Notat: Dekker pensum i beskrivende statistikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Notat: Dekker pensum i beskrivende statistikk"

Transkript

1 Notat: Dekke pesum eskvede statstkk.3 Beskvede statstkk (sde 9 læeoka - 4. utgave) Beskvede (deskptv) statstkk omfatte samlg, eaedg og pesetasjo av data (tallmateale, osevasjoe, måleesultate). Nå følge føst te udeavstt ute dekte tlkytg tl læeoka. Deette følge oe kommetae tl oka og tl slutt et eksempel som ehadle vdee et tallmateale som e ehadlet læeoka..3. Lte tallmateale. Eksempel Tallee,,.., 6 edefo ag eksameskaakteee statstkk fo 6 studete som estod eksame. Råmatealet: =.8 =.7 3 =.8 Atall data: = 6 4 = 3. 5 =.5 6 =.5 Pkkdagam: Det e valg å kaaktesee et tallmateale ved å ag et mål fo elggehet (lokalseg, setum, tygdepukt) og spedg på tallje. Lokalsegsmål (mål fo elggehet): Det valgste lokalsegsmålet e gjeomstt (mddelved), som e defet ved: = ( ) = I eksemplet l gjeomsttskaaktee = = ( ) =.3. Mek at som egel ags med sffe me e vedee åmatealet.

2 Belggehete av på tallje e "alasepuktet" (tygdepuktet) fo fodelge. Spedgsmål (mål fo spedg omkg gjeomsttet): Det valgste spedgsmålet e empsk stadadavvk, som e defet ved: (( ) + ( ) + + ( ) ) = s = ( ) Det empske stadadavvket fo eksameskaakteee l s (.8 ) (.7 ) (.8 ) (3. ) (.5 ) (.5 ) Mek at s gjee ags med lke mage desmale som s + s Empsk stadadavvk e et mål fo hvo mye osevasjoee avvke fa gjeomstt. Valgvs lgge ca % av osevasjoee tevallet [ s, + s]. Dette ka v uke tl å vudee om de fue vede av s e melg (e ka oppdage gove egefel på dee måte). I eksemplet l [ s, + s] [.60,.86], så 4 av 6 vede, dvs. 67%, lgge høyst ett stadadavvk fa mddelvede. Kvadatet av det empske stadadavvket, dvs. s, kalles empsk vaas. Vaasegepet e speselt vktg teoe om sasylghetsfodelge og statstsk metodelæe. He l s Mage kalkulatoe ha eygde statstkkfuksjoe, som eege gjeomstt og empsk stadadavvk fo leste data. Skal ma utføe eeggee fo håd (dette ka l kevd på eksame), må ma vse femgagsmåte. Det aefales at uteggee asees på følgede taelloppstllg:

3 sum Dette g = =. 3 6 og 3.4 s = = ( ) , dvs. de samme esultatee som ovefo. Legg meke tl at he e s eeget ette e ae fomel e de som e gtt ved defsjoe ovefo. Summe ( ) e yttet ut med.. Heskte med dette e å solee et eget ledd slk at ma slppe å ege med. hvet ledd summe. Sammehege ( ) = evse v slk: ( ) = ( + ) = + = + = Ade mål fo lokalseg og spedg e heholdsvs meda og kvatledde. De eeges slk: Føst odes osevasjoee ette støelse: (), (),..., (), de () etege de laveste osevasjoe, () de est laveste, og så vdee opp tl () som e osevasjoe med høyest ved. I eksemplet e () () (3) (4) (5) (6) De te kvatlee, Q, Q og Q 3 e tall som dele det odede matealet fe omtet lke stoe dele. Q, Q og Q 3 e osevasjoee med plassumme (odgsumme) h.h.v. +, 4 ( + ) + = 4, 3 ( + ) 4. I eksemplet e = 6, så plassumee fo Q, Q og Q 3 l h.h.v..75, 3.5 og 5.5. Sde plassumee he kke e hele tall, vl kvatlee falle mellom osevasjoee. V la f.eks. 3

4 (.5) med plassumme.5 ety vede mdt mellom () og (), dvs. v sette (.5) = () + () = =.65. Med dee utvdede tolkge av plassume, få v: () + () + + () (.5) (). kvatl: Q = (.75) = = = =. 75 (3) (4. kvatl: Q = (3.5) = = =. 5 + ) (5) (5.5) 3. kvatl: Q 3 = (5.5) = = = =. 8 (5) (5) + (6) Medae M, som e et lokalsegsmål, e et aet av på. kvatl. He e M =.5. Medae dele det odede tallmatealet to lke stoe dele. Kvatledde Q B e et spedgsmål, defet ved Q B = Q 3 Q. He e Q B = Q B e edde av tevallet [Q, Q 3 ], som eholde omtet halvpate av osevasjoee. Dette stemme kke så a dette eksemplet, fod tallmatealet e lte ( = 6) Q M Q 3 Q B.3. Tallmateale med flee lke vede. Ofte e det flee lke osevasjoe tallmatealet. I eksempel foekom f.eks. tallet.8 to gage. V se da at.8 ha fekves (hyppghet) lk. Fo støe tallmateale med mage lke vede, e det hesktsmessg å ode osevasjoee ette støelse e fekvestaell. Dette e gjot eksemplet edefo. V komme ette hvet tl å uke foskjellge støelse avledet av fekvese: f Fekves: f, elatv fekves: =, elatv fekves %: 00 (%) Eksempel Kvadatmetevektee gam fo 50 pøve av e estemt paptype le målt. Resultate (åmatealet): Råmatealet eholde 9 foskjellge vede, emlg vedee 48, 49, 50,, 56 (laveste og høyeste ved udesteket taelle). V etege dsse vedee med y, y,, y 9 og la f, f,, f 9 etege de tlhøede fekvesee (hyppghetee). 4

