z z z b z a c z a c =

Transkript

1 Noe kommetrer g uret-rekk, ullpukter og poler Teorem: Ehver fuksjo f(z) som er lytisk for R < z-z <R k utvikles i e rekke v type f( z) f( z) = ( z z), = z πi + = ( z z) C C er e ekeltlukket itegrsjosvei i områet R < z-z <R Merker oss t for > er gitt ve ( ) = f ( z) (Tylorrekk)! Dette geerelle uttrykket for er imilerti ofte lite yttig for å bestemme rekk Vi fortsøker i steet å omskrive f(z) ve hjelp v kjete rekker, spesielt z z z z z e e = e e = ( z z),! = z = = ( ) z b b z b = b b Av rekk for e z følger også rekker for e trigoometriske og hyperbolske fuksjoee For på fie rekker for e iverse trigoometriske og hyperbolske fuksjoee må vi h e rekke for logritme lz Dette er som kjet e flertyig fuksjo, og vi gjør kskje best i å ugå ette problemet! De siste rekk ovefor er yttig år vi skl fie rekker for rsjole fuksjoer v type gz ( ) gz ( ) f ( z) = =, hz ( ) ( z zn ) ( z z) er polyomet h(z) ts fktorisert Delbrøkoppspltig gir så fuksjoer v type F(z)/(z-b), er F(z) er et polyom Øsker vi e rekke om et et pukt e origo, setter vi z = = = ( ) z b z c z c( ) c = c c Derme hr vi fått e rekke om (b=+c) som er koverget for z- < c Teg figur! E rekke som er koverget for z- > c fier vi på ee måte: c c = = = ( )= c + z b z c z z = z = ( z ) z Eksempel: f( z) = Fi uret-rekk om z = z 3 z f ( z) = = = ( ), z z =

2 og rekk er koverget om z= for z- < Dette betyr t vi me ee rekk om z= ikke k pssere sigulritete for f(z) ve z=3 Teg figur! For å fie e rekke som kovergerer for z- > setter vi f( z) = = = ( ) = + z z z = z = ( z ) z Vi ser t f(z) i ette tilfelle hr e Tylorrekke om z= som er riktig ut til sigulritete ve z=3 Utefor puktet z=3 fier vi e mer geerell uret-type rekke me bre egtive ekspoeter De ele v uretrekk som hr egtive ekspoeter kller vi gjere hoveele, eller prisiplele Nullpukter og poler Vi tr t f(z) hr e uretrekke som vi skriver b f( z) = ( z z) + = = ( z z) f(z) hr et ullpukt v ore m for z=z hvis lle b = (Tylorrekke), = for <m, og m Rekk for f(z) om z hr forme f( z) = ( z z ), ( m> ) = m Som regel vil vi forsøke å fie ore v et ullpukt ute først å bestemme rekkeutviklige Vi merker oss t hvis f(z) hr et ullpukt v ore m, så vil vi h k < m f( z) lim( z z) = k m k = m ( z z) ± k > m Vi ser t vi må forsøke oss litt frem me ulike vlg v k til fier e eelig grese som ikke er lik ull 3 si ( π z) Eksempel: f( z) = 3 z f(z) hr ullpukter for z=, er k være lle hele positive og egtive tll For z= hr f(z) greseverie π 3, vs ikke ullpukt Etter litt regig vil vi fie: 3 f( z) si ( πt+ π) lim( z ) = lim( t ) ( z = t) k 3 k ( z ) ( t+ ) t k < k si ( πt) π =( ) π lim( t ) = ( ) k 3 3 k = ( t+ )( πt) ± k > 3 Altså hr f(z) ullpukt v ore 3 for z= ( )

3 Vi sier t e fuksjo f(z) hr e pol v ore m hvis vi i uretrekk for f(z) hr b = for >m og b m Også for poler vil vi gjere forsøke å bestemme ore ute først å fie rekk Hvis f(z) hr e pol v ore m i z=z, hr vi ± k < m k lim( z z)( z z) f( z) = bm k = m k > m Dvs hvis f(z) hr et sigulært pukt i z=z, prøver vi oss frem me ulike rimelige vlg v k til vi fier e grese som er eelig og ikke lik ull Eksempel: tz si z f ( z) = = z π / ( z π /)cos z Her hr vi opplgt et sigulært pukt for z=π/, og vi vil uersøke om ette er e pol me e eelig ore Vi ser rskt t k= ikke gir oe grese Derimot fier vi grese - for k= ( Hopitls regel), vs pol v re ore for z=π/ Differesilligig v første ore Vi ser på e ifferesilligig v ore på forme y' + Py ( ) = Q ( ) Dee type ligig k bl ukke opp som e el v løsige v ifferesilligiger v re ore, som er e viktige ligigee i fysikke Strløsige v ee type ligig er ve hjelp v e såklt itegreree fktor µ() Vi multiplisere ligige me µ(), og stiller følgee krv til µ(): ( ( y ) ) ( y ) ' ( Py ) ( ) ( Q ) ( ) µ = µ + µ = µ De første ele v relsjoe ovefor gir å µ y µ ( ) = yµ ( P ) ( ), eller = P ( ), µ me løsige: P( ) µ ( ) = e De re rlsjoe ovefor, vs ( ( y ) ) ( Q ) ( ) µ = µ gir så µ ( y ) = µ ( Q ) ( ) + C Vi bestemmer ltså først e itegreree fktore µ(), og får så bestemt µ()y, og erme y For e homoge iff ligig, vs Q()=, hr vi C P( ) µ ( y ) = C, eller y= = Ce µ ( ) 3

4 Oriære lieære ifferesilligiger v ore Vår ligig hr e geerelle forme: y'' + Py ( ) ' + Qy ( ) = R ( ) Oriær: Bre e uvhegig vribel, ige prtielle eriverte ieær: Bre lieære le i y, y og y (ige høyere poteser) ore: Ige eriverte v høyere ore e Dette er e viktig ligig for veelser i fysikke De ukker også opp seere ve løsige v e store prtielle iff ligigee Vestre-sie i ligige k typisk beskrive et fritt system, mes høyre-sie R() gir e ytre påvirkig v systemet Hv vil et si å bestemme e geerelle løsig v e slik iff ligig? At t P(), Q() og R() lle er lytiske fuksjoer i et pukt, og i et områe omkrig D vet vi fr teorie for lytiske fuksjoer t P(), Q() og R() lle er ubegreset mge gger eriverbre i ette områet At viere t vi hr oppgitte verier for y( ) og y ( ) Verie for y ( ) er bestemt v iff ligige, og ve å erivere ligige ser vi t også y ( ) er bestemt, og viere ( ) eriverig viser t lle y ( ) er bestemt Derme er også løsige v ligige etyig bestemt ve Tylorrekk: ( ) y ( ) = y ( )( ) =! Koklusjoe er t et bre fies e eeste løsig v iff ligige som hr e gitte veriee for y( ) og y ( ) Av ette ser vi t hvis vi på e eller e måte k fie e y() som psser i iff ligige, og som stemmer me e gitte veriee for y( ) og y ( ), så hr vi fuet e eeste mulige løsige For e iff ligig v ore er tilsvree e etyig løsig bestemt v verie for y( ) Dessverre fies et ige geerell metoe til å fie e slik løsig for lle formee som vår gske geerelle iff ligig k t De homogee ligige Vi ser først på e homogee ligige, vs R()=: y'' + Py ( ) ' + Qy ( ) = Vi merker oss å t hvis vi hr to løsiger y () og y () v e homogee ligige, så er også y ( ) = cy ( ) + cy ( ) er c og c er kostter, e løsig Skl ee løsige psse me gitte verier for y( ) og y ( ), må c og c kue bestemmes som løsiger v ligigssettet cy ( ) + cy ( ) = y ( ) cy '( ) + cy '( ) = y'( ) For å fie løsiger for ette ligigssettet må Wroski-etermite W være ulik ull, vs 4

5 y ( ) y ( ) W y '( ) y '( ) = Vi k her ekelt ise t hvis y () og y () er lieært vhegige, vs, y ()=ky (), så blir W=, og erme ige løsig Vier ser vi t W= mefører t y( ) y'( ) = = K, y( ) y'( ) og iff ligige gir t ette smme forholet K også fies for lle høyere eriverte: ( ) ( ) y ( ) = Ky ( ), og v Tylorrekkee for y () og y () følger t y( ) = Ky( ), ltså lieært vhegige Vi hr erme fuet t hvis y () og y () ikke er lieært vhegige, så hr e geerelle løsige v e homogee ligige forme y ( ) = cy ( ) + cy ( ) Dessverre fies et heller ikke oe geerell metoe for å fie to lieært uvhegige løsiger y () og y () for lle mulige typer v vår homogee ligig Hvis vi hr fuet e slik løsig y (), k vi imilerti llti fie e e lieært uvhegig løsig y () ve metoe me vrisjo v kostte, vs vi setter y( ) = Cy ( ) ( ), og C() fies ve å sette ette uttrykket for y () i i iff ligige, og beytte t y () er e løsig Som eksempel k vi se på e ligig v Euler-Cuchy type: y' y y'' + = Vi iser rimelig greit t y ()= er e løsig E e løsig y () fies så ve å sette y( ) = Cy ( ) ( ) = C ( ) i i iff ligige Etter oe regig fies C'( ) C'( ) C''( ) = = 3 C'( ) 3 = C'( ) A A C'( ) =, C ( ) = A B 3 3 = + Her er A og B ubestemte itegrsjoskostter, vi behøver bre et eklest mulige uttrykket for C() som gjør y () og y () lieæert uvhegige, f,eks A=- og B= Vi hr y ()=C()y ()=/, og e geerelle løsige blir c y ( ) = c + Vi merker oss også t løsige ikke tillter =, ikke uvetet sie ligige vår er sigulær for = 5

6 Homogee ifferesilligiger me kostte koeffisieter E viktig type homogee iff ligiger er e som hr kostte koeffisieter igige tr forme y'' + y' + by =, er og b er kostter Dee ligige hr llti e løsig v type y= e λ, er λ er e kostt som k være reell eller kompleks Istt i iff ligige fies å λ + λ+ b=, me følgee to løsiger for λ: λ = ( + 4 b ) ( λ 4 ) = b Hvis λ λ hr vi to lieært uvhegige løsiger, og e geerelle løsige blir y ( ) ce λ λ = + ce For tilfellet =4b fier vi bre e rot, vs λ =λ =-/, og vi hr bre e løsig gitt ve y( ) e = E e lieært uvhegig løsig fies ve hjelp v vrisjo v kostte, vs y( ) Cy ( ) ( ) Ce ( ) = =, og litt ekel regig gir t e ekleste løsige for C() blir C()= For tilfellet to like røtter λ =λ =-/ er e geerelle løsige v iff ligige y ( ) = cy ( ) + cy ( ) = e ( c + c) Noe eksempler: igige y'' + y' y=, gir λ = og λ =-, og geerell løsig y ( ) ce ce = + igige y'' y' + y= gir λ =λ =, og geerell løsig y ( ) = e ( c+ c ) igige y'' y' + y= gir to komplekse røtter λ =+3i og λ =-3i, og vi hr erme 3i y ( ) = ee = e (cos3+ isi3) 3i y( ) = ee = e (cos3 isi3) Disse løsigee k vi kombiere til to reelle løsiger: Y( ) = [ y( ) + y( )] = e cos3 Y( ) = [ y( ) y( )] = e si3 i E geerell løsig på reell form er 6

7 y ( ) = cy ( ) + cy ( ) = e ( ccos3+ csi3) Me reele verier for og b vil vi for komplekse røtter llti h t e ee rote er e komplekskojugerte v e re, vs λ =p+iq og λ =p-iq De reelle løsige blir y ( ) = e p ( c cosq+ c si q) Homogee ifferesilligiger me vrible koeffisieter Et viktig eksempel på ee type ligig er Euler-Cuchy ligige: b y' ' + y' + by =, eller på str form y' ' + y' + y = Merker oss t ee ligige er sigulær i origo, slik t vi ikke k vete løsig som er gylig i = Dee ligige hr e løsig v type m y =, er m k være et reelt eller komplekst tll Istt i ligige fier vi geerelt to mulige verier for m: m = + ± ( ) 4 b Beteges e to løsigee m og m, og tr vi m m, blir e geerelle løsige m m y ( ) = c + c Eksempel: 3 3 y' ' y' y =, som gir m =3 og m =-/, og erme e geerelle løsige 3 c y ( ) = c + Som vetet fier vi e løsig som ikke er gylig i origo For > hr vi = og for < = i, og løsige bør helst skrives på forme (y kostt C ) 3 C y ( ) = c +, me ulikt sett v kostter c og C for < og > For tilfellet ( ) < 4b fier vi komplekse verier for m og m på forme m=p+iq, og m=p-iq De geerelle løsige blir m m p iq l iq l y( ) = c + c = ( c e + c e ), iq iq l er vi hr beyttet t = e, og viere t l=l +kostt, er kostte hr ulik veri for < og > På reell form k løsige skrives p y( ) = ( Acos( q l ) + B si( q l )), egetlig e gske komplisert løsig! Eksempel: y' ' + 7y' + 3y =, sm gir m =-3+i, og m =-3 -i, og geerell løsig 3 y ( ) = [ Acos(l ) + B si(l ] 7

8 Vi merker oss igje t løsige ikke er gylig for =, og t et vil være ulike sett kostter A og B for < og > Til slutt hr vi også et mulige tilfellet m =m =m for (-) =4b D setter vi y ( ) = og fier y () ve vrisjo v kostte, vs y ()=C()y () itt ekel regig gir C()=l, og e geerelle løsige blir m y( ) = ( c + c l ), år vi igje hr beyttet t l=l +kostt, og trukket kostte i i c Eksempel: y' ' 3y' + 4y = Vi fier m =m =, vs y ( ) = ( c + c l ) m, De ihomogee ligige Vi går tilbke til e ihomogee iff ligige y'' + Py ( ) ' + Qy ( ) = R ( ) Vi merker oss t hvis y h () er e løsig v e homogee ligige (R()=), og y p () e eller e løsig v e ihomogee (prtikulær løsig), så er også y ( ) = yh( ) + yp( ) e løsig v e ihomogee ligige Spørsmålet er om ee løsige psser me gitte greseverier for y( ) og y ( ), slik t vi får e øskee etyige løksige Me yh( ) = cy ( ) + cy ( ) får vi betigelsee cy ( ) + cy ( ) = y ( ) y ( ), og p cy'( ) + cy'( ) = y'( ) y'( ) p Krv til løsig er som kjet t etermite til ligigssettet må være ulik ull, vs y( ) y( ) W =, y '( ) y '( ) og ette vet vi fr før er ok sie y () og y () er lieært uvhegige (Hvis høyre-sie i ligigssettet ovefor skulle være lik ull, hr vi irekte t y p () er er e løsig som tilfresstiller krvee, og er erme e søkte etyige løsige) Derme er problemet formelt løst: De geerelle løsige v e ihomogee iff ligige hr forme y ( ) = cy ( ) + cy ( ) + y ( ) p Neste problem blir imilerti å fie e prtikulær løsig y p () Her er et flere metoer som k brukes Et vlig tilfelle er iff ligiger hvor vestresie hr kostte koeffisieter: y'' + y' + by= R ( ) Her k vi komme lgt me lit strtegisk gjettig r r ) R ( ) = Ae, prøv y ( ) = Be p ) R ( ) = Asir+ Bcos r, prøv y ( ) = Csir+ Dcos r 3) R()=polyom v gr N, prøv y p ()=polyom v gr N p 8

9 4) R ( ) = e ( Asir+ Bcos r), prøv y ( ) = e ( Csir+ Dcos r) Eksempel: r y'' y' + y= Ae øsige v e homogee ligige er yh( ) = ce + ce Vi prøver r A yp ( ) = Be, og fier løsige B = ( r ), og erme A r yp ( ) = e ( r ) Hvorfor k vi ikke h r= i ee løsige? p Prtikulær løsig ve fktoriserig oss å se på e oe mer geerell meoe til å bestemme prtikulære løsiger Vi prøver me e fktoriserig, og skriver y ( ) = uv ( )( ) Istt i iff ligige får vi etter litt ekel regig: u' u'' + Pu ( ) ' + Qu ( ) R ( ) v'' + v' + P ( ) + v = u u u Hv skl vi å me ette? At t u() er e kjet løsig v e homogee ligige, feks u()=y () igige ovefor blir e eklere iff ligig i v() me forme u' R ( ) v'' + vg ' ( ) = h ( ), me g ( ) = + P ( ), og h ( ) = u u Derme hr vi e ligig v første ore i v, og setter vi v =w, hr vi følgelig w' + gw ( ) = h ( ), og ee ligige løser vi ve itegreree fktor: p g( ) µ ( ) = e, µ ( w ) = µ ( h ) ( ), v= w Her behøver vi ikke t me itegrsjoskostter, vi bre skl fie e (ekel) prtikulær løsig Eksempel (Eksme V6): 3 4 y'' 3 y' + 4y= l, strform: y'' y' + = l Vestre-sie er e Euler-Cuchy ligig Her fier vi m =m =, og e homogee løsige er yh( ) = c + c l Vi velger eklest u()=, og får følgee ligig for v(): v' l l v'' + =, vs g ( ) =, h ( ) = Itegreree fktor: l l µ ( ) = e = e =, µ ( w ) = = (l ), (l ) (l ) 3 w=, og v= w (l ) = = 6 9

10 Itegrlee ovefor fies ve elvis itegrsjo, feks (l ) 3 (l ) (l ) 3 = (l ), og erme (l ) = 3 Vår prtikulære løsig er 3 yp ( ) = uv ( )( ) = (l ), og e geerelle løsige: 6 3 y ( ) = c + c l + (l ) 6 For å få løsiger som k brukes for < må vi beytte l=l +C, og et blir ulike vlg v kosttee for < og > Kjeer vi ige løsig v e homogee iff ligige, k vi gå frem som følger: Vi forlger t u() skl være e løsig v ligige u ' P ( ), eller u' Pu ( ), u + = + = ( ) Som hr løsige u ( ) = Ce P Sie u() er bestemt på ee måte, må v() oppfylle e oe eklere ligig på forme R ( ) v'' + vf( ) =, u er f() å er bestemt ve hjelp v u() som vi hr fuet Klrer vi å løse ee eklere ligige for v(), hr vi så til slutt e prtikulære løsige y p ()=u()v() Dee fremggsmåte er ikke mist yttig hvis vi hr problemer me å komme i gg me å fie e løsig for e homogee ligige Eksempel: y'' + y' + y= 4 Her er P()=/, og vi hr l C u ( ) = Ce = Ce = Ve isettig fier vi så f()=/4, og iff ligige for v blir ekel, emlig v v'' + =, me løsig v ( ) = csi + cco, 4 og vi hr erme oppå to lieært uvhegige løsiger, slik t e geerelle løsige v vår homogee ligig blir y ( ) = uv ( )( ) = ( Asi + Bcos ) Her bør vi også t me t = for >, og = i for <, slik t vi på gru v sigulritete for iff ligige i = må operere me ulike løsiger for < og >

11 Prtikulær løsig ve vrisjo v kosttee Vi skl å se på e e og gske geerell måte til å fie e prtikulær løsig v vår iff ligig y'' + Py ( ) ' + Qy ( ) = R ( ) Vi tr t vi hr e løsig v e homogee ligige: yh( ) = cy ( ) + cy ( ) Det viser seg t vi k fie e prtikulær løsig y p () ve å vriere kosttee: yp ( ) = C( y ) ( ) + C( y ) ( ) Vi setter ette uttrykket for y p () i i iff ligige, og hr først y'( ) = C'( y ) ( ) + C ( y ) '( ) Ve å kreve t p +C' ( y ) ( ) + C ( y ) '( ) (I) C'( y ) ( ) + C'( y ) ( ) =, ugår vi re-eriverte for C () og C () Viere bereger vi y'' p( ), beytter betigelse ovefor, smt t y () og y () er løsiger v e homogee ligige Etter oe ekel regig fier vi C'( y ) '( ) + C'( y ) '( ) = R ( ) (II) igigee (I) og (II) ovefor gir å to ligiger som bestemmer C'( ) og C'( ), og løsigee er: y( R ) ( ) y( R ) ( ) C'( ) =, C'( ) =, W( ) W( ) som itegrert gir resulttet: y( R ) ( ) y( R ) ( ) C( ) =, C( ) = W( ) W( ) Her er Wroski-etermite W() gitt ve y( ) y( ) W( ) =, y'( ) y'( ) og vi vet t W() sie y () og y () er lieært uvhegige Dee metoe, som også er kjet som grges metoe, vil i prisippet llti fugere så st e geerelle løsige v e homogee ligige er kjet Eksempel: y'' + y = cos øsige v e homogee ligige er yh( ) = ccos+ csi, vs y( ) = cos, y( ) = si Prtikulær løsig: yp ( ) = C( )cos + C( )si, cos si Wroski-etermite W( ) =, si cos =

12 si (cos ) C( ) = l(cos ) l cos kostt, cos = cos = = + (kostte sløyfes, skl bre fie eklest mulig prtikulær løsig) C( ) = =, Prtikulær løsig: yp ( ) = cosl cos + si, Og e geerelle løsige v iff ligige blir: y ( ) = c cos+ c si+ cosl cos + si Aet eksempel (Eksme V6): Homoge løsig: y y + y= '' 3 ' 4 l y c c y y h( ) = + l, ( ) =, ( ) = l 3 3 Wroski-etermite: W( ) =, C( ) = (l ), C( ) = (l ) Prtikulær løsig: yp ( ) = (l ) + (l ) = (l ) Geerell løsig v iff ligige: y ( ) = c + c l + (l ) 6 (Her skl egetlig l erstttes me l +kostt) Grees-fuksjoer Vi skl å se på e litt e metoe eller tkegg for å løse vår geerelle iff ligig: y '' + P( ) y' + Q( ) y = R( ) Først ifører vi e ifferesilopertor D gitt ve D = + P( ) + Q( ), slik t iff ligige k skrives Dy()=R() Hvis vi å tr t et fies e ivers opertor til D, vs D -, hr vi følgee ekle løsig: D Dy( ) = y( ) = D R( ) E slik ivers opersjo fies, og ikke uvetet er e ivers opersjo v erivsjo e itegrlopersjo De iverse opersjoe til D uttrykkes ve e såklte Greesfuksjoe G(, ) som følger: b y ( ) = G(, ) R( ) De fste gresee på itegrlet k represetere gresebetigelser, ette vil bli klrt etter hvert Vi merker oss t G(, ) ieholer to vrible og, vi treger e for å gi rgumetet for y, og e ( ) som itegrsjosvribel Vi ser t e iverse opersjoe D - er bestemt ve itegrlet ovefor Viere må vi h, b For å bestemme G(, ) må vi beytte iff ligige: b [ ] Dy( ) = D G (, ') R ( ') = DG(, ') R ( ') = R ( ), b

13 er vi hr beyttet t D bre virker på, og ikke på, slik t vi k utføre erivsjoe uer itegrlteget igige ovefor bestemmer å Grees-fuksjoe G(, ), bortsett fr gresebetigelser For å løse ee itegrlligige ovefor behøver vi e hjelpefuksjo som er kjet som Dircs eltfuksjo δ(- ), efiert ve: δ "ueelig" for = ( ) =, og ( ) ( ) for δ = δ Det er imilerti e kotrollert sigulritet ve =, sie et også gjeler t b δ ( ) =, og viere følger δ ( ) f ( ) = f ( ), slik t e løsig på itegrlligige vår ovefor er gitt ve DG(, ) = δ ( ), eller utskrevet: G (, ') + P ( ) G (, ') + QG ( ) (, ') = δ ( ) For er ette e homoge iff ligig, e smme som gir e homogee løsige y h for vår geerelle iff ligig, y h ( ) = c y( ) + c y ( ) Sie vi i e tilsvree iff ligige for G(, ) hr e sigulritet for =, må vi h e løsig for <, og e e for > Disse to løsigee k bre være ulike me hesy på kosttee Sie iff ligige for G(, ) også ieholer prmetere, vil kosttee vhege v Vi hr e to lølsigee for G(, ) på forme: G I (, ) = A( ) y ( ) + B( ) y ( ), for <, og G II (, ) = C( ) y ( ) + D( ) y ( ), for > Itegrlet som bestemmer y() må å eles opp i to itegrler, et for e itegrsjosvrible <, og et for >: b y ( ) = G(, ) R( ) = GII (, ) R( ) + G b b I (, ) R( ) Vi hr å imilerti fått fire kostter A( ), B( ), C( ) og D( ) som må bestemmes, og vi må også t stpukt til itegrsjosgresee og b oss først uersøke om vi k fie oe betigelser som G I (, ) og G II (, ) må oppfylle ve sigulritete = Vi itegrerer hele iff ligige for G(, ) mhp mellom gresee -ε og +ε: G (, ') + P ( ) G (, ') + QG ( ) (, ') = δ( ) = + ε + ε + ε + ε ε ε ε ε Hvor skl vi få ette til å stemme? Vi merker oss t ε k være e vilkårlig lite (positiv) størrelse Viere vet vi t G(, ) hr e form for sigulritet for = Hvis G(, ) er iskotiuerlig i =, vil e eriverte i = bli gske uforutsigbr, vs ikke eksistere, og e mire vil e eriverte fies Skl vi h håp om å få 3

14 relsjoe ovefor til å stemme, må vi t t G(, ) er kotiuyerlig i =, me e k h et kekk-pukt, slik t e eriverte hr e eelig iskotiiutet D hr vi for grese ε : + ε + ε lim( ε ) QG ( ) (, ') = lim( ε ) P ( ) G (, ') =, ε ε sie begge itegree hr eelige verier i et ueelig lite itegrsjosområe Viere følger : ' + ε ' + ε lim( ε ) G (, ') = lim( ε ) G (, ') = G (, ') G (, ') = II I ε = = ε Vi hr erme fått to geerelle betigelser som kytter smme G I (, ) og G II (, ) ve =, emlig G (, ) = G (, ), og I II GII (, ) G I (, ) = = = Disse to betigelsee holer å til å bestemme to v e ukjete kosttee A( ), B( ), C( ) og D( ) Skl vi bre fie e prtikulær løsig v vår geerelle iff ligig for y(), vs y p () som smme me e ttt kjete homogee løsige y h () gir e geerelle løsige y( ) = c y ( ) + c y ( ) + y p ( ), hr vi betyelige friheter til råighet! Vi behøver bre å psse på t e to betigelsee ve = er oppfylt Går vi tilbke til uttrykkee for G I (, ) og G II (, ) k vi prøve me B( )=C( )= Betigelsee ve = gir e to ligigee for A( ) og D( ): A( ) y ( ) D( ) y A( )y' ( ) D( ) y' øsigee er (Crmers regel) ( ) = ( ) = y( ) y( ) A ( ') =, D ( '), W [ y( ) y'( ) y'( ) y( )] W( ) = W( ) = (W sie y og y er lieært uvhegige) De prtikulære løsige blir gitt ve: y ( ) = G (, ') R ( ') + G (, ') R ( ') ' p II I = y ( ) D ( ') R ( ') + y ( ) A ( ') R ( ') ' b b Vi ser til slutt t vi ikke behøver å bry oss om gresee og b på itegrlee, e gir bre to kostter som trekkes i i kosttee c og c i e homogee ele v løsige Ve litt øyere ettertke ser vi t e prtikulære løsige vi hr fuet å ve hjelp v Grees-fuksjoee er e smme som metoe me vrisjo v kosttee ville gi, y ( ) = C ( y ) ( ) + C ( y ) ( ) vs p 4

15 Metoe me Gree-fuksjoer er ofte mest yttig til å fie e hele etyige løsige for gitte gresebetigelser for y() Eklest blir et me betigelsee y()=y(b)= Dette er reltivt vlige gresebetigelser i fysikkproblemer Disse betigelsee oppfylles for GI(, ') = GII ( b, ') = Smme me e to betigelsee ve = hr vi fire betigelser som etyig bestemmer e fire ukjete A( ), B( ), C( ) og D( ) Derme får vi også e etyig løsig v iff ligige som psser me e gitte betigelsee Eksempel: y'' + y= si De homogee løsige er yh( ) = csi+ ccos Grees-fuksjoee er G (, ') = A ( ')si + B ( ')cos, < I G II(, ') = C ( ')si + D ( ')cos, > Viere hr vi e gitte betigelsee y()=y(π/)=, vs = og b=π/ Disse betigelsee gir G I (, )=G II (π/, )=, som irekte gir B( )=C( )= Betigelsee ve = gir viere e to ligigee for A( ) og D( ): A ( ')si D ( ')cos = A ( ')cos + D ( ')si =, me løsigee A( )=-cos og D( )=-si øsige blir π / y ( ) = cos si si cos ' si si = cos+ sil(si ) Vi ser t løsige som vetet ikke er gylig for si= For si< må vi sette l si +C er C er e kostt i i løsige Dette gir et ekstr le Csi, som ikke hr oe betyig sie et er e løsig v e homogee ligige øsig ve rekkeutviklig Fröbeius-metoe Problemet er å å løse vskelige homogee iffligiger v type: y'' + Py ( ) ' + Qy ( ) = Vi prøver å fie e løsig i form v e rekke: + s y ( ) =, = Her er s et tll som k være reelt eller komplekst, me ormlt vil s være et helt tll Uer visse forutsetiger vil et llti være mulig å fie e løsig i form v e slik rekke Vi skriver ifferesilligige på forme φ( ) ψ( ) y'' + y' + y=, 5

16 og tr t ϕ() og ψ() er fuksjoer som er lytiske i origo P()=φ()/ og Q()=ψ()/ er sigulære for =, me på e spesiell måte, og vi sier t vi hr et regulært sigulært pukt i origo Sie ϕ() og ψ() er lytiske i origo, hr e Tylorrekker v forme: m m ψ m= m= m φ( ) = b, ( ) = c Istt i iff ligige på forme y'' + φ( y ) ' + ψ( y ) =, får vi etter e lite omformig v leee: + s + m+ s s s bm s cm = m, = ( + )( + ) + [ ( + ) + ] = For lveste potes v, vs =m= får vi ss ( ) + ( bs+ c ) =, m Viere merker vi oss t b = φ() og c = ψ(), kjete størrelser fr iff ligige Vi hr e gruleggee ligige som bestemmer e mulige veriee for s: ss ( ) + sφ() + ψ() = Dee ligige er også kjet som ieksligige Vi ser t hvis sigulritete i origo er mer lvorlig e et regulært sigulært pukt, vil ikke båe ϕ() g ψ() h eelige verier, og vi vil ikke fie oe veri for s Det fies ige løsig v iffligige i form v e slik rekke På e e sie er et også klrt t hvis sigulritete i origo er regulær, så hr ϕ() og ψ() eelige verier, og vi fier s-verier som psser, vs e løsig Hvis iff ligige ikke hr oe sigulritet i origo fier vi ϕ()= og ψ()=, og løsigee v ieksligige blir s = og s = Når et gjeler mulige løsiger v ieksligige skjeler vi mellom tre muligheter: ) To løsiger s og s slik t s -s helt tll D fier vi to rekker v type + s + s = = = = y ( ), og y ( ) ' Disse to rekkee gir oss to lieært uvhegie løsiger v iff ligige, og vi hr e geerelle løsige ) To ulike løsiger s og s slik t s s =helt tll D er et ikke sikkert t e to rekkee for s og s gir to lieært uvhegige løsiger E øyere uersøkelse vil vise t hvis s >s så gir s llti e løsig Imilerti viser et seg ofte t s gir e komplett løsig Dog fies mulighete i ette tilfelle t s ikke gir oe løsig i et hele ttt Fies bre e løsig y (), må e e bestemmes v y ()=C()y () 3) To like løsiger s =s =s D fier vi bre e løsig i form v e rekke + s y ( ), = = og e e y () må fies v y ()=C()y () Puktee )-3) ovefor gir e kortversjo v et såklte Fuchs teorem Iefor pesum i FYS34/44 skl vi hole oss til tilfelle ) 6

17 Eksempel: y'' y' + y= Dee ligige hr ige sigulritet i origo, følgelig fier vi e to s-veriee s = og s = Rekke istt i ligige gir: + s + s + s ( + s)( + s ) ( + s ) + = = = = I e to siste summee setter vi +s= +s-, eller = -, =,3,4,, og får år vi skifter summsjosvribel fr til igje i e to siste summee: + s + s s s s = = ( + )( + ) ( 3 + ) = Her hr vi to spesiltilfeller, emlig = og =, hvor et er birg bre fr e første summe = : ss ( ) =, vs ieksligige, som gir s =, og s =, som vi visste lleree = : ( s+ ) s=, som viser t for s=s = er ubestemt, mes s=s = forlger = + s 3 : = ( + s)( + s ) For s= som forlger =, ser vi t lle så ær som blir lik ull, og vi får e ekle løsige y ( ) = Derme hr vi, som forutsgt v Fuchs teorem, fuet e (og bre e) løsig for e største s-verie For s= hvor båe og er ubestemte, får vi 3 =, ( ) Dette viser t = for lle oe >, mes vi får e ueelig rekke for like, =f(), er f() er bestemt v relsjoe ovefor øsige blir =,,4, y ( ) = f( ) +, ltså e komplett løsig me to ubestemte kostter Noe viktige resultter g Fourierrekker og Fouriertrsformsjoer E fuksjo f() utvikles i Fourierrekke i itervllet [-,]: π π f ( ) = + cos + b si, = = π π = f b f ( ) cos, = ( ) si Vi merker oss t hvis f() er e oe-fuksjo, vs f(-)=-f() så hr vi =, lle, mes e like-fuksjo f(-)=f() mefører b =, lle 7

18 Dirichlets setig (betigelser): Tilstrekkelige betigelser for t Fourierrekk for f() (tiloret f()) skl kovergere mot f() er: f() k bre h et eelig tll eelige iskotiuiteter i itervllet [-,], og et eelig tll ekstremlverier Hvis f() hr e (eelig) iskotiuitet i =, så gir Fourierrekk verie lim( ε ) [ f ( ε ) + f ( + ε )] for f() i = Kjeer vi f() bre i itervllet [,], og vil utvikle f() i Fourierrekke som er gylig i ette itervllet, k vi l f() være vilkårlig i itervllet [-,], Fourierrekk blir llikevel riktig for [,], bortsett fr mulig iskotiuitet for = Det ekleste er å velge e utvielse til [-,] i form v e like-fuksjo, ugås iskotiuitet i origo, og rekk blir e cosiusrekke (b =) Fourierrekkee k itegreres le for le, og eriveres le for le forutstt t e eriverte f '( ) oppfyller Dirichlets setig Øsker vi e Fourierrekke for f() i et mer geerelt itervll [,b], bytter vi vribel til t, og setter = α t + β, slik t = gir t=-, og =b gir t=, vs α=(b-)/, β=(+b)/ Vi får utviklet fuksjoe g(t)=f(αt+β) i itervllet t [-,] Fourierrekk på kompleks form: i / ( ) = ce π, = = iπ / f c f( e ) iπ/ imπ/ m Vi husker også ortogolitetsrelsjoe e e = m= Hvis e vrible er tie t, vs =t, tr vi gjere =T/, ωt=π, og π/=ωt Fouriertrsformsjo: I Fourierrekkee må vi h et eelig itervll [-,] for e vrible Øsker vi e tilsvree utviklig for et ueelige områet [-,] må vi beytte Fouriertrsformsjoe iωt f() t = F( ω) e ω, π iωt F[ f() t ] = F( ω) = f() te t π Her hr vi beyttet t som vribel, sie Fouriertrsformsjoe ofte beyttes i forbielse me tisvhegige feomeer 8

