Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag

Transkript

1 Fultet o teologi, ust og desig Teologise g Esme i: Diset mtemti Målom: omål Dto: 8.. Tid: 5 time / l. 9-4 tll side il. oside: 9 tll ogve: Tilltte hjelemidle: Hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst Med: Kdidte må selv otollee t ogvesettet e ullstedig. Ved evetuelle ulhete i ogveteste sl du edegjøe o de outsetige du legge til gu o løsige. esvelse sl mees med didtumme, ie v. u lå elle sot ulee å iøigset. Fglig veilede: Ul Uttesud Uteidet v glæe: Ul Uttesud Kotollet v e v disse: e læe Seso Istituttlede/ Pogmoodito Roy Istd Istituttledes/ Pogmooditos udesit: Emeode: FO9 FO9I

2 lle de ogvee telle lit. I ogve med udeute vil evede og me omttede udeute ue telle me e lette og ele udeute. Det e ie sli t lette ogve omme øst og vselige til slutt. u deo ie o mye tid å e ogve du ie å til. Pøv istede e y ogve. lle sv sl egues! Det o esemel sje ved t du t med mellomegige elle gi de ome o gumetsjo. Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst. Ogve L utsgee og væe gitt ved : Det ege og : Det låse. Siv lg. utsg ved hjel v, og logise oetoe os: oholdsvæ ety t det ie ege og vidstille ety t det ie låse: i Det ege, me det låse ie. ii Det e oholdsvæ og vidstille. iii Hvis det låse, så ege det ie. iv Det ege e hvis det ie låse. E utsgee iii og iv i ut evivlete? c L, og væe utsg. vgjø om utsgee og e evivlete. Ogve L, og væe vilålige megde. vgjø om megdee og e lie. vgjø om megdee og e lie. c Lg e megdeomel, ved hjel v megdee, og og megdeoetoe, som sve til det gå omådet i lg. Ve-digm:

3 Ogve 3 Gitt de logise oolse mtise. L oolse mtiseodutet v med seg selv. væe det logise Vis t. Fi. c Fi. 3 d Fi. Ogve 4 Fi tllet å desiml om. Fi tllet å otl om. c Fi tllet å hesdesiml om. d Fi tllet 85å iæ om. e Gitt tllet FFF6. Fi å hesdesiml om. Ogve 5 Gitt dieesligige 3,,, Fi og 3. Fi e omel o. c Fi 8.. Ogve Reg ut iomiloeisietee og. 3 Fi summe c Fi summe d Vis ved idusjo t 6 gå o i 3 o lle 5.

4 Ogve 7 Et ssod til et dtsystem sl ieholde øytig 8 teg. Lovlige teg e de 6 ostvee Z og de ti siee 9. I de lg. utee holde det å sette o e omel som sv. De este tllsvee li gse stoe og du tege ie å ege dem ut. Et ssod sl stte og slutte med e ostv. Hvo mge osjellige ssod v dee tye ies det? Hvo mge osjellige ssod e det som oylle vet i og som h lie mge ostve som sie? c Hvo mge osjellige ssod e det som oylle vet i og som h lee ostve e sie? Ogve 8 L væe megde v de ie-egtive hele tllee, dvs. {,,,3,....}. L usjoee : og g : væe deiet ved mod og g div o. Fi og g o, 3 og 33. Hv li vedimegdee til og g? c E e-til-e? E g e-til-e? E å? E g å? Ogve 9 L {,, c} og R elsjoe å gitt ved R {,,, c, c, }. Teg geg R til R. Sett o mtise M R til R. c T utggsut i R sli de e gitt i stte. Hvile må ts med i tillegg o å å e elesiv elsjo? d T utggsut i R sli de e gitt i stte. Hvile må ts med i tillegg o å å e symmetis elsjo? e T utggsut i R sli de e gitt i stte. Hvile må ts med i tillegg o å å e tsitiv elsjo?

5 Ogve Figue ove vise ommee i et hus. Det e ie om med v,, og D. I hvet om e det et tll døe met å igue med åige. Fo esemel e det ie døe i om. De døee som gå ut til E lles yttedøe og de som gå mellom to om lles iedøe. L hvet v ommee,,, D og utedøs E væe ute i e g med døee som te mellom utee. Teg ge. Sett o gde til hvet v de em utee i ge. c Det e umulig å stte i et v ommee elle evetuelt utedøs og så gå gjeom hve dø øytig é gg. Hvoo? d E det mulig å stte i et v ommee elle evetuelt utedøs og så gå gjeom hve dø øytig é gg hvis det settes i e est yttedø? Hvo måtte de i så ll settes i?

6 Deiisjoe og omle Noe evivlese utsgslogi: x P x x xp x P x x xp Noe megdeidetitete: Kdilitet tllet elemete i e uio: Fusjoe: I usjoe : ety deiisjosmegde og vediomåde. E usjo : e e-til-e hvis, og, medøe t. E usjo : e å hvis sli t. Mtise L væe e m -mtise. De tsoete til eteges med T og e de m - mtise vi å å dee og oloee i yttes om. Heltllsdivisjo divisjoslgoitme, div og mod: L væe et heltll og d et ositivt heltll. D ies etydige heltll og med d sli t d. Oesjoee div og mod deiees ved t div d og d mod.

7 Moduloegig: L m væe et ositivt heltll. To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå o i og det eteges med mod m. Ree: Geometis ee:, itmetis ee: Summe v øste og siste ledd gget med tll ledd, delt med. iomiloeisiete:!!!!,,,,, iomilteoemet: tll osjellige utvlg å stye e smlig å stye: Odet ute tileleggig: Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «igeohole»-isiet: Hvis N ojete sl lssees i ose, må mist é os ieholde mist N ojete.

8 Dieesligige: De geeelle lieæe homogee dieesligige v ode med ostte oeisiete e å ome c c de c og c e ostte. Ligiges teistise olyom e gitt ved: c c. Hvis det teistise olyomet h to osjellige eelle løsige og, li geeell løsig li de og e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee og e gitt, ie e og ved å løse et ligigssystem. Hvis det teistise olyomet h u é løsig, li geeell løsig li de og e vilålige ostte. Hvis sttetigelsee og e gitt, ie e og ved å løse et ligigssystem. Relsjoe: E elsjo R å e megde e e delmegde v odutmegde. L R væe e elsjo å e megde. R e elesiv hvis, R o lle. R e symmetis hvis, R, så e, R. R e tisymmetis hvis og, R, så e, R. R e tsitiv hvis, R og, c R, så e, c R. E tisjo E smlig delmegde,, 3,..., v e megde utgjø e tisjo v hvis 3... og Ø o lle i j. i j

9 Evivleselsjoe E elsjo R å e megde e e evivleselsjo hvis de e elesiv, symmetis og tsitiv. Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo å e megde og, så e evivleslsse [] til deiet ved [ ] {, R}. Elle med od: [] e li megde v de som e eltet til. Evivleslssee til e elsjo utgjø e tisjo v. Delvis- elle tiell odig E elsjo R e e delvis odig hvis de e elesiv, tisymmetis og tsitiv. Gteoi: Gde til et ut. L væe et ut eg: vetex i e uettet g. Gde gd til e tllet te yttet til utet. Gd-t-setige: L G væe e uettet g med edelig mge te. D vil summe v gdee til utee i G væe doelt så sto som tllet te. Eules setig: E smmehegede uettet g med mist to ute h e luet Eule-vei e Eule-syel hvis og e hvis lle utee i ge h tllsgd. E smmehegede uettet g h e åe ie-luet Eule-vei hvis og e hvis øytig to ute i ge h oddetllsgd.