5 Fekvestaell: Vekt (gam) y Fo opptellg Fekves f Kumulatv fekves F Relatv fekves % (f /) 00 (%) 48 / 49 // //// //// /// //// //// //// / //// //// // //// / / 50 sum =50 00 Koloe fo kumulatve fekvese (F ) e yttg å kvatle skal eeges (se edefo). Fekvestaelle ka avldes et stolpedagam. Stolpedagam: Stolpedagammet vse hvoda de 50 pøvee fodele seg på de foskjellge vedee tallmatealet. Desom v hadde avsatt de elatve fekvesee lags. akse stedefo de asolutte fekvesee vlle v fått e ae skaladelg på. akse. Stolpedagammet vlle da vst posetvs fodelg, me elles sett lkeda ut. Beegg av gjeomstt og empsk stadadavvk: De fleste kalkulatoe med eygde statstkkfuksjoe e stad tl å ege med fekvese. Istedefo å taste e og samme ved gjetatte gage, e det ok å taste to tall, vede og vedes fekves. Nå fekvese foekomme, e det atulg å skve fomlee fo gjeomstt og empsk stadadavvk på følgede fom: = f y s = f (y ) = f y 5

6 . Legg meke tl at øve gese summee e eteget med og kke. Mes stå fo det totale atall data (atall -e) tallmatealet, stå fo atall foskjellge vede (atall y-e) matealet. Det e kke vaskelg å fostå fekvesfomlee ovefo. Dsse utledes fa de "gamle" fomlee ved å føe f y, ) = = f (y ) (, f y. Fo mauell eegg av og s eyttes følgede taell: = y f f y f y sum V få: = f y = [gam] 599 s = f y = ( ) [gam] E svaee melge? Gjeomsttet,, epesetee tygdepuktet fodelge. Hvs v se på stolpee stolpedagammet som masse som elaste e masseløs vektstag (akse), skal vektstage kue alasee på e spss plasset. Øyemålet se oss at dette stemme a. Hadde v demot fått 50 og plasset spsse dette puktet, e det opplagt at vektstage vlle væt ualase og vppet edove på høye sde. Det vlle etydd at vede av va gal. s + s 6

7 Som kotoll av s meke v oss at tevallet [ s, + s] = [50.5, 53.5] eholde 36 osevasjoe, dvs. 7 % av tallmatealet lgge efo pluss/mus ett stadadavvk fa gjeomsttet. Dette e et melg esultat (se kommeta edest på sde ), så eegge av stadadavvket se ut tl å væe ktg. Et egekep. Ved å tasfomee tallmatealet ka eegge av gjeomstt og stadadavvk sto gad utføes som hodeegg. Metode e aset på følgede setg: La,,, væe gtte tall med gjeomstt og stadadavvk s. V dae ye tall ved a a a z =, z =,, z =, de a og > 0 e selvvalgte kostate. a s Da ha v z = og s z =, dvs. = z + a og s = s z. Setge avedes slk: Velg tallee a og > 0 slk at z-ee l små heltall. Beeg så z og s z (ekel egg!). Bestem deette og s av lkgee = z + a og s = s z. a s Fomlee z = og s z = e lette å utlede ved egg (pøv selv!). De e helle kke vaskelge å fostå. Nå v tekke tallet a fa hve -ved, foskyve v alle tallee lke mye og deved også gjeomsttet. Foskyvge spe kke tallee yttelgee, så s stadadavvket fol uedet. Dette foklae hvofo fomele s z = kke eholde a. Mes fatekket av a epesetee e taslasjo (foskyvg) av tallmatealet, vl de ettefølgede dvsjo med svae tl e skaleg av tallee. E f.eks. =, vl alle tallee halvees og deved også gjeomsttet. Sde avstadee mellom tallee også halvees, vl de skalete tallee lgge tettee e de uskalete. Dette medføe at stadadavvket halvees, s dvs. s z =. Av dette skjøe v at gjeomsttet påvkes åde av taslasjoe og skalege på samme måte som tallee selv, mes stadadavvket påvkes ae av a s skalege. Dette e ettopp hva fomlee z = og s z = uttykke. V gå tlake tl eksempel og vse hvoda egekepet ka ukes tl å eege gjeomsttet og stadadavvket på e ekel måte. Det e lut å velge a lk de mdteste y- vede, evetuelt lk de y-ved som ha støst fekves. He sette v a = 5 og =. V velge =, fod det kke e ehov fo oe skaleg dette eksemplet. 7

8 V stlle opp følgede taell fo eegg av z og s z : y z = y 5 f f z f z sum 50 5 V få z = f z s z = 50 = f z ( ) = z 0.0 som, med a = 5 og =, g = [gam] 49 ( 5 50 ( 0.0) ). 53 [gam], = z + a = = [gam] og s = s.53.5 [gam]. z Beegg av meda og kvatledde Plassumee fo de te kvatlee l heholdsvs ( = 50) (+ ) 53 = =.75, = = 5. 5 og = = Ved hjelp av koloe fo kumulatve fekvese fekvestaelle, fe v Q = (.75) = 5 [gam], Q = (5.5) = 5 [gam], Q 3 = (38.5) = 53 [gam], som g medae M = Q = 5 [gam] og kvatledde Q B = Q 3 Q = [gam]..3.3 Stot tallmateale. Klassedelg. Hvs tallmatealet e stot og eholde mage foskjellge vede, e det valg å guppee osevasjoee tevalle elle klasse fo å kompmee tallmatealet. V fe føst støste og mste ved matealet, og dele deette det aktuelle vedomådet et passede atall tevalle, valgvs mellom 6 og 0. Så telle v opp hvo mage av osevasjoee som lgge efo de espektve klassee, det v f.eks. la ede (me kke øve) tevallgese eges med tl hvet tevall. (E ae mulghet e å ag tevallgesee med e eksta desmal slk at det kke ka oppstå tvl om hvlke klasse e osevasjo høe hjemme). 8

