Øvingsforelesning 12 Maks flyt

Transkript

1 Øvingsforelesning 12 Maks flyt Ole Kristian Pedersen 9. november 2018

2 ]

3 Plan for dagen Maksimal flyt og minimale snitt Maksimal bipartitt matching Tidligere eksamensoppgaver Introduksjon øving 12

4 Hva er maks flyt-problemet? Ønsker å finne ut hvor mange flytenheter vi maksimalt kan sende fra en node i et nettverk (kilden) til et annet sted i et nettverk (sluket).

5 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant.

6 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant. Flyt: f (u, v) hvor mange enheter som faktisk går over en kant.

7 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant. Flyt: f (u, v) hvor mange enheter som faktisk går over en kant. Vi kan ikke sende mer flyt en det er kapasitet til: 0 f (u, v) c(u, v) for alle u, v V

8 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant. Flyt: f (u, v) hvor mange enheter som faktisk går over en kant. Vi kan ikke sende mer flyt en det er kapasitet til: 0 f (u, v) c(u, v) for alle u, v V Vi må sende like mye flyt ut, som det kommer inn i en node: v V f (u, v) = v V f (v, u) for alle u V \{s, t}

9 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant. Flyt: f (u, v) hvor mange enheter som faktisk går over en kant. Vi kan ikke sende mer flyt en det er kapasitet til: 0 f (u, v) c(u, v) for alle u, v V Vi må sende like mye flyt ut, som det kommer inn i en node: v V f (u, v) = v V f (v, u) for alle u V \{s, t} Residualkapasitet: c f (u, v) resteflyt ; hvor mye mer kan vi sende over en kant. c f (u, v) = c(u, v) f (u, v)

10 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant. Flyt: f (u, v) hvor mange enheter som faktisk går over en kant. Vi kan ikke sende mer flyt en det er kapasitet til: 0 f (u, v) c(u, v) for alle u, v V Vi må sende like mye flyt ut, som det kommer inn i en node: v V f (u, v) = v V f (v, u) for alle u V \{s, t} Residualkapasitet: c f (u, v) resteflyt ; hvor mye mer kan vi sende over en kant. c f (u, v) = c(u, v) f (u, v) Flytforøkende sti: Sti fra s til t der det er mulig å sende mer flyt.

11 Maks flyt: Definisjoner (Cormen) Kapasitet: c(u, v) hvor mange enheter som kan gå over en kant. Flyt: f (u, v) hvor mange enheter som faktisk går over en kant. Vi kan ikke sende mer flyt en det er kapasitet til: 0 f (u, v) c(u, v) for alle u, v V Vi må sende like mye flyt ut, som det kommer inn i en node: v V f (u, v) = v V f (v, u) for alle u V \{s, t} Residualkapasitet: c f (u, v) resteflyt ; hvor mye mer kan vi sende over en kant. c f (u, v) = c(u, v) f (u, v) Flytforøkende sti: Sti fra s til t der det er mulig å sende mer flyt. Maksimal flyt: Det største antallet enheter som kan sendes fra s til t.

12 Ford-Fulkersons metode Algoritme: Så lenge du finner en flytforøkende sti, p: Send flyt f langs p.

13 Ford-Fulkersons metode Algoritme: Så lenge du finner en flytforøkende sti, p: Send flyt f langs p. Oppheving av flyt:

14 Ford-Fulkersons metode Algoritme: Så lenge du finner en flytforøkende sti, p: Send flyt f langs p. Oppheving av flyt: Hvis vi vi har en flyt f fra u til v, har vi en residualkapasitet av tilsvarende størrelse motsatt vei.

15 Ford-Fulkersons metode Algoritme: Så lenge du finner en flytforøkende sti, p: Send flyt f langs p. Oppheving av flyt: Hvis vi vi har en flyt f fra u til v, har vi en residualkapasitet av tilsvarende størrelse motsatt vei. Dvs. c f (v, u) = f (u, v).

16 Ford-Fulkersons metode Algoritme: Så lenge du finner en flytforøkende sti, p: Send flyt f langs p. Oppheving av flyt: Hvis vi vi har en flyt f fra u til v, har vi en residualkapasitet av tilsvarende størrelse motsatt vei. Dvs. c f (v, u) = f (u, v). Dette betyr at vi kan sende flyt motsatt vei over en kant, for å oppheve flyten!

17 Ford-Fulkersons metode Algoritme: Så lenge du finner en flytforøkende sti, p: Send flyt f langs p. Oppheving av flyt: Hvis vi vi har en flyt f fra u til v, har vi en residualkapasitet av tilsvarende størrelse motsatt vei. Dvs. c f (v, u) = f (u, v). Dette betyr at vi kan sende flyt motsatt vei over en kant, for å oppheve flyten! Kjøretid: O(E f ) f er den maksimale størrelsen på flyten.

18 Edmonds-Karp Algoritme: Som Ford-Fulkerson, men bruker BFS for å finne flytforøkende stier. BFS sørger for at vi velger stien med færrest kanter.

19 Edmonds-Karp Algoritme: Som Ford-Fulkerson, men bruker BFS for å finne flytforøkende stier. BFS sørger for at vi velger stien med færrest kanter. Kjøretid: O(VE 2 )

20 Superkilder og supersluker Hva om vi har flere kilder og/eller flere sluker?

21 Superkilder og supersluker Hva om vi har flere kilder og/eller flere sluker? 1. Koble alle kildene s i til en superkilde S.

22 Superkilder og supersluker Hva om vi har flere kilder og/eller flere sluker? 1. Koble alle kildene s i til en superkilde S. 2. Koble alle slukene t i til en supersluk T.

23 Superkilder og supersluker Hva om vi har flere kilder og/eller flere sluker? 1. Koble alle kildene s i til en superkilde S. 2. Koble alle slukene t i til en supersluk T. 3. Finn maks flyt fra S til T.

24 Superkilder og supersluker Hva om vi har flere kilder og/eller flere sluker? 1. Koble alle kildene s i til en superkilde S. 2. Koble alle slukene t i til en supersluk T. 3. Finn maks flyt fra S til T. Kapasiteten til de nye kantene (S s i / t i T ) varierer, men ofte.

25 Minimalt snitt Maks flyt begrenses av det smaleste stedet i grafen.

26 Minimalt snitt Maks flyt begrenses av det smaleste stedet i grafen. Snitt: Ett snitt, (S, T ), deler nodene, V, i et flytnettverk inn i to delmengder, S og T, slik at s S og t T og T = V \S.

27 Minimalt snitt Maks flyt begrenses av det smaleste stedet i grafen. Snitt: Ett snitt, (S, T ), deler nodene, V, i et flytnettverk inn i to delmengder, S og T, slik at s S og t T og T = V \S. Kapasiteten til et snitt: c(u, v) for alle kanter som går fra en node u S til en node v S.

28 Minimalt snitt Maks flyt begrenses av det smaleste stedet i grafen. Snitt: Ett snitt, (S, T ), deler nodene, V, i et flytnettverk inn i to delmengder, S og T, slik at s S og t T og T = V \S. Kapasiteten til et snitt: c(u, v) for alle kanter som går fra en node u S til en node v S. Minimalt snitt: Det snittet som har minst total kapasitet.

29 Minimalt snitt Maks flyt begrenses av det smaleste stedet i grafen. Snitt: Ett snitt, (S, T ), deler nodene, V, i et flytnettverk inn i to delmengder, S og T, slik at s S og t T og T = V \S. Kapasiteten til et snitt: c(u, v) for alle kanter som går fra en node u S til en node v S. Minimalt snitt: Det snittet som har minst total kapasitet. Max-flow min-cut theorem: Sier at den maksimale flyten er lik kapasiteten til det minimale snittet i et flytnettverk.

30 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at:

31 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at: Alle kantene går fra L til R, og ikke L til L eller R til R.

32 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at: Alle kantene går fra L til R, og ikke L til L eller R til R. L og R ikke overlapper.

33 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at: Alle kantene går fra L til R, og ikke L til L eller R til R. L og R ikke overlapper. Vi ønsker å finne en maksimal delmengde av kantene, slik at ingen node har mer enn en tilknyttet kant fra delmengden.

34 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at: Alle kantene går fra L til R, og ikke L til L eller R til R. L og R ikke overlapper. Vi ønsