Oppfriskningskurs i matematikk Kompendium Notater, eksempler og oppgaver med fasit/løsningsforslag 1 Høsten 2016 Amir Massoud Hashemi

Transkript

1 Oppfriskningskurs i mtemtikk Kompendium Notter, eksempler og oppgver med fsit/løsningsforslg Høsten 06 Amir Mssoud Hshemi Sist oppdtert. ugust 06 i

2 Innhold Forord... Kpittel 0 Test deg selv... Oppgver Selvtest... Fsit Selvtest... Kpittel Grunnleggende emner Tlllinjen og reelle tll Mengder og tllmengder Intervller Regnerekkefølge Bokstvregning og brøkregning Prentesregler Brøkregning og brudden brøk Fktorisering Fellesnevner Absoluttverdi Potenser med heltllige eksponenter Kvdrtsetningene Geometrisk rekke Summetegnet Aritmetisk rekke... Oppgver Kpittel... Fsit Kpittel... 4 Kpittel Funksjoner, ligninger og ulikheter Hv er en funksjon? Grfen til en funksjon Noen viktige begrep Noen funksjoner Førstegrdsfunksjoner f ( ) = + b Ligninger Førstegrdsligninger Andregrdsligninger + b + c = Andregrdsfunksjoner f ( ) = + b + c Inverse funksjoner.... Rsjonle ligninger.... Irrsjonle ligninger.... Ulikheter..... Enkle ulikheter Doble ulikheter Grfisk løsning Rsjonle ulikheter... 6 Oppgver Kpittel... 7 Fsit Kpittel... 9 Kpittel Eksponentielle funksjoner og logritmer.... Eksponentiell vekst.... Logritmer f ( ) = log og f ( ) = ln...

3 . Regneregler for logritmer....4 Den nturlige logritmefunksjonen y = e og y = ln er inversfunksjoner Eksponentile og logritmiske ligninger Ligningen = b Noen eksponentilligninger Noen logritmiske ligninger... 5 Oppgver Kpittel... 6 Fsit Kpittel... 7 Kpittel 4 Trigonometri i grder og rdiner Vinkelmål: grder og rdiner Rettvinklet treknt Trekntberegninger Trigonometri i rdiner Noen kjente vinkler Grfene til sinus, cosinus og tngens Trekntberegninger (trigonometri i grder) Trigonometriske formler Beskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinus- /sinuskurve Den periodiske funksjonen: f ( t) = cosωt + bsinωt Ligninger på formen: sin( ) = b der 0 π Ligninger på formen: cos( ) = c der 0 π Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Kpittel 5 Grenseverdi og kontinuitet Grenseverdi f ( ) 0 5. Grenseverdi lim = g ( ) 0 5. Ensidig grense lim og lim Kontinuitetsbegrepet f ( ) 5.5 Noen ord om grenseverdi når lim = g ( ) 5.6 Asymptoter Tllet e Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Kpittel 6 Derivsjon og funksjonsdrøfting Vekstrte Definisjon, vekstrte Tolkninger Derivsjonsformler og derivsjonsregler Viktige derivsjonsregler r 6.6 Den deriverte til og Den deriverte med hensyn til : d d 6.8 Oversikt over derivsjonsformler og -regler Derivert, nnenderivert og funksjonsdrøfting iii

4 6.0 Mksimum og minimum Ligningen til tngenten og linerisering... 7 Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Kpittel 7 Integrsjon Det bestemte integrlet som rel Det bestemte integrlet Det ubestemte integrlet Integrsjonsformler Regneregler for bestemt og ubestemt integrl Integrsjon ved substitusjon Delvis integrsjon Noen nvendelser v det bestemte integrlet... 8 Oppgver Kpittel Fsit Kpittel Ikonbeskrivelser: Innhold Definisjon Eksempel Løsning Kommentr, hint, bemerk, husk Vnskelig oppgve Eventuelle kommentrer eller meldinger om feil i nottene ts imot med tkk: hs@hib.no. Følgende link blir oppdtert ved eventuelle kommentrer eller feil:

5 Forord Å lære mtemtikk er som å lære et nnet språk; ved første øyekst virker det uforståelig og vnskelig, men etter hvert vil du oppleve t det blir grdvis lettere. Mnge begreper i mtemtikken er forbundet og bygger på hverndre. Å forstå innholdet i et bestemt begrep, vil dermed hjelpe deg til å forstå mnge ndre. Å være usikker og frustrert i rbeidet med stoffet er en nturlig del v læringsprosessen. Husk t læring ikke bre skjer ved god innsts, men også ved intens konsentrsjon. Dette heftet er et oppsummeringsnott fr noen utvlgte grunnleggende emner i mtemtikk. Enkelte eksempler er ment som utfyllende forklring til lærestoffet og viser hvordn lærestoffet blir benyttet til å løse konkrete oppgver. For hvert kpittel finner du en oppgvedel etterfulgt v fsit/løsningsforslg. Når du skl lære et nytt emne er det ikke nok å få tk i hvordn ting skl gjøres. Det er like viktig å spørre seg hvorfor og prøve å forstå hvordn ting henger smmen. D blir det lettere å lære. Jo bedre du forstår mtemtikken, desto lettere er det å bruke den til å løse ktuelle problemer i ndre fgfelt. Det er svært viktig t du leser nøye gjennom oppgvene før du prøver å løse dem. Hvis du står fst i en oppgve, les heller gjennom lærestoffet enn å se på fsit/løsningsforslg. I kpittel 0 kn du teste og se om du innehr tilstrekkelig med bsisferdigheter i mtemtikk. Heftet er orgnisert på følgende måte: Kpittel 0: Test deg selv (elementære regneferdigheter) Del : Algebr Kpittel : Grunnleggende emner Del : Funksjonslære Kpittel : Funksjoner, inversfunksjoner, ligninger og ulikheter Kpittel : Eksponentielle funksjoner og logritmer Kpittel 5: Grenseverdi og kontinuitet Kpittel 6: Derivsjon, funksjonsdrøfting og en del nvendelser Del : Kpittel 4: Trigonometri Kpittel 7: Integrsjon og en del nvendelser Amir Mssoud Hshemi August 06 Dette heftet ble lget for Mtemtisk institutt ved UiB og hr blitt oppdtert siste årene

6 Kpittel 0: Test deg selv Kpittel 0 Test deg selv Før du begynner å lese nottene og t forkurset, kn du teste deg selv i grunnleggende emner. Oppgver Selvtest Oppgvene skl løses uten bruk v klkultor. Oppgve 0. Regn ut. 5 4 ) ( 4 ) b) ( 4 + ) 4( 4 + ) c) ( ) ( 5 4 ) + ( ) Oppgve 0. Regn ut. ) 5 b) 8 c) Oppgve d) 4 : 6 7 Regn ut. 5 7 ) + b) Oppgve 0.4 c) + : 5 5 Regn ut. 56 ) 5 64 b) + c) Oppgve 0.5 Regn ut. ) 5 b) 5 9 c) 6 4 d) + + Oppgve 0.6 Multipliser og trekk smmen. b b b b + b) ( + )( + ) ( + )( ) ) ( ) ( ) b + b ( b) d) b + b ( b ) + b( b + ) b c) ( ) ( )

7 i mtemtikk AIØ/HiB Oppgve 0.7 Skriv så enkelt som mulig. ) 6b + b 6( b) b) 6b + 9b 9b Oppgve 0.8 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) ( + 5) ( + 5)( 5) b) ( ) ( + ) c) ( )( ) + + d) ( 5 + )( 5 ) ( 5 ) Oppgve 0.9 Fktoriser uttrykkene. ) 4 + b) 8 c) t 8 d) + + Oppgve 0.0 Fktoriser uttrykkene ved hjelp v nullpunktene. ) 4 + b) c) + 5 d) y + y + 8 Oppgve 0. Forkort brøkene. ) + b) 6 c) d) y 4y 4y

8 Kpittel 0: Test deg selv Fsit Selvtest 0. ) 78 b) c) - 0. ) b) 4 5 c) 5 d) 0. ) 7 6 b) c) ) b) 9 0 c) ) 5 4 b) 5 c) ( ) 6 9 d) ) b b) 4 + c) 6 b( b ) d) b + b ( b + b ) ( b) ( b) b ) = = = 6( b) ( b) ( b) b) 6b + 9b ( b) b = = 9b ( b) ( + b) + b 0.8 ) 0( + 5) b) c) d) ) ( + ) b) ( 9)( + 9) c) ( t )( t + ) d) ( + ) 0.0 ) ( )( ) b) ( + )( ) c) ( )( + 5) d) ( y + 4)( y + 7) 0. ) b) + c) + y d) + y