9 Eksempel 3 Dametee fo 00 stålpe le målt. Resultate µm (0 6 m = e tusedels mllmete): Sde støste og mste ved dette tallmatealet e heholdsvs 005 og 934 (udesteket lste ovefo), ka det passe å dele matealet 8 klasse: [930, 940, [940, 950, [950, 960,, [000, 00. Opptellg g følgede fekvestaell: Klasse Fo opptellg Klassefekv. f Kum. klassefekv. F [930, 940 // [940, 950 //// // 7 9 [950, 960 //// //// // [960, 970 //// //// //// //// //// 5 46 [970, 980 //// //// //// //// //// // 7 73 [980, 990 //// //// //// /// 8 9 [990, 000 //// // 7 98 [000, 00 // 00 sum 00 Klassefekvesee ka avldes et hstogam (se edefo). I hstogammet e hve klasse epesetet ved et ektagel med edde og høyde lk heholdsvs klasseedde og klassefekvese. Noe gage ka det væe hesktsmessg å avsette ade støelse lags. akse, f.eks. "elatv klassefekves", "klassefekves p. klasseedde" elle "elatv klassefekves p. klasseedde". I det est sste tlfellet ø e meke seg at det samlede aealet av alle ektaglee som hstogammet estå av, e lk (= atall osevasjoe), mes det sste tlfellet l samlet aeal lk. Hstogammet g et utmeket lde av hvoda osevasjoee fodele seg. Me, motsetg tl et stolpedagam, g hstogammet kke øyaktge opplysge om de ekelte osevasjoe, ae om de klasse de tlhøe. V se at hstogammet e oelude symmetsk. Beegg av gjeomstt og empsk stadadavvk. Klassefekves Damete (mymete) 9

10 Desom tallee åmatealet e lest et statstkkpogam, som f.eks. Ecel elle Mta, ka e med et ekelt tastetykk få eeget gjeomstt, stadadavvk, kvatle m.m. Tlsvaede eegge utføt fo håd e svæt tdkevede desom e ta utgagspukt åmatealet. Aedet l ovekommelg desom e stedet ygge på det klassedelte matealet. Atall klasse eteges med, mes f og m etege heholdsvs klassefekves og klassemdtpukt fo klasse umme. Hvs e ata at vedee e jevt fodelt efo hve klasse, e det melg å uke klassemdtpuktet, m, som e tlæmet ved fo gjeomsttet av alle tallee klasse umme. V ege altså som om vede m e osevet f gage. Ved å estatte y med m fomlee avstt.3. få v fomlee fo tlæmede vede fo gjeomstt og stadadavvk fo et klassedelt mateale: f m s f (m ) = f m Buke v egekepet på sde 8 og velge a = 975 og = 0, l klassemdtpuktee m tasfomet tl små tall (z-e) som g ekle eegge. V stlle opp følgede taell fo eegg av z og s z.: Klasse Klassemdtpukt m z = m f f z f z [930, [940, [950, [960, [970, [980, [990, [000, sum V få z = f z = 00 ( 40) = 0.40 [µm] s z = f z z = 99 ( 3 00 ( 0.40) ). 477 [µm], som, med a = 975 og = 0, g z + a = 0( 0.40) og s s [µm]. z [µm] Mta, aset på åmatealet, g de "eksakte" vedee = og s = 4.7. Fele v egå ved å uke det klassedelte matealet stedefo åmatealet e altså uetydelg, støelsesode oe pomlle. La oss uke det klassedelte matealet tl å aslå hvo sto del av tallmatealet som lgge efo ± stadadavvk fa gjeomsttet. Sde [ s, + s ] [956., 985.8], må v telle opp hvo mage osevasjoe som lgge mellom 956. og Da må v 0

11 atulgvs ta med alle som lgge klassee [960, 970 og [970, 980, dvs = 5 osevasjoe, me også osevasjoee tevallee [956., 960 og [980, må telles med. Sde det klassedelte matealet kke g opplysge om hvoda osevasjoee fodele seg e klasse, teke v oss at de fodele seg jevt klasse. Ude dee foutsetge e det melg å aslå atall osevasjoe tevallet [956., 960 som = Tlsvaede aslå v atall osevasjoe tevallet [980, som = Tl samme g dette (tlæmet) = 67 osevasjoe tevallet [956., 985.8], som utgjø 67 00% = 67% av hele tallmatealet. Dette e et 00 melg esultat, samsva med det v kue fovete ut fa % egele på sde. Beegg av meda og kvatledde. Plassumee fo de te kvatlee l heholdsvs ( = 00) 3(+ ) + = 0 = 5.5, + = 0 = 50.5 og = 303 = Ved hjelp av koloe fo kumulatve fekvese fekvestaelle, fe v ved tlsvaede "foholdsegg" som ovefo: Q = (5.5) = 96.7 [µm], Q = (50.5) Q 3 = (75.75) [µm], [µm]. Heav fåes medae M = Q 97.7 [µm] og kvatledde Q B = Q 3 Q 9.8 [µm]. De te kvatlee, samt støste og mste ved, se oss e god del om tallmatealet. Dsse fem vedee ka avsettes et såkalt oksplott. Boksplottet e askt å tege og g oss vedfull fomasjo om vedomådet, lokalsege, spedge og evetuell skjevhet fodelge. Legg meke tl at 5%-halee på hve sde fodelge e teget som to steke, mes de 50% mdteste vedee e llustet ved e todelt oks, de hve del eholde 5% av osevasjoee. Mta tege et "ståede" oksplott, me det e kke oe vee fo å tege det "lggede". Da ta det mde plass på aket. Tallmatealets lokalseg (tygdepukt, setum) ags ved medae, og spedge ags ved kvatledde Q B = Q 3 Q. V se at medae lgge omtet mdt okse og at de to halee e omtet lke lage. Dette ekefte at tallmatealet e oelude symmetsk, slk det også femgkk av hstogammet. Damete [mymete] Q 3 M Q V vse tl slutt de utskfte som Mta g, desom v avede kommadoe "Dsplay Descptve Statstcs" på koloe C hvo dataee e lagt. Vaale N Mea Meda TMea StDev SE Mea

12 C ,4 97,00 970,6 4,7,47 Vaale Mmum Mamum Q Q3 C 934,00 005,00 96,00 980,00 V se at de eksakte vedee fo gjeomsttet (egelsk: mea), stadadavvket (egelsk: stadad devato, StDev) og kvatlee eeget av Mta ut fa ådataee, avvke lte fa de tlæmede vedee eeget på foge sde ut fa det klassedelte matealet. Sammelkg av flee oksplott. Taelle og oksplottee edefo teget av Mta oppsummee esultatee ( poeg) ved e felles matematkkeksame fo de foskjellge sttutt ved e høgskole. Isttutt A B C D E F Alle Atall, Laveste poegscoe kvatl, Q Meda, M = Q kvatl, Q Kvatledde, Q B Høyeste poegscoe Gjeomstt, Stadadavvk, s poeg BA DB EC KD LE MF sttutt Ved hjelp av oksplottee ka v askt sammelge esultatee de foskjellge klassee med hesy tl vedomåde, tygdepukt (medaee), spedg (kvatleddee) og skjevhet. * ove oksplottet fo sttutt A makee e "outle" = ekstem ved. * makee de este poegsumme (88). De øveste hale stoppe på 69, som e de est este poegsumme.

