Avdeling for ingeniørutdanning. Eksamen i Diskret matematikk

Transkript

1 wwwhioo Avdelig fo igeiøutdig Esme i Diset mtemti Dto: 3 feu Tid: 9 4 Atll side ilusive foside: 7 Atll oppgve: Tilltte hjelpemidle: Ku hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst Med: Kdidte må selv otollee t oppgvesettet e fullstedig Ved evetuelle ulhete i oppgveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige Fglig veilede: Ulf Uttesud Uteidet v fglæe): Ulf Uttesud Kotollet v e v disse): Ae læe Seso Studielede/ Fgoodito Roy Istd Studieledes/ Fgooditos udesift: Emeode: FO9A

2 Alle de oppgvee telle lit Det e ie sli t lette oppgve omme føst og vselige til slutt Bu defo ie fo mye tid på e oppgve du ie få til Pøv istede e y oppgve Alle sv sl egues! Det fo esempel sje ved t du t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst Oppgve ) Et logis utsg lles e selvmotsigelse hvis utsget lltid e ust Avgjø om følgede smmestte utsg e e selvmotsigelse elle ie? p q)) ) L m og væe hele tll Fomule følgede fie utsg med od og vgjø hvile v dem som e se: Oppgve i) m m > ), ii) m m > ), iii) m m > ), iv) m m > ) ) L A, B og C væe vilålige megde Lg Ve-digm og své megde A B C) C B)) ) I e guppe på 9 pesoe e det 5 som ue tog til joe, 4 som ue uss og 3 som ue ti Det e videe som ue åde uss og tog, som ue åde uss og ti, 3 som ue åde tog og ti og til slutt 3 som ue lle te tspotmidlee Hvo mge e det som ie ue oe v de te tspotmidlee? Hvo mge e det som u ue tog? Oppgve 3 L A væe megde v de ie-egtive hele tllee, dvs A {,,, } L fusjoee f : A A og g : A A væe defiet ved f ) mod og g ) div ) Fi f ) og g ) fo, 3 og 33 ) Fi vedimegdee V f og V g til fusjoee f og g ) E f e-til-e? E f på? E g e-til-e? E g på? Oppgve 4 Gitt mtisee Fi A B, T A og A og B T T AA A e de tspoete til A, T AA e A multipliset med T A )

3 3 Oppgve 5 E itseves e e seves eefølge) med ite elle ) ) Hvo mge fosjellige itsevese med legde 8 fies det? ) Hvo mge fosjellige itsevese med legde 8 e det som ieholde øytig te -e? ) Hvo mge fosjellige itsevese med legde 8 e det som ieholde flee - e e -ee? Oppgve 6 Gitt diffeesligige, >,, ) Fi og 3 ) Fi e fomel fo ) Fi 3 Oppgve 7 Det e gitt et 3 4 ett Se Figu Vi sl fie veie f ute A til ute B Det e u lov å gå ett oppove vetilt) elle ett til høye hoisotlt) Figu og Figu 3 ieholde to mulige veie f A til B Det å gå f e ute og til oute ett ovefo mees med et -it, og det å gå f e ute og til oute ett til høye mees med e -it Veie i Figu defo esives som og de i Figu 3 som Geeelt vi si t e vei f A til B e det smme som e itseves med legde 5 de det e øytig to -ite og demed øytig te -ite) ) Teg de veie som e gitt ved itsevese ) Hvo mge fosjellige veie v dee type f A til B fies det? ) L m og væe to hele tll de m og At t vi h et m ett de ute legst ede til veste hete A og de legst oppe til høye hete B Hvo mge fosjellige veie v dee type vil det d fies f A til B?

4 4 Oppgve 8 ) Tllet 8 e gitt på desiml fom Fi på iæ fom og på hesdesiml fom ) Tllet ABC6 e gitt på hesdesiml fom Fi på otl fom ) Tllet e gitt på iæ fom Fi på desiml fom Oppgve 9 L A {,, 3, 4} og R elsjoe på A gitt ved R {,),,3),,3),,4), 3,4), 4,)} ) Teg gfe G R og sett opp mtise M R til elsjoe R E R tsitiv? ) Sett opp lle tllp, ) sli t det gå e vei med legde f til ) Fi det logise mtisepodutet M R M R Oppgve Følgede figu ieholde e gf med 7 pute, dvs A, B, C, D, E, F og G ) Fi gde til hvet v de 7 putee i gfe ) H gfe e luet Eule-vei? H gfe e ie-luet Eule-vei? ) E det mulig å utvide gfe med u é est t sli t de d få e ieluet Eule-vei? Sett i så fll opp dee veie

5 5 Defiisjoe og fomele Noe evivlese f utsgslogi: p q ) p q) p ) p q ) p q) p ) p q) p q p q) p q p q p q p q q p xp x) x P x) xp x) x P x) Noe megdeidetitete: A B C) A B) A C) A B C) A B) A C) A B A B A B A B Kdilitet tllet elemete i e uio: A B A B A B A B C A B C A B A C B C A B C Fusjoe: I fusjoe f : A B ety A defiisjosmegde og B vediomåde E fusjo f : A B e e-til-e hvis, A og, medføe t f ) f ) E fusjo f : A B e på hvis B) A) sli t f ) Heltllsdivisjo divisjoslgoitme), div og mod: L væe et heltll og d et positivt heltll D fies etydige heltll q og med < d sli t dq Opesjoee div og mod defiees ved t div d q og mod d Moduloegig: L m væe et positivt heltll To heltll og lles evivlete modulo m hvis m gå opp i og det eteges med modm) Ree: Geometis ee:, Aitmetis ee: Summe v føste og siste ledd gget med tll ledd, delt med

6 6 Biomiloeffisiete:! ) ) )!!!,,,,, Biomilteoemet: ) Atll fosjellige utvlg på stye f e smlig på stye: Odet ute tileleggig: ) ) Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «pigeohole»-pisippet: Hvis N ojete sl plssees i ose, må mist é os ieholde mist N ojete Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e på fome de og e ostte Ligiges teistise polyom e gitt ved:

7 7 Hvis det teistise polyomet h to fosjellige eelle løsige og, li geeell løsig li α de α og β e vilålige ostte Hvis β sttetigelsee og e gitt, fie e α og β ved å løse et ligigssystem Hvis det teistise polyomet h u é løsig, li geeell løsig li α β de α og β e vilålige ostte Hvis sttetigelsee og e gitt, fie e α og β ved å løse et ligigssystem Relsjoe: E elsjo R på e megde A e e delmegde v podutmegde A A L R væe e elsjo på e megde A R e eflesiv hvis, ) R fo lle A R e symmetis hvis, ) R, så e, ) R R e tisymmetis hvis og, ) R, så e, ) R R e tsitiv hvis, ) R og, ) R, så e, ) R R e e evivleselsjo hvis de e eflesiv, symmetis og tsitiv R e e delvis odig hvis de e eflesiv, tisymmetis og tsitiv Gfteoi: Gde til et put i e uettet gf e tllet te yttet til putet Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to pute h e luet Eule-vei e Eule-syel) hvis og e hvis lle putee i gfe h ptllsgd E smmehegede uettet gf h e ie-luet) Eule-vei hvis og e hvis øytig to pute i gfe h oddetllsgd