Notat: Dekker pensum i beskrivende statistikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Notat: Dekker pensum i beskrivende statistikk"

Transkript

1 Notat: Dekke pesum eskvede statstkk.3 Beskvede statstkk (sde 9 læeoka - 4. utgave) Beskvede (deskptv) statstkk omfatte samlg, eaedg og pesetasjo av data (tallmateale, osevasjoe, måleesultate). Nå følge føst te udeavstt ute dekte tlkytg tl læeoka. Deette følge oe kommetae tl oka og tl slutt et eksempel som ehadle vdee et tallmateale som e ehadlet læeoka..3. Lte tallmateale. Eksempel Tallee,,.., 6 edefo ag eksameskaakteee statstkk fo 6 studete som estod eksame. Råmatealet: =.8 =.7 3 =.8 Atall data: = 6 4 = 3. 5 =.5 6 =.5 Pkkdagam: Det e valg å kaaktesee et tallmateale ved å ag et mål fo elggehet (lokalseg, setum, tygdepukt) og spedg på tallje. Lokalsegsmål (mål fo elggehet): Det valgste lokalsegsmålet e gjeomstt (mddelved), som e defet ved: = ( ) = I eksemplet l gjeomsttskaaktee = = ( ) =.3. Mek at som egel ags med sffe me e vedee åmatealet.

2 Belggehete av på tallje e "alasepuktet" (tygdepuktet) fo fodelge. Spedgsmål (mål fo spedg omkg gjeomsttet): Det valgste spedgsmålet e empsk stadadavvk, som e defet ved: (( ) + ( ) + + ( ) ) = s = ( ) Det empske stadadavvket fo eksameskaakteee l s (.8 ) (.7 ) (.8 ) (3. ) (.5 ) (.5 ) Mek at s gjee ags med lke mage desmale som s + s Empsk stadadavvk e et mål fo hvo mye osevasjoee avvke fa gjeomstt. Valgvs lgge ca % av osevasjoee tevallet [ s, + s]. Dette ka v uke tl å vudee om de fue vede av s e melg (e ka oppdage gove egefel på dee måte). I eksemplet l [ s, + s] [.60,.86], så 4 av 6 vede, dvs. 67%, lgge høyst ett stadadavvk fa mddelvede. Kvadatet av det empske stadadavvket, dvs. s, kalles empsk vaas. Vaasegepet e speselt vktg teoe om sasylghetsfodelge og statstsk metodelæe. He l s Mage kalkulatoe ha eygde statstkkfuksjoe, som eege gjeomstt og empsk stadadavvk fo leste data. Skal ma utføe eeggee fo håd (dette ka l kevd på eksame), må ma vse femgagsmåte. Det aefales at uteggee asees på følgede taelloppstllg:

3 sum Dette g = =. 3 6 og 3.4 s = = ( ) , dvs. de samme esultatee som ovefo. Legg meke tl at he e s eeget ette e ae fomel e de som e gtt ved defsjoe ovefo. Summe ( ) e yttet ut med.. Heskte med dette e å solee et eget ledd slk at ma slppe å ege med. hvet ledd summe. Sammehege ( ) = evse v slk: ( ) = ( + ) = + = + = Ade mål fo lokalseg og spedg e heholdsvs meda og kvatledde. De eeges slk: Føst odes osevasjoee ette støelse: (), (),..., (), de () etege de laveste osevasjoe, () de est laveste, og så vdee opp tl () som e osevasjoe med høyest ved. I eksemplet e () () (3) (4) (5) (6) De te kvatlee, Q, Q og Q 3 e tall som dele det odede matealet fe omtet lke stoe dele. Q, Q og Q 3 e osevasjoee med plassumme (odgsumme) h.h.v. +, 4 ( + ) + = 4, 3 ( + ) 4. I eksemplet e = 6, så plassumee fo Q, Q og Q 3 l h.h.v..75, 3.5 og 5.5. Sde plassumee he kke e hele tall, vl kvatlee falle mellom osevasjoee. V la f.eks. 3

4 (.5) med plassumme.5 ety vede mdt mellom () og (), dvs. v sette (.5) = () + () = =.65. Med dee utvdede tolkge av plassume, få v: () + () + + () (.5) (). kvatl: Q = (.75) = = = =. 75 (3) (4. kvatl: Q = (3.5) = = =. 5 + ) (5) (5.5) 3. kvatl: Q 3 = (5.5) = = = =. 8 (5) (5) + (6) Medae M, som e et lokalsegsmål, e et aet av på. kvatl. He e M =.5. Medae dele det odede tallmatealet to lke stoe dele. Kvatledde Q B e et spedgsmål, defet ved Q B = Q 3 Q. He e Q B = Q B e edde av tevallet [Q, Q 3 ], som eholde omtet halvpate av osevasjoee. Dette stemme kke så a dette eksemplet, fod tallmatealet e lte ( = 6) Q M Q 3 Q B.3. Tallmateale med flee lke vede. Ofte e det flee lke osevasjoe tallmatealet. I eksempel foekom f.eks. tallet.8 to gage. V se da at.8 ha fekves (hyppghet) lk. Fo støe tallmateale med mage lke vede, e det hesktsmessg å ode osevasjoee ette støelse e fekvestaell. Dette e gjot eksemplet edefo. V komme ette hvet tl å uke foskjellge støelse avledet av fekvese: f Fekves: f, elatv fekves: =, elatv fekves %: 00 (%) Eksempel Kvadatmetevektee gam fo 50 pøve av e estemt paptype le målt. Resultate (åmatealet): Råmatealet eholde 9 foskjellge vede, emlg vedee 48, 49, 50,, 56 (laveste og høyeste ved udesteket taelle). V etege dsse vedee med y, y,, y 9 og la f, f,, f 9 etege de tlhøede fekvesee (hyppghetee). 4

5 Fekvestaell: Vekt (gam) y Fo opptellg Fekves f Kumulatv fekves F Relatv fekves % (f /) 00 (%) 48 / 49 // //// //// /// //// //// //// / //// //// // //// / / 50 sum =50 00 Koloe fo kumulatve fekvese (F ) e yttg å kvatle skal eeges (se edefo). Fekvestaelle ka avldes et stolpedagam. Stolpedagam: Stolpedagammet vse hvoda de 50 pøvee fodele seg på de foskjellge vedee tallmatealet. Desom v hadde avsatt de elatve fekvesee lags. akse stedefo de asolutte fekvesee vlle v fått e ae skaladelg på. akse. Stolpedagammet vlle da vst posetvs fodelg, me elles sett lkeda ut. Beegg av gjeomstt og empsk stadadavvk: De fleste kalkulatoe med eygde statstkkfuksjoe e stad tl å ege med fekvese. Istedefo å taste e og samme ved gjetatte gage, e det ok å taste to tall, vede og vedes fekves. Nå fekvese foekomme, e det atulg å skve fomlee fo gjeomstt og empsk stadadavvk på følgede fom: = f y s = f (y ) = f y 5

6 . Legg meke tl at øve gese summee e eteget med og kke. Mes stå fo det totale atall data (atall -e) tallmatealet, stå fo atall foskjellge vede (atall y-e) matealet. Det e kke vaskelg å fostå fekvesfomlee ovefo. Dsse utledes fa de "gamle" fomlee ved å føe f y, ) = = f (y ) (, f y. Fo mauell eegg av og s eyttes følgede taell: = y f f y f y sum V få: = f y = [gam] 599 s = f y = ( ) [gam] E svaee melge? Gjeomsttet,, epesetee tygdepuktet fodelge. Hvs v se på stolpee stolpedagammet som masse som elaste e masseløs vektstag (akse), skal vektstage kue alasee på e spss plasset. Øyemålet se oss at dette stemme a. Hadde v demot fått 50 og plasset spsse dette puktet, e det opplagt at vektstage vlle væt ualase og vppet edove på høye sde. Det vlle etydd at vede av va gal. s + s 6

7 Som kotoll av s meke v oss at tevallet [ s, + s] = [50.5, 53.5] eholde 36 osevasjoe, dvs. 7 % av tallmatealet lgge efo pluss/mus ett stadadavvk fa gjeomsttet. Dette e et melg esultat (se kommeta edest på sde ), så eegge av stadadavvket se ut tl å væe ktg. Et egekep. Ved å tasfomee tallmatealet ka eegge av gjeomstt og stadadavvk sto gad utføes som hodeegg. Metode e aset på følgede setg: La,,, væe gtte tall med gjeomstt og stadadavvk s. V dae ye tall ved a a a z =, z =,, z =, de a og > 0 e selvvalgte kostate. a s Da ha v z = og s z =, dvs. = z + a og s = s z. Setge avedes slk: Velg tallee a og > 0 slk at z-ee l små heltall. Beeg så z og s z (ekel egg!). Bestem deette og s av lkgee = z + a og s = s z. a s Fomlee z = og s z = e lette å utlede ved egg (pøv selv!). De e helle kke vaskelge å fostå. Nå v tekke tallet a fa hve -ved, foskyve v alle tallee lke mye og deved også gjeomsttet. Foskyvge spe kke tallee yttelgee, så s stadadavvket fol uedet. Dette foklae hvofo fomele s z = kke eholde a. Mes fatekket av a epesetee e taslasjo (foskyvg) av tallmatealet, vl de ettefølgede dvsjo med svae tl e skaleg av tallee. E f.eks. =, vl alle tallee halvees og deved også gjeomsttet. Sde avstadee mellom tallee også halvees, vl de skalete tallee lgge tettee e de uskalete. Dette medføe at stadadavvket halvees, s dvs. s z =. Av dette skjøe v at gjeomsttet påvkes åde av taslasjoe og skalege på samme måte som tallee selv, mes stadadavvket påvkes ae av a s skalege. Dette e ettopp hva fomlee z = og s z = uttykke. V gå tlake tl eksempel og vse hvoda egekepet ka ukes tl å eege gjeomsttet og stadadavvket på e ekel måte. Det e lut å velge a lk de mdteste y- vede, evetuelt lk de y-ved som ha støst fekves. He sette v a = 5 og =. V velge =, fod det kke e ehov fo oe skaleg dette eksemplet. 7

8 V stlle opp følgede taell fo eegg av z og s z : y z = y 5 f f z f z sum 50 5 V få z = f z s z = 50 = f z ( ) = z 0.0 som, med a = 5 og =, g = [gam] 49 ( 5 50 ( 0.0) ). 53 [gam], = z + a = = [gam] og s = s.53.5 [gam]. z Beegg av meda og kvatledde Plassumee fo de te kvatlee l heholdsvs ( = 50) (+ ) 53 = =.75, = = 5. 5 og = = Ved hjelp av koloe fo kumulatve fekvese fekvestaelle, fe v Q = (.75) = 5 [gam], Q = (5.5) = 5 [gam], Q 3 = (38.5) = 53 [gam], som g medae M = Q = 5 [gam] og kvatledde Q B = Q 3 Q = [gam]..3.3 Stot tallmateale. Klassedelg. Hvs tallmatealet e stot og eholde mage foskjellge vede, e det valg å guppee osevasjoee tevalle elle klasse fo å kompmee tallmatealet. V fe føst støste og mste ved matealet, og dele deette det aktuelle vedomådet et passede atall tevalle, valgvs mellom 6 og 0. Så telle v opp hvo mage av osevasjoee som lgge efo de espektve klassee, det v f.eks. la ede (me kke øve) tevallgese eges med tl hvet tevall. (E ae mulghet e å ag tevallgesee med e eksta desmal slk at det kke ka oppstå tvl om hvlke klasse e osevasjo høe hjemme). 8

9 Eksempel 3 Dametee fo 00 stålpe le målt. Resultate µm (0 6 m = e tusedels mllmete): Sde støste og mste ved dette tallmatealet e heholdsvs 005 og 934 (udesteket lste ovefo), ka det passe å dele matealet 8 klasse: [930, 940, [940, 950, [950, 960,, [000, 00. Opptellg g følgede fekvestaell: Klasse Fo opptellg Klassefekv. f Kum. klassefekv. F [930, 940 // [940, 950 //// // 7 9 [950, 960 //// //// // [960, 970 //// //// //// //// //// 5 46 [970, 980 //// //// //// //// //// // 7 73 [980, 990 //// //// //// /// 8 9 [990, 000 //// // 7 98 [000, 00 // 00 sum 00 Klassefekvesee ka avldes et hstogam (se edefo). I hstogammet e hve klasse epesetet ved et ektagel med edde og høyde lk heholdsvs klasseedde og klassefekvese. Noe gage ka det væe hesktsmessg å avsette ade støelse lags. akse, f.eks. "elatv klassefekves", "klassefekves p. klasseedde" elle "elatv klassefekves p. klasseedde". I det est sste tlfellet ø e meke seg at det samlede aealet av alle ektaglee som hstogammet estå av, e lk (= atall osevasjoe), mes det sste tlfellet l samlet aeal lk. Hstogammet g et utmeket lde av hvoda osevasjoee fodele seg. Me, motsetg tl et stolpedagam, g hstogammet kke øyaktge opplysge om de ekelte osevasjoe, ae om de klasse de tlhøe. V se at hstogammet e oelude symmetsk. Beegg av gjeomstt og empsk stadadavvk. Klassefekves Damete (mymete) 9