13 E "outle" Mta e e ved som lgge me e.5 Q B ove Q 3, evetuelt ude Q. Fo sttutt A e.5 Q B = og Q Q B = 83.6 < 88! Les å det som stå ude avstt.3 læeoka, samme med oe få kommetae som følge he. Hstogam (sde ) Hstogammet llustee aldesfodelge på sde. Læeoka sklle kke mellom hstogam og stolpedagam slk som v ha gjot tdlgee. Mek! Læeoka etege osevasjoee (vedee) et tallmateale med stoe okstave. I kapttel 3 skal v se på stokastske vaale. De eteges med stoe okstave, mes de osevete vedee av de stokastske vaale eteges med små okstave. I tåd med dette vl v etege osevasjoee et tallmateale med små okstave. Eksempel høyde (fots.) (sde 8) He ha v et tallmateale med = 0 vede. Kvatlees plassumme l.75, 5.5 og 8.5 (. 5) + (3) heholdsvs. Ette oppskfte gtt tdlgee l Q =. () + (3) Med (. 5) = = = og (3) = 67 l Q = Som læeoka se tlsvae dette å g () vekte 0.5 og (3) vekte 0.75 (støst vekt på vede med plassumme æmest.75) : Q = 0.5 () (3) = = Eksempel alde (fots.) (sde 8) Av oksplottet Fgu.5 se v at medae dele okse to lke stoe dele, me øve hale e mye lege e ede hale. De øveste 5% av vedee e altså spedd ove et mye støe omåde e de edeste 5% av vedee. Tallmatealet e altså skjevt mot høye. I læeoka gå oksplottet lags de vetkale akse. Fo å spae plass ka det ofte væe get å la plottet gå lags de hosotale akse. På egelsk e avet på plottet Bo plot. Bo e det egelske odet fo oks, me det e også avet på statstkee som føst ukte plottet! Eksempel 4 klassedelg av tallmatealet på sde læeoka Fo å kompmee matealet dele v f. eks. klassee (aldesguppee) [8, 0, [0,, 3

14 [, 5, [35, 40, [40, 43. V ha alt 8 klasse. De føste klasse eholde åskull, 8- og 9-ågee. De eldste dee klasse ka magle ae dag på å væe 0, mes de som ettopp ha fylt 0 komme este klasse. Dette makee v ved å uke teget fo åpet tevall tl høye,, de føste klasse og teget fo lukket tevall tl veste, [, de este klasse. De føste klasse ha ede klassegese lk 8 og øve klassegese lk 0. Neste klasse ha ede klassegese lk 0 og øve klassegese lk osv. De føste klasse ha klasseedde 0 8 =. Fo de øvge klassee fe v klasseeddee, 3, 5, 5, 5 og 3 heholdsvs. Klassemdtpuktet fo e klasse e ede klassegese + halve klasseedde fo klasse (elle mddelvede av de to klassegesee). Klassemdtpuktee våt eksempel l hhv. 9,, 3.5, 7.5,, 37.5, 4.5. Nå v skal lage et hstogam fo et klassedelt mateale hvo klasseedde vaee, ka v kke sette av klassefekvesee lags de vetkale akse. V ka f. eks. uke hstogamhøyde h slk at ektaglet som svae tl klasse umme få et aeal som e lk klassefekvese f. Nå klasseedde e, ha v defo f = h. (Samlet aeal av ektaglee hstogammet l da = atall osevasjoe.) Hstogamhøyde fo klasse umme l da: f h= V lage å e fekvestaell fo det klassedelte matealet ovefo med koloe fo å eege gjeomstt og vaas "fo håd". (Lommekalkulatoe g dsse støelsee dekte å osevasjoee e tastet.) V ta også med e koloe fo hstogamhøyde, og dessute e koloe fo kumulatv fekves som skal eyttes seee fodelse med et oksplott. V må selvfølgelg estemme fø v ka fylle ut de to sste koloee. Aldesklasse Klasseedde Fekves f Høyde f h = Kumulatv m f m m f ( m ) fekves F [8, [0, [, [5, [30, [35, [40, Koloesum Med fomlee avstt.3.3 fe v: f m = [å]. I oka sde 3 66 e eeget eksakt ut fa ådataee, tl 3.0 [å]. De elatvt stoe foskjelle skyldes de stoe klasse [, 5) som ha klassemdtpukt lk 3.5, me veste halvpat av klasse ha lagt flee osevasjoe e høye halvpat. Osevasjoee e altså kke jevt fodelt klasse. Vaase l: s = f (m ).73 [å ] 4

