Oppfriskningskurs i matematikk Oppgaveheftet Oppsummeringsnotater Oppgaver med fasit Høsten 2016 Amir Massoud Hashemi

Transkript

1 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Oppfriskigskurs i mtemtikk Oppgveheftet Oppsummerigsotter Oppgver med fsit Høste 6 Amir Mssoud Hshemi I oppfriskigskurset skl vi prøve å gå gjeom følgede temer: Gruleggede Algebr De reelle kse og itervller Bokstvregig og forkortigsregler Kvdrtsetigee Potesregler Brøkregig Ligiger og ulikheter Polyomer Rsjole uttrykk og polyomdivisjo Fuksjosbegrepet, fuksjoer og grfer Hv er e fuksjo? Hv er e etydig-fuksjo? Iverse fuksjoer Ekspoetregig Potesregler, regler for ekspoetilledd og logritmer K jeg løse ligiger som = b ved hjelp v logritmer? Ekspoetil- og logritme ligiger Ekspoetil- og logritme fuksjoer Avedelser v ekspoetil fuksjoer Trigoometri Litt om Trigoometri i grder; Pytgors-setige, Litt om sius-setig, cosius-setig og relsetig Trigoometri i rdier: Ehetssirkele og trigoometriske fuksjoer Trigoometriske formler Grfe til trigoometriske fuksjoer Ekle trigoometriske ligiger

2 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Studietips Etter t du hr lest pesum og hr reget oppgver systemtisk i løpet v semesteret, k det være yttig å reflektere over det du fktisk hr lært. Lærig skjer først år du klrer å gjøre y kuskp til di ege. Det er yttig å bruke omformigstekikker til å berbeide og klrgjøre det du hr lest for deg selv. Det å skke med medstudeter (eller teke høyt for seg selv) og skrive ege otter gir muligheter til å klrgjøre tkee die skriftlig og å lære deg å teke relevt om det du hr lest. De ye kuskpe du tileger deg må holdes opp mot det du hr lært tidligere og tilpsses med det ye. Jo bedre du klrer å sette y kuskp i smmeheg med etblert kuskp, desto mer klrer du å huske. Dette er både et mål og et middel i lese og lærigsprosessee. Du k spørre deg selv: Hr jeg lært de viktigste delee i fget og hr jeg lært å vede teorie? Hr jeg lært å bruke metodee som det er udervist i til å løse smmestte oppgver? Hr jeg forstått smmehege mellom emer i fget? Her følger e kort oversikt som k være et utggspukt for refleksjo over viktige emer, me det er ikke met t oversikte skl dekke lle detljee i pesum. Oppfriskigskurs Dg : Studietekikk og studietips Gruleggede lgebr Fuksjosbegrepet Litt Ekspoetilregig og logritmer Dg : Trigoometri Ekspoetilregig Hvis det blir tid: Litt Greseverdi og kotiuitet Litt derivsjo og itegrsjo Legg merke til t fsit følger ikke med lle oppgvee i dette heftet. Jeg tr de fleste på tvl. Kommetrer ts imot med glede: hs@hib.o

3 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB De reelle kse og Itervller Oppgve Skriv følgede itervller ) b) Oppgve Skisser følgede itervller på de reelle kse: ) [, > b) [, > Bokstvregig Pretesregler ( ) b + c = b + c ( + b)( c + d) = c + d + bc + bd Kvdrtsetigee ( ± b) = ± b + b (. og. kvdrtsetig) ( + b)( b) = b (. kvdrtsetig) Brøkregig og brudde brøk b c b c + = + Husk: + b + c b c c c = Husk: b d b d b = c b c : c d = = d Husk: : c d = = = d d c c c d c c d c d d : = = Husk: b c d d = : = = b d b c bc c b d b c bc d E brudde brøk består v e brøk i tellere, e brøk i evere og e hovedbrøkstrek mellom dem.

4 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Oppgve Skriv så ekel som mulig: ) f) k) b) y y y 5 + g) c) + 5 b b + b + b b + b l) 5b b h) 7 5 d) e) + ( ) b b m) i) b b b b 5 + j) b + b b b + b b : Poteser med heltllige ekspoeter klles potes (potesledd) og er defiert som: = der er grutll og er et turlig tll og klles ekspoet. Hvis, k vi skrive = og = Poteseregler = m m m = m ( ) = = ( ) m m m gger + ( b) = b = b b p q p q = Husk: = = = Kvdrtrot skrives slik: og =. te rot skrives og k oteres: = Oppgve Skriv så ekel som mulig: ) 6 ( ) : ( ) ( ) b) ( b) ( b ) ( ) ( b ) : ( b ) ( ) ( ) ( ) 6 y y c) y Fsit: ) 6+ ( 6) = = b) b b = c) y = y =