19 Vi merker oss t hvis f(t) er e oe-fuksjo, blir Fouriertrsformssjoe e siustrsformsjo, og tilsvree hvis f(t) er e like-fuksjo får vi e cosiustrsformsjo (se lærebok) E ofte forekommee Fouriertrsformsjo er: t f () t = ke α, α >, som gir ω k 4α ( ω), F = e α slik t e Fouriertrsformerte v e Gusskurve er også e Gusskurve Fouriertrsformerte v eriverte: F[ f '( t )] =iωf[ f() t ], F[ f ''( t )] = -ω F [ ()] f t Fouriertrsformerte v eriverte er et øveig å h for å løse ifferesilligiger Eksempel: y'' + y' + by= rt () Vi Fouriertrsformerer ligige og får: ω Y( ω) + iωy( ω) + by( ω) = R( ω), R( ω) iωt som gir Y( ω) =, og yt () = Y( ω) e ω ω + iω+ b π Dircs elt-fuksjo δ(t): Dee fuksjoe er ekel å trsformere, og hr e Fouriertrsformert lik Vi får π følgee uttrykk for δ(t): i t i ( t ) () t e ω ω δ = ω, og δ( t ) e ω π = π Dette (formelle) uttrykket for elt-fuksjoe k brukes til å fie mge egeskper ve δ(t), feks t e er e like-fuksjo, vs, δ(-t )= δ(t), og δ(t)= δ(t) Hevisie step-fuksjo H(t-): Dette er e e yttig hjelpefuksjo efiert ve t < Ht ( ) = t > + ε + ε Av itegrlet Ht ( t ) = Ht ( ) =, t ε ε slutter vi t Ht ( ) = δ ( t ) t 9

20 Noe yttige relsjoer g plce-trsformsjoer st ( e f ( t) t plce-trsformsjoe er efiert ve [ f t) ] = F( s) = Vligvis er F(s) bestemt for eksempel ve løsige v e ifferesilligig, og problemet blir å fie e fuksjoe f(t) som gir e kjete F(s) Til hjelp hr vi tbeller over plce-trsformerte v e rekke fuksjoer Det vil llikevel ofte være øveig å gjøre oe grep på F(s) før tbellee k beyttes Hvis vi for eksempel hr e plcetrsformert på forme F(s+), så er ette e trsformerte v fuksjoe e t f (t), er F(s) er e trsformerte v f(t) k Eksempel: F( s + ) =, som er e trsformerte v fuksjoe ( s + ) + k e t si kt Hr e plcetrsformerte forme F(s)G(s), så er ette i følge foligsteoremet (covolutio theorem) e trsformerte v fuksjoe t h( t) = f ( τ ) g( t τ ) τ, er F(s) og G(s) hhv er e trsformerte v f(t) og g(t) Dette blir spesielt ekelt hvis t G( s) =, vs g( t) =, og erme h( t) = f ( τ ) τ s P( s) Ofte hr F(s) forme F ( s) =, er P(s) og Q(s) er polyomer (gre til Q(s) vil Q( s) være høyere e gre til P(s)) Delbrøkoppspltig er yttig/øveig Eksempel: F ( s) = = = +, s( s + 3s + ) s( s + )( s + ) s s + ( s + ) t t som gir f ( t) = e + e, år vi beytter t [ e ] t = s, også for = For å løse ifferesilligiger hr vi bruk for e plcetrsformerte v eriverte: [ f ' ( t) ] = s [ f ( t) ] f (), [ f '' ( t) ] = s [ f ( t) ] sf () f ' () Eksempel: y' ' + y = t plcetrsformert: s [ y] sy( ) y' () + [ y] = [ t ] =, s s = y, og etter litt regig s ( s + ) s + s + (elbrøkoppspltig) som gir [ y] + y() + '() y( t) = t + ( y' () ) si t + y() cost Vi ser t vi hr e etyig løsig bestemt v veriee for y '() og y()

21 Hevisie step-fuksjo: H( t ) = st s [ H( t ) ] = e t = e og s for t > for t < st s( τ + ) s [ H ( t ) f ( t ) ] = e f ( t ) t = e f ( τ ) τ = e F( s) Vi hr ltså fått følgee resultt: Hr vi e plce-trsformert som hr forme e s F(s), så er ette e trsformerte v fuksjoe H ( t ) f ( t ) 3 3s s Eksempel: De plcetrsformerte er e = e F( s), 3 s Som betyr t f ( t) = t, og e trsformerte fuksjo er H ( t 3)( t 3) Deriverte v e plce-trsformerte: s s Av F st ( s) = e f ( t) t st F( s) = te f ( t) t F( s) = ( ) [ f (t)] = t følger ve erivsjo uer itegrlteget t [ tf (t)], og geerelt k Eksempel: F( s) =, f ( t) = si kt s + k, og F( s) = ks = [ t si kt] s ( s + k ) Dette uttrykket for e eriverte k brukes til å løse oe tilsyeltee meget vskelige problemer For eksempel fier vi gske greit t hvis s si kt F( s) = Arc cot, så er f ( t) = Vis! k t

22 øsig v prtielle ifferesilligiger ve hjelp v Greesfuksjoer Vi husker metoe me Greesfuksjoer for oriære ihomogee iff ligiger: y'' + Py ( ) ' + Qy ( ) = R ( ), b y ( ) = G (, ') R ( '), er Greesfuksjoe G(, ) er bestemt v ligige G (, ') G(, ') + P ( ) + QG ( ) (, ') = δ ( ) Itegrsjosgresee og b er bestemt v gresebetigelsee, for eksempel y()=y(b)=, som mefører G(, )=G(b, )= og er begreset til områet [,b] Altertive betigelser k være y()= og y ()= D k vi typisk h = og b= Vi vil å uersøke om vi k bruke e tilsvree måte til å løse ihomogee prtielle ifferesilligiger Som eksempel tr vi først e viktige Poissos ligig i tre imesjoer: ρ( r) ( ), () ε Ur = er Ur ( ) er potesilet som skyles ligsskye ρ( r ') ρ( r ') V r r' r ' Ur ( ) r I likhet me løsige ovefor for oriære ligiger prøver vi: Ur ( ) = Grr (, ') ρ( r') V( r') () ε er V er et volumelemet som refererer til posisjoe ligig: r ' Vi setter i i Poissos

23 Ur ( ) = Grr (, ') ρ( r') V( r'), (3) ε og merker oss t bre virker på e vrible r slik t virker på itegre i itegrlet ovefor Viere ser vi t vi får riktig løsig for Ur ( ) ve å bestemme Grr (, ') v ligige Grr (, ') ( r r '), (4) = δ er δ ( r r') er e treimesjole δ -fuksjoe, som hr egeskper som e eimesjole: Vi ser å t ligig (4) for δ( r r') = δ( ) δ( y y') δ( z z'), f( r') δ ( r r') V( r') = f( r) Grr (, ') U r = δ r r ρ r V r = istt i (3) psser me Poisso-ligige: ρ( r ) ( ) ( ') ( ') ( ') ε ε Hvor bestemmes så Grr (, ') v ligige (4) ovefor? Vi ser t e liger på Poissos ligig, me hr e eklere høyresie, og skulle erme være eklere å løse Vi tr utggspukt i t ligsskye ρ( r ) fr e puktlig er gitt ve ρ( r) = qδ( r r'), som gir ρ( rv ) ( r) = q δ( r r') V( r) = q Etter Coulombs lov er potesilet Ur ( ) i posisjoe r fr e puktlig i posisjoe r gitt ve q Ur ( ) = 4 πε r r' Av Poissos ligig følger for e puktlig: som gir q ρ( r) qδ( r r') = = 4 πε r r' ε ε = 4 πδ ( r r') (5) r r' 3

24 Når vi smmeliger ligigee (4) og (5) hr vi også e løsig for Grr (, ') = (6) 4 π r r' øsige v Poissos ligig er fr ligig (): Grr (, ') : Ur ( ) = Grr (, ') ρ( r') V( r') ε ρ( r') = V( r') (7) 4 πε r r' Dee løsige er egetlig lett å forstå, e gir oss potesilet Ur ( ) i r som e sum v birg fr små ligsbiter ρ( r ') V( r ') i posisjoe r etter Coulombs lov Dette resulttet er typisk for Greesfuksjoer De gir oss løsige for et komplisert problem i form v e sum v birgee til løsige (vs størrelse vi vil berege) fr e ekelte kiler, for eksempel små ligsbiter, små msseeler I et mer geerelle tilfellet me e ligig v forme Du( r) = f( r), er D er e ifferesilopertor ( D = for Poisso-ligige), hr vi løsige me Grr (, ') ur ( ) = Grr (, ') f( r') V( r'), bestemt v DG( rr, ') = δ ( r r ') I tillegg kommer så gresebetigelser Schröigerligige Et et viktig eksempel på bruk v Greesfuksjoer gjeler løsige v Schröigerligige for et ikke-buet problem, vs me eergi E>: ħ p ψ ψ [ + E ( r)] ( r) = E m ( r), E >, som gir me m ħ ħ Prøver me e Greesfuksjo: ( + k ) ψ( r) = Ur ( ) ψ( r), k =, U( r) = E ( ) (8) p r 4

25 ψ( r) φ( r) Grr (, ') Ur ( ') ψ( r') V( r'), (9) = + er φ( r ) er bestemt v e homogee ligige ( + k ) φ( r) = () Vi får til slutt følgee resultt år (9) settes i i (8), og () beyttes: ( + k ) ψ( r) = ( + k ) Grr (, ') Ur ( ') ψ( r') V( r') () = U( r) ψ( r) Dee siste ligige bestemmer også Greesfuksjoe, som blir gitt ve ( + k ) Grr (, ') = δ( r r') () Å løse ee ligige og bestemme Greesfuksjoe gir e litt mer omfttee øvelse i kompleks itegrsjo som vi ikke tr me her Resulttet er imilerti ik r r' e Grr (, ') = 4 π r r' Vi ser t ligig () for Grr (, ') svrer til ligig (8) for ψ ( r ), me å me et potesil gitt bre i et ee puktet r = r ' Det er viktig å merke seg t Greesfuksjoe i utggspuktet ikke vheger v et ktuelle fysiske system, vs ikke v potesilet Ur ( ) Egeskper ve systemet kommer bre i vi gresebetigelser De prktiske løsige v et slikt kvtemekisk problem består i først å t ψ( r ') = φ( r '), sette ee pproksimtive løsige i på høyresie i ligige (9) som bestemmer ψ ( r ), og erme fie e mer øyktig løsig (itersjo) Dette gir e såklte første Bor-pproksimsjo i e kvtemekiske teorie for spreig Deretter gjets prosesse (re Bor-pproksimsjo etc) til løsige forhåpetlig kovergerer 5