9 Forkurs i mtemtikk HiB (hs@hib.no) Kpittel Grunnleggende emner Dette kpittelet er en repetisjon v grunnleggende konsepter og prinsipper. Vi oppsummerer emner som: - Tllmengder, intervll - Bokstvregning og brøkregning - Regler for potensregning - Absoluttverdi - Geometriske og ritmetiske rekker. Tlllinjen og reelle tll. Utgngspunkt (O, origo, begynnelsespunkt, nullpunkt) (origo (ltin) betyr begynnelse). Lengdeenhet (E). Positiv retning, vises med en pil. Mengder og tllmengder En mengde inneholder visse objekter, klt elementer. Elementene kn i prinsippet være hv som helst, for eksempel tll, personer, biler eller ndre mengder. M: er et element i mengden M M : et element er ikke i mengden M En mengde kn være tom. Den tomme mengden blir betegnet med Ø. Kjente tllmengder: Mengden v lle nturlige tll: N =,,, { } { } Mengden v lle hele tll: Z =,,,,0,,,, p Mengden v lle rsjonle tll: Q = { p og q er hele tll, q 0} q Mengden v lle reelle tll: R inneholder lle tll på reelle tllinjen Et reelt tll som ikke er rsjonlt klles irrsjonlt, for eksempel: Eksempel. Noen rsjonle tll: 0,8,,, 5 7 Noen irrsjonle tll:, π 4

10 Kpittel. Intervller Intervller er deler v tllinjen. Et intervll kn være lukket eller åpent: Intervllet 0 er lukket og kn skrives som: [ 0, ] Intervllet 0 < < er åpent og kn skrives som: < 0, > Intervllet er hlvt lukket/hlvåpent og kn skrives som: [,, > eller [, > Åpent intervll Intervllnotsjon Grfisk frmstilling { < } (, ) { < < b} <, b > ( ( ) b { < } { is rel #} <, > <, > ) Hlvt åpent intervll Intervllnotsjon Grfisk frmstilling { } [, > [ { < b} [, b > [ ) b { } <, ] ] Lukket intervll Intervllnotsjon Grfisk frmstilling { b} [, b] [ ] b.4 Regnerekkefølge Kunnskper om smmenheng mellom regneopersjonene er svært viktig i lgebr. I smmenstte uttrykk kn mn regne ut uttrykket i følgende rekkefølge:. Regn ut lle prenteser. Regn ut potenser. Multipliser eller divider 4. Legg smmen eller trekk fr 5

11 Forkurs i mtemtikk HiB (hs@hib.no) Eksempel. Regn ut uten klkultor: 5 7(5 ) + ( ) + ( ) Prenteser og potenser: Multipliser: Legg smmen: =.5 Bokstvregning og brøkregning Algebr er for mnge det smme som bokstvregning. I mtte brukes bokstver spesielt i formler, ligninger og ulikheter, identiteter og funksjonsuttrykk. + = = Et ledd er et ledd, der er koeffisient, er vribel og er eksponent. To ledd tskilles fr hverndre med + eller : + En fktor ( + ) består v fktorer. To fktorer tskilles fr hverndre med gngetegn: y. Regneregler Kommuttiv lov Assositiv lov Distributiv lov Motstte og inverse tll Addisjon Multipliksjon + b = b + b = b + ( b + c) = ( + b) + c ( b c) = ( b) c + ( ) = + = 0 ( b + c) = b + c = der 0 Tllet 0 og : + 0 = 0 + = = = 6

12 Kpittel.6 Prentesregler ( b c) b c + = + ( + b)( c + d) = c + d + bc + bd.7 Brøkregning og brudden brøk b c b c + = + Husk: + b + c b c c c = Husk: b d b d b = c b c : c d = = d Husk: : c d = = = d d c c c d c c d c d d : = = Husk: b c d d = : = = b d b c bc c b d b c bc d.8 Fktorisering Fktorisering er en prosess der mn deler opp et mtemtisk uttrykk som for eksempel en ligning eller et tll i mindre enheter (fktorer) som kn gnges smmen for å få det opprinnelige uttrykket. Eksempel : + + = + = ( ) Eksempel : 4 b b + 8b = 4b( b + b ).9 Fellesnevner Fellesnevner Fellesnevner er det minste tllet som er delelig med lle nevnerne. Eksempel : + + = + = 4 = Eksempel : ( ) ( ) ( ) = + = = + + ( + ) + + ( ) ( ) En brudden brøk består v en brøk i telleren, en brøk i nevneren og en hovedbrøkstrek mellom dem. For mer info kn du lese her: 7

13 Forkurs i mtemtikk HiB (hs@hib.no).0 Absoluttverdi Absoluttverdien eller tllverdien til et reelt tll er den numeriske verdien til tllet uten hensyn til fortegnet. Den geometriske tolkningen v bsoluttverdi kn være vstnd på tllinjen. 0 = < 0 Grfen til y = : Husk: = Absoluttverdien v kn tolkes som vstnden fr 0 til på tllinjen. Tilsvrende vil y bli vstnden mellom og y på tllinjen. Dermed hr vi t de som tilfredsstiller ligningen < er lle tll slik < <. Noen regneregler som gjelder: = = ± = 0 = 0 < < < > < > b = b = ( b 0) b b Det kn vises: ± b + b b < + b Eksempel. ) Beregn: 7 b) Løs ligningen = c) Tegn grfen til y = ) 7 = 7 = 4 b) = c) y = = ( ) <. Grfen er vist her: Eksempel.4 Løs ligningene og ulikheten: ) 5 = b) 5 ) 5 = ± = = 8 b) 5 < < 5 < < < 8 0 = R < 0 = = 0 c) 0 eller = { R, 0} < c) = 8

14 Kpittel. Potenser med heltllige eksponenter n klles potens (potensledd) og er definert som: n = der er grunntll og n er et nturlig tll og klles eksponent. Hvis 0, kn vi skrive 0 n = og = n Regneregler = m n m n m n = m n ( ) = = ( ) n m n m m n n gnger n n n + ( b) = b n = b b p q p q = n n Husk: 0 = n = n n n = Kvdrtrot skrives slik: og =. n te rot skrives n og kn noteres: n = n Eksempel.5 Skriv så enkelt som mulig: ) b) ) = = b) 5 4+ ( ) = = = = =. Kvdrtsetningene ( ± b) = ± b + b (. og. kvdrtsetning) ( + b)( b) = b (. kvdrtsetning). Geometrisk rekke Kjennetegnet til en geometrisk rekke er t forholdet mellom to påfølgende ledd er konstnt. n = = = = k (kvotient) n n Summen v de n første leddene i rekken er: S = + k + k + + k 9

15 Forkurs i mtemtikk HiB (hs@hib.no) k og kn utledes som S = k n, husk t n er ntll ledd i rekken. Geometrisk rekke, ledd n n = k k er rekkens kvotient Summen v de n første leddene i en n k geometrisk rekke S = k Summen v en uendelig geometrisk rekke (konvergent) s = k Rentesrenteformelen p K n = K 0 ( + ) 00 n n Gjelder for k. Hvis k = er, S = n Gjelder for < k < S = 0 når = 0 Verdien Kn om n år v et beløp K0 i dg Eksempel.6 Ved den første injeksjonen gir dosen 5 enheter. Psienten skl få 0 injeksjoner med en ukes mellomrom. ) Hvor mye skl injeksjonen økes slik t den siste dosen er enheter? b) Hvor mnge enheter mottr psienten i løpet v de 0 injeksjonene? ) ( p ) n Kn = K p 9 p /9 00, 000 = 5( + ) + = (0, 000), 684 p 0, 684 eller 68, 4 % b) Vi ønsker å bestemme summen til 0 ledd i en geometrisk rekke: 0 9 (, 4) 4 S = (,4) + + 5(, 4) + + 5(, 4) = 5,75 0 enheter,4.. Summetegnet Summetegnet kn hjelpe oss til å omskrive en sum som følger en bestemt regel: n i= = i Eksempel.7 Skriv summen () + () + + () n ved hjelp v summetegnet. Regn ut summen () () () () i i= = eller () + () + + () = () i Summen er d lik: () + () + + () = () = 6096 n Bemerk: + k + k + + k n i = i ( k) = ( n k ) k i= i= 0

16 Kpittel Eksempel.8 Bestem summen til den geometriske rekken: For å bestemme n (ntll ledd i rekken) kn vi benytte: = k 640 n n 7 = 8 = = n = Summen er d lik: = 5 = 75 n Bemerk: + k + k + + k n i = i ( k) = ( n k ) k i= n n.4 Aritmetisk rekke Kjennetegnet til en ritmetisk rekke er t differnsen mellom lle to påfølgende ledd er konstnt. = = = = d n n Summen v de n første leddene i en ritmetisk rekke er gitt ved: n n n i = + ( + d) + ( + d) + + ( + ( n ) d) = ( + n ) = ( + ( n ) d) i= Eksempel.9 Bestem summen til den ritmetiske rekken: Differnsen d kn bestemmes: d = 9 5 = 9 = 4 For å bestemme n (ntll ledd i rekken) kn vi benytte: n = ( n ) d 4( n ) = 49 5 n = n = Summen er d lik: = (5 + 49) = 4 n n Bemerk: i = + ( + d) + ( + d) + + ( + ( n ) d) = ( + n ) i=

17 Forkurs i mtemtikk HiB (hs@hib.no) Oppgver Kpittel Oppgvene skl løses uten bruk v klkultor. Oppgve. Regn ut ) ( 4 4) b) ( 4 + ) 4( + ) c) ( ) ( 5 4 ) + ( ) Oppgve. Regn ut. ) 6 b) 5 c) Oppgve d) : 6 Regn ut. ) 4 b) + + c) + : Oppgve.4 Regn ut. ) 5 b) b b + b b c) Oppgve.5 Regn ut. ) b) c) + 4 Oppgve.6 Multipliser og trekk smmen. + b) ( + )( + ) ( + )( ) ) ( ) ( ) b b b b( b) c) ( ) ( ) b b ( b) + d)( )( ) ( ) + 4

18 Kpittel Oppgve.7 Skriv så enkelt som mulig: ) 4 4b + b ( b) b) 4b + 4b 4b Oppgve.8 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) ( + ) ( + )( ) b) ( ) ( + ) ( ) c) ( )( ) + d) ( + )( ) ( ) Oppgve.9 Fktoriser uttrykkene. ) 9 + b) Oppgve c) 4t 9 d) Fktoriser uttrykkene ved hjelp v nullpunktene. ) b) c) d) b + b 6 Oppgve. Forkort brøkene. 9 ) + 6 b) c) d) y 9y 9y Oppgve. Skriv så enkelt som mulig ( > 0 ) : ) ( ) 4 b) c) 4 d) Oppgve. Bestem summene: ) der > b) Oppgve.4 ) Løs ligningen: ( ) =. b) Tegn grfen til y =

19 Forkurs i mtemtikk HiB (hs@hib.no) Fsit Kpittel. ) b) 0 c). ) b) c) 5 7 d) 9. ) 6 4 = ) 5 b) b) b b b + 9 = = b 5b 0 b.5 ) ( + ) b) + c).6 ) b) 4( ) c) + c) 7 + c) 4 b( b) d).7 ) b b) b + b + b) 4 c) 6 ( ) d) ( ).8 ) 6( ).9 ) ( + ) b) ( 7)( + 7) c) (t )(t + ) d) ( + ).0 ) ( )( 4) b) ( )( + ) c) ( 4)( + ) d) ( b )( b + ). ) b) c) d) y y y y y = = 9y ( y)( + y) + y 9 ( ). ) = = = = b) ( ) 9 4 ( + ) 6 6 = = = = c) = ( ) ( + ) = d) = = = n n ( ) 4 8 k. ) S = S = = lim = 9 7 k n n n ( ) k der > S = = lim = k n.4 ) = = ± = = b) > b) y = = < der > n lim( ) = 0 n 4

20 Kpittel Kpittel Funksjoner, ligninger og ulikheter Her skl vi t for oss sentrle begreper knyttet til funksjoner og deretter studere ligninger og ulikheter.. Hv er en funksjon? En funksjon f er en regel som tilordner ethvert element,, fr en mengde klt definisjonsmengde, til et entydig bestemt element, y, i en mengde klt verdimengde: y = f ( ) der D f og y V f og y klles henholdsvis uvhengig vribel og vhengig vribel. Krvet for t en relsjon y = f () er en funksjon er: For enhver i definisjonsmengden finnes én og bre én y i verdimengden: = y = y Vertikllinjetesten: En linje prllell med y-ksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt. Eksempel. y = er en funksjon, mens y = ikke tilfredsstiller definisjonen til en funksjon (grfen til y = som er vist litt tykkere hr bre et skjæringspunkt med en vertikl linje, mens y = hr to).. Grfen til en funksjon L f være en funksjon. Mengden v lle tllpr (, f ( )) som vi får ved å l gjennomløpe definisjonsmengden til f, klles grfen til funksjonen y = f ( ). Eksempel. Grfen til y = f ( ) = er vist her: Som vi ser, er denne relsjonen en funksjon. 5

21 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no). Noen viktige begrep Monotoni (i) En funksjon f er voksende dersom: > f ( ) f ( ) (ii) En funksjon f er strengt voksende dersom: > f ( ) > f ( ) (iii) En funksjon f er vtgende dersom: > f ( ) f ( ) (iv) En funksjon f er strengt vtgende dersom: > f ( ) < f ( ) Kontinuitet En funksjon y = f ( ) er kontinuerlig dersom grfen er smmenhengende. I kpittel 5 skl vi studere kontinuitetsbegrepet nærmere. En entydig funksjon For enhver y i verdimengden finnes én og bre én i definisjonsmengden. Vi kn bruke den såklte horisontllinjetesten til å studere entydighet. Horisontllinjetesten En linje prllell med -ksen skjærer funksjonskurven høyst i ett punkt. Smmenstte funksjoner For eksempel: y y = g der = + kn nses som ( ) g = +. ( ) Oppdelte funksjoner En funksjon som er uttrykt ved hjelp v flere funksjonsuttrykk i forskjellige intervller. For eksempel: 0 f ( ) = < 0 Odde og jmne funksjoner, og symmetriegenskper (er foreløpig ikke pensum) 6

22 Kpittel.4 Noen funksjoner n Polynomfunksjoner: f ( ) = n (polynom v n te grd) (for eksempel førstegrds- og ndregrdsfunksjoner) f ( ) Rsjonle funksjoner: y = ( g( ) 0 ), der f og g er polynomfunksjoner g( ) Eksponentilfunksjoner: y =, > 0 Logritmefunksjoner: y = log, der > 0, > 0. (for eksempel briggske logritmer, y = log og nturlige logritmer, y = ln ) Trigonometriske funksjoner: y = sin, y = cos, y = tn, y = c + sin( ω ϕ),.5 Førstegrdsfunksjoner f ( ) = + b En førstegrdsfunksjon er en funksjon der funksjonsuttrykket er v første grd og kn skrives på formen: y= + b, der klles stigningstll og b er konstntleddet. Ettpunktsformelen: y y0 = ( 0 ) (en rett linje med stigningstll som går gjennom punktet ( 0, y 0 ) ) y y0 y y0 Topunktsformelen: = 0 0 (en rett linje gjennom punktene ( 0, y0 ) og (, y ) der stigningstllet d blir Grfen til y = + b, der klles stigningstll og b konstnt ledd, er en rett linje. > 0 funksjonen er strengt voksende. < 0 funksjonen er strengt vtgende. = 0 funksjonen er konstnt: y = b. = y y 0 0 ).6 Ligninger En ligning består v to mtemtiske uttrykk som er stt lik hverndre, der uttrykkene inneholder minst én ukjent. Den ukjente betegnes ofte. Når ett ledd (i en ligning) flyttes fr en side v likhetstegnet til den ndre, må vi skifte fortegn (, + ) på leddet. En ligning som lltid er oppfylt, unsett vlg v den ukjente, klles en identitet. For eksempel ( + ) ( ) =. 7

23 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no).7 Førstegrdsligninger Når vi skl løse førstegrdsligninger må vi prøve å smle -ene på en side og tllene på den ndre siden. Men for å få til det må vi legge til eller trekke fr det smme tllet på begge sider, eller multiplisere eller dividere lle ledd på begge sider med det smme tllet. Eksempel. Løs ligningene: ) 8+ 7= 88 b) + = c) ( ) + = 4 5 ) b) 8+ 7= = 8+ = = = 8 = 66 8 = = 9 = 6 9 c) 0 ( ) + = ( ) + ( ) = = 40 9= 45 = 5.8 Andregrdsligninger + b + c = 0 Vi hr å gjøre med en ndregrdsligning når en ligning hr en ukjent som er opphøyd i. Den skrives ofte på denne formen: + b+ c= 0, der, b og c er reelle tll og 0. Løsningene til ndregrdsligningen: + b + c = 0 kn skrives som:, ± = b b 4c b c > b Hvis b = 0, kn ligningen Hvis c = 0, kn ligningen b c < 4 0 foskjellige reelle løsninger 4c = 0 dobbel løsning 4 0 ingen reell løsninger c + c = 0 h løsningene, = ± b + b = 0 h løsningene = 0, = En ndregrdsfunksjon nullpunkt(er): f ( ) b c = + + som hr nullpunkt, kn fktoriseres med dens b c + + = ( )( ), der og kn bestemmes ved:, ± = b b 4c 8

24 Kpittel Det er hovedskelig tre tilfeller v ligningene: Ingen konstntledd c= 0 Ingen førstegrdsledd b= 0 + b= 0 ( + b) = 0 = 0 eller + b= 0 b = 0 eller = + c= 0 = c c = c =± Generell + b+ c= 0 ± = b b b 4c 4c> 0 : reelle løsninger Eksempel 4 = 0 ( 4) = 0 = 0 eller = 0 eller 4 9= 0 4 = 9 = 9 4 =± =± = 0 4 = 0 = ± = ± 5 = = eller = ( ) 4 ( 6) b 4c= 0 : en dobbel løsning = 0 ± = 4± 0 = = Eksempel.4 Løs følgende ndregrdsligning = 0 SVAR: Bruker bc-formelen. Her er = 4, b = 0 og c = ( 4) ± ± ±,= = = Dette gir de to løsningene = 4 og = 9

25 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Eksempel.5 Løs ligningene: ) + = 4 b) = 5 c) = 5 0 ) b) + 4= 0 = 5 ( 5) = 0 ± 4( 4) = = 0 = 5 ± 5 = = = 4 c) 5= 0 = 5 =± 5.9 Andregrdsfunksjoner f ( ) = + b + c Dersom > 0, smiler grfen, mens grfen er sur når < 0. Skjæringspunkt med y-ksen er ( = 0, y = c ). b ± b 4c Nullpunktene til grfen (skjæringspunkt med -ksen) er ( =, y = 0). Husk t ndregrdsfunksjonen kn fktoriseres hvis den hr løsning(er): + b + c = ( )( ) Grfen er symmetrisk om linjen: b =. For å tegne grfen til en ndregrdsfunksjon kn vi tenke slik: ) Er grfen sur eller smiler den? b b b b ) Bestem symmetrilinjen: = og f ( ). Fktisk er punktet: ( =, y = f ( ) ) koordintene til mksimumspunktet ( < 0 ) eller minimumspunktet ( > 0 ). ) Bestem eventuelle nullpunkt. 4) Bestem skjæringspunktet med y-ksen (0, c ). 0

26 Kpittel Eksempel.6 Tegn grfen til y = 4 + ) Nullpunktene : 4 + = 0 og dermed er = = b 4 ) Symmetrilinjen: = = =. ) = > 0 grfen smiler og dermed er (, f ()) = (, 4() + = ) loklt minimum..0 Inverse funksjoner En invers funksjon til en funksjon y = f ( ) der D f og y V f er en relsjon som tilordner y-verdien tilbke til -verdien. Dermed er: y = f ( ) der D f = V og f V f Df = Krvet for t en funksjon hr en invers funksjon er t funksjonen er entydig (monoton). Husk: f ( f ( )) = og f ( f ( )) = Hvordn kn vi bestemme den inverse funksjonen til y = f ( )? ) Bestem med hensyn til y. ) Bytt om og y. Eksempel.7 Bestem den inverse funksjonen til y f ) Finner uttrykt ved y: = y og siden > 0, får vi: = y ) Bytter om og y: y = dermed er: y = f ( ) = = ( ) = + gitt > 0 Bemerk: D V f [, f = = > og V Df [0, f = = >.

27 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no). Rsjonle ligninger En brøk er ikke definert når nevneren er null. I rsjonle uttrykk må vi derfor psse på t nevneren ikke blir null. I uttrykket ( + ) er nevneren null når = 0 og når =. Det er ikke mulig å sette inn = 0 eller = i uttrykket. Derfor må vi forutsette 0 og når når vi regner med dette uttrykket. Slike forutsetninger er svært viktige når vi løser ligninger der den ukjente er med i nevneren. ( betyr ikke lik, i motsetning til =, som betyr lik ) Eksempel.8 + Løs ligningene: ) = b) ( + ) + = ) + ( + ) 0 + = = 0 + = 0 =, = ( + ) ( + ) ( + ) b) flyttes til venstre side og fellesnevneren er ( ) ( ) + = 0 ( ) ( ) ( ) = = 0 = = ( ) 4 A Bemerk: 0 A 0 ( B 0) B = =. Irrsjonle ligninger Vi skl studere noen enkle irrsjonle ligninger på formen: + b = c + d Eksempel.9 Løs ligningene: ) + = b) 5 + = ) + = Begge sider kvdreres: Mn får d ndregrdsligningen: + = = 0 ± 4( ) ( ) + = = = + = OK!

28 Kpittel b) Leddet med kvdrtroten ønsker vi å h lene på én side v ligningen. Ligningen må først skrives på formen: = 5 Begge sider kvdreres: = ( 5) Høyre side utvides ved hjelp v. kvdrtsetning: = Mn kn d sette opp ndregrdsligningen: + 8 = 0 Ligningen hr reelle løsninger som må settes på prøve: 4 4 = 4 5 Umulig ( 4)( 7) = 0 = 7 7 = 7 5 = OK!. Ulikheter Ulikheter er et mtemtisk oppsett med opplysninger om hv som er større, mindre, større og lik, eller mindre og lik noe nnet. Minst ett v leddene består v en eller flere ukjente. Hv er de viktigste reglene ved løsing v en ulikhet? Reglene når du regner med ulikheter er nesten de smme som når du regner med ligninger. Det kn dderes og subtrheres med smme tll på begge sider. Det kn også multipliseres og divideres med et positivt tll på begge sider. Men hvis det skl multipliseres eller divideres med et negtivt tll, må ulikhetstegnet snus for t ulikheten skl stemme. Å løse en ulikhet er å finne de verdier v som gjør ulikheten snn. Hv må mn psse på når mn løser ulikheter? Når mn løser ulikheter må mn psse på å snu ulikhetstegnet når mn multipliserer eller dividerer med negtive tll. Regel : Legge til / trekke fr det smme tllet på begge sider. Eksempel: ulikhet > 6 hr smme løsninger som ulikheten > 8 (Den ndre ulikheten ble hentet fr den første ved å legge på begge sider.) Regel : Hvis vi bytter sidene i ulikhetene, endrer vi retningen på ulikhetstegnet. Eksempel: ulikhet > hr smme løsninger som ulikheten <. (Vi hr byttet side og vendte `` > '' til en `` < ''). Sist, men ikke minst, den opersjonen som er kilden til lle problemer med ulikheter: Regel : Multiplisere / dividere med smme positive tll på begge sider. Regel b: Multiplisere / dividere med smme negtive tll på begge sider og endre retningen på ulikhetstegnet. Betrkt ulikhetene med, b, og c der c < 0 (c er negtiv): < b c > bc b c bc

29 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Her skl vi se på noen eksempler med Enkle ulikheter: p( ), <,, > 0 Doble ulikheter m( ) p( ) n( ) Rsjonle ulikheter p( ) q( ), <,, > 0.. Enkle ulikheter Ulikheter der deler v (i første) inngår, løses som en ligning. Ulikheten settes på stndrdform slik t du hr 0 på den ene siden. Det vil si t lle ledd med smles på venstre side og trekkes smmen, og t lle tll smles på høyre side og trekkes smmen. Eksempel.0 Løs ulikhetene: ) 6 b) ) 6 b) Eksempel. Løs ulikheten: 4 0. Det trekkes 4 fr begge sider Begge sider deles med Løsningsmengden til ulikheten er d: { } eller [, ) - 4

30 Kpittel Eksempel. Løs ulikheten: Andregrdsligningen kn fktoriseres: ( + )( ) 0. Fortegnsskjem: ( + )( ) Løsning Løsning Løsningsmengden til ulikheten er d: { } <,, > eller ] [.. Doble ulikheter En dobbel ulikhet på formen: A< + b< B kn løses ved å gjøre lle prosesser i lle tre deler v ulikheten. Prosessene kn vnligvis gjøres i følgende rekkefølge: subtrksjon/ddisjon, multipliksjon/divisjon. Eksempel. Flersidige ulikheter Løs ulikheten: < < 8 Metode : Det dderes på begge sider < < 9 < < Metode : Deler i ulikheter < og < 8 < < 9 < < Snittet mellom disse er : { < < } eller <, > 5

31 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no).4 Grfisk løsning Ulikheten f ( ) > g( ) kn omskrives som f ( ) g( ) > 0. Løsningen er lle -verdier der y = f ( ) g( ) > 0, det vil si der grfen til y = f ( ) g( ) er ovenfor y-ksen. Eksempel.4 - Grfisk løsning Løs > grfisk. Ulikheten skl først omskrives som > 0 Tegn grfen til y = og bestem mengden v -verdier der y > 0 : Løsning: { < < 5} eller <, 5 > Rsjonle ulikheter Her skl vi se på noen eksempler der ulikheten hr én eller flere rsjonle uttrykk. En rsjonl ulikhet kn skrives på formen: P( ) 0 Q( ) >, P( ) 0 Q( ), P( ) 0 Q( ) < eller P( ) 0 Q( ) der nevneren Q( ) er forskjellig fr null ( Q( ) 0 ) og hr en vribel. Eksempel.5 Løs ulikheten: 0. + Fortegnsskiftepunkt: Nullpunkt fåes der telleren er lik null: = 0 = Bruddpunkt fåes der nevneren=0, dvs. + = 0 = Løsning Løsning: { > } eller <, ], > 4 betegner bruddpunkt. 6

32 Kpittel Oppgver Kpittel Oppgve. Hvilken v følgende uttrykk for y = f ( ) beskriver en funksjon? ) y 4 = b) Oppgve. ) Gitt f ( ) = +. Bestem f (0), f (), f ( ) og f ( ) y = + c) y = + b) Gitt f ( ) = + og g( ) = der >. Bestem f ( g( )) og g( f ( )) 5. Hv kn vi si om f og g? 6 Oppgve. Gitt f ( ) =. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til til f. Bestem Sett opp funksjonen g( ) = f ( ) +. f ( ). Oppgve.4 + Gitt f ( ) =. Hv er definisjonsmengden til f? Tegn grfen til f ( ). Oppgve.5 Grfen til en funksjon er vist her: ) Bestem f ( ) og f (). b) Er funksjonen kontinuerlig 7 i punktene = og =? Oppgve.6 Tegn grfen til f ( ) = der 0. Oppgve.7 Løs ligningene: + = b) 4 ) ( 4) 5 ( ) Oppgve.8 Løs ligningene: ) = 50 b) 0 5 b b = b + = c) ( ) ( ) = c) = 5 f ( g( )) og g( f ( )) klles smmenstt funksjon. Disse kn også skrives som f o g og g o f. 6 Se kpittel.0 Inverse funksjoner. 7 Se kpittel 5.4 Kontinuitet. 0 7

33 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Oppgve.9 Løs ligningene: ) + = b) 6 = c) = 0,5 Oppgve.0 Løs ligningene: 5 + = 0 b) ( + ) = 8 c) ) ( )( ) y 7 y + = 0 Oppgve. Løs ligningene: ) + = b) ( ) = 6 c) = Oppgve. Løs ligningene ) = b) = + Oppgve. Løs ulikhetene: ) > < b) ( ) c) + ( + ) < 5( ) < + d) ( ) ( ) e) ( + ) ( 5 ) > ( + ) f) g) h) > > 6 Oppgve.4 Løs ulikhetene: ) 4 > b) 4 < 4 c) < 4 + e) + > f) > + 8

34 Kpittel Fsit Kpittel Oppgver. ) J b) Nei. fordi y = ± + c) J ( ). f (0) =, f () =, f ( ) = og f ( ) = f ( g( )) = f ( ) = og g( f ( )) = g( + ) = tilsier t f og g er inverse funksjoner.. D = { R } (lle reelle tll slik t er minst ) f V = { y R y 0} (lle reelle tll y slik t er mer eller lik 0) f g( ) = der. f ( ) = +..4 D = { R 0} lle reelle tll unnttt 0. f f ( ) = + (tegn grfen til linjen y = + der punktet (0, ) ikke ligger på grfen..5 f ( ) = og f () =. Funksjonen er kontinuerlig i = men ikke i =..6 > 0 f ( ) = = < 0.7 ) = b) =.8 ) = ± 5 b) = 0 = 4 5 c) = ±.9 ) =,5 b) = 5 c) =,75.0 ) = 5 = b) = 4 = c) y = y = 4. ) = 0 b) = c) = = c) b =. ) b) = + 9 = = = + = + 9 = + = 7 Innsetting viser t løsningen = 7 psser. = + = = ( ) + + = = + 4 = 0 Det siste er åpenbrt umulig, siden ( ) > 0. Ligningen hr ingen løsning. ) > > 6 > 9

35 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) < 6 < < > b) ( ) + + < < 0 5 < < c) ( ) ( ) < + + < + 4 < 8 < d) ( ) ( ) + 5 > > 8 > 0 > 0 e) ( ) ( ) ( ) f) g) h) i) j) > > + + > 0 < ( 7 + 4) 6 4( ) > ( 4) + 7 > ( 5 ) > > 6 > > ( 5) > 5( + ) > > 0 < < ( ) ( ( ) ) 4( 5 + 4) > ) 4 > ( + )( 4) > 0 ( + )( 4) > Løsning: { < > 4} eller Løsning <, > < 4, > Løsning b) < < eller > c) < - ( ) ( ) + + < 0 < 0 ( ) ( ) ( ) + + < 0 ( )( ) ( ) + < 0 eller ( )( + ) ( ) > 0 0

36 Kpittel Tllinjedigrm: ( )( ) Løsning: < eller 0 < < eller > d) Her vet vi t + er positiv siden ldri kn bli negtiv. Altså kn vi multiplisere begge sider v ulikheten med + : ( )( ) 0 + < < + + > > Setter opp fortegnsskjem, og får < eller >. e) ( + ) > > 0 > 0 = > 0 eller Vi bruker tllinjedigrm: + 4 < Konklusjonen er t + < 0 4 < < + f) > + + > 0 > 0. Her finner vi røttene i nnengrdspolynomet i telleren: = ( ) ± + 8 = ( ± ) =, slik t = ( )( + ). og ( )( + ) =. Tllinjedigrm: ( )( + ) Løsning Løsning Konklusjonen er t > 0 < < 0 > 8 betegner bruddpunkt.

37 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Kpittel Eksponentielle funksjoner og logritmer Her skl vi studere eksponentielle funksjoner som kn beskrive en eksponentiell vekst og lære oss hvordn vi kn benytte logritmer til å løse eksponentilligninger. Vi skl også oppsummere t y = e og y = ln er inverse funksjoner.. Eksponentiell vekst Når en størrelse øker/synker med en fst prosent over like store tidsrom, klles endringen en eksponentiell vekst/reduksjon. ( ) = Eksponentiell vekst når > For eksempel = 5 f c y > 0 Eksponentiell reduksjon når 0 < < For eksempel y = 7 ( ) c > 0 p der er vekstfktor og kn skrives om = + og p klles rentefot (gitt i %). 00 Eksempel: For en verdi som Vokser Vokser med 0% = + 0, =, med 0% Synker Synker med 0% = 0, = 0,8 For en verdi som vokser med 00% = + = Eksempel. Ved. jnur 980 vr jordens befolkning 4, millirder. Vi regner med t folketllet vokser med c. % pr. år. Sett opp en funksjon som beskriver folketllet t år etter året 980. f t = c. Modellering ved hjelp v eksponentilfunksjonen: ( ) t Vi ønsker å bestemme c og. Vi kn betrkte året 980 som 0 f 0 = 4, f (0) = c = c = 4, t = og dermed er ( ) 0 Vekstfktoren er = + 0, 0 =, 0 og funksjonen blir: f ( t ) = 4, (,0) t (millirder) som bestemmer folketllet t år etter året 980.

