Avdeling for ingeniørutdanning. Eksamen i Diskret matematikk

Transkript

1 wwwhioo Avdelig fo igeiøutdig Esme i Diset mtemti Dto: feu Tid: 9 4 Atll side ilusive foside: 8 Atll oppgve: Tilltte hjelpemidle: Ku hådholdt lulto som ie ommuisee tådløst Med: Kdidte må selv otollee t oppgvesettet e fullstedig Ved evetuelle ulhete i oppgveteste sl du edegjøe fo de foutsetige du legge til gu fo løsige Fglig veilede: Ulf Uttesud Uteidet v (fglæe): Ulf Uttesud Kotollet v (e v disse): Ae læe Seso Studielede/ Fgoodito Studieledes/ Fgooditos udesift: Emeode: FO9A FO9I

2 Alle de oppgvee telle lit Det e ie sli t lette oppgve omme føst og vselige til slutt Bu defo ie fo mye tid på e oppgve du ie få til Pøv istede e y oppgve Alle sv sl egues! Det fo esempel sje ved t du t med mellomegige elle gi de fome fo gumetsjo Ku et sv ute oe eguelse e omlt vediløst Oppgve ) L utsgsfusjoe P ( x, y) væe defiet ved setige «x e gld i y» de x og y e pesoe Siv følgede utsg ved hjelp v logise opetoe (eg: coectives), vtoe og utsgsfusjoe P : i) Alle e gld i Ki ii) Ige e gld i Pe ii) Ie lle e gld i oe ) L p og q væe utsg Avgjø om utsgee ( p q) ( q p) og p q e evivlete Opetoe stå fo eslusiv elle c) Sett opp et smmestt utsg de p og q igå sli t utsget li e selvmotsigelse, dvs t det lltid e ust Oppgve L A og B væe to megde Megde A B lles de eslusive uioe (elle de symmetise diffeese) til A og B De e defiet ved A B ( A B) ( B A) ) L A, B og C væe gitt ved A {,,3,7}, B {,3, 4,5} og C {3,5,6,7} Fi megdee A B og ( A B) C ) L A, B og C væe vilålige megde Teg Ve-digm og své megdee A B og ( A B) C c) Utty ved hjelp A, B, C og megdeopesjoe de megde som sve til det svete omådet i flg Ve-digm:

3 3 Oppgve 3 Hvis e et heltll og d et positivt heltll, e div d og mod d heholdsvis li votiete og este å deles med d L A væe de tulige tllee L fusjoe f : A A væe defiet ved f () ( div 3) ( div 5) ) Fi div 3 og mod 3 ) Fi f () fo, 5, og c) E f e-til-e? Begu svet! d) Fi vedimegde V f til f E f på? Begu svet! Oppgve 4 Flg -mtise e gitt: A og B 3 3 ) Fi A B og A B ) Fi mtisepodutee A B og B A Oppgve 5 Gitt diffeesligige, >, 3, 5 3 ) Fi og 3 ) Fi e fomel fo c) Fi d) L s væe summe v de føste leddee, dvs s Fi e fomel fo s e) Fi s 4 og s Oppgve 6 Gitt heltllee 5 og ) Sett opp pimtllsftoiseige v og og u så det til å fie støste felles diviso (eg: getest commo diviso) fo og ) Fi miste felles multiplum (eg: lest commo multiple) fo og c) Fi støste felles diviso fo og ved hjelp v Eulids lgoitme Siv opp mellomegige

4 4 Oppgve 7 ) Fi tllet 7 på iæ fom og på otl fom ) Fi tllet på desiml fom og på hesdesiml fom c) Fi tllet 7 på petml fom, dvs i tllsystemet med 5 som gutll Oppgve 8 E piode til et dtsystem sl ieholde øytig fem desimle siffe Piode ie h som føste siffe Fo esempel e 345 og 79 lovlige piode, mes 34 e ulovlig ) Hvo mge lovlige piode e det? ) Hvo mge lovlige piode e det de lle de fem sifee e ulie? c) Hvo mge lovlige piode e det som ieholde siffeet 5 øytig te gge? Fo esempel e piode et slit tilfelle d) Hvo mge lovlige piode e det som ie h te elle flee lie siffe? Oppgve 9 L A {,, 3, 4} og R elsjoe på A gitt ved t (, ) R hvis og e hvis e et ptll Det ety fo esempel t (,3) R side 3 4 e et ptll, mes ( 4,3) R side e et oddetll ) Sett opp lle tllpee i elsjoe R ) Sett opp gfe G R til R c) Sett opp mtise M R til R d) R e e evivleselsjo Hvofo? Begu svet! e) Sett opp evivleslssee til R Oppgve Gfe ude lles «Muhmmeds sved» ) Siv opp gde til hvet v putee ) Gfe h e luet Eule-vei Hvofo? Begu svet! c) Fi e luet Eule-vei, dvs sett opp putee som utgjø veie

5 5 Defiisjoe og fomele Noe evivlese f utsgslogi: p ( q ) ( p q) ( p ) p ( q ) ( p q) ( p ) ( p q) p q ( p q) p q p q p q p q q p xp ( x) x P( x) xp ( x) x P( x) Noe megdeidetitete: A ( B C) ( A B) ( A C) A ( B C) ( A B) ( A C) A B A B A B A B Kdilitet tllet elemete i e uio: A B A B A B A B C A B C A B A C B C A B C Fusjoe: I fusjoe f : A B ety A defiisjosmegde og B vediomåde E fusjo f : A B e e-til-e hvis, A og, medføe t f ( ) f ( ) E fusjo f : A B e på hvis ( B) ( A) sli t f ( ) Heltllsdivisjo (divisjoslgoitme), div og mod: L væe et heltll og d et positivt heltll D fies etydige heltll q og med < d sli t dq He lles q votiete og este Opesjoee div og mod defiees ved t div d q og mod d Moduloegig: L m væe et positivt heltll To heltll og lles oguete modulo m hvis m gå opp i og det eteges med (mod m) Ree: Geometis ee:, Aitmetis ee: Summe v føste og siste ledd gget med tll ledd, delt med

6 6 Biomiloeffisiete:! ) ( ) ( )!!(!,,,,, Biomilteoemet: ) ( Atll fosjellige utvlg på stye f e smlig på stye: Odet ute tileleggig: ) ( ) ( Uodet ute tileleggig: Odet med tileleggig: Uodet med tileleggig: Det geeelle «pigeohole»-pisippet: Hvis N ojete sl plssees i ose, må mist é os ieholde mist N ojete Diffeesligige: De geeelle lieæe homogee diffeesligige v ode med ostte oeffisiete e på fome c c de c og c e ostte Ligiges teistise polyom e gitt ved: c c

7 7 Hvis det teistise polyomet h to fosjellige eelle løsige og, li geeell løsig li α de α og β e vilålige ostte Hvis β sttetigelsee og e gitt, fie e α og β ved å løse et ligigssystem Hvis det teistise polyomet h u é løsig, li geeell løsig li α β de α og β e vilålige ostte Hvis sttetigelsee og e gitt, fie e α og β ved å løse et ligigssystem Relsjoe: E elsjo R på e megde A e e delmegde v podutmegde A A L R væe e elsjo på e megde A R e eflesiv hvis (, ) R fo lle A R e symmetis hvis (, ) R, så e (, ) R R e tisymmetis hvis og (, ) R, så e (, ) R R e tsitiv hvis (, ) R og (, c) R, så e (, c) R E ptisjo E smlig delmegde A, A, A 3,, A v e megde A utgjø e ptisjo v A hvis A A A A 3 A og A i A j Ø fo lle i j Evivleselsjoe E elsjo R på e megde A e e evivleselsjo hvis de e eflesiv, symmetis og tsitiv Evivleslsse Hvis R e e evivleselsjo på e megde A og A, så e evivleslsse [] til defiet ved [ ] { A (, ) R} Elle med od: [] e li megde v de A som e eltet til Evivleslssee til e elsjo utgjø e ptisjo v A Delvis- elle ptiell odig E elsjo R e e delvis odig hvis de e eflesiv, tisymmetis og tsitiv

8 8 Gfteoi: Gde til et put i e uettet gf e tllet te yttet til putet Eules setig: E smmehegede uettet gf med mist to pute h e luet Eule-vei (e Eule-syel) hvis og e hvis lle putee i gfe h ptllsgd E smmehegede uettet gf h e åpe (ie-luet) Eule-vei hvis og e hvis øytig to pute i gfe h oddetllsgd