5 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Ligiger Her skl vi fokusere på førstegrds-, dregrdsligiger, oe rsjole og irrsjole ligiger. Førstegrdsligiger E førstegrdslikig er e likig der de ukjete hr ekspoet lik.førstegrdslikig b på klssisk form skrives som + b=, og løsige er d =. Oppgve 5 Løs ligigee: ) 8+ 7= 88 b) + = c) ( ) + = 5 Fsit: 5) = 9 b) = 6 c) = 5 Røtter og ligiger på forme Ligige Og tilsvrede; Husk: = = og =, der > = k h to reelle løsiger for positive -verdier: = ±. = hr lltid mist é positiv løsig; =. = (der er et turlig tll) Oppgve 6 Løs ligigee: ) = 65 b) = Fsit: 6) 5 5 =± b) = = 9 Adregrdsligiger + b + c = Vi hr å gjøre med e dregrdsligig år e ligig hr e ukjet som er opphøyd i. De skrives ofte på dee forme: + b+ c=, der, bog c er reelle tll og Løsigee til dregrdsligige: + b + c = k skrives som: b c > foskjellige reelle løsiger b ± b c, = b c = dobbel løsig b c < ige reelle løsiger c Hvis b =, k ligige + c = h løsigee, = ± b Hvis c =, k ligige + b = h løsigee =, = E dregrdsfuksjo f ( ) = + b + csom hr ullpukt, k fktoriseres med des ullpukt(er): + b + c = ( )( ), der og k bestemmes ved:, ± = b b c 5

6 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Det er hovedskelig tre tilfeller v ligigee: Ige kosttledd c= Ige førstegrdsledd b= + b= ( + b) = = eller + b= b = eller = + c= = c c = c =± Geerell + b+ c= ± = b b b c c> : reelle løsiger Eksempel = ( ) = = eller = eller 9= = 9 9 = =± + 6= = = ± = ± 5 = = eller = ( ) ( 6) b c= : e dobbel løsig Oppgve 7 Løs ligigee: ) + = 5 b) = c) 5= d) e) + = + = = ± = ± = dermed = Oppgve 8 Skriv så ekel som mulig: ) b) = c) ( ) Fsit: 7) {, } b) { } 8) 5( )( + ) +, c) { 5} 5( ) = ± d) { }, e) {, } ( )( ) = ( )( + ) ( + ) b) c) 5 5 ( )( ) 5 = 5 ( ) 6

7 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Rsjole ligiger Oppgve 9 Løs ligigee: ) + = ( + ) b) + = Irrsjole ligiger Vi skl studere oe ekle irrsjole ligiger på forme: + b = c + d og f ( ) + g( ) = som k forekles til e første- eller dregrdsligig. M må lltid sette løsigee på prøve for å sjekke om det hr kommet i uøskede løsiger ved kvdrerig. Oppgve Løs ligigee : ) + = b) 5 + = c) ) + = + = = ± ( ) ( ) + = = = + = = OK! b) = 5 ( ) = 5 = = ± (8) ± 7 7 = 7 5 OK! = = = = 5 NEI! c) 8 = = 8 8 ( 8) = 8 og dermed =, 8 =, = 9 og = ± 8 8 Absoluttverdi Absoluttverdie eller tllverdie til et reelt tll er de umeriske verdie til tllet ute hesy til forteget. De geometriske tolkige v bsoluttverdi k være vstd på tllije. = < Grfe til y = : Husk: = Oppgve Løs ligigee: ) = 5 b) = Fsit: ) { ± 5} b) {, } 7

8 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Ulikheter Ulikheter er et mtemtisk oppsett med opplysiger om hv som er større, midre, større og lik, eller midre og lik oe et. Mist ett v leddee består v e eller flere ukjete. Hv er de viktigste reglee ved løsig v e ulikhet? Reglee år du reger med ulikheter er este de smme som år du reger med ligiger. Det k dderes og subtrheres med smme tll på begge sider. Det k også multipliseres og divideres med et positivt tll på begge sider. Me hvis det skl multipliseres eller divideres med et egtivt tll, må ulikhetsteget sus for t ulikhete skl stemme. Å løse e ulikhet er å fie de verdier v som gjør ulikhete s. Hv må m psse på år m løser ulikheter? Når m løser ulikheter må m psse på å su ulikhetsteget år m multipliserer eller dividerer med egtive tll. Regel : Legge til / trekke fr det smme tllet på begge sider. Eksempel: ulikhet > 6 hr smme løsiger som ulikhete > 8 (De dre ulikhete ble hetet fr de første ved å legge på begge sider.) Regel : Hvis vi bytter sidee i ulikhetee, edrer vi retige på ulikhetsteget. Eksempel: ulikhet > hr smme løsiger som ulikhete <. (Vi hr byttet side og vedte `` >'' til e `` <''). Sist, me ikke mist, de opersjoe som er kilde til lle problemer med ulikheter: Regel : Multiplisere / dividere med smme positive tll på begge sider. Regel b: Multiplisere / dividere med smme egtive tll på begge sider og edre retige på ulikhetsteget. Betrkt ulikhetee med, b, og c der c < (c er egtiv): < b c > bc b c bc Her skl vi se på oe eksempler med Ekle ulikheter: p( ), <,, > Doble ulikheter: m( ) p( ) ( ) Rsjole ulikheter p( ) q( ), <,, > Oppgve Løs ulikhetee: < + b) ) ( ) ( ) c) > d) < 8

9 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Fsit - ) < + + < + < 8 < ) ( ) ( ) + + b) c) > + > ( + )( ) > ( + )( ) > Løsig: Løsig Løsig { < > } eller <, > <, > d) ( ) ( ) + + < < ( ) ( ) + + ( )( + ) < < eller ( )( + ) > ( ) ( ) ( ) Tllijedigrm: ( )( + ) Løsig: < eller < < eller > Doble ulikheter Doble ulikheter løses som ekle ulikheter. M ser på de to esidige ulikhetee hver for seg, og ser hvilke -verdier som tilfredsstiller begge ulikhetee. < + Behdler først vestre ulikhet: < + < + + < ( + )( + ) Ved å bruke fortegslije får vi løsigsmegde (, ) (, ) For de høyre ulikhete får vi: + + ( )( ) +. beteger bruddpukt. 9