38 Kpittel. Logritmer f ( ) = log og ( ) ln f =. Logritmen til et tll med grunntll b er den eksponenten som grunntllet må opphøyes i for å få tllet b: = b = log der > 0 og b > 0 b Grunntllet b klles også bsis for logritmen. Tllet b er ntilogritmen. Logritmer med grunntll lik eulertllet klles nturlige logritmer, mens briggske logritmer bruker grunntllet 0. Dersom vi skl bestemme eksponenten i ligningen = b, benytter vi logritmer. Senere skl vi se t = b = log b log ln = b = log = = (se oppgve.0) b log b ln b Når > 0 gjelder: y = = log y Ti-logritmer (Briggske logritmer): y = 0 = log y Nturlige logritmer y = e = ln y log0 =, log = 0, ln e =, ln = 0 Bemerk t 0 = er vertikl symptote for ( ) log f = ( lim log ). + 0 Noen nyttige regler A log(0 ) A = A ln( e ) = A log 0 A = A ln A e = A. Regneregler for logritmer A n log ( A B) = log A + log B log = log A log B log A = n log A B der A 0 og B 0

39 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Eksempel. Skriv så enkelt som mulig: ) log00 b) log000 c) log 0,00 d) log 0 e) Fsit: ) b) c) d) 0,5 e) log 7 7 log 00.4 Den nturlige logritmefunksjonen Dersom grunntllet i logritmen er e, klles logritmen den nturlige logritmen. y = e og y ln = er inversfunksjoner. lim e og lim e 0 ( y = 0 er horisontl symptote for y = e ) lim ln og ( = 0 er vertikl symptote for y = ln ) y e = og y ln = er inversfunksjoner Når > 0 gjelder: y = = log y og dette kn bety t y = log er inversfunksjonen til y = f ( ) = 0 f ( ) = log f ( ) = e f ( ) = ln.6 Eksponentile og logritmiske ligninger.6. Ligningen = b Generelt Eksempel. = b = 7 ln( ) = ln( b) ln = ln b ln b = ln ln( ) = ln(7) ln = ln 7 ln 7 = ln 4

40 Kpittel.6. Noen eksponentilligninger Her skl vi se på noen eksponentilligninger som kn løses ved hjelp v forskjellige frmgngsmåter. Eksempel.4 Løs ligningene: ) 5 e + = b) e e + = 0 ) e + = 5 5 e + = + = ln(5 / ) = (ln(5 / ) ) b) e e + = 0 Velger hjelpevribelen: u = e u e e u + = 0 som gir: u = u = = = ln = 0 = = ln + + = 0 kn løses ved å velge e be c u = e : + + = 0 (ndregrdsligning) u bu c.6. Noen logritmiske ligninger Eksempel.5 Løs ligningene: ) ln( ) = b) ln( ) ln( ) ln() + = c) ln( ) + ln( ) = 0 ) ln( ) = = e = e + b) ln( ) + ln( ) = ln(4) ln( ) = ln(4) = 4 = 4 = 5 5 c) ln( ) + ln( ) = 0 ln( ( )) = 0 ( ) = = 0 =, = Bemerk: = kn ikke være løsning fordi > 0 5

41 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Oppgver Kpittel Oppgve. Skriv så enkelt som mulig: ) e + e e b) + ( e ) ( e ) 5e Oppgve. k Eksponentilfunksjonen gitt ved: f ( ) = c kn skrives som f ( ) = c e. Bestem k. Oppgve. Folketllet i en bygd ved. jnur 000 vr 500. Vi regner med t bygdens befolkning vokser med c. % pr. år. ) Sett opp en funksjon som beskriver folketllet t år etter året 000. b) Hv er folketllet til bygd i slutten v 005 etter denne modellen. Oppgve.4 t år etter t en orgnisme døde, er ndelen v rdium redusert til p % v mengden i den levende orgnismen. Hlveringstiden er c.60 år. Sett opp en eksponentilfunksjon som beskriver p( t ) målt i %. Oppgve.5 Skriv så enkelt som mulig uten å bruke klkultor: ) ln e + ln b) ln e c) ln + ln ln d) ln ( ) ln ln ( 4 ) + e) ln e f) ln + ln ln Oppgve.6 Skriv så enkelt som mulig: ) ln e b) Oppgve.7 Løs ligningene: ln e c) ln + ln 5 e ) e = 5 b) 5 e = c) 5 e 7 = 0 6

42 Kpittel Oppgve.8 Løs ligningene: ) e e + = 0 b) e + e = 0 Oppgve.9 Løs ligningene: ) ln = 0 b) ln + ln = 9 c) = 6 d) 5 = 7 Oppgve.0 Vis t log ln = b = log = =. b log b ln b Fsit Kpittel. ) e + b) ln. Vi vet t : = e. ln ln = ( e ) = e dermed er k = ln.. ) N( t ) = 500 (,0) t b) t 60.4 ( ) 00 ( ) t ln 6 N (6) = 500 (, 0) p t = eller p( t) = 00 e.5 ) b) c) 0 d) ln e) f) 0.6 ) b) c) ) = ln 5 b) = ln c) = ln ) = 0 = ln b) Hvis mn multipliserer begge sider med e, får mn smme ligning som i del ) = 0 = ln 9.9 ) = e b) = e 5 7 ln ln 6 c) = d) 5 ln 7 ln 5 = = ln ln ln.0 = b ln( ) = ln( b) ln = ln b ln b = Def. = b = log b ln = b log( log b ) = log( b) log = log b = log 7

43 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Kpittel 4 Trigonometri i grder og rdiner Trigonometri (fr gresk trigonon = tre vinkler og metro = måling) er en gren innenfor mtemtikken som studerer forholdet mellom vinkler og sider i en rettvinklet treknt. Trigonometri nvendes i mtemtikk, stronomi og lndmåling, men også innen felter som ikke er direkte forbundet med dette, som meknikk og frekvensnlyse (lyd, lys, optikk, kvntemeknikk). Det er uenighet om trigonometrien er en egen mtemtisk gren eller om den er underlgt geometrien. I nturen gjentr det seg noen fenomener over en bestemt tidsperiode. Hr mn informsjon om fenomenet i denne tidsperioden, kn mn bruke trigonometriske funksjoner til å beskrive fenomenet over flere tidsperioder. 4. Vinkelmål: grder og rdiner Vinkelmålet rdin er en SI-enhet definert som buelengde delt på rdius. Det klles også for bsolutt vinkelmål. Andre vinkelmål er grder, som knskje er mest kjent. 60 grder tilsvrer π rdiner. Omregningsformelen er: π 80 π = r = d r d 80 der r er vinkelen regnet i rdien og d vinkelen regnet i grder (engelsk: degrees). Eksempel 4. Omgjør 0, 45, 60, 90 og 60 grder til rdiner. Vi vet t: 80 o = π rd, dermed er: 0 o rd π =, 45 6 o rd π =, 60 4 o rd π =,90 o rd π o =,60 = π rd 4. Rettvinklet treknt En rettvinklet treknt er en treknt hvor én v de tre vinklene er 90 grder, og hvor Pythgors setning gjelder: + b = c Forholdet mellom ktetene og hypotenusen kn defineres ved hjelp v sinus og cosinus: b sin A = cos A = c c sin A tn A = = b cos A 8

44 Kpittel 4 4. Trekntberegninger Cosinussetningen: = b + c bc cos( A) Sinussetningen: sin( A) sin( B) sin( C) = = b c Se oppgve Trigonometri i rdiner Enhetssirkel, sinus, cosinus og tngens sin cos (cos, sin ) Figuren til venstre viser de grunnleggende definisjonene v de trigonometriske funksjonene. Enhetssirkel (en sirkel med rdius med sentrum i origo) Cosinus-ksen (horisontlksen) Sinus-ksen (vertiklksen) Skjæringspunktet mellom denne linjen og enhetssirkelen hr d koordintene: cos, sin. ( ) sin tn =. cos Med utgngspunkt i denne definisjonen (og Pytgors' setning) får vi t: sin + cos = Ved hjelp v enhetssirkelen kn vi sette opp følgende: sin( π ) = sin cos( π ) = cos tn( π ) = tn( ) sin( π + ) = sin cos( π + ) = cos tn( π + ) = tn( ) Det gjelder også t: π cos = sin( + ) π sin = cos( ) Det kn vises t grfen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon hr π fseforskjell. 9