10 Desom tallee åmatealet e lest et statstkkpogam, som f.eks. Ecel elle Mta, ka e med et ekelt tastetykk få eeget gjeomstt, stadadavvk, kvatle m.m. Tlsvaede eegge utføt fo håd e svæt tdkevede desom e ta utgagspukt åmatealet. Aedet l ovekommelg desom e stedet ygge på det klassedelte matealet. Atall klasse eteges med, mes f og m etege heholdsvs klassefekves og klassemdtpukt fo klasse umme. Hvs e ata at vedee e jevt fodelt efo hve klasse, e det melg å uke klassemdtpuktet, m, som e tlæmet ved fo gjeomsttet av alle tallee klasse umme. V ege altså som om vede m e osevet f gage. Ved å estatte y med m fomlee avstt.3. få v fomlee fo tlæmede vede fo gjeomstt og stadadavvk fo et klassedelt mateale: f m s f (m ) = f m Buke v egekepet på sde 8 og velge a = 975 og = 0, l klassemdtpuktee m tasfomet tl små tall (z-e) som g ekle eegge. V stlle opp følgede taell fo eegg av z og s z.: Klasse Klassemdtpukt m z = m f f z f z [930, [940, [950, [960, [970, [980, [990, [000, sum V få z = f z = 00 ( 40) = 0.40 [µm] s z = f z z = 99 ( 3 00 ( 0.40) ). 477 [µm], som, med a = 975 og = 0, g z + a = 0( 0.40) og s s [µm]. z [µm] Mta, aset på åmatealet, g de "eksakte" vedee = og s = 4.7. Fele v egå ved å uke det klassedelte matealet stedefo åmatealet e altså uetydelg, støelsesode oe pomlle. La oss uke det klassedelte matealet tl å aslå hvo sto del av tallmatealet som lgge efo ± stadadavvk fa gjeomsttet. Sde [ s, + s ] [956., 985.8], må v telle opp hvo mage osevasjoe som lgge mellom 956. og Da må v 0

11 atulgvs ta med alle som lgge klassee [960, 970 og [970, 980, dvs = 5 osevasjoe, me også osevasjoee tevallee [956., 960 og [980, må telles med. Sde det klassedelte matealet kke g opplysge om hvoda osevasjoee fodele seg e klasse, teke v oss at de fodele seg jevt klasse. Ude dee foutsetge e det melg å aslå atall osevasjoe tevallet [956., 960 som = Tlsvaede aslå v atall osevasjoe tevallet [980, som = Tl samme g dette (tlæmet) = 67 osevasjoe tevallet [956., 985.8], som utgjø 67 00% = 67% av hele tallmatealet. Dette e et 00 melg esultat, samsva med det v kue fovete ut fa % egele på sde. Beegg av meda og kvatledde. Plassumee fo de te kvatlee l heholdsvs ( = 00) 3(+ ) + = 0 = 5.5, + = 0 = 50.5 og = 303 = Ved hjelp av koloe fo kumulatve fekvese fekvestaelle, fe v ved tlsvaede "foholdsegg" som ovefo: Q = (5.5) = 96.7 [µm], Q = (50.5) Q 3 = (75.75) [µm], [µm]. Heav fåes medae M = Q 97.7 [µm] og kvatledde Q B = Q 3 Q 9.8 [µm]. De te kvatlee, samt støste og mste ved, se oss e god del om tallmatealet. Dsse fem vedee ka avsettes et såkalt oksplott. Boksplottet e askt å tege og g oss vedfull fomasjo om vedomådet, lokalsege, spedge og evetuell skjevhet fodelge. Legg meke tl at 5%-halee på hve sde fodelge e teget som to steke, mes de 50% mdteste vedee e llustet ved e todelt oks, de hve del eholde 5% av osevasjoee. Mta tege et "ståede" oksplott, me det e kke oe vee fo å tege det "lggede". Da ta det mde plass på aket. Tallmatealets lokalseg (tygdepukt, setum) ags ved medae, og spedge ags ved kvatledde Q B = Q 3 Q. V se at medae lgge omtet mdt okse og at de to halee e omtet lke lage. Dette ekefte at tallmatealet e oelude symmetsk, slk det også femgkk av hstogammet. Damete [mymete] Q 3 M Q V vse tl slutt de utskfte som Mta g, desom v avede kommadoe "Dsplay Descptve Statstcs" på koloe C hvo dataee e lagt. Vaale N Mea Meda TMea StDev SE Mea

12 C ,4 97,00 970,6 4,7,47 Vaale Mmum Mamum Q Q3 C 934,00 005,00 96,00 980,00 V se at de eksakte vedee fo gjeomsttet (egelsk: mea), stadadavvket (egelsk: stadad devato, StDev) og kvatlee eeget av Mta ut fa ådataee, avvke lte fa de tlæmede vedee eeget på foge sde ut fa det klassedelte matealet. Sammelkg av flee oksplott. Taelle og oksplottee edefo teget av Mta oppsummee esultatee ( poeg) ved e felles matematkkeksame fo de foskjellge sttutt ved e høgskole. Isttutt A B C D E F Alle Atall, Laveste poegscoe kvatl, Q Meda, M = Q kvatl, Q Kvatledde, Q B Høyeste poegscoe Gjeomstt, Stadadavvk, s poeg BA DB EC KD LE MF sttutt Ved hjelp av oksplottee ka v askt sammelge esultatee de foskjellge klassee med hesy tl vedomåde, tygdepukt (medaee), spedg (kvatleddee) og skjevhet. * ove oksplottet fo sttutt A makee e "outle" = ekstem ved. * makee de este poegsumme (88). De øveste hale stoppe på 69, som e de est este poegsumme.

13 E "outle" Mta e e ved som lgge me e.5 Q B ove Q 3, evetuelt ude Q. Fo sttutt A e.5 Q B = og Q Q B = 83.6 < 88! Les å det som stå ude avstt.3 læeoka, samme med oe få kommetae som følge he. Hstogam (sde ) Hstogammet llustee aldesfodelge på sde. Læeoka sklle kke mellom hstogam og stolpedagam slk som v ha gjot tdlgee. Mek! Læeoka etege osevasjoee (vedee) et tallmateale med stoe okstave. I kapttel 3 skal v se på stokastske vaale. De eteges med stoe okstave, mes de osevete vedee av de stokastske vaale eteges med små okstave. I tåd med dette vl v etege osevasjoee et tallmateale med små okstave. Eksempel høyde (fots.) (sde 8) He ha v et tallmateale med = 0 vede. Kvatlees plassumme l.75, 5.5 og 8.5 (. 5) + (3) heholdsvs. Ette oppskfte gtt tdlgee l Q =. () + (3) Med (. 5) = = = og (3) = 67 l Q = Som læeoka se tlsvae dette å g () vekte 0.5 og (3) vekte 0.75 (støst vekt på vede med plassumme æmest.75) : Q = 0.5 () (3) = = Eksempel alde (fots.) (sde 8) Av oksplottet Fgu.5 se v at medae dele okse to lke stoe dele, me øve hale e mye lege e ede hale. De øveste 5% av vedee e altså spedd ove et mye støe omåde e de edeste 5% av vedee. Tallmatealet e altså skjevt mot høye. I læeoka gå oksplottet lags de vetkale akse. Fo å spae plass ka det ofte væe get å la plottet gå lags de hosotale akse. På egelsk e avet på plottet Bo plot. Bo e det egelske odet fo oks, me det e også avet på statstkee som føst ukte plottet! Eksempel 4 klassedelg av tallmatealet på sde læeoka Fo å kompmee matealet dele v f. eks. klassee (aldesguppee) [8, 0, [0,, 3