10 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Setter opp fortegslije, og får vi d løsigsmegde[,]. Sett opp de reelle kse og mrker lle tre itervller, og ser d sittmegde, der begge,, ulikheter tilfredsstilt, er d: [ ) ( ] Oppgve Løs ulikhete: 5 < 6. { } Fsit: {(, ) (, )} [, ] =, ) (, ] Polyom divisjo Det å dele polyomer er som å dele tll. Når vi deler 5 med 6, er kvotiete 7 og reste er tre. Dette k skrives på to måter: = + or 5 = Dersom P ( ) og D() er to polyomer, der P ( ) hr høyere grd e D (), k m skrive: P( ) R( ) = K( ) + D( ) D( ) eller P( ) = D( ) K ( ) + R( ) Dividede divisor Kvotiet restleddet Dersom P( ) = for = ; det vil si P( ) =, er d ( ) P er delelig med ( ) Eksempel Gitt P( ) = +. i) Bestem restleddet for polyom divisjoe P ( ) ( ). ii) Gjeomfør polyom divisjoe +. i) P () = ii) Neste side

11 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB + : = ( 8 ) (5 ) - -( ) Eller + = Oppgve ) Reg ut lestleddet til polyom divisjoe : + ute å dividere. b) Gjeomfør polyom divisjoe : + Oppgve 5 Bestem b slik t + b + er delelig med +. Oppgve 6 Fktorier Fsit: ) P( ) = og b) 5) b= 6) ( )( )( + ) =

12 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Hv er e fuksjo? E fuksjo f er e regel som tilorder ethvert elemet,, fr e megde klt defiisjosmegde, til et etydig bestemt elemet, y, i e megde klt verdimegde: y = f ( ) der Df og y V f og y klles heholdsvis uvhegig vribel og vhegig vribel. Defiisjosmegde består v de verdiee som vribele k t. For å bestemme defiisjosmegde skl vi fie de -verdiee som fuksjoe k kseptere. Krvet for t e relsjo y = f () er e fuksjo er: For ehver i defiisjosmegde fies é og bre é y i verdimegde: = y = y Vertikllijeteste: E lije prllell med y-kse skjærer fuksjoskurve høyst i ett pukt. Eksempel y = er e fuksjo, mes y = ikke tilfredsstiller defiisjoe til e fuksjo (grfe til y = som er vist litt tykkere hr bre et skjærigspukt med e vertikl lije, mes y = hr to). Grfe til e fuksjo L f være e fuksjo. Megde v lle tllpr (, f ( )) som vi får ved å l gjeomløpe defiisjosmegde til f, klles grfe til fuksjoe y = f ( ). Eksempel Grfe til y = f ( ) = er vist her: Som vi ser, er dee relsjoe e fuksjo.

13 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Noe viktige begrep Mootoi (i) E fuksjo f er voksede dersom: > f ( ) f ( ) (ii) E fuksjo f er stregt voksede dersom: > f ( ) > f ( ) (iii) E fuksjo f er vtgede dersom: > f ( ) f ( ) (iv) E fuksjo f er stregt vtgede dersom: > f ( ) < f ( ) Kotiuitet E fuksjo y = f ( ) er kotiuerlig dersom grfe er smmehegede. Begrepet k utdypes bedre år m hr lært greseverdi begrepet. E etydig fuksjo For ehver y i verdimegde fies é og bre é i defiisjosmegde. Vi k bruke de såklte horisotllijeteste til å studere etydighet. Horisotllijeteste E lije prllell med -kse skjærer fuksjoskurve høyst i ett pukt. Smmestte fuksjoer For eksempel: y = + k ses som y = g( ) der g ( ) = +. Oppdelte fuksjoer E fuksjo som er uttrykt ved hjelp v flere fuksjosuttrykk i forskjellige itervller. For eksempel: f ( ) = < Odde og jme fuksjoer, og symmetriegeskper (er foreløpig ikke pesum) Noe fuksjoer Polyomfuksjoer: f ( ) = (polyom v te grd) (for eksempel førstegrds- og dregrdsfuksjoer) f ( ) Rsjole fuksjoer: y = ( g ( ) ), der f og g er polyomfuksjoer g( ) Ekspoetilfuksjoer: y =, > Logritmefuksjoer: y log =, der >, >. (for eksempel briggske logritmer, y = log og turlige logritmer, y = l ) Trigoometriske fuksjoer: y = si,, y = cos, y = t, y = c + si( ω ϕ),

