I dag: Produktfunksjoner og kostnadsfunksjoner

Transkript

1 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Hva er dekket i disse otatee? Seks forelesiger av meg i ECON2200 våre og 22. februar, 2., 9. og 15. mars og 3. mai Legges ut på emeside madag kl. 10 (til forelesig madag kl ) eller madag kl. 14 (til forelesig tirsdag kl. 8.15) Gir hovedtrekkee i teori-gjeomgage Ikke (alle) figurer, ikke eksempler Derfor: Nyttig å otere på forelesigee Språk: Stikkord og ufullstedige setiger for å spare plass I dag: Produktfuksjoer og kostadsfuksjoer Kjeer disse begrepee fra ECON1210 (eller likede emer) Nytt her: Bruke matematikk til å se ærmere på egeskapee Fie hvilke valg ( hvilke tilpasig ) som gir lavest kostader Fie hvilke valg som gir høyest overskudd Bruker bl.a. førsteordesbetigelser for miimum og maksimum 1

2 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Produktfuksjoer E produktfuksjo, = f(v 1, v 2,..., v m ), gir sammehege mellom faktorisats og produksjo for e viss type produksjo Fuksjoe ka f.eks. beskrive e bestemt bedrift (et alegg), eller e bestemt produksjosprosess (f.eks. produksjo av spiker ved hjelp av maskier, arbeidskraft, eergi og stål). Fuksjoe beskriver hva som skjer i løpet av e viss periode, som vi ofte lar være å spesifisere ærmere i teoretiske drøftiger, me som må spesifiseres år teorie skal avedes Slik fuksjoe f er skrevet ovefor, er det m forskjellige isatsfaktorer Tallet m vil (ofte) være forskjellig for forskjellige prosesser Likige sier at hvis faktoree brukes i megdee v 1, v 2,..., v m, så blir det produsert e megde av produktet, Hva betyr...? Slik likige er skrevet, må vi teke oss at megde som brukes av faktor 3, kalles v 3, megde som brukes av faktor 4, kalles v 4, o.s.v. 2

3 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Fysisk eller økoomisk sammeheg? Megdee av isatsfaktorer og produkt måles i fysiske eheter E produktfuksjo er e fysisk sammeheg, upåvirket av priser økoomisk atferd To forbehold: Vi forutsetter oftest at det er gratis å kvitte seg med overflødige megder av e isatsfaktor, fri skrotig Vi forutsetter at det ikke sløses, dvs. at f(v 1,..., v m ) defieres som det maksimale som det er mulig å produsere av produktet med disse megdee av isatsfaktoree og det spesifiserte alegget (eller prosesse) (For oe f-fuksjoer og oe (v 1,..., v m )-vektorer ka fordelig av isatsfaktoree på flere like alegg gi større produksjo) Hva medfører dette for fuksjosforme? Fuksjoe er voksede i alle argumeter Hvis de er deriverbar, betyr det f(v 1,..., v m ) v i 0 for alle i og overalt (dvs. for alle faktorvektorer (v 1,..., v m )). Det står ikke at de er stregt voksede (derivert > 0) 3

4 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Geerelle eller spesifikke fuksjoer? For å lage økoomiske teorier: Øsker geerelle fuksjoer Kaller produktfuksjoe f.eks. (jfr. læreboka, ØABL): F () hvis det er bare e isatsfaktor, (f.eks. arbeid), f(, k) hvis det er to isatsfaktorer, og k, f(v 1, v 2,..., v m ) hvis det er et atall, m, isatsfaktorer Teori gjør gjere forutsetiger ut over at fuksjoe er voksede, f.eks. F er kotiuerlig eller kokav Fortsatt e lag rekke fuksjoer som oppfyller disse betigelsee Mer spesifikke fuksjoer, typisk brukt i øvigsoppgaver: f() = a b der a og b er positive kostater, eller f.eks. f() = a (1 ) b +1 Ka evt. forutsette oe mer om f.eks. b (0, 1) Øvigsoppgaver starter ofte geerelt, gir flere betigelser etter hvert Eda mer spesifikke: Helspesifisert, f.eks. f() = 417 0,81 Helspesifisert er typisk brukt i umerisk økoomisk aalyse Tallee ka f.eks. estimeres (statistikk, økoometri) fra data 4

