Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag

Transkript

1 Fultet fo teologi, ust og desig Teologise fg Esme i: Diset mtemti Målfom: omål Dto: Tid: 5 time / l. 9-4 tll side il. foside: tll ogve: 0 Tilltte hjelemidle: Fohådsgodjet odo. Hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst og som ie ege symols. Med: Kdidte må selv otollee t ogvesettet e fullstedig. Ved evetuelle ulhete i ogveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige. esvelse sl mees med didtumme, ie v. u lå elle sot ulee å iføigset. Fglig veilede: Ev Hdle Vihovde Uteidet v fglæe: Ev Hdle Vihovde Kotollet v e v disse: e læe Seso Istituttlede/ Pogmoodito Istituttledes/ Pogmooditos udesift: Emeode: DPE300 ITPE300

2 lle de 0 ogvee telle lit. I ogve med udeute vil evede og me omfttede udeute ue telle me e lette og ele udeute. Det e ie sli t lette ogve omme føst og vselige til slutt. u defo ie fo mye tid å e ogve du ie få til. Pøv istede e y ogve. lle sv sl egues! Dette gjøes ved t du fo esemel t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo. Sesielt gjelde dette sv de det u foeligge to ltetive. Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst. Ogve Gitt utsgee : «Det sø» : «Det e uldegde» Sett o følgede fie utsg ved hjel v, og logise oetoe: i «Det sø ie og det e uldegde.» ii «Hvis det sø, så e det uldegde.» iii «Det sø e hvis det e uldegde.» iv «Det sø ie hvis det ie e uldegde.» E oe to elle flee v utsgee evivlete? egu svet. Et utsg lles e selvmotsigelse eg. cotdictio hvis utsget lltid e ust. L og væe vilålige utsg. u shetsveditell til å vgjøe om følgede smmestte utsg e e selvmotsigelse: c P x og Qx Gitt utsgee: e to utsgsfusjoe de x eesetee e studet. P x : «x h estått eidsvee i Diset mtemti» Q x : «x sl t esme i Diset mtemti» Siv følgede utsg ved hjel v x, P x og Q x oetoe:, vtoe og logise i «lle som h estått eidsvee i Diset mtemti, sl t esme i Diset mtemti.»

3 ii iii «Ie lle h estått eidsvee i Diset mtemti.» «Det e e som sl t esme i Diset mtemti, me som ie h estått eidsvee i Diset Mtemti.» Ogve L megdee og væe gitt ved: = {,, 3, 4} og = {3, 4, 5, 6}. Fi megdee: L og væe vilålige delmegde v e uiveslmegde U. Teg et Ve-digm og sve megde: c Fi e megdefomel med, og fo det svete omådet i Ve-digmmet ude: Ogve 3 e megde v de ie-egtive hele tllee, dvs. = {0,,, 3, 4,..... } og e åde defiisjosmegde og vediomådet fo fusjoee f og g. L f og g væe defiet ved: f: de fx = x mod 7 g: de gx = x div 7 3

4 Fi fx og gx fo x = 6, x = 8, og x = 4. Fi vedimegdee til f og g. c vgjø om fusjoee f og g e e-til-e og/elle å. egu svee! Ogve 4 Gitt tllmtisee estem dimesjoee til, og. vgjø hvilet v mtiseodutee,, og som e defiet, og estem i så fll hvile dimesjo de h. c Reg ut de mtiseodutee som e defiet. Ogve 5 Gitt heltllet = å iæ fom. Hv li tllet å: i Hesdesiml fom ii Otl fom iii Desiml fom Stude følgede ee: i ii vgjø hv slgs ee det e, og estem eesumme fo hve v dem. 4

5 Ogve 6 Fi støste felles diviso eg. getest commo diviso fo tllee 840 og 44 ved å ue imtllsftoiseig. Fi støste felles diviso fo 840 og 44 ved å ue Eulids lgoitme. c Miste felles multilum eg. lest commo multile v to heltll og e det miste ositive heltllet som åde og gå o i. Fi miste felles multilum fo og 5. d Hvo mge tll mellom og 000 e delelig med elle 5, elle åde og 5? Ogve 7 Hvo mge gyldige iode å 4 siffe, de føste siffe e fosjellig f 0, fies det? E tist h gitt ut to lum med til smme 0 sge. H sl lge et osetogm med 0 sge hetet f disse to lumee. Hvo mge fosjellige osetogm e det mulig å sette o å eefølge å sgee sille e olle? c I e lsse med 4 studete sl det velges e gue å 4 studete som sl gee semestevslutig fo lsse. Hvo mge fosjellige gue e det mulig å velge? d På hvo mge måte ostvee i odet LMM stoes om? Ogve 8 L P væe åstde om t = dvs. i= i = Vis t P, P og P 3 gjelde. Vis ved idusjo t P gjelde fo. 5