14 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Førstegrdsfuksjoer f ( ) = + b E førstegrdsfuksjo er e fuksjo der fuksjosuttrykket er v første grd og k skrives på forme: y= + b, der klles stigigstll og b er kosttleddet. Ettpuktsformele: y y = ( ) (e rett lije med stigigstll som går gjeom puktet (, y ) ) y y y y Topuktsformele: = (e rett lije gjeom puktee (, y ) og (, y ) y y der stigigstllet d blir = ) Grfe til y = + b, der klles stigigstll og b kostt ledd, er e rett lije. > fuksjoe er stregt voksede. < fuksjoe er stregt vtgede. = fuksjoe er kostt: y = b. Adregrdsfuksjoer ( ) f = + b + c Dersom >, smiler grfe, mes grfe er sur år <. Skjærigspukt med y-kse er ( =, y = c ). b ± b c Nullpuktee til grfe (skjærigspukt med -kse) er ( =, y = ). Husk t dregrdsfuksjoe k fktoriseres hvis de hr løsig(er): + b + c = ( )( ) b Grfe er symmetrisk om lije: =. For å tege grfe til e dregrdsfuksjo k vi teke slik: ) Er grfe sur eller smiler de? b b ) Bestem symmetrilije: = og f ( ). Fktisk er puktet: ( b b =, y = f ( )) koorditee til mksimumspuktet ( < ) eller miimumspuktet ( ) Bestem evetuelle ullpukt. ) Bestem skjærigspuktet med y-kse (, c ). > ).

15 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Eksempel Teg grfe til y = + ) Nullpuktee : + = og dermed er = = b ) Symmetrilije: = = =. ) = > grfe smiler og dermed er (, f ()) = (, () + = ) loklt miimum. Iverse fuksjoer E ivers fuksjo til e fuksjo y = f ( ) der Df og y V f er e relsjo som tilorder y-verdie tilbke til -verdie. Dermed er: y = f ( ) der D = V og f V = D f Krvet for t e fuksjo hr e ivers fuksjo er t fuksjoe er etydig (mooto). f f Husk: f ( f ( )) = og f ( f ( )) = Hvord k vi bestemme de iverse fuksjoe til y = f ( )? ) Bestem med hesy til y. ) Bytt om og y. Eksempel Bestem de iverse fuksjoe til y = f ( ) = + gitt > ) Fier uttrykt ved y: = y og side >, får vi: = y ) Bytter om og y: y = dermed er: y = f ( ) = Bemerk: D = V f = [, > og V = D = f [, > f f 5

16 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Oppgve Bestem defiisjosmegde og verdimegde til følgede fuksjoer. ) y = b) y = 9 d) y = l( 5) c) y = Oppgve Bestem de rette lije som går gjeom puktet (, ) og i) Er prllell med lije y =. ii) Er loddrett på lije y = +. Hit ii): Stigigstllee til to loddrette lijer tilfredsstiller = Oppgve Teg grfe til ) y = b) y = + + Oppgve K følgede fuksjoer h iversfuksjo? ) y = b) y = l c) y = d) y = ; > Oppgve 5 Bestem iversfuksjoe til følgede fuksjoer: ) y = b) y = l( ) c) y = e Oppgve 6 - Tekstoppgver ) E sirkel hr relet A. Sett opp et uttrykk om omkretse uttrykt ved A. b) Avstde fr et pukt på grfe til y = til origo er d. Sett opp et uttrykk for d uttrykt ved. c) E sylidrisk tett boks skl lges v e plte med rel A. Sett opp e fuksjosuttrykk for volumet til sylidere uttrykt ved A og rdie r. Oppgve 7 Å bestemme e vribel fr e formel eller et uttrykk m ) Bestem r fr utrykket: m F = k. r π b) Bestem r fr uttrykket: V = r. c) Bestem fr uttrykket: y = π d) Gitt V = r og S = π r. Bestem S uttrykt ved V Oppgve 8 π Volumet til e kule med rdie r er gitt ved. V = r. Hvis rdie er fordoblet. Hvor mge proset hr volumet steget? 5 6

17 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Oppgve 9 ) Bestem legde AC uttrykket ved. På figure: AB = km, AD= 8km og BP =. b) Det skl legges gssrør fr stsjo A til stsjo C. Det koster dobbelt så mye å legge rør lgs sjøe som på ld. Kostde er vhegig v vlget vstde vist her her: (Første dele v røret(ap) ligger i vet og de dre dele v røret(pc) ligger på ld) Kostde pr. legde ehet på ld er k. Sett opp kostdsfuksjoe uttrykt ved. Fsit: ) og y c) < og b) ± y y > d) > 5 og y R ) i) y = ( + ) og dermed: y = + 5 ii) y = ( + ) og dermed: y = + ) ) Ikke og c) (ikke e etydig) 5) ) y = + b) y e = + c) y = 6) ) 5 l m 7) ) m r = k b) V r = c) = ( y ) d) F π π (( ) ) 8) Fsit: r r π d = + b) d π A Ar π r = r = V π 6 S = = π = = 7 det vil si volumet er 7 doblet eller hr økt med 6 proset. r π V 9) AC 9 8 = + + og kostd K k ( ) = ( ) 7

18 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Ekspoetil- og logritmeregig Ekspoet = Grutll gger eller = 8 Potesledd er e vribel grutll(positiv) opphøyd e kostt;. For eksempel Ekspoetilledd er et positivt kostt(grutll) opphøyd e ekspoet der ekspoete p k vriere, for eksempel i formele for å berege kpittel år K ( ) = K ( + ). Poteser med heltllige ekspoeter klles potes (potesledd) og er defiert som: = der er grutll og er et turlig tll og klles ekspoet. Hvis, k vi skrive = og = Regeregler Husk: = m m = m m ( ) = = ( ) m m m gger + ( b) = b = Kvdrtrot skrives slik: Eksempel = og Skriv så ekel som mulig: ) 8 ) = = = = = b) Prktisk eksempel = b b p q p q b) = 6 9 ( ) 6 9 ( ) + + = = = E verdi øker med % pr. år. Hvor mye hr verdie steget i løpet v år. Verdie hr blitt (,) (,) (,) =, =,7 og d verdie hr steget :, 7 =,7, d hr verdie steget med 7,% i løpet v år. 8