5 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 E, to eller flere isatsfaktorer? I ØABL (s. 26) er tilfellee m = 1 og m = 2 evt spesielt Skal se at det er spesielle gruer til å drøfte disse, me også det geerelle tilfellet der m er et uspesifisert tall (og iblat spesifiserte m større e 2) Matematisk sett kue vi gjere la m være uspesifisert, et hvilket som helst heltall E stor m er kaskje mest realistisk, treger gjere både maskier, arbeidskraft, eergi og mage råvarer for å produsere Vil likevel studere mer igåede f(, k), er arbeidskraft, k er kapital F (), med bare arbeidskraft som isatsfaktor f(, k), altså m = 2, yttig bl.a. for grafisk framstillig m = 1 er urealistisk som bokstavelig tolkig Pedagogisk yttig likevel å starte med det ekleste Dessute, viktig tolkig som korttidsproduktfuksjo, = f(, k) F () der kapitale k er kostat på kort sikt Ifører tidsdimesjo og ulik fleksibilitet: Rimelig å teke at det tar tid å edre k, mes ka edres raskere Ka drøfte økoomisk atferd på kort sikt, for gitt k 5

6 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Deriverbarhet; grese- og gjeomsittsproduktivitet Atar i dag m = 1, evt. begruet ved f(, k), k kostat Ser ofte på fuksjoer som er kotiuerlige og deriverbare Av og til bare stykkevis deriverbare; oe kekkpukter Teker oss at faktorer og produkt er uedelig delbare Med bare e isatsfaktor er greseproduktivitete F () (Tilærmet) hvor mye mer produksjo år øker med 1 Med m = 1 er gjeomsittsproduktivitete F ()/ Hvor mye blir produsert per ehet av isatsfaktore ØABL ser på dette for oe ekle, typiske fuksjosformer 6

7 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Tolker grese- og gjeomsittsproduktivitet grafisk Sammmeheg grese- vs. gjeomsittsproduktivitet Ka vise (ØABL s. 35) at ) d ( F () d > 0 F () > F () Begruelse: De deriverte er ) d ( F () d = F () F () 2 = F () F () I et -itervall der F () > F () I et -itervall der F () < F (), vil F (), vil F () være voksede være avtakede 7

8 Figur 1: Produktfuksjo = F (), stigigstall F ( 1 ) og F ( 1) 1 F() 1 1 8

9 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Elastisitet, forholdet mellom små relative edriger De førstederiverte F () måler forholdet mellom e edrig i fuksjosverdie ( F ) og e edrig i argumetverdie ( ) Nærmere bestemt, det som står i evere er e edrig i argumetverdie,, mes det som står i tellere er e tilhørede edrig i fuksjosverdie, F F ( + ) F () Eda mer presist: Vi ser på små edriger, dvs. vi ser på greseverdie av forholdet år 0, og skriver dette F () = df () d E beevt størrelse, side tellere er eheter av produktet, evere er eheter arbeidskraft Av og til mer iteressert i relative edriger Prosetvis edrig i F () hvis øker med e proset? Elastisitete; både teller og ever er relative edriger: ε () df () F () d = df () d F () = F () F () ØABL kaller dette arbeidskraftes greseelastisitet I et -itervall der F () F () I et -itervall der F () F () > 1, vil F () < 1, vil F () være voksede være avtakede 9

10 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Økoomisk tilpasig, kostadsfuksjoe Avsitt i ØABL ser fortsatt på kort sikt Først og fremst betyr dette m = 1 Me vil også trekke i k, kostat kapitalmegde Problemstilliger Hva koster det å produsere et visst kvatum,? Hvor mye vil e produset velge å produsere? Kostadsfuksjoe gir svaret på det første spørsmålet Hvor mye tregs av? Hva koster per ehet? Atar F er kotiuerlig og mootot voksede overalt Eetydig; eksisterer e ivers fuksjo, G, defiert ved = F () = G() ØABL (s. 39) kaller G faktorisatsfuksjoe I øvigsoppgave 1 til sem.uke 2 blir de kalt faktorfuksjoe Må ikke forveksle med faktoretterpørselsfuksjoe, s. 55, 59 For å fie kostadsfuksjoe, multipliser med faktorpris, w c(, w) = wg() er kostadsfuksjoe for m = 1 Tolkig: Kort sikt, disse kostadee kalles variable kostader Kostader kyttet til k kommer i tillegg, kalles B = q k (s. 41) Atar gjere at disse er driftsuavhegige; de påløper uasett drift 10

11 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Tolkig av kostadsfuksjoe Ut fra defiisjoe av F, og av G som ivers fuksjo: G() er miste faktorisats for å produsere Har atatt at faktorprise (per ehet ) er kostat Frikokurrase, dee produsete er e lite etterspørrer i forhold til hele arbeidsmarkedet Produsete er prisfast kvatumstilpasser i faktormarkedet ØABL skriver av og til c(), av og til c(; w) for å markere at de variable kostadee er fuksjo av, som velges av produsete, og w, som er eksoge for produsete De totale kostadee skrives (s. 41) C(; w, q, k) = c() + q k Matematisk sett er det ikke oe prisipiell forskjell på de to typee argumeter (Sydsæter bruker komma, ikke semikolo) Fi e typisk C(; w, q, ): Iverter e typisk F, multipliser med w, legg til B = q k, som er e kostat, uavhegig av 11

12 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Gresekostader og gjeomsittskostader På samme måte som vi studerte grese- og gjeomsittsproduktivitet er det yttig å studere gresekostader og gjeomsittskostader (også kalt ehetskostader) Gresekostadee er c () dc dc(;w,q, k) d, lik d side db d = 0 For gjeomsittskostadee må vi derimot skille mellom variable ehetskostader og totale ehetskostader Vil i første omgag se på variable ehetskostader, c() Følgede resultat (s. 43 i ØABL) er helt aalogt med resultatet for grese- og gjeomsittsproduktivitet (se s. 7 ovefor) I et -itervall der c () > c() c(), vil I et -itervall der c () < c() c(), vil være voksede være avtakede 12

13 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Produksjosbeslutig for prisfast kvatumstilpasser Ser på kort sikt, dvs. kapitalmegde er fast, k Formålet til produsete: Størst mulig overskudd Ata at produktprise er p (per ehet av ) Produsete er e lite aktør også i produktmarkedet Defier dekigsbidraget, D(; p, w) = p c(, w) Ka oppfattes som et kortsiktig (brutto)overskudd Bidrag fra produksjo av til å dekke faste kostader B Samlet, etto overskudd (profitt) er π() = D(; p, w) B Hvis det ikke er produksjo ( = 0), er D = 0 og π = B Atar i det følgede at F () er to gager deriverbar Tre beslutigsregler (ØABL s. 45, 49, 54) (forutsatt at gresekostadee vokser år blir stor ok) 1. Produser (dvs. velg > 0) hvis p α(w) mi c(;w) 2. Maks profitt år p = c (; w) og c (; w) > 0 3. Tilbudt megde er 0 for p < α; for p > α er tilbudt megde = s(p; w) som er de iverse fuksjoe til c (; w)) (for ehver w > 0, som oppfattes som kostat) 13

14 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Første regel: Hva skal til for å produsere? Regel: Velg > 0 hvis p α(w) mi c(;w) p c(;w) er ødvedig og tilstrekkelig for dekigsbidrag 0: p c(; w) p c(; w) D(; p, w) p c(; w) 0 For å velge e > 0: Treger ikke p c(;w) for alle mulige Me må kue oppå dette for de som skal produseres For e eksoge w defierer vi α(w) mi c(;w) Tilstrekkelig at dee miste ehetskostade er lavere e p Hvilke rolle spiller de driftsuavhegige faste kostadee, B? B spiller ige rolle i resoemetet ovefor, side vi har forutsatt at B må betales uasett om > 0 eller ikke Kaskje er de maksimale D(; p, w) et tall mellom 0 og B, slik at π = D B < 0; likevel bedre e D = 0 14

15 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Adre regel: Første- og adreordesbetigelse for ma D Øsker størst mulig dekigsbidrag, ma D(; p, w) = ma (p c(; w)) Førsteordesbetigelse er p c (; w) = 0 Adreordesbetigelse er c (; w) < 0, dvs. c (; w) > 0 Leter etter e der gresekostade er voksede og lik prise Grafisk drøftig er godt hjelpemiddel for å fie ut: Eksisterer det oe (mulig) som oppfyller førsteordesbetigelse? Hvis ja, er adreordesbetigelse oppfylt for disse -verdiee? Hvis ja, gjelder dette e -verdi eller flere? Hvis flere, udersøk hvilket av disse lokale maksimumspuktee som er globalt maksimum Udersøk om globalt maks gir D(; p, w) > 0 15

16 ECON2200 Avedt økoomisk aalyse Diderik Lud, 8. februar 2010 Tredje regel: Gresekostadskurve er tilbudskurve ØABL (s. 54): Når produktfuksjoe har et regulært forløp Tolkig: Gresekostadskurve skjærer ehetskostadskurve edefra for e og bare e, et miimumspukt for c(;w) (jfr. s. 12), og er deretter e voksede fuksjo av Utledig starter med betigelsee fra s. 15 for ma D > 0: p = c (; w), pris lik gresekostad c (; w) er voksede p > c(;w) De første og tredje av disse medfører c (; w) > c(;w) Løsige er til høyre for skjærigspuktet c (; w) = c(;w), i et -itervall der begge disse er voksede i For ehver p > α(w) ( betigelse for at det er mulig å oppå positivt dekigsbidrag ) velger altså produsete e slik at prise blir lik gresekostade Dette betyr at tilbudskurve er e ivers fuksjo til e del av gresekostadskurve, emlig der c (; w) > c(;w) Gresekostadsfuksjoe gir kostad som fuksjo av Tilbudsfuksjoe gir som fuksjo av pris, lik gresekostad De ee er dermed de iverse fuksjoe til de adre 16