15 Stadadavvket l: s [å], som lgge æ okas eksakte ved, 4.56 [å] (sde 6). Mek! Hvs v velge kostat klasseedde, ka v uke atall osevasjoe klasse, f, som hstogamhøyde fo klasse. h Hstogam fo aldesfodelge alde Med fæe aldesguppe e på sde læeoka få hstogammet et glattee foløp. Meda og kvatle V huske at ede kvatl Q, medae Q og øve kvatl Q 3 dele et mateale fe omtet + ( ) 3( ) lke stoe dele. Q, Q og Q 3 e osevasjoee med plassume hhv , 4 og. I 4 våt mateale med = 66 g dette 4.75, 83.5 og 5.5. De kumulatve fekvesee F fekvestaelle fotelle oss at Q lgge [0,, mes Q og Q 3 lgge [, 5. Q e osevasjo umme Tl veste fo klasse [0, ha v 0 osevasjoe. Q l altså osevasjo umme =.75 klasse som omfatte totalt 56 osevasjoe. Hvs v teke oss at osevasjoee e jevt fodelt klasse, må v gå e avstad.75 klasse som e lk økdele 56 av hele klasseedde som he e lk. Avstade l.75. V få Q Fo å komme tl Q må v gå tl osevasjo umme = 7.5 [, 5 som omfatte 55 osevasjoe og ha klasseedde 3. V må altså gå e avstad klasse. V få Q Tlsvaede få v Q Q 3 lgge altså este helt tl høye [, Nå v å skal tege et oksplott fo dette klassedelte matealet, sette v mste osevasjo lk ede klassegese fo laveste klasse, dvs. 8. Tlsvaede sette v støste osevasjo lk øve klassegese fo høyeste klasse, dvs alde

16 Av oksplottet se v at de typske studet ("medastudete") e.4 å (setalmål), og de mdteste 50% av studetee ette alde, lgge mellom 0.8 og 4.7 å. Som spedgsmål uke v kvatledde, som l = 3.9 (å). De est eldste fjedepate av studetee lgge et lege aldestevall e de est ygste fjedepate. Tlsvaede e de eldste fjedepate av studetee spedt ove et mye lege aldestevall e de ygste fjedepate. Fodelge e altså skjev mot høye (stoe vede). De lage hale mot høye e eppe oveaskede. De fleste studete e uge meeske, me oe egye også å studee som godt vokse! Hva e este mål fo lokalseg og spedg eskvede statstkk? V ha ukt paet (, s) elle paet (M, Q B ) tl å ag lokalseg og spedg et tallmateale. Desom tallmatealet e oelude symmetsk udt, e M. Med take på lokalseg e det altså lkegyldg hvlket pa som velges. s og Q B ka vaskelg sammelges som mål fo spedg. Sde alle aalysemetodee seee våt pesum ygge på og s, e det fo et oelude symmetsk tallmateale atulg å velge paet (, s). E demot tallmatealet klat skjevt, ka oe f. eks. veldg stoe vede påvke så stekt at de stoe kke l epesetatv fo matealet. M og Q B = Q 3 Q e demot ouste ved slke eksteme vede fod de edeste og de øveste fjedepate av tallmatealet holdes utefo å kvatlee estemmes. I aldesfodelge ovefo e det atagelg atulg å velge paet (M, Q B ). 6

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) 1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)

Detaljer

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn

Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig BOKMÅL 4. mi 007 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 Tid: 6 time Modul 5 studiepoeg, itet kus Notodde/Posgu Oppgvesettet e på 7 side (ikludet fomelsmlig).

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13

Seminaroppgaver for uke 13 1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge

Detaljer

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,, HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle

Detaljer

(b) Ekmanstrøm: Balanse mellom friksjonskraft og Corioliskraft. der ν er den kinematiske (eddy) viskositeten.

(b) Ekmanstrøm: Balanse mellom friksjonskraft og Corioliskraft. der ν er den kinematiske (eddy) viskositeten. Oppgae 1. Fgu 6.11 læeboka se den nodgående enegfluksen atosfæen ( petawatt esus beddegad på den nodlge halkulen (opp tl 75 gade, ålg dlet. Fguen se også egne plott fo tansente edde, totalt bdag fa edde

Detaljer

Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen

Kombinatorikk. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Multiplikasjonssetningen MAT000V Sasylighetsegig og kombiatoikk Kombiatoikk Odede utvalg med og ute tilbakeleggig Uodede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltekat og biomialkoeffisietee Øulf Boga Matematisk istitutt Uivesitetet

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april) HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG)

Econ 2130 uke 15 (HG) Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette

Detaljer

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Fultet fo teologi, ust og desig Teologise fg Esme i: Diset mtemti Målfom: omål Dto: 8005 Tid: 5 time / l 9-4 tll side il foside: 0 tll ogve: 0 Tilltte hjelemidle: Fohådsgodjet odo Hådholdt lulto som ie

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel som v kaller resposvarabele

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002

Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Elever / privatister Oktober 2002 E K S A M E N LÆRINGSSENTERET Matematikk 3MX AA6524 / AA6526 Eleve / pivatiste Bokmål Eksempeloppgave ette læeplan godkjent juli 2000 Videegående kus II Studieetning fo allmenne, økonomiske og administative

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004

Fugletetraederet. 1 Innledning. 2 Navnsetting. 3 Geometriske begreper. Øistein Gjøvik Høgskolen i Sør-Trøndelag, 2004 Fugletetaeeet Øistein Gjøvik Høgskolen i Sø-Tønelag, 004 Innlening Nå skal vi lage et omlegeme u kanskje ikke ha sett fø. Det e ikke noe mystisk ve selve figuen, men en høe ikke til lant e mest ukte i

Detaljer

Forelesning 3 mandag den 25. august

Forelesning 3 mandag den 25. august Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, revdert aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som v kaller

Detaljer

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk Yushu.@hh.o Forelesg 5 og 6 Itroduksjo tl Bayesask statstkk 1. Itroduksjo Fortsatt atar v har stokastsk varabel X (X ka være stokastsk varabel vektor) kommer fra e fordelg med parametere ( ka være parameter

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven: LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage 2011 maianne@fuedesign.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning

Detaljer

Transistorkonfigurasjoner: Det er tre hovedmåter å plassere en FET/BJT i en arkitektur:

Transistorkonfigurasjoner: Det er tre hovedmåter å plassere en FET/BJT i en arkitektur: /3 0. Fosteke akitektue Nå e tasisto skal bukes til e fosteke, oscillato, filte, seso, etc. så vil det væe behov fo passive elemete som motstade, kodesatoe og spole udt tasistoe. Disse vil søge fo biasig

Detaljer

informasjon GENERELL barnehage

informasjon GENERELL barnehage maianne@futuia.no «Det e at å ha 5 finge på hve hånd og 5 tæ på hve fot. Jeg kunne like gjene hatt 13 elle 30 sammenlagt. Og så ble det tilfeldigvis 20». Inge Hageup banehage Åpningstid Tilvenning av nye