19 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Reltiv økig og vekstfktor Reltiv edrig: De reltive edrige = De bsolutte edrige Strtverdie De reltive edrige klles også de prosetvise edrige. De bsolutte edrige klles også tilvekste. At t e størrelse øker fr verdie til. De bsolutte edrige (tilvekste) er d og de reltive edrige er( )/. Vekstfktor k defieres som /. Eksempel.78 Prise på e rdio ble stt ed fr 5 kr til 5 kr. Bestem de bsolutte prisedrige og de reltive prisedrige. De bsolutte prisedrige: 5 5 = 5 De reltive prisedrige: 5 / 5 =, eller %. Det vil si t prise er stt ed med % og t vekstfktor er 5/5 =,7 =7 %. Vekstfktor for prosetvis vekst p Når e størrelse øker med p %, er vekstfktore: + p Når e størrelse syker med p %, er vekstfktore: Eksempel.9 Når lys går gjeom glss, blir lysitesitete svkere desto tykkere glsset er. Erfrig viser t lysitesitete miker med 6 % per cm i glsset. ) Hv er vekstfktore for lysitesitete i dette eksemplet? b) Sett opp e formel for lysitesitete år lyset hr tregt seg frem cm i glsset [ I( )]. c) Hvor mge proset er lysitesitete redusert år lyset hr tregt seg frem cm i glsset? ), b) I( ) = (,) c) I() = (,) = 9,6% 9

20 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Eksempel. ) At e kule vokser ute å fordre form. Dersom rdie øker med,5%, bestem hvor mge proset øker volumet. Reg ut også de reltive edrige til volumet. b) Volumet til e kule er 5 doblet. Hvor mge proset hr edret rdie? Hit: V ( r) = π r π (,5 r) π r V (,5 r) V ( r) ) = =,5, % V ( r) π r r r b) = r ( 5 ) 7%. Regeregler for potesledd: + ( b) = b m m = m m = = b b ( ) = = ( ) m m m p q p q = Eksempel Det k vises t: E ekspoetilfuksjo hr smme vekstfktor over lle itervller v smme legde. Vis dette år ekspoetilfuksjoe er gitt ved: f ( ) = c Itervllegde for itervllet I = [, ] er L Dermed blir vekstfktor: =. f ( ) c = = = f ( ) c L Ligige r = b år >, b > og r Dersom >, b > og r gjelder ekvivlese: r = =

21 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Eksempel Løs ligige: = 5 ( ) = 5 = 5 = 5 Kommetr m ) = b = b m ) m m = b = b Oppgve Reg ut: ) Oppgve b) Reg ut: ) b) Oppgve Reg ut og skriv svree eklest mulig. ) ( ) ( ) b) ( y ) ( ) Oppgve Reg ut. ) 6 b) ( b) ( b) ( ) c) ( ) 5 b b ( y ) y c) 6y 6 c) ( ) 5 5 d) Fsit: ) ) b) 6 c) 9 ) ) b) ) ) b) y y c) 7 ) ) 5 d) ( ) ( ) 5 d) 9 6 b) c) d) ( ) = Ekspoetiell vekst år > For eksempel = 5 f c y > Ekspoetiell reduksjo år < < For eksempel y = 7 ( ) c >

22 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Eksempel Ved. jur 98 vr jordes befolkig, millirder. Vi reger med t folketllet vokser med c. % pr. år. Sett opp e fuksjo som beskriver folketllet t år etter året 98. Modellerig ved hjelp v ekspoetilfuksjoe: ( ) t Vi øsker å bestemme c og. Vi k betrkte året 98 som f t = c. t = og dermed er ( ) Vekstfktore er = +, =, og fuksjoe blir: f ( t ) =, (,) t (millirder) som bestemmer folketllet t år etter året 98. f =, f () = c = c =, For eksempel vil folketllet ved..99 være lik: ( ) ( ),, f = Hvis m vet fuksjosverdie ved t =, k m bestemme c. Og ved hjelp v et et krv k m bestemme. t t f ( t) = f () eller y( t) = y() ; y () oteres ofte som y log =, log =, l e =, l = Bemerk t = er vertikl symptote for f ( ) log = ( lim log ) (se ekstr mterile) + Regeregler for logritmer log ( A B) = log A + log B A log log A log B B = log A = log A Eksempel (ts på tvl) Skriv så ekel som mulig: ) log b) log c) log, d) log e) 7 log Geerelt gjelder det: Eksempel: log = 5, fordi opphøyd i 5 er. ( ) ( ) ( ) log AB = log A + log B, A >, B > A log = log ( A) log ( B), A >, B > B ( ) ( ) log A = log A, A > Bevis: Disse reglee oppstår ved log ( ) bruke på A log ( ) = A og B = B. = uv = = log AB = log A + log B log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) log ( ) ) AB A B A + B ) ( ) ( ) ( ) å