14 [, 5, [35, 40, [40, 43. V ha alt 8 klasse. De føste klasse eholde åskull, 8- og 9-ågee. De eldste dee klasse ka magle ae dag på å væe 0, mes de som ettopp ha fylt 0 komme este klasse. Dette makee v ved å uke teget fo åpet tevall tl høye,, de føste klasse og teget fo lukket tevall tl veste, [, de este klasse. De føste klasse ha ede klassegese lk 8 og øve klassegese lk 0. Neste klasse ha ede klassegese lk 0 og øve klassegese lk osv. De føste klasse ha klasseedde 0 8 =. Fo de øvge klassee fe v klasseeddee, 3, 5, 5, 5 og 3 heholdsvs. Klassemdtpuktet fo e klasse e ede klassegese + halve klasseedde fo klasse (elle mddelvede av de to klassegesee). Klassemdtpuktee våt eksempel l hhv. 9,, 3.5, 7.5,, 37.5, 4.5. Nå v skal lage et hstogam fo et klassedelt mateale hvo klasseedde vaee, ka v kke sette av klassefekvesee lags de vetkale akse. V ka f. eks. uke hstogamhøyde h slk at ektaglet som svae tl klasse umme få et aeal som e lk klassefekvese f. Nå klasseedde e, ha v defo f = h. (Samlet aeal av ektaglee hstogammet l da = atall osevasjoe.) Hstogamhøyde fo klasse umme l da: f h= V lage å e fekvestaell fo det klassedelte matealet ovefo med koloe fo å eege gjeomstt og vaas "fo håd". (Lommekalkulatoe g dsse støelsee dekte å osevasjoee e tastet.) V ta også med e koloe fo hstogamhøyde, og dessute e koloe fo kumulatv fekves som skal eyttes seee fodelse med et oksplott. V må selvfølgelg estemme fø v ka fylle ut de to sste koloee. Aldesklasse Klasseedde Fekves f Høyde f h = Kumulatv m f m m f ( m ) fekves F [8, [0, [, [5, [30, [35, [40, Koloesum Med fomlee avstt.3.3 fe v: f m = [å]. I oka sde 3 66 e eeget eksakt ut fa ådataee, tl 3.0 [å]. De elatvt stoe foskjelle skyldes de stoe klasse [, 5) som ha klassemdtpukt lk 3.5, me veste halvpat av klasse ha lagt flee osevasjoe e høye halvpat. Osevasjoee e altså kke jevt fodelt klasse. Vaase l: s = f (m ).73 [å ] 4

15 Stadadavvket l: s [å], som lgge æ okas eksakte ved, 4.56 [å] (sde 6). Mek! Hvs v velge kostat klasseedde, ka v uke atall osevasjoe klasse, f, som hstogamhøyde fo klasse. h Hstogam fo aldesfodelge alde Med fæe aldesguppe e på sde læeoka få hstogammet et glattee foløp. Meda og kvatle V huske at ede kvatl Q, medae Q og øve kvatl Q 3 dele et mateale fe omtet + ( ) 3( ) lke stoe dele. Q, Q og Q 3 e osevasjoee med plassume hhv , 4 og. I 4 våt mateale med = 66 g dette 4.75, 83.5 og 5.5. De kumulatve fekvesee F fekvestaelle fotelle oss at Q lgge [0,, mes Q og Q 3 lgge [, 5. Q e osevasjo umme Tl veste fo klasse [0, ha v 0 osevasjoe. Q l altså osevasjo umme =.75 klasse som omfatte totalt 56 osevasjoe. Hvs v teke oss at osevasjoee e jevt fodelt klasse, må v gå e avstad.75 klasse som e lk økdele 56 av hele klasseedde som he e lk. Avstade l.75. V få Q Fo å komme tl Q må v gå tl osevasjo umme = 7.5 [, 5 som omfatte 55 osevasjoe og ha klasseedde 3. V må altså gå e avstad klasse. V få Q Tlsvaede få v Q Q 3 lgge altså este helt tl høye [, Nå v å skal tege et oksplott fo dette klassedelte matealet, sette v mste osevasjo lk ede klassegese fo laveste klasse, dvs. 8. Tlsvaede sette v støste osevasjo lk øve klassegese fo høyeste klasse, dvs alde

16 Av oksplottet se v at de typske studet ("medastudete") e.4 å (setalmål), og de mdteste 50% av studetee ette alde, lgge mellom 0.8 og 4.7 å. Som spedgsmål uke v kvatledde, som l = 3.9 (å). De est eldste fjedepate av studetee lgge et lege aldestevall e de est ygste fjedepate. Tlsvaede e de eldste fjedepate av studetee spedt ove et mye lege aldestevall e de ygste fjedepate. Fodelge e altså skjev mot høye (stoe vede). De lage hale mot høye e eppe oveaskede. De fleste studete e uge meeske, me oe egye også å studee som godt vokse! Hva e este mål fo lokalseg og spedg eskvede statstkk? V ha ukt paet (, s) elle paet (M, Q B ) tl å ag lokalseg og spedg et tallmateale. Desom tallmatealet e oelude symmetsk udt, e M. Med take på lokalseg e det altså lkegyldg hvlket pa som velges. s og Q B ka vaskelg sammelges som mål fo spedg. Sde alle aalysemetodee seee våt pesum ygge på og s, e det fo et oelude symmetsk tallmateale atulg å velge paet (, s). E demot tallmatealet klat skjevt, ka oe f. eks. veldg stoe vede påvke så stekt at de stoe kke l epesetatv fo matealet. M og Q B = Q 3 Q e demot ouste ved slke eksteme vede fod de edeste og de øveste fjedepate av tallmatealet holdes utefo å kvatlee estemmes. I aldesfodelge ovefo e det atagelg atulg å velge paet (M, Q B ). 6

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig BOKMÅL 4. mi 007 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 Tid: 6 time Modul 5 studiepoeg, itet kus Notodde/Posgu Oppgvesettet e på 7 side (ikludet fomelsmlig).

Detaljer

(b) Ekmanstrøm: Balanse mellom friksjonskraft og Corioliskraft. der ν er den kinematiske (eddy) viskositeten.

(b) Ekmanstrøm: Balanse mellom friksjonskraft og Corioliskraft. der ν er den kinematiske (eddy) viskositeten. Oppgae 1. Fgu 6.11 læeboka se den nodgående enegfluksen atosfæen ( petawatt esus beddegad på den nodlge halkulen (opp tl 75 gade, ålg dlet. Fguen se også egne plott fo tansente edde, totalt bdag fa edde

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Fultet fo teologi, ust og desig Teologise fg Esme i: Diset mtemti Målfom: omål Dto: 8005 Tid: 5 time / l 9-4 tll side il foside: 0 tll ogve: 0 Tilltte hjelemidle: Fohådsgodjet odo Hådholdt lulto som ie

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Eleve / pivatiste Bokmål Eksempeloppgave ette læeplan godkjent juli 2000 Videegående kus II Studieetning fo allmenne, økonomiske og administative

Detaljer

Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004

Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004 Fugletetaeeet Øistein Gjøvik Høgskolen i Sø-Tønelag, 004 Innlening Nå skal vi lage et omlegeme u kanskje ikke ha sett fø. Det e ikke noe mystisk ve selve figuen, men en høe ikke til lant e mest ukte i

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage 2011 maianne@fuedesign.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage maianne@futuia.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning av nye

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Veileder for prosjektet har vært førsteamanuensis Stein-Erik Fleten. Jeg vil gjerne takke ham for all hjelp og faglig støtte.