Detaljer

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK

KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK KAPITTEL 6. STØRRELSER OG TALL I GRESK MATEMATIKK Gekee kjete de atulige tallee og de kjete til fohold - dvs det vi i dag vil ofatte som bøke. E guleggede ofatig va at to lijestykke måtte ha et felles

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Løsning øving 9 ( ) ( ) sin ( )

Løsning øving 9 ( ) ( ) sin ( ) nsttutt fo fskk, NTNU Fg SF 4 Elektomgnetsme og MNFFY Elektstet og mgnetsme Høst Løsnng øvng 9 Oppgve Ktesske koodnte: Enhetsvektoen stå nomlt på, som dnne en vnkel med -ksen. Det et t dnne en vnkel med

Detaljer

Forelesning Punktestimering

Forelesning Punktestimering STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,

Detaljer

MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER

MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER Pofesso 5. august 2005 # Aaud Hyllad MATEMATISK KARAKTERISERING AV MANDATFORDELINGSMETODER Iledg I mage lad, deblat Noge, foegå poltse valg som foholdstallsvalg baset på (pat)lste. Nå stemmee e avgtt,

Detaljer

STK1100 våren Konfidensintevaller

STK1100 våren Konfidensintevaller STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem

Detaljer

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell)

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 1 Goodess of ft test ad cotgecy table ( test krysstabell 1.Goodess of ft test ( test Ata at v har et utvalg med observasjoee fra e stokastsk varabel X. Goodess-of-ft

Detaljer

Veileder for prosjektet har vært førsteamanuensis Stein-Erik Fleten. Jeg vil gjerne takke ham for all hjelp og faglig støtte.

Veileder for prosjektet har vært førsteamanuensis Stein-Erik Fleten. Jeg vil gjerne takke ham for all hjelp og faglig støtte. SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig FORORD Dee appote e utabeidet høste 2002 og e e posjektoppgave utabeidet i tilkytig til fodypigsemet føste semeste det 5. ået ved siviligeiøstudiet

Detaljer

Newtons lover i én dimensjon

Newtons lover i én dimensjon Newtons love i én dimensjon 4.01.013 kaft akseleasjon hastighet posisjon YS-MEK 1110 4.01.013 1 Hva e kaft? Vi ha en intuitivt idé om hva kaft e. Vi kan kvantifisee en kaft med elongasjon av en fjæ. Hva

Detaljer

Forelesning Enveis ANOVA

Forelesning Enveis ANOVA STAT111 Statstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg 14 + 15 Eves ANOVA 1. troduksjo a. Z-, t- test Uka 1: tester for forvetgsdfferase to populasjoer (grupper) b. ANOVA (aalyss of varace): tester om det er forskjeller

Detaljer

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005 OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall.

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall. Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr....

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,, der

Detaljer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer

Realavkastning. Investeringsanalyse og inflasjon. Realavkastning av finansinvesteringer Ivesteigsaalyse og iflasjo Nomiell avkastig og ealavkastig Reell låeete (ealete) Realivesteige og iflasjo Kotatstøm i omielle og faste pise Iflasjo og skatt Omløpsmidle og iflasjo Joh-Eik Adeasse 1 Høgskole

Detaljer

Kommentarer til oppgaver;

Kommentarer til oppgaver; Kapittel - Algebra Versjo: 11.09.1 - Rettet feil i 0, 1 og 70 og lagt i litt om GeoGebra-bruk Kommetarer til oppgaver; 0, 05, 10, 13, 15, 5, 9, 37, 5,, 5, 59, 1, 70, 7, 78, 80,81 0 a) Trykkfeil i D-koloe

Detaljer

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012

sosiale behov FASE 2: Haug barnehage 2011-2012 : Hva kjennetegne bana i denne fasen? De voksnes olle Banemøte Påkledning Samlinge Måltid Posjekte Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 «Omsog, oppdagelse og læing i banehagen skal femme

Detaljer

Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver

Chapter 2 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Chpter - Dscrete Mthemtcs d Its pplctos Løsgsforslg på utvlgte oppgver vstt Oppgve Gtt 7 ) E mtrse med rder og koloer er e mtrse Geerelt hr v t e m mtrse er e mtrse med m rder og koloer Uttrykket m klles

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Modellering av høyspentkabler

Modellering av høyspentkabler Modelleig av høyspetkable - i COMSOL Multiphysics H7E Jey Ommedal Flemmig Josefse Posjektappot Modelleig av høyspetkable Høgskole i Østfold HØGSOLEN ØSTFOLD geiøutdaige Postboks 9, Valaskjold Besøk: Tueveie

Detaljer

Forelesning Ordnings observatorer

Forelesning Ordnings observatorer Yushu.L@ub.o Forelesg 6 + 7 Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x )

Detaljer

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 20.05.2009. REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Nyorsk Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Bruk av kjelder: Vedlegg: Framgagsmåte: Rettleiig om vurderiga: 5 timar:

Detaljer

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y

b) 3 MATEMATISKE METODER I 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Repetisjonsoppgaver Bruk av regneregler: 1 Regn ut: e) 0 x ) 4 3 d) 4 x f) 5y MATEMATISKE METODER I Buk av egneegle: Regn ut: a ( ( b 7 c ( 7 y 8 d 8 e f 5y y Regn ut og tekk sammen: a 5a b a b a + b b y + y + + y c t t + 6 ( 6t t + 8 d s+ s + s ( s + s Multiplise ut og odne a (

Detaljer

Gjennomgang eksamensoppgaver ECON 2200

Gjennomgang eksamensoppgaver ECON 2200 Gjeomgag eksamesoppgave ECON 00 Kjell Ae Bekke 6. mai 008 Oppgave 3 V06 a)kuvee edefo tege kuvee fo 0 ha de oppgitte egeskape y.0.5.0 0.5 0.0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 x b)føst, mek desom optimal po tt ved