23 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB A log B ( A) log A = = = log ( B) B A log = log log B log ( A) ( B) A log B ( A) log A log = = = log ( B) B A log = log ( A) log ( B) B ( ) ( ) ) = A = = log ( A) log ( B) ( A) log ( B) ( ) ( ) log A log A log A ( A ) = log ( A) Disse reglee gjelder usett grutll (me husk t grutllet skl være positivt). ( ) log 8 = log = log 5 = log 5 = log ( ) = = =, eller log ( ) ( ) ( ) = log + log == log ( ) + log ( ) = + = == =, Oppgve 5 Reg ut uttrykket eller bestem de ukjete vribele: log 8 log t = 9 ( ) ( ) log 9 log 5 5 ( ) log, log ( ) ( ) log = 5 ( ) ( ) = logb ( 7) = log 8 log ( 9) = ( ) log = 5 65 log b ( ) log5 ( ) = log ( 8) = Oppgve 6 ) l e + l b) le c) d) l ( ) l l ( ) + e) l e f) l + l l l + l l Oppgve 7 Skriv så ekel som mulig: ) l e b) l e c) e l + l 5 Fsit: 6) ) b) c) d) l e) f) 7) ) b) c) 5

24 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Noe regeregler l A e = A, log A = A e l A = A, Eksempel l b Vis t: log b = l l b log b = b = l b = l = log b = l l b l Noe Kommetrer og ye formler: ) log defiert bre år > ) log b = for lle > ) log b = ) log = logb 5) = for lle > i) log b b b b b b Skifte v grutll log = log b l ii) log b = l b iii) logb = log b Logritmiske ligiger Eksempel Løse likigee: log + log = ) ( ) ( ) Fsit: ( ( )) ( ) = 9 log = 9 = =,5, = ) Husk ( ) Sjekk svree: b) ( ) ( ) log + log = Fsit: ( ( )) ( ) = log = = =, = log b er ku defiert for positive verdier v både b og.

25 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB = : log (,5 ) + log ( 6),5 Vi k ikke h egtive rgumeter i logritmee. =,5 = : ( ) ( ) log + log =. OK. Dermed = er løsig. er d ikke e løsig. Oppgve 8 log ) 5 ( + ) = b) ( ) ( ) c) log ( ) log ( + ) + l = d) l + l = log + + log = Fsit ) c) = 5 = b) ( + )( ) = ; = 6; = 6 = + og dermed = d) = e ; = e 5 Briggske og turlige logritmer Logritmer med grutllee og e,788 klles for briggske og turlige logritmer og oteres slik: log = lg ( ) ( ) ( ) = l ( ) log e Legg merke til t substitusjoer k være yttige til å løse ligiger. E god del i vårt pesum k omskrives om. grdsligiger. ( ( ) ) ( ) l l + = + =, = l ( ) u u u = e e = u u =, u = e e 6e = u u =, u = = 5 = u u =, u = u u 5 =, u = u u 6 =, u = e Oppgve 9 Løs ligigee: ) = b) Oppgve Løs ligigee: (lg ) lg + = 5

26 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB ) 5 = 7 b) d) = 7 5 = c) e = e) e e + = f) e e Oppgve Løs ligigee: ) lg( ) = 5 b) (lg ) = c) l + l( ) = Fsit: 9 ) {, } b) {,} ) d) 7 = l b) 5 5 ( l ) = + c) = ± + l = e) = l f) = l e + e = 5 ) 5 = b) (lg ) = c) l + l( ) = EKSTRA mterilet til selvstudium Vekstfktor b L y( t ) være e størrelse som vokser/vtr ekspoetielt. At t y edres med vekstfktore b over et itervll v legde T: t y( t) = y b T Bemerk t dersom b>, stiger fuksjoe ellers syker fuksjoe ( b< ). Br t du leser og lærer litt om greseverdi før du leser reste v ottee her. Du fier otter for greseverdi og kotiuitet i otter for oppfriskigskurset. 6

27 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Eksempel Hlverigstid til plutoium- er, år. Hvor mye v e megde på 5 grm vil være igje etter 6 år? Stoffmegde y( t ) ved tide tk uttrykkes ved: t y( t) = 5. 6, Etter 6 år: y(6) = 5,g Altså er det milligrm igje etter 6 år. Eksempel t år etter t e orgisme døde, er dele v C-isotoper redusert til p % v megde i de levede orgisme. Hlverigstid er 57 år. Sett opp e fuksjo som beskriver p( t ). Hvor mge proset v e C-isotop er igje etter år t 57 t p( t) = 57 eller p( t) = 57 Grfe til f ( t) = er teget her: Etter år: t 57 p() = 88, 6% Ekspoetilfuksjoer f ( ) f ( ) = e Dersom >, represeterer f ( ) = og = e ekspoetilfuksjo. Noe bemerkiger: Kommetr ) f = går gjeom puktet (, ) : = Fuksjoe ( ) 7

28 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB ekspoetiell vekst år > for eks. y = f ( ) = > ekspoetiell reduksjo år < < for eks. y = ( ) Kommetr ) lim = år < < lim år > + lim = år > lim år < < + Kommetr ) Jo større grutllet er, jo rskere vokser fuksjoe. Grfe til y = (tykkest), y= e og y= er vist her: Kommetr ) ( ) y = = Grfe til y = (tykkest), y = ( ) = er vist her: Iverse fuksjoer og e turlige logritmefuksjoe Når > gjelder: y = = log y og dette k bety t y = log er iversfuksjoe til y = f ( ) f ( ) log = = (se grfe) f ( ) = e f ( ) = l De turlige logritmefuksjoe Dersom grutllet i logritme er e, klles logritme de turlige logritme. y = e og y = l er iversfuksjoer. lim e og lim e ( y = er horisotl symptote for y = e ) lim l og ( = er vertikl symptote for + y = l ) 8

