskjellen på disse? c) Skriv ned Boltzmann-likningen på skjematisk form. Hva beskrives av henholdsvis venstre og høyre side? d) Omtrent ved hvilken rødforskyvning inntreffer rekombinasjonen? Og ved hvilken temperatur? e) Hva er den fysiske tolkningen av temperatur-monopolen θ 0 (k, η)? f) Hva er grunnen(e) til at man må løse Einstein-Boltzmann likningene separat i tett-koblings-området og ved senere tider? g) Hva måler CMB power spekteret, C l? 2

3 Oppgave 2 Fysisk tolkning (AST5220 og AST9420) log X Time, x Figur 1: En funksjon X plottet for 100 forskjellige verdier av bølgetallet k, som funksjon av tid, x. Figur 1 viser en størrelse, X, som inngår i løsningen av Einstein- Boltzmann-likningene, plottet for 100 forskjellige verdier av k (mellom 0.1 og 1000 H 0 /c) og som funksjon av tid, x, der x = lna. a) Hvilken funksjon er plottet her? b) Hvilke hovedfaser kan man se? c) Forklar fysisk den generelle oppførselen til funksjonene. 3

4 Oppgave 3 Tensor-perturbasjoner (AST5220 og AST9420) Metrikken for tensor-perturbasjoner er gitt ved g 00 = 1 og 1 + h + h 0 g ij = a 2 h 1 h + 0, (1) der h + og h er små størrelser. Denne metrikken beskriver gravitasjonsbølger som propagerer langs z-aksen. Vi definerer så h + h 0 H ij = h h + 0, (2) slik at den romlige metrikken kan skrives g ij = a 2 (δ ij + H ij ). De eneste Christoffel-symbolene forskjellige fra null for denne metrikken er og Ricci-tensor-elementene er Γ 0 ij =? (3) Γ i 0j = Hδ ij H ij,0 (4) Γ i jk = i 2 [k kh ij + k j H ik k i H jk ] (5) R 00 =? (6) ( ) d 2 a dt R ij = g 2 ij a + 2H a2 HH ij,0 + a 2H ij 2 + k2 2 H ij (7) a) Regn ut Γ 0 ij. b) Regn ut Ricci-tensor-elementet R 00. 4

5 Oppgave 4 Initialbetingelser for Θ 0 (AST5220) I denne oppgaven skal du utlede initial-betingelsen for Θ 0 gitt Φ. Utgangspunktet for dette er de fulle Boltzmann-likningene listet opp i appendikset, som så skal forenkles. Det første steget på denne prosessen er å fjerne alle ledd som multipliseres med k. a) Hvorfor er dette en gyldig tilnærming? b) Vis at den korrekte initialbetingelsen for Θ 0 er fra Boltzmann-likningene. Θ 0 = 1 2 Φ (8) Oppgave 5 Einstein-likningen for tensor-perturbasjoner (AST9420) Utled første-ordens Einstein-likning for h (= h + og h ) for tensor-perturbasjoner. Hvordan type likning er dette? Skisser løsningene for noen forskjellige relevante verdier av k. 5

6 1 Appendix 1.1 General relativity Suppose that the structure of spacetime is described by some metric g µν. The Christoffel symbols are Γ µ αβ = gµν 2 [ gαν x + g βν β x g αβ α x ν ] (9) The Ricci tensor reads R µν = Γ α µν,α Γ α µα,ν + Γ α βαγ β µν Γ α βνγ β µα (10) The Einstein equations reads R µν 1 2 g µνr = 8πGT µν (11) where R R µ µ is the Ricci scalar, and T µν is the energymomentum tensor. For a perfect fluid, the energy-momentum tensor is ρ T ν µ = 0 p p 0, (12) p where ρ is the density of the fluid and p is the pressure. 6

7 1.2 Background cosmology Four time variables: t = physical time, η = t 0 a 1 (t)dt = conformal time, a = scale factor, x = lna Friedmann-Robertson-Walker metric for flat space: ds 2 = dt 2 + a 2 (t)δ ij dx i dx j = a 2 (η)( dη 2 + δ ij dx i dx j ) Friedmann s equations: H 1 da a dt = H 0 (Ωm + Ω b )a 3 + Ω r a 4 + Ω Λ (13) H 1 da a dη = H 0 (Ωm + Ω b )a 1 + Ω r a 2 + Ω Λ a 2 (14) Conformal time as a function of scale factor: η(a) = a 0 da a H(a ) (15) 7