Veileder for prosjektet har vært førsteamanuensis Stein-Erik Fleten. Jeg vil gjerne takke ham for all hjelp og faglig støtte. SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig FORORD Dee appote e utabeidet høste 2002 og e e posjektoppgave utabeidet i tilkytig til fodypigsemet føste semeste det 5. ået ved siviligeiøstudiet

Detaljer

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK Gekee kjete de atulige tallee og de kjete til fohold - dvs det vi i dag vil ofatte som bøke. E guleggede ofatig va at to lijestykke måtte ha et felles

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons love i én dimensjon 4.01.013 kaft akseleasjon hastighet posisjon YS-MEK 1110 4.01.013 1 Hva e kaft? Vi ha en intuitivt idé om hva kaft e. Vi kan kvantifisee en kaft med elongasjon av en fjæ. Hva

Detaljer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer Ivesteigsaalyse og iflasjo Nomiell avkastig og ealavkastig Reell låeete (ealete) Realivesteige og iflasjo Kotatstøm i omielle og faste pise Iflasjo og skatt Omløpsmidle og iflasjo Joh-Eik Adeasse 1 Høgskole

Detaljer

Bortfall av revisorplikt for mindre aksjeselskaper

Bortfall av revisorplikt for mindre aksjeselskaper Notate Documents 72/2012 Ek Fjæl og Avd Rakneud Botfall av evsoplkt fo mnde aksjeselskape Foslag tl evaluengsopplegg Notate 72/2012 Ek Fjæl og Avd Rakneud Botfall av evsoplkt fo mnde aksjeselskape Foslag

Detaljer

Nytt Rådhus i Sandnes

Nytt Rådhus i Sandnes Sades vokste fam ved Gadsfode o ha i de siste åee oietet se me o me mot det blå offetlie ommet midt i bye. He e det populæe kultuhuset, et levede båtliv, e uik utsikt o det e fistede å å e tu las vaet

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012 : Hva kjennetegne bana i denne fasen? De voksnes olle Banemøte Påkledning Samlinge Måltid Posjekte Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 «Omsog, oppdagelse og læing i banehagen skal femme

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Modellering av høyspentkabler

Modellering av høyspentkabler Modelleig av høyspetkable - i COMSOL Multiphysics H7E Jey Ommedal Flemmig Josefse Posjektappot Modelleig av høyspetkable Høgskole i Østfold HØGSOLEN ØSTFOLD geiøutdaige Postboks 9, Valaskjold Besøk: Tueveie

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

Transistorkonfigurasjoner: Det er tre hovedmåter å plassere en FET/BJT i en arkitektur:

Transistorkonfigurasjoner: Det er tre hovedmåter å plassere en FET/BJT i en arkitektur: 0. Foseke akiekue Nå e asiso skal bukes il e foseke, oscillao, file, seso, ec. så vil de væe behov fo passive elemee som mosade, kodesaoe og spole ud asisoe. Disse vil søge fo biasig slik a asisoe få ikig

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Avdeling for ingeniørutdanning. Ny og utsatt eksamen i Elektronikk

Avdeling for ingeniørutdanning. Ny og utsatt eksamen i Elektronikk www.ho.o dlg fo gøutdag Ny og utatt kam Elktokk ato: 9. augut d: 9- tall d klu fod: 6 kludt dlgg tall oppga: 4 llatt hjlpmdl: ådholdt kalkulato om kk kommu tådløt. Mkad: Kaddat må l kotoll at oppgattt

Detaljer

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning:

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning: nstitutt fo fysikk, NTNU Fg SF 4 Elektognetise og MNFFY 3 Elektisitet og gnetise Høst øsning øving Oppgve Mgnetfeltet inne i solenoiden e : ( H( (N/) ( (dvs fo < R). Utenfo solenoiden: ( > R) Fo å eegne

Detaljer

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved 84 8 Eksamenstening 8 Eksamens tening Uten hjelpemidle E1 (Kapittel 1) Polynomfunksjonen P e gitt ved P ( ) = 7 + 14 8, DP = R. a Det kan vises at alle heltallige løsninge av P() = 0 gå opp i konstantleddet

Detaljer

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause)

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause) SVÆRT RUBATO - MYE VISUELLE TEGN: Dee låta har svært lite tydelig tempo Derfor må vi fokusere på å gjøre mye visuelle teg til hveradre I tillegg til visuelle teg (mest av alt felles asatser på lage toer

Detaljer

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier Veilede fo adepte Buk mento - unngå omveie At eg e til, Det veit eg. Eg kjenne pusten min Og eit og anna hjeteslag. Men eg vil noko mei, enn bee å vea, eg vil vea nokon, som bety noko, i det stoe fellesskapet.

Detaljer

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 1 Løsningsfoslag EMC-eksamen 24.5. Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 Oppgave 2 a) En geneisk standad e en geneell standad som bukes nå det ikke foeligge en poduktstandad. EN581

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

trygghet FASE 1: barnehage

trygghet FASE 1: barnehage tygghet banehage De voksnes olle Banemøte Leikeguppe Guppeaktivitet Hjemmebesøk Samlinge Måltid Påkledning Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 tygghet tygghet «Banehagen skal bistå

Detaljer

Søk nad om utvi delse av fjer nvar meko nsesjon i Hamar i henhold til energ ilove ns 5

Søk nad om utvi delse av fjer nvar meko nsesjon i Hamar i henhold til energ ilove ns 5 Søk nad om utv delse av fje nva meko nsesjon Hama henhold tl eneg love ns 5 Bastad vamesental Hama Ip N E N /HRF FJ FRNL ^ HamaRegonen Fjenvame AS Postboks 4100 2307 Hama Dato: 20070823 HRF AS Sde 2 Søknad

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger

Rettelser til. Øistein Bjørnestad Tom Rune Kongelf Terje Myklebust. Alfa. Oppgaveløsninger Rettelse til Øistein Bjønestad Tom Rune Kongelf Teje Myklebust Alfa Oppgaveløsninge 007 Kapittel S. 7: Fasit til oppgave.9e): Slik oppgaven stå, skal svaet væe 065 (noe ha falt ut i oppgaveteksten). S.