29 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Logritmefuksjoer f ( ) = log og f ( ) l Når > gjelder: y = = log y =. og dette k bety t y = log er iversfuksjoe til y = f ( ) = f ( ) = log f ( ) e f ( ) l = = (se grfe) Hlverigstid Megde v et bestemt rdioktivt stoff i e prøve vtr ekspoetielt med tide og følger e fuksjo v type: y( t) = y e λ t T Hlverigstid T eller T y er tide det tr før stoffmegde er hlvert: y( T ) = y e λ = Vi øsker å bestemme T T e λ = λ T l l e = l( ) λ T = l T = l λ T = er λ λ T Bemerk: l e = λ T og Hlverigstid l( ) = l( ) = l Eksempel Hlverigstid til rdium er c. 6 år: l 6 y( t) = y e t (se figure r Potesfuksjoer f ( ) =, > Kjeeteget til potesfuksjoe er t grutllet er vribel (positiv) og ekspoete er kostt. Her hr vi teget grfe til y.5 = (tykkere) og y =. E viktig gresesetig for potesfuksjoer: lim r = år r > r lim = år r < 9

30 Oppgveheftet Oppfriskigskurset- NITO Studetee/AIØ-HiB Oppgve Folketllet i e bygd ved. jur vr 5. Vi reger med t bygdes befolkig vokser med c. % pr. år. ) Sett opp e fuksjo N( t ) som beskriver folketllet t år etter året. b) Hv er folketllet til bygd i slutte v 5 etter dee modelle. Oppgve Løs ligigee: 5 ) e = 5 b) 5e = c) e 7 = Oppgve Løs ligigee: ) e e + = b) e + e = Oppgve Løs ligigee: ) l = b) l + l = 9 c) = 6 d) 5 = 7 Fsit ) ) N( t ) = 5 (,) t b) ) ) = l 5 b) ) ) = = l ) ) + 6 N (6) = 5 (,) 79 = l c) 5 7 = l 5 b) Hvis m multipliserer begge sider med e, får m smme ligig som i del ) = = l c) e = b) l 6 = d) l 9 = e 5 7 l 5 l 7 l 5 = = l l

31 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB Trigoometri Trigoometri er e gre v mtemtikk som k klssifiseres i to hoved ktegorier; lære om vikler og sider i e trekt (trektmålig) og lære om trigoometriske fuksjoer som blt et k brukes til å studere periodiske feomeer. Vikelmål: grder og rdier Vikelmålet rdi er e vledet SI-ehet defiert som buelegde delt på rdius. Det klles også for bsolutt vikelmål. Adre vikelmål er grder, som kskje er mest kjet. 6 tilsvrer π 8 π π rdier. Omregigformele er: = r = d r d 8 Eksempel Omgjør, 5, 6, 9 og 6 grder til rdier. Vi vet t: 8 o = π rd o, dermed: rd π =, 5 6 o rd π =,6 o rd π =,9 o rd π o =, 6 = π ) Trigoometri i grder Hvord k vi fie sider og vikler i e rettviklet trekt? (pytgors setig) Hvord k vi fie sider og vikler i e vilkårlig trekt? (Sius- og cosius setig) Trektberegiger Pytgors setig I e rettviklet trekt gjelder smmehegee: c = + b si( A) = cos( A) c b = c Arelet til trekte er d: Cosiussetige: c = + b c C cos( ) b = + c c B cos( ) = b + c bc A cos( ) b A = si( A) si( B) si( C) Siussetige: = = b c Arelsetige A = b si(c) = c si(b) = b c si(a) Arelet k også skrives som: A = p( p )( p b)( p c) der + b + c p = rd

32 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB Ehetssirkele og oe kjete vikler Ehetssirkel, sius, cosius og tges si cos Figure til vestre viser de gruleggede defiisjoee v de trigoometriske fuksjoee. Ehetssirkel (e sirkel med rdius med setrum i origo) Cosius-kse (horisotlkse) Sius-kse (vertiklkse) Skjærigspuktet mellom dee lije og ehetssirkele hr d koorditee: cos, si. ( ) si t =. cos Med utggspukt i dee defiisjoe (og Pytgors' setig) får vi t: si + cos = Ved hjelp v ehetssirkel k vi sette opp følgede: si( π ) = si cos( π ) = cos t( π ) = t( ) si( π + ) = si cos( π + ) = cos t( π + ) = t( ) Noe kjete vikler Vikel Rdier si cos t o o π 6 5 π 6 o π (cos, si ) 9 π 8 o π 7 π 6 π

33 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB Kjete vikler ) Trigoometri i rdier Periodiske feomeer og trigoometriske fuksjoer I ture gjetr det seg oe feomeer over et bestemt tidsperiode. Hr m iformsjo om feomeet i dee tidsperiode, k m bruke trigoometriske fuksjoer til å beskrive feomeet over flere tidsperioder. Periodiske fuksjoer f ( ) = f ( + p) Ehver fuksjo som gjetr seg med visse itervll, p, er periodisk. Seere i dre semester lærer vi å sette opp ved hjelp v sius og cosius fuksjoer fourier-rekke til periodiske fuksjoer som er stykkevis kotiuerlige. Sius, cosius og tges Siusfuksjo Cosiusfuksjo Tgesfuksjo y = si π y = cos π y = t π Legg merke til t periode til si og cos er π, mes for t er de π : si = si( + π ), cos = cos( + π ), t = t( + π ) Grfe til e siusfuksjo og e cosiusfuksjo hr π fseforskjell: si( π π + ) = cos cos( + ) = si cos( π π ) = si si( ) = cos