Detaljer

Nytt Rådhus i Sandnes

Nytt Rådhus i Sandnes Sades vokste fam ved Gadsfode o ha i de siste åee oietet se me o me mot det blå offetlie ommet midt i bye. He e det populæe kultuhuset, et levede båtliv, e uik utsikt o det e fistede å å e tu las vaet

Detaljer

Bortfall av revisorplikt for mindre aksjeselskaper

Bortfall av revisorplikt for mindre aksjeselskaper Notate Documents 72/2012 Ek Fjæl og Avd Rakneud Botfall av evsoplkt fo mnde aksjeselskape Foslag tl evaluengsopplegg Notate 72/2012 Ek Fjæl og Avd Rakneud Botfall av evsoplkt fo mnde aksjeselskape Foslag

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Slik bruker du pakken

Slik bruker du pakken Slik buke du pakken Kompetanseutviklingspakken Lesestategie og leseengasjement Dette e infomasjon til deg/dee som skal lede femdiften i kollegiet. He finne du en ovesikt ove pakkens innhold til hjelp i

Detaljer

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt

Detaljer

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget

Detaljer

Tre klasser kollisjoner (eksempel: kast mot vegg)

Tre klasser kollisjoner (eksempel: kast mot vegg) Kap. 8 Bevegelsesmengde. Kollsjone. assesente. V skal se på: ewtons. lov på ny: Defnsjon bevegelsesmengde Kollsjone: Kaftstøt, mpuls. Impulsloven Elastsk, uelastsk, fullstendg uelastsk assesente (tyngdepunkt)

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 REA3028 Matematikk S2 Eksempel på eksame våre 2015 etter y ordig Ny eksamesordig Del 1: 3 timer (ute hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy

Detaljer

Transistorkonfigurasjoner: Det er tre hovedmåter å plassere en FET/BJT i en arkitektur:

Transistorkonfigurasjoner: Det er tre hovedmåter å plassere en FET/BJT i en arkitektur: 0. Foseke akiekue Nå e asiso skal bukes il e foseke, oscillao, file, seso, ec. så vil de væe behov fo passive elemee som mosade, kodesaoe og spole ud asisoe. Disse vil søge fo biasig slik a asisoe få ikig

Detaljer

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende?

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende? ECON 3 HG a 3 Supplemet tl sste forelesg 3 vår 4 eksempler på test-dskusjoer klusve ltt om p-verder Eksempel - Er gjeomsttshøyde for kver Norge økede? et er velkjet at gjeomsttshøyde for meesker Europa

Detaljer

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1

Ukeoppgaver i BtG207 Statistikk, uke 4 : Binomisk fordeling. 1 Ukeoppgaver i BtG20 Statistikk, uke 4 : Biomisk fordelig. 1 Høgskole i Gjøvik Avdelig for tekologi, økoomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 4 Biomisk fordelig. Oppgave 1 La de stokastiske variable

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

Avdeling for ingeniørutdanning. Ny og utsatt eksamen i Elektronikk

Avdeling for ingeniørutdanning. Ny og utsatt eksamen i Elektronikk www.ho.o dlg fo gøutdag Ny og utatt kam Elktokk ato: 9. augut d: 9- tall d klu fod: 6 kludt dlgg tall oppga: 4 llatt hjlpmdl: ådholdt kalkulato om kk kommu tådløt. Mkad: Kaddat må l kotoll at oppgattt

Detaljer

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra?

Kapittel 9 ALGEBRA. Hva er algebra? Kpttel 9 ALGEBRA Hv er lger? Kpttel 9 ALGEBRA Alger Ekelt k v s t lger er å rege me okstver steet for tll. Når v løser lgger, står okstve (vlgvs for et estemt tll. Når v ruker lger tl å utlee formler eller

Detaljer

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning:

Løsning øving 12 N L. Fra Faradays induksjonslov får vi da en indusert elektromotorisk spenning: nstitutt fo fysikk, NTNU Fg SF 4 Elektognetise og MNFFY 3 Elektisitet og gnetise Høst øsning øving Oppgve Mgnetfeltet inne i solenoiden e : ( H( (N/) ( (dvs fo < R). Utenfo solenoiden: ( > R) Fo å eegne

Detaljer

Lekestativ MaxiSwing

Lekestativ MaxiSwing Moteigsveiledig og vedliehold v31 Leestativ MaxiSig At : 1740 Leestativet e poduset ette følgede stadad og dietiv: EN 71; 2009/48/EU Poduset: IMPREST AS Näituse 25 50409 Tatu Estoia Moteigsveiledig og

Detaljer

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved

8 Eksamens trening. E2 (Kapittel 1) På figuren er det tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved 84 8 Eksamenstening 8 Eksamens tening Uten hjelpemidle E1 (Kapittel 1) Polynomfunksjonen P e gitt ved P ( ) = 7 + 14 8, DP = R. a Det kan vises at alle heltallige løsninge av P() = 0 gå opp i konstantleddet

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre, (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,,, der

Detaljer

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene

S2 kapittel 1 Rekker Løsninger til innlæringsoppgavene Løsiger til ilærigsoppgavee kapittel Rekker Løsiger til ilærigsoppgavee a Vi ser at differase mellom hvert ledd er 4, så vi får det este leddet ved å legge til 4 Det este leddet blir altså 6 + 4 = 0 b

Detaljer

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte.

Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge framgangsmåte. Eksame 20052009 REA3024 Matematikk R2 Nyorsk/Bokmål Bokmål Eksamesiformasjo Eksamestid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgagsmåte: Veiledig om vurderige: 5 timer:

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010

FYSIKK-OLYMPIADEN Andre runde: 4/2 2010 Nosk Fysikklæefoening Nosk Fysisk Selskaps fagguppe fo undevisning FYSIKK-OLYMPIADEN 009 010 Ande unde: / 010 Skiv øvest: Navn, fødselsdato, e-postadesse og skolens navn Vaighet:3 klokketime Hjelpemidle:abell

Detaljer

Øving 8. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt.