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011

R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011 R / - Kapittel :. oktobe. novembe Plan fo koleået /: Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Pøve på elle koletime ette hvet kapittel. Én heildagpøve i hve temin. En del pøve vil

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

6. VARMEOVERGANG OG VARMEVEKSLERE

6. VARMEOVERGANG OG VARMEVEKSLERE 6. VMEOVEGNG OG VMEVEKSLEE Kjøg og oppamng på plattfomen Kjøg a bønnstøm fø posesseng/sepaasjon (plattfompodsjon) Oppamng a bønnstøm fø posesseng/sepaasjon (ndeannspodsjon) Kjøg a åolje fø lastng (tl båt)

Detaljer

egenverd FASE 3: barnehage

egenverd FASE 3: barnehage : egenved banehage Hva kjennetegne bana i fase 3? De voksnes olle Banemøte Gadeobe Måltid Samlingsstund Uteleiken Konfliktløsning Posjekt Vudeing Haug banehage 2011-2012 egenved egenved «Banehagen skal

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Nytt Bodø rådhus MOTTO: SUB COMMUNIS. Situasjonsplan 1:500 MOTTO: SUB COMMUNIS 1. Sammenheng til by / bydel

Nytt Bodø rådhus MOTTO: SUB COMMUNIS. Situasjonsplan 1:500 MOTTO: SUB COMMUNIS 1. Sammenheng til by / bydel MOTTO: SUB COMMUNIS Situasjonsplan 1:0 Nytt Bodø ådhus Saenheng til by / bydel nkuansefoslaget e baset på Mulighetsstudiens alt.. hvo adinistasjonen salokalisees i Rådhuskvatalet. Det eksisteende Rådhuset

Detaljer

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 21.05.2013. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 21.05.2013 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast i etter 2 timar. Del 2 skal leverast

Detaljer

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001 2/64 Notater 2 Rad Johaesse Mkrodeksformel kosumprsdekse Avdelg for økoomsk statstkk/sekso for økoomske dkatorer Emegruppe: 8.2. Ihold. Bakgru og kokluso...3 2. Levekostadsdekser...4 2.. Kosumetes tlpasg...4

Detaljer

Bergen kino. Høstfestival. Proffene

Bergen kino. Høstfestival. Proffene N. 9 Oktobe 2014 19. ågag Bege kio Høstfestival Poffee I o h ld Kjæe lese! kio e g Be KulTu Vi glede oss til Høstfestivale i ovembe, og håpe at du bli med! Det bli musikk, kust, teate, kofease og mye me!

Detaljer

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori

Eksamen TFY 4240: Elektromagnetisk teori NORGES TEKNISK- NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET INSTITUTT FOR FYSIKK Faglig kontakt unde eksamen: Ola Hundei, tlf. 93411 (mobil: 95143671) Eksamen TFY 4240: Elektomagnetisk teoi 8 desembe 2007 kl. 09.00-13.00

Detaljer

Generell støymodell for forsterkere (Mot Kap.2)

Generell støymodell for forsterkere (Mot Kap.2) Geerell øymdell fr frerkere (M Kap.) år e frear øyaalyer av re yemer vl de være uprakk å aalyere med dealjere øymdeller fr alle mulge øyklder. velger ede å bruke freklede mdeller m repreeerer flere mulge

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20.05.2009 REA3028 Matematikk S2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen.

B Bakgrunnsinformasjon om ROS-analysen. RI SI KO- O G SÅRBARH ET SANALYSE (RO S) A Hva som skal utredes Beredskapog ulykkesrisiko(ros) vurderesut fra sjekklistefra Direktoratetfor samfussikkerhetog beredskap.aalyse blir utført ved vurderigav

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00

EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen. Institutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 17.12.2014 Kl. 09.00 Innlevering: 17.12.2014 Kl. 14.00 EKSAMENSOPPGAVE - Skoleeksamen MET 11803 Matematikk Institutt fo Samfunnsøkonomi Utleveing: 17122014 Kl 0900 Innleveing: 17122014 Kl 1400 Vekt: 70% av MET 1180 Antall side i oppgaven: Antall vedleggsfile:

Detaljer

Gammel tekst Ny tekst Begrunnelse. "Følgende dokumenter legges til grunn for virksomheten

Gammel tekst Ny tekst Begrunnelse. Følgende dokumenter legges til grunn for virksomheten Fo mangfold mot diskimineing Endings til Vedtekte Landsmøtet 2015 Foslagsstille Gammel tekst Ny tekst Begunnelse "Følgende dokumente legges til gunn fo viksomheten 1 Ny tekst Fø 1 - Vedtekte: Beskive eglene

Detaljer

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu.

FX-82ES. NY CASIO teknisk / vitenskapelig lommeregner med naturlig tallvindu. ytt NR. 005. årgag FX-8ES NY CASIO tekisk / viteskapelig lommereger med aturlig tallvidu. Det er å mer e 5 år side kalkulatore for alvor ble tatt i bruk i orsk matematikk-udervisig, og de viteskapelige

Detaljer

LU skal gjøre at Paraguay som misjonsfelt blir bedre kjent. LU skal gi informasjon til utsendermenighet, KM og RS i Norge

LU skal gjøre at Paraguay som misjonsfelt blir bedre kjent. LU skal gi informasjon til utsendermenighet, KM og RS i Norge Puy Fomået med K/LU Bede fomjofomd LU k jøe t Puy om mjofet b bede kjet LU k fomjo t utedemehet, K o Noe LU k mujøe bede beutu fo mjoe mehetee LU k utvke webde fo Puy om k b e eu fo mehetee LU k t buk

Detaljer

Drivteknikk \ Automatisering \ Systemløsninger \ Service. Håndbok. Prefabrikkering av kabler Kabel for synkrone servomotorer

Drivteknikk \ Automatisering \ Systemløsninger \ Service. Håndbok. Prefabrikkering av kabler Kabel for synkrone servomotorer Drvtekkk \ Automatserg \ Systemløsger \ Servce Hådbok reabrkkerg av kabler Kabel or sykroe servomotorer Utgave 12/2011 19301723 / NO SEW-EURODRIVE Drvg the world Ihold 1 Krympeverktøy... 4 1.1 Krympeverktøy

Detaljer

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER

OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 5 LØSNINGSFORSLAG UTVIKLING AV REKURSIV FORMEL FOR FIGURTALL SOM GIR ANDREGRADSFUNKSJONER OPPGAVE 4 LØSNINGSFORSLAG Tallfølge i f) rektageltallee. Her er de eksplisitte formele R = ( +1) eller R = +. Dette er e adregradsfuksjo. I figurtallsammeheg forutsetter vi at de legste side er (øyaktig)

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 16. mai 2008 Høgskole i Telemark Avdelig for estetiske fag, folkekultur og lærerutdaig BOKMÅL 6. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK Modul 5 studiepoeg Tid: 5 timer Oppgavesettet er på 8 sider (ikludert formelsamlig). Hjelpemidler:

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering

Econ 2130 uke 15 (HG) Poissonfordelingen og innføring i estimering Eco 130 uke 15 (HG) Poissofordelige og iførig i estimerig 1 Poissofordelige (i) Tilærmig til biomialfordelige. Regel. ( Poissotilærmelse ) Ata Y ~ bi(, p) E( Y ) = p og var( Y ) = p(1 p). Hvis er stor

Detaljer

Vektreduksjon - Livsstilskurs kr. 1200,- pr. mnd

Vektreduksjon - Livsstilskurs kr. 1200,- pr. mnd Livea - livsstil - vekteduksjon n 1-2015 Vekteduksjon - Livsstilskus k. 1200,- p. mnd kusplan 2015 Kus state nå! Les me s. 3 Gikk ned 26 kg på 16 uke "Nå føle jeg at jeg vikelig nyte mat - fo føste gang"

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002

Løsningsforslag for eksamen i FY101 Elektromagnetisme torsdag 12. desember 2002 Løsningsfoslag fo eksamen i FY Elektomagnetisme tosdag. desembe Ved sensueing vil alle delspøsmål i utgangspunktet bli gitt samme vekt (uavhengig av oppgavenumme), men vi fobeholde oss etten til justeinge.