45 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) 4.5 Noen kjente vinkler Vinkel Rdiner sin cos tn 0 o o π π 4 60 o π 90 0 π 0 80 o π π π Grfene til sinus, cosinus og tngens Sinusfunksjon Cosinusfunksjon Tngensfunksjon y = sin 0 π y = cos 0 π y = tn 0 π Legg merke til t perioden til sin og cos er π, mens for tn er den π : sin = sin( + π ), cos = cos( + π ), tn = tn( + π ) Husk: Grfen til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon hr π fseforskjell: π π cos = sin( + ) eller sin = cos( ) 40

46 Kpittel Trekntberegninger (trigonometri i grder) Cosinussetningen: = b + c bc cos( A) Sinussetningen: sin( A) sin( B) sin( C) = = b c 4.8 Trigonometriske formler Grunnleggende formler: sin + cos = tn = sin cos cot = tn Trigonometriske formler for ± y sin( ± y) = sin cos y ± cos sin y, cos( ± y) = cos cos y sin sin y tn ± tn y tn( ± y) = tn tny Trigonometriske formler for sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin Andre formler: cosu cosv = (cos(u + v) + cos(u v)) sinusin v = (cos(u v) cos(u + v)) sinu cosv = (sin(u + v) + sin(u v)) Eksempel 4. Finn ekskte verdier for: ) sin 5 π 6 (Hint: Bruk tbell i delkpittel 4.5) ) b) c) b) tn 5 π 4 c) cos 5 π 4

47 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) 4.9 Beskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinus- /sinuskurve π y C0 C cos ( t t0) π = + og y = C0 + C sin ( t t0) T T der: C 0 er middelverdi (likevektslinje), er C mplitude, π T er periode og sirkelfrekvens er gitt vedω =. t T 0 klles krofse. Noen eksempler for å studere disse prmetrene: y = C0 + C sin ω( 0 ) C 0 = 0, C =, T = π Amplitude C er fordoblet Sirkelfrekvens ω er fordoblet y = sin y = sin og y = sin y = sin og y = sin C 0 Likevektslinje C 0 = Akrofse t π 0 = 0 C =, C =, ω = π og t 0 = y = sin og y = + sin π y = sin og y = sin( ) y = + sin π ( ) Eksempel 4. Grfen til en periodisk funksjon er tegnet her. Funksjonen kn uttrykkes ved: y = C0 + C sin ω( 0 ) π Bestem de ukjente prmetrene C 0, C, T og sirkelfrekvens vedω = T C 0 =, C =, π π π ω = = = og 0 = 0. T 4 cos( π / ) = sin( ) eller sin( π / ) = cos( ) 4

48 Kpittel Den periodiske funksjonen: f ( t) = cosωt + bsinωt Omforming til funksjonen som en cosinusfunksjon: cosω t + bsinω t = C cos ω( t t ) der C = + b og tn( ω t0) = 0 b Husk t ( C, ω t0 ) er polrkoordintene til punktet (, b), og dermed hørerωt0 til smme kvdrnt som punktet (, b). Eksempel 4.4 Gitt funksjonene: ) f ( t) = cos t + sin t b) f ( t) = cosπt + sinπt Skriv dem på formen C cos ω( t t0) og tegn grfen. ) = + = + = og C b b π π tn( t0 ) = = t0 = t0 = 6 π f ( t) = cos ( t ) og grfen blir d: b) = + = + = og C b b π tn( π t0 ) = = π t0 = t0 = f ( t) = cos π ( t ) og grfen blir d: 4

49 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) 4. Ligninger på formen: sin( ) = b der 0 π Vi skl løse ligningen: sin( ) = b eller sin( ). b b = og dermed = sin ( ) (Her kn du bre tste SHIFT SINUS( b ) eller INV SINUS( b ) på klkultoren. Du må først sjekke t klkultoren et innstilt på Rdin.) Vi må huske t sin( ) lltid sin( ) omløp ( 0 π ), eller: b = gir to vinkler og = π i første b = og sin ( ) = π b sin ( ) De generelle løsningene med uendelig mnge vinkler er d: b b = nπ + og = nπ + π sin ( ) der n = 0,,, sin ( ) Ligningen sin( ) = der som forklring. 0 løses på tilsvrende måte. Her er enhetssirkelen tegnet 0 60 Eksempel 4.5 Løs ligningene når ) 6sin = b) 7sin = c) 7sin = 44

50 Kpittel 4 ) 6sin = sin = = 6 π = sin ( ) = ( 6 π 5π = π = 6 6 sin ( ) er en kjent vinkel. Se tbell i 4.5) Hvis det ikke vr ngitt 0 π, ville løsningene være: π 5π = + nπ og = + nπ 6 6 b) 7sin = sin = 7 = 7 = π 0, 9 =,85 sin ( ) 0, 879 0, 9 Hvis det ikke vr ngitt 0 π, ville løsningene være: = 0, 9 + nπ og =,85 + nπ der n = 0,,, c) 7sin = = π + 7 = π ( 0, 879), 4 sin ( ) 0, 879 ( 0, 879) 5,99 6 Hvis det ikke vr ngitt 0 π, ville løsningene være: = 6 + nπ og =, 4 + nπ der n = 0,,, 4. Ligninger på formen: cos( ) = c der 0 π. c Vi skl løse ligningen: cos( ) = c eller cos( ) = c = cos ( ) Her kn du bre tste SHIFT COSINUS( c ) eller INV COSINUS( c ) på klkultoren. Du må først sjekke t klkultoren er innstilt på Rdin. c Vi må huske t når cos( ) lltid cos( ) = gir to vinkler i første omløp ( 0 π ) c c = cos ( ) og = π cos ( ) De generelle løsningene med uendelig mnge vinkler er d: c c = nπ + og = nπ cos ( ) der n = 0,,, eller cos ( ) = nπ ± c, cos ( ) 45

51 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Eksempel 4.6 Løs ligningene når 0 π ) 6cos = b) 7 cos = c) 7 cos = ) 6cos = cos = = 6 π = cos ( ) = ( π 5π = π = cos ( ) er en kjent vinkel. Se tbell i 4.5) Hvis det ikke vr ngitt 0 π, ville løsningene være: π 5π = + nπ og = + nπ b) 7 cos = cos = 7 = 7 cos ( ), 79, 8 = π, 8 = 5,5 Hvis det ikke vr ngitt 0 π, ville løsningene være: =, 8 + nπ og = 5,5 + nπ der n = 0,,, c) 7 cos = = 7 cos ( ), 04, 0 = π,0 4,7 4, Hvis det ikke vr ngitt 0 π, ville løsningene være: = + nπ og = 4, + nπ der n = 0,,, 46

52 Kpittel 4 Oppgver Kpittel 4 Oppgve 4. L være en vinkel i. kvdrnt. Finn (uten å bruke klkultor) sin og cos når: ) tn = b) tn = c) tn = 5 Oppgve 4. Løs ligningene: ) 5 cos = 0, [0, π > b) sin + = 0, [0, π > c) 4 tn + =, [0, π > Oppgve 4. 7 ) Gitt cos v = og v [70, 60 ]. Bestem sin v og tn v. 5 b) Vis t cos ( π π + ) 4 sin ( ) = cos sin 6 8 π c) Gitt cos v = og v [, π ]. Bestem sin v og sin v, cos v og tn v. 7 Oppgve 4.4 I treknt ABC er vinkel B = 8.5, = 74.0 og b = 9.5 ) Finn de øvrige sidene og vinklene i treknten. b) Finn lengden v vinkelhlveringslinjen fr vinkel C. Oppgve 4.5 I en treknt ABC er følgende oppgitt. Du skl regne ut lle de tre sidene og de tre vinklene. ) = 4,7 cm, c=6,9 cm og C = 56. b) c = 7, cm, A = 5 og C = 7 c) B = 48, =8,0 cm og c= 6, cm Oppgve 4.6 I treknt ABC er AB =.9, BC = 6.4, vinkel C =.5, og vinkel A er stump. Bestem vinkelen A 47