8 1.3 The perturbation equations Einstein-Boltzmann equations: Θ 0 = k H Θ 1 Φ, (16) Θ 1 = k 3H Θ 0 2k 3H Θ 2 + k [ 3H Ψ + τ Θ ] 3 v b, (17) [ Θ lk l = (2l + 1)H Θ (l + 1)k l 1 (2l + 1)H Θ l+1 + τ Θ l 1 ] 10 Θ lδ l,2, l 2 (18) Θ l+1 = k H Θ l 1 l + 1 Hη(x) Θ l + τ Θ l, l = l max (19) δ = k H v 3Φ (20) v = v k H Ψ (21) δ b = k H v b 3Φ (22) v b = v b k H Ψ + τ R(3Θ 1 + v b ) (23) Φ = Ψ k2 3H 2Φ + H2 0 2H 2 [ Ωm a 1 δ + Ω b a 1 δ b + 4Ω r a 2 Θ 0 ] (24) Ψ = Φ 12H2 0 k 2 a 2 Ω rθ 2 (25) 8

9 1.4 Initial conditions Φ = 1 (26) δ = δ b = 3 2 Φ (27) v = v b = k 2H Φ (28) Θ 0 = 1 2 Φ (29) Θ 1 = k 6H Φ (30) Θ 2 = 8k 15Hτ Θ 1 (31) Θ l = l k 2l + 1 Hτ Θ l 1 (32) 1.5 Recombination and the visibility function Optical depth Visibility function: η0 0 τ(η) = η0 η τ = n eσ T a H n e σ T adη (33) (34) g(η) = τe τ(η) = Hτ e τ(x) = g(x) (35) g(x) = τ e τ = g(x) H, (36) g(η)dη = 0 g(x)dx = 1. (37) 9

10 The Saha equation, X 2 e 1 X e = 1 n b ( ) 3/2 me T b e ǫ 0/T b, (38) 2π where n b = Ω bρ c m h a, ρ 3 c = 3H2 0 8πG, T b = T r = T 0 /a = 2.725K/a, and ǫ 0 = eV. The Peebles equation, dx e dx = C r(t b ) [ ] β(t b )(1 X e ) n H α (2) (T b )Xe 2, (39) n b where Λ 2s 1s + Λ α C r (T b ) = Λ 2s 1s + Λ α + β (2) (T b ), (40) Λ 2s 1s = 8.227s 1 (41) Λ α = H (3ǫ 0) 3 (8π) 2 n 1s (42) n 1s = (1 X e )n H (43) β (2) (T b ) = β(t b )e 3ǫ 0/4T b (44) ( ) 3/2 β(t b ) = α (2) me T b (T b ) e ǫ 0/T b (45) 2π α (2) (T b ) = 64π α 2 ǫ0 φ 27π m 2 2 (T b ) (46) e T b φ 2 (T b ) = ln(ǫ 0 /T b ) (47) 10

11 1.6 The CMB power spectrum 1. The source function:» S(k, x) = g Θ 0 + Ψ Θ 2 + e τ ˆΨ + Φ 1 k d dx (H gv b) + 3» d 4k 2 H d dx dx (H gθ 2)» d H d dx dx (H gθ 2) = d(hh ) gθ 2 + 3HH ( gθ 2 + gθ dx 2) + H 2 ( g Θ g Θ 2 + gθ 2), (49) Θ 2 = 2k» H 5H H Θ 1 + Θ ˆτ Θ 2 + τ Θ 3k 10 2» H 5H H Θ 3 + Θ 3 (50) 2. The transfer function: (48) Θ l (k,x = 0) = 0 S(k,x)j l [k(η 0 η(x))]dx (51) 3. The CMB spectrum: C l = 0 ( k H 0 ) n 1 Θ 2 l (k) dk k (52) 11