Detaljer

Metoder for politiske meningsmålinger

Metoder for politiske meningsmålinger Metoder for politiske meigsmåliger AV FORSKER IB THOMSE STATISTISK SETRALBYRÅ Beregigsmetodee som brukes i de forskjellige politiske meigsmåliger har vært gjestad for mye diskusjo i dagspresse det siste

Detaljer

bedre læring Handlingsplan for bærumsskolen mot 2020 Relasjons- og ledelseskompetanse/vurdering for læring/digital didaktikk

bedre læring Handlingsplan for bærumsskolen mot 2020 Relasjons- og ledelseskompetanse/vurdering for læring/digital didaktikk bee læng Hanlngsplan fo bæumsskolen mo 2020 Relasjons- og leelseskompeanse/vueng fo læng/gal akkk fe uvklngsomåe skolemelngen pesenee fe uvklngsomåe Længsoppage Den ykge læe bee læng Skolemelng fo bæumsskolen

Detaljer

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1 Eksempel på poengbergegnng fra grunnskolen tl Vg1 Etter skrv: "Førng av vtnemål og kompetansebevs for grunnskolen Kunnskapsløftet" av 09.01.2015. Sde 5 Elever som kke får standpunktkarakter på grunn av

Detaljer

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008

Utvidet løsningsforslag Eksamen i TMA4100 Matematikk 1, 16/12 2008 Utvidet løsigsforslag Eksame i TMA4 Matematikk, 6/ 8 Oppgave i) Vi gjør substitusjoe u = si θ og får π/ [ u si θ cos θ dθ = u du = E ae løsigsmetode er π/ si θ cos θ dθ = π/ ] si θ dθ = 4 = 4 ( ( ) ( ))

Detaljer

Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministrasjonen. Protokoll 7/14

Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministrasjonen. Protokoll 7/14 Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministasjonen Potokoll 7/14 Møte: Omsogskomite Møtested: Kjenehuset dagsente, Enebakkveien 18 Møtetid: Mandag 10. novembe 2014 kl. 18.00 Seketaiat: 2343887 Møtelede:

Detaljer

Innhold. 1. Innledning... 3

Innhold. 1. Innledning... 3 Risikobaset tilsyn Modul fo makeds- og kedittisiko i fosiking Evalueing av makeds- og kedittisikonivå DAO: 15.09.2010 Innhold 1. Innledning... 3 2. Makedsisiko... 4 2.1 Metodikken... 4 2.2 Renteisiko...

Detaljer

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi

Forelesning Elkraftteknikk 1, 17.08.2004 Oppdatert 23.08.2004 Skrevet av Ole-Morten Midtgård. HØGSKOLEN I AGDER Fakultet for teknologi Forelesig Elkrafttekikk, 7.08.004 Oppdatert 3.08.004 Skreet a Ole-Morte Midtgård HØGSKOEN I AGDER Fakultet for tekologi Komplekse tall og isere Komplekse tall er sært yttige i aalyse a elkraftsystemer.

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c.

I forelesningen så vi litt på hvordan vi tegner grafer manuelt. Enkel bruk av GeoGebra er vist gjennom noen korte videoer i bolk 5c. NOTAT TIL FORELESNING OM FUNKSJONER, DEL Forelesige om uksjoer består av to deler, ørste del bygger på dette otatet Notatet bygger på læreboke og er oe mer utyllede e orelesige I bolk 5a så vi hvorda vi

Detaljer

LEIRFJORD KOMMUNE SAKSFRAMLEGG. Saksbehandler: Britt Jonassen Arkiv: 144 F17 Arkivsaksnr.: 13/167-7 Klageadgang: Nei

LEIRFJORD KOMMUNE SAKSFRAMLEGG. Saksbehandler: Britt Jonassen Arkiv: 144 F17 Arkivsaksnr.: 13/167-7 Klageadgang: Nei LEIRFJORD KOMMUNE SAKSFRAMLEGG Saksbehandle: Bitt Jonassen Akiv: 144 F17 Akivsaksn.: 13/167-7 Klageadgang: Nei REGIONAL BOLIGPOLITISK HANDLINGSPLAN Administasjonssjefens innstilling: ::: &&& Sett inn innstillingen

Detaljer

Øving 1. Institutt for fysikk, NTNU Fag SIF 4012 Elektromagnetisme og MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2002

Øving 1. Institutt for fysikk, NTNU Fag SIF 4012 Elektromagnetisme og MNFFY 103 Elektrisitet og magnetisme Høst 2002 Institutt fo fysikk, NTNU Fg SIF 4 Elektomgnetisme og MNFFY Elektisitet og mgnetisme Høst Øving Veiledning: Tosdg 9. ugust Innleveingsfist: Tisdg. septembe kl. Oppgve En ldning q e plsset i (,y)(,) og

Detaljer

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a)

Løsningsforslag til øving 9 OPPGAVE 1 a) Høgskole i Gjøvik vd for ek, øk og ledelse aemaikk 5 Løsigsforslag il øvig 9 OPPGVE ) Bereger egeverdiee: de I) ) ) ) Egeverdier: og ) ) Bereger egevekoree: vi ivi ii) vi ed λ : ) ) v Velger s som gir

Detaljer

REFERAT. Jorunn Lervik (Sosial- og helseavdeling/fylkesmannen) Marius Rønningen (Politiet) Arnfinn Brechan, leder, ønsket velkommen til møtet.