Øving 8. Dersom ikke annet er oppgitt, antas det at systemet er i elektrostatisk likevekt. Institutt fo fysikk, NTNU TFY455/FY003: lektisitet og magnetisme Vå 2008 Øving 8 Veiledning: 04.03 i R2 25-400, 05.03 i R2 25-400 Innleveingsfist: Fedag 7. mas kl. 200 (Svatabell på siste side.) Opplysninge:

Detaljer

trygghet FASE 1: barnehage

trygghet FASE 1: barnehage tygghet banehage De voksnes olle Banemøte Leikeguppe Guppeaktivitet Hjemmebesøk Samlinge Måltid Påkledning Uteleik Konfliktløsning Vudeing Haug banehage 2011-2012 tygghet tygghet «Banehagen skal bistå

Detaljer

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2

Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 1 Løsningsfoslag EMC-eksamen 24.5. Oppgave 1 a)1 b)3 c)2 d)3 e)3 f)2 g)3 h)2 i)1 j)2 k)1 l)2 Oppgave 2 a) En geneisk standad e en geneell standad som bukes nå det ikke foeligge en poduktstandad. EN581

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010

Eksamen REA3028 S2, Våren 2010 Eksame REA308 S, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeg) a) Deriver fuksjoee: 1) f x x lx f x x lx x x f

Detaljer

KJM Radiokjemidelen

KJM Radiokjemidelen Patikke i boks - en dimensjon KJM 1060 - Radiokjemideen Foeesning : Skamodeen d ψ m + E ψ 0 dx h n π h En V0 + m ψ n nπ( x + ) sin n 45 de n 1,,,... Sannsynigheten fo å finne patikkeen meom x og x+dx e:

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause)

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause) SVÆRT RUBATO - MYE VISUELLE TEGN: Dee låta har svært lite tydelig tempo Derfor må vi fokusere på å gjøre mye visuelle teg til hveradre I tillegg til visuelle teg (mest av alt felles asatser på lage toer

Detaljer

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier

Veileder for adepter. Bruk mentor - unngå omveier Veilede fo adepte Buk mento - unngå omveie At eg e til, Det veit eg. Eg kjenne pusten min Og eit og anna hjeteslag. Men eg vil noko mei, enn bee å vea, eg vil vea nokon, som bety noko, i det stoe fellesskapet.

Detaljer

Stivt legemers dynamikk

Stivt legemers dynamikk Stvt legemes dnamkk 03.04.017 snubleguppen må avlses mogen, 4.apl. v plane flee snubleguppe / eksamensvekstede ette Påske YS-MEK 1110 03.04.017 1 tanslasjon otasjon tanslasjon otasjon possjon (t) (t) vnkel

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10

2.1 Polynomdivisjon. Oppgave 2.10 . Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + + Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2T kapittel 3 Modellering og bevis Utvalgte løsninger oppgavesamlingen T kapittel 3 Modellerig og bevis Utvalgte løsiger oppgavesamlige 301 a Sitthøyde i 1910 blir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 blir de 177,1 179, 4 178,3. b Med som atall år etter 1900 og y som sitthøyde i cetimeter

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer

Detaljer

Søk nad om utvi delse av fjer nvar meko nsesjon i Hamar i henhold til energ ilove ns 5

Søk nad om utvi delse av fjer nvar meko nsesjon i Hamar i henhold til energ ilove ns 5 Søk nad om utv delse av fje nva meko nsesjon Hama henhold tl eneg love ns 5 Bastad vamesental Hama Ip N E N /HRF FJ FRNL ^ HamaRegonen Fjenvame AS Postboks 4100 2307 Hama Dato: 20070823 HRF AS Sde 2 Søknad

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Vedlegg til eksamensoppgaven i Diskret matematikk

Vedlegg til eksamensoppgaven i Diskret matematikk Vedlegg til esmesogve i Diset mtemti Det som stå he vil væe iholdet i esmesogves vedlegg høste 4 Deiisjoe og omle Logise oetoe: ie, og, elle, eslusiv elle, imlisjo Noe evivlese utsgslogi: P P P P Noe megdeidetitete:

Detaljer

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ).

FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ). OREESNINGSNOTATER I SPITEORI Ger B. Ashem, våre 00 (odatert 000.0.03. 3. STATISKE SPI MED UUSTENDIG INORMASJON (Statske Bayesaske sll Statsk sll: Sllere trekker samtdg. Ufullstedg formasjo: Mst é sllere

Detaljer

R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011

R2 2010/11 - Kapittel 3: 26. oktober 24. november 2011 R / - Kapittel :. oktobe. novembe Plan fo koleået /: Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Kapittel : / /. Pøve på elle koletime ette hvet kapittel. Én heildagpøve i hve temin. En del pøve vil

Detaljer

egenverd FASE 3: barnehage

egenverd FASE 3: barnehage : egenved banehage Hva kjennetegne bana i fase 3? De voksnes olle Banemøte Gadeobe Måltid Samlingsstund Uteleiken Konfliktløsning Posjekt Vudeing Haug banehage 2011-2012 egenved egenved «Banehagen skal

Detaljer

Avdeling for ingeniørutdanning. Eksamen i Diskret matematikk

Avdeling for ingeniørutdanning. Eksamen i Diskret matematikk www.hio.o vdelig fo igeiøutdig Esme i Diset mtemti Dto: 7. deseme Tid: 9 4 tll side ilusive foside: 8 tll ogve: Tilltte hjelemidle: Ku hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst. Med: Kdidte må selv otollee

Detaljer

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R2 Eksamen 04.06.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsigsforslag R2 Eksame 6 Vår 04.06.202 Nebuchadezzar Matematikk.et Øistei Søvik Sammedrag De fleste forlagee som gir ut lærebøker til de videregåede skole, gir ut løsigsforslag til tidligere gitte eksameer.

Detaljer

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene.

Del1. b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Finnleddnummer20 ogsummenavde20førsteleddene. Del1 Oppgave 1 a) Deriver fuksjoee: 1) fx ( ) x 2 1 x 2 1 2) g x x 2 2 e x b) 1) Gittrekka 2 4 6 8 Fileddummer20 ogsummeavde20førsteleddee. 1 1 2) Gitt de uedelige rekka 2 1 2 4 Avgjør om rekka kovergerer.

Detaljer