53 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Oppgve 4.7 Figuren viser treknt ABC, hvor vinkel C er stump. Målene fremgår v figuren. ) Bestem vinkel C. b) Bestem relet v treknten ABC. Oppgve 4.8 Figuren viser en treknt ABC, hvor vinkel A = 5.8 og AB = 5.5. Arelet v treknten er 4.4. Bestem AC og BC. Oppgve 4.9 En byggegrunn hr form som en firknt ABCD, hvor vinkel A = 80, vinkel B = 60, vinkel C = 05, AD = m og AB = 50 m. ) Tegn en modell v byggegrunnen, og bestem lengden f digonlen BD. b) Bestem relet v byggegrunnen. Oppgve 4.0 En treknt ABC er bestemt ved t = 9, b = og c = 0. ) Bestem størrelsen v vinkel A. b) Bestem relet v treknt ABC. Oppgve 4. I treknt ABC er vinkel A = 6., AC = 5.0 og BC =.0. Vinkel C er stump. ) Bestem vinklene B og C. b) Bestem AB. c) Bestem lengden v medinen mc. Oppgve 4. En byggegrunn hr form som en firknt ABCD. Tre v sidene hr følgende lengder: AB = 5.7 m, BC = 5. m og CD =.8 m. Lengden v digonlen AC er målt til 8. m. Endelig er vinkel D målt til 94. ) Bestem vinkel B. b) Bestem byggegrunnens rel. 48

54 Kpittel 4 Oppgve 4. På figuren ses en treknt ABC, hvor M er midtpunktet v siden AC. De kjente målene fremgår v figuren. Videre opplyses det t vinkel ABM er stump. ) Beregn vinkel ABM og AC. b) Beregn BC og vinkel B i treknten ABC. c) Beregn relet v treknt ABC. Oppgve 4.4 Figuren viser en skisse v en gvlkonstruksjon i et sommerhus. De kjente målene fremgår v figuren. ) Bestem lengden v bjelkene AB og BD. b) Bestem lengden v bjelken BC smt vinkel BCD. Oppgve 4.5 Figuren viser en firknt ABCD hvor digonlen BD er inntegnet. De kjente firkntens mål fremgår v figuren. ) Beregn BD b) Beregn vinkel D i treknt BDC. c) Beregn CD. d) Beregn AC. Oppgve 4.6 Gitt treknten på figuren til høyre.. Vis t = b cosc + c cos B b. Bruk så sinusproporsjonen til å vise t sin A = sin B cosc + sin C cos B Oppgve 4.7 I treknten ABC er AB=7 cm, BC=4 cm og AC= 6 cm. Hlveringslinjen for vinkel C deler AB i stykkene og y. Beregn disse stykkene. Gjent utregningen når AB=c, BC= og AC=b. 49

55 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) Oppgve 4.8 I treknten ABC er C = 90, A = 0 og AB=s. Hlveringslinjen for C deler AB i to stykker. Beregn disse stykkene uten å bruke tilnærmingsverdier. Oppgve 4.9 Gitt en treknt ABC med sidelengder 4, 5.5, og 8 enheter (se figuren nedenfor). Finn vinkelen til treknten. Oppgve 4.0 ) Bruk grfene til sin, cos og tn til å vise t: sin( π ) = sin cos( π ) = cos sin( π + ) = sin cos( π + ) = cos b) Vis de smme smmenhengene ved hjelp v enhetssirkelen og definisjonene v sin og cos. Oppgve 4. ) Benytt 45 o + 0 o = 75 o til å finne ekskte verdier for sin 75 o og cos 75 o. o o o b) Benytt 45 0 =5 til å finne ekskte verdier for sin 5 o og cos 5 o. Oppgve 4. π ) Tegn grfen til funksjonen: f ( ) = 4 cos( ), [0,4] Funksjonen forteller hvor høyt sol står på himmelen et sommerdøgn et sted nord for polrsirkelen. Vi kller denne høyden over horisonten for solhøyden og måler den i grder. b) Finn solhøyden kl og kl c) Når vr solhøyden o? d) Når stod sol på det høyeste? Hvor høyt stod sol d? Oppgve 4. = : Skriv funksjonene nedenfor på formen f ( ) C cos ( v) ) f ( ) = sin 4cos b) f ( ) = cos sin Oppgve 4.4 Grfen til en funksjon på formen y = c + sin( ω( 0 )) er gitt: () (b) Bestem c,, ω og 0. 50

56 Kpittel 4 Fsit Kpittel 4 4. ) Du kn tenke deg en rettvinklet treknt der lengden til kteten motstående for vinkelen er og hosliggende er, det vil si tn =. Lengden til hypotenusen er d + ( ) =. Vi få d sin = og cos =. Vi kn bruke smme metode for del b) og c) b) c) sin = og cos =. 5 sin = og cos =. 4. ) 5 cos = 0 5 cos = cos = 5 Vi bruker klkultoren og får frm den ene løsningen. =,6 Den ndre løsningen finner vi ved å tegne enhetssirkelen. = π,6 = 5, De to løsningene på ligningen er =,6 og = 5, 5

57 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) b) sin + = 0, [0, π > sin = sin = Vi tegner enhetssirkelen og finner to løsninger.. Vi får to treknter der AOP = π og BOP = π. Av symmetrigrunner får vi d løsningene: De to løsningene på ligningen er π 5π = π = og π 4π = π + =. 4π 5π = eller = c) 4 tn + =, [0, π > 4 tn = 9 tn = 4 Klkultoren gir løsningen =,5 Den generelle løsningen er d =,5 + n π Ettersom løsningen skl være i første omløp, må [0, π >. n = =,5 +,4 =,99 n = =,5 +,4 = 5, Løsningene er d : =,99 og = 5, 5

58 Kpittel ) cos v = og v [70, 60 ] 5 Enhetsformelen gir cos v + sin v = eller sin v = cos v sin v = = = Ettersom v = [70, 60 ], er sin v negtiv. Det gir Definisjonen v tn v gir 4 sin v = ± 5 4 sin v = 5 b) c) sin v tn v = = = = cos v π π cos ( + ) 4 sin ( ) 6 π π π π = (cos cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 6 6 = (cos ( ) sin ) 4(sin cos ) = cos sin sin + cos = cos sin 8 π cos v = og v [, π ] 7 cos v sin v + = eller sin v = cos v sin v = = = π sin v = ± Ettersom v = [, π ], er sin v positiv. Det gir 7 5 sin v = sin v = sin v cos v = ( ) = cos v = sin v = = = sin v tn v = = = cos v

59 Oppfriskningskurs i mtemtikk AIØ/HiB (hs@hib.no) 4-4 ) A = 5.5, C = 45., c = 66.0 b) vc = ) c sin C 4.7 = sin A = = sin 56 = , A = 4.4 sin C sin A c 6.9 B = = 89.6 b c c 6.9cm = b = sin B = sin 89.6 = 8.cm sin B sin C sin C sin 56 b) c c 7,cm = = sin A = sin 5 = 5.88cm sin A sin C sin C sin 7 B = = 57 c sin B 7.cm sin 57 b = = = 6.cm sin C sin 7 c) b c c cos B cos cm = + = + = b sin B 8.0 sin 48 = sin A = = = 0.99, A = 8 sin A sin B b 6.0 C = = b c Sinussetningen = = gir sin B sin, b = c = C. Dermed blir sin A sin B sin C sin A sin A sin B sin C = c cos B + b cosc = cosc + cos B. Vi dividerer denne likheten med sin A sin A og multipliserer sin A: sin A = sin B cosc + sin C cos B. Siden sin( B + C) = sin(80 B C) = sin A, følger t sin( B + C) = sin B cosc + sin C cos B 4.6 ) A = ) C = b) rel ) AC =.0, BC =

60 Kpittel ) BD = 50.8 m b) 00 m 4.0 ) A = 47. b) rel ) B = 47., C = 06.7 b) AB = 6.5 c) mc =.5 4. ) B = 97.5 b) ) vinkel AMB = 6.5, AC =.9 b) BC = 5., B =.4 c) ) AB =.4 m, BD =.4 m b) BC = 5.5 m, vinkel BCD = ) BD = 7. b) vinkel BDC = 8.4 c) CD =.9 d) AC = ) Det er lett å vise ved hjelp v figuren = b cos C + c cos B c b) Det fremgår ved å dele begge sider b: = cos C + cos B b b sin sin sin Vi vet t sin A c sin C = = og dermed er: = og =. b c b sin B b sin B sin A sin C cos C cos B sin B sin B sin A = sin B cosc + sin C cos B 4.7 Se figuren til høyre. Ifølge setningen om delingsforhold og 6 hlveringslinje er y =, vi får dermed 4 = y. Vi hr også + y = 7.. D må 5 y + y = y =, og vi får y = 4, = 4 = Når AB=c, BC= og AC=b, må + y = c og = AC = b og y BC c c b c og y = =, =. b + b + b + b = y. D må b + y = c 55