34 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB Formler Cosiussetige: = b + c bc co s( A) Siussetige: si( A) si( B) si( C) = = b c Trigoometriske formler Gruleggede formler: si + cos = (ehetsformel) t = si cot = cos t Trigoometriske formler for ± y si( ± y) = si cos y ± cos si y, cos( ± y) = coscosy sisiy t ± t y t( ± y) = t t y Trigoometriske formler for si = si cos \ cos = cos si = cos = si Adre formler: cosu cosv = (cos(u + v) + cos(u v)) siusi v = (cos(u v) cos(u + v)) siu cosv = (si(u + v) + si(u v)) Eksempel Fi ekskte verdier for: ) si 5 π b) t 5 π c) cos 5 π 6 (Hit: Bruk tbell for kjete vikler, viklee ± π og ± π og ehetssirkele eller formler) Fsit: ) b) c)

35 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB Oppgve Bestem legde v digole d. Oppgve Vis t høyde h = p q Oppgve Bestem legde v lijestykket som merket med. Oppgve E kule(med rdius R) er plssert i e rett kjegle(med rdius r og høyde h) som vist på h θ figure. Vis t R = t( ) t θ Hit: lije fr hjøret til vikele θ til seter til kule hlverer vikele θ. Oppgve 5 Bestem legde v lijestykkee AC og BC: 5

36 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB Oppgve 6 L være e vikel i. kvdrt. Fi (ute å bruke klkultor) si og cos år: ) t = b) t = c) t = 5 Oppgve 7 π ) Bruk grfee til si, cos t si + = cos si si cos π = cos ved hjelp b) Vis de smme smmehegee ( π ) = og ( ) defiisjoee v si og cos i ehetssirkele. Oppgve 8 - Her k du bruke tbell for kjete vikler ) Beytt 5 o + o = 75 o til å fie ekskte verdier for si 75 o og cos 75 o. o o o b) Beytt 5 =5 til å fie ekskte verdier for si 5 o og cos 5 o. Bruk disse til ågi ekskte verdier til si 65 o og cos 65 o. Oppgve 9 ) Gitt cos =. Bestem ekskte verdier for cos og si år ligger i første kvdrt. b) Gitt cos =. Bestem ekskte verdier for cosår ligger i første kvdrt. 9 Oppgve Figure viser to korridorer med legdee w og B meter som møtes i hjøre. Vi skl bære e bjelke med legde L gjeom korridoree og kue su rud hjøret. w B ) Vis t L= +. siθ cosθ b) Vis t w= Lsiθ B tθ. Oppgve Vis t Fsit ) 6 + cosθ siθ + = siθ + cosθ siθ d = = 9 ) Formlike trekter h = q som gir h = p q. p h ) = θ h θ ) R = r t( ) = t( ) t θ 5) Ved å bruke sius-setige:

37 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB si 5 si 5 =, BC = 9,, BC si 5 si5 si5 5 =, BC = 7, BC si5 6) si =, cos = b) si = cos = 5 c) si =, cos = π 7) ) Det er bre å tege grfe til y = si og flytte de med mot vestre og de overlpper d grfe til y = cos. b) Ved å tege viklee ( π ) og i ehetssirkele, ser vi t de hr smme sius verdi. Ved å tege viklee ( π ) og i ehetssirkele, ser vi t de hr smme cosius verdi. o 6 + o 6 8) ) si 75 = cos75 = o 6 o b) si5 = cos5 =, si65 o = si5 o = 6 cos65 o = cos5 + o = 5 cos = ( ) = si = si cos = ( ) = 9 9 9) ) Gitt. + cos b) Gitt cos = =, dermed cos = ( ligger i første kvdrt) 9 ) det er lett å bruke si og cos i trektee som hr vikel θog viser relsjoee m skulle bevise. ) + cosθ si θ (+ cos θ) + si θ + cosθ+ cos θ+ si θ + = = siθ + cosθ si θ(+ cos θ) si θ(+ cos θ) (+ cos θ) = = si θ(+ cos θ) siθ Ekstr mterilet Noe eksempler for å studere disse prmetere: y = C + C si ω( ) C =, C =, T = π Amplitude C er fordoblet Sirkelfrekves ω er fordoblet y = si y = si og y = si y = si og y = si 7

38 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB C Likevektslije C = Akrofse t π = C =, C =, ω = π og t = y = si og y = + si π y = si og y = si( ) y = + si π ( ) Ellers jeg kommer til å t litt om Grfer til fuksjoer Rette lijer y = + b Adre grdsfuksjoer y = + b + c Potesfuksjoer y =, y =, y = Sirkler, ellipser, prbler, prbler og hyperbler. 8

39 Oppfriskigskurs - HiB NITO Studetee/AIØ-HiB y = + b For hvilke() er >? For hvilke() er <? Sett opp ligige til lijee. y = + b + c Sett opp ligige til prblee. Hvilke grf viser grfe til y = y = + y = E grfee er grfe til y = + c Bestem c. 9