REFERAT. Jorunn Lervik (Sosial- og helseavdeling/fylkesmannen) Marius Rønningen (Politiet) Arnfinn Brechan, leder, ønsket velkommen til møtet. REFERAT fa møte n. 05/09 Tafikksikkehetsutvalget i Sø-Tøndelag, tosdag 19. novembe 2009 kl 09.00 på distiktskontoet, Statens hus, Pinsenes gt. 1, møteom 4.135 i 1. etasje Til stede: Meldt fofall: Ikke

Detaljer

Reglement for fagskolestudier

Reglement for fagskolestudier Reglemet for fagskolestudier Ved Høyskole Kristiaia R Fra og med studieåret 2015/16 Ihold INNHOLD 3 Kapittel 1 Geerelle bestemmelser 4 Kapittel 2 - Studiereglemet 6 Kapittel 3 - Opptaksreglemet 8 Kapittel

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte r Hvorda du reger med poteser Detaljerte forklariger Av Matthias Loretze mattegriseforlag.com Opplsig: E potes er e forkortet skrivemåte for like faktorer. E potes består

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2010

Løsning eksamen R1 våren 2010 Løsig eksame R våre 00 Oppgave a) ) f ( ) l f ( ) ' l l l l f ( ) (l ) ) g( ) 4e g( ) 4 e ( ) 4 e ( ) g( ) 4( ) e b) ( ) 4 4 6 P ) P() 4 4 6 8 6 8 6 0 Divisjo med ( ) går opp. 4 4 6 : ( ) 8 4 4 8 6 8 6

Detaljer

Realstart og Teknostart ROTASJONSFYSIKK. PROSJEKTOPPGAVE for BFY, MLREAL og MTFYMA

Realstart og Teknostart ROTASJONSFYSIKK. PROSJEKTOPPGAVE for BFY, MLREAL og MTFYMA FY1001 og TFY4145 Mekanisk fysikk Institutt fo fysikk, august 2014 Realstat og Teknostat ROTASJONSFYSIKK PROSJEKTOPPGAVE fo BFY, MLREAL og MTFYMA Mål Dee skal i denne posjektoppgaen utfoske egenskape til

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

Newtons tredje lov. Kinematikk i to og tre dimensjoner

Newtons tredje lov. Kinematikk i to og tre dimensjoner Newons ede lo Knemkk o og e dmensone 31.1.213 husk: nnleeng oblg #1 Mndg, 4.eb. kl.1 YS-MEK 111 31.1.213 1 Newons ede lo: Enhe knng h lld og lsende en moknng, elle den gensdge påknng o legeme på hende

Detaljer

SERVICEERKLÆRING 1. Innledning 2. Demokrati, samarbeid og medvirkning 3. Generell informasjon 4. Internasjonalisering

SERVICEERKLÆRING 1. Innledning 2. Demokrati, samarbeid og medvirkning 3. Generell informasjon 4. Internasjonalisering SERVICEERKLÆRING 1. Innlednngg 2. Demokt, smbed og medvknng 3. Geneell nomsjon b 4. Intensjonlseng e 5. Studestt 6. Studegjennomøngen 7. Bblotek 8. IT l 9. Studentveled 1. Innlednng g 2. Demokt, smbed

Detaljer

Ø^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom

Ø^ h ^ c^ c^ ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM. St. OLAVS HOSPITAL HF. SAMARBEIDSAVTALE på institusjonsnivå mellom ST. OLAVS HOSPITAL 0 UNIVERSITETSSYKEHUSET I TRONDHEIM SAMARBEIDSAVTALE på istitusjosivå mellom HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG (HiST) og St. OLAVS HOSPITAL HF Trodheim Dato : 6. mai 2010 Ø^ h ^ c^ c^ Høgskole

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011

Eksamen REA3028 S2, Våren 2011 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f 5 f 6 5 ) g g ) h l 9 9 6 4 h l

Detaljer

Studere en fasefølsom forsterker

Studere en fasefølsom forsterker Ku: FYS3230 Senoe og måleteknikk Guppe: Guppe-dag: Oppgave: LABORATORIEØVELSE NR 3 Omhandle: Studee en faefølom foteke Revidet, 21. ept. 2011 Lindem Utføt dato: Utføt av: Navn: email: Navn: email: Godkjent:dato:

Detaljer

"Si armtroll og partyløre"

Si armtroll og partyløre "S armtroll og partyløre" Bar og ugdom med udskrmerede tlkytgsforstyrrelse Av p rv atp ra ktsø re d ø psykol o gsp es a st J o a ch m H aa rkl o u, Hsøy Psykologseter, Noroddvee z, 48rG Kolbørsvk. det

Detaljer

BASISÅR I IDRETTSVITENSKAP 2010/2011. Utsatt individuell skriftlig eksamen. 1BA 111- Bevegelseslære 2. Mandag 22. august 2011 kl. 10.00-12.

BASISÅR I IDRETTSVITENSKAP 2010/2011. Utsatt individuell skriftlig eksamen. 1BA 111- Bevegelseslære 2. Mandag 22. august 2011 kl. 10.00-12. BASISÅR I IDRETTSVITENSKAP 1/11 Us indiiduell skiflig eksmen i 1BA 111- Beegelseslæe Mndg. ugus 11 kl. 1.-1. Hjelpemidle: klkulo og elle i fysikk Eksmensoppgen eså 3 side inklude fosiden Sensufis: 1. sepeme

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser

Leica Lino Presis selvhorisonterende punkt- og linjelaser Impex Produkter AS Verkseier Furuluds vei 15 0668 OSLO Tel. 22 32 77 20 Fax 22 32 77 25 ifo@impex.o www.impex.o Leica Lio Presis selvhorisoterede pukt- og lijelaser Still opp, slå på, klar! Med Leica Lio

Detaljer

Veileder for mentorer

Veileder for mentorer Veilede fo mentoe Utabeidet av Likestillingssenteet 2011 Food Likestillingssenteet ha siden 2006 diftet mentonettveket Velkommen inn, et mentonettvek spesielt ettet mot innvandekvinne. Mentoene i Velkommen

Detaljer

Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministrasjonen. Protokoll 7/14

Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministrasjonen. Protokoll 7/14 Oslo kommune Bydel Østensjø Bydelsadministasjonen Potokoll 7/14 Møte: Bydelsutvalget Møtested: Oppsal samfunnshus, Vetlandsveien 99/101 Møtetid: Mandag 17. novembe 2014 kl. 18.30 Seketaiat: Theese Kloumann

Detaljer

CONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX

CONSTANT FINESS SUNFLEX SMARTBOX Luex terrassemarkiser. Moterig- og bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX SMRTBOX 4 5 6 7 8 Markises hovedkompoeter og mål Kombikosoll og plasserig rmklokker og justerig Parallelljusterig Motordrift og programmerig

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Billige arboresenser og matchinger

Billige arboresenser og matchinger Billige aboesense og matchinge Magnus Lie Hetland 16. jan 009 Dette e foelesningsnotate til føste foelesning i faget Algoitmekonstuksjon, videegående kus, ved Institutt fo datateknikk og infomasjonsvitenskap,

Detaljer

Eksamen 31.05.2016. Nynorsk side 2 4. Bokmål side 5 7. Felles vedlegg side 9 17

Eksamen 31.05.2016. Nynorsk side 2 4. Bokmål side 5 7. Felles vedlegg side 9 17 Eksamen 31.05.2016 NOR1211-NOR1231 Norsk hovudmål/hovedmål NOR1218-NOR1238 Norsk elev samsk som andrespråk Elevar og prvatstar / Elev og prvatst Nynorsk sde 2 4. Bokmål sde 5 7. Felles vedlegg sde 9 17

Detaljer