6 Ogve 9 Gitt diffeesligige = 3 + 4,, 0 =, = Fi og 3. Fi e fomel fo. Vis t fomele di stemme ved å sette i = og = 3. D sl du få de smme esulttee som i ut. Ogve 0 Gitt følgede uettede gf: Hvo mge ute h gfe? Siv o gde til hvet ut og fi summe v gdee. u esulttet i ut til å fie tll te i gfe. c Fies det e luet Eule-vei i gfe? Fies det e åe Eule-vei i gfe? d Siv o de tuelle Eule-veie dvs. utee å veie hvis du svte j å et v søsmålee i ut c. 6

7 7 Vedlegg. Logise oetoe: ie, og, elle, eslusiv elle, imlisjo Noe evivlese f utsgslogi: x P x x xp x P x x xp Noe megdeidetitete: Kdilitet tllet elemete i e uio: Fusjoe: I fusjoe f : ety defiisjosmegde og vediomåde. E fusjo f : e e-til-e hvis, og, medføe t f f. E fusjo f : e å hvis sli t f. Mtise De tsoete til e mtise eteges med T og e de mtise vi få å dee og oloee i yttes om. Føste d i li føste oloe i T, de d i li de oloe i T, osv. Det ety sesielt t hvis e e m mtise, så li T e m mtise. Heltllsdivisjo divisjoslgoitme, div og mod:

8 L væe et heltll og d et ositivt heltll. D fies etydige heltll og med sli t d. Oesjoee div og mod defiees ved t div d og mod d. 0 d Støste felles diviso Støste felles diviso getest commo diviso gcd fo to hele tll som ie egge e 0, e det støste heltllet som gå o i egge tllee. Miste felles multilum Miste felles multilum lest commo multile lcm fo to ositive heltll e det miste ositive heltllet som egge gå o i. Fomel gcd, og lcm,: Hvis gcd, e støste felles diviso fo og og, miste felles multilum fo og, så e gcd, lcm, Moduloegig: lcm e L m væe et ositivt heltll. To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå o i og det eteges med mod m. mod m hvis og e hvis mod m = mod m mod m og c d mod m, så e c d mod m Tvesum og c d mod m. L væe et ositivt heltll. Tvesumme til e oguet med modulo 9. Summe v ee: Geometis ee:, 0 itmetis ee: L væe føste ledd, siste ledd og d diffeese mellom to og to ledd. tll ledd e gitt ved og summe e li d iomiloeffisiete:!!!!, 0,,, 8

9 9, iomilteoemet: tll fosjellige utvlg å stye f e smlig å stye: Odet ute tileleggig: Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «igeohole»-isiet: Hvis N ojete sl lssees i ose, må mist é os ieholde mist N ojete. Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e å fome c c de c og c e ostte. Ligiges teistise olyom e gitt ved: c c.

10 Hvis det teistise olyomet h to fosjellige eelle løsige og, li geeell løsig li de og e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee 0 og e gitt, fie e og ved å løse et ligigssystem. Hvis det teistise olyomet h u é løsig 0, li geeell løsig li 0 0 de og e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee 0 og e gitt, fie e og ved å løse et ligigssystem. Relsjoe: E elsjo R å e megde e e delmegde v odutmegde L R væe e elsjo å e megde.. R e eflesiv hvis, R fo lle. R e symmetis hvis, R, så e, R. R e tisymmetis hvis og, R, så e, R. R e tsitiv hvis, R og, c R, så e, c R. E tisjo E smlig delmegde,, 3,..., v e megde utgjø e tisjo v hvis 3... og i j Ø fo lle i j. Evivleselsjoe E elsjo R å e megde e e evivleselsjo hvis de e eflesiv, symmetis og tsitiv. Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo å e megde og, så e evivleslsse [] til defiet ved [ ] {, R}. Elle med od: [] e li megde v de som e eltet til. Evivleslssee til e elsjo utgjø e tisjo v. 0

11 Delvis- elle tiell odig E elsjo R å e megde e e delvis odig hvis de e eflesiv, tisymmetis og tsitiv. Hvis dette e ofylt, sie vi t e e delvis odet megde med hesy å R. Et elemet e et msimlt elemet hvis det ie fies oe sli t, R. Det ety t det e ie oe elemet som omme «ette» i odige. Tilsvede e et elemet et miimlt elemet hvis det ie fies oe sli t Gfteoi:, R. Gde til et ut. L væe et ut eg: vetex i e uettet gf. Gde gd til e tllet te yttet til utet. Gd-t-setige: L G væe e uettet gf med edelig mge te. D vil summe v gdee til utee i G væe doelt så sto som tllet te. Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to ute h e luet Eule-vei e Eulesyel hvis og e hvis lle utee i gfe h tllsgd. E smmehegede uettet gf h e åe ie-luet Eule-vei hvis og e hvis øytig to ute i gfe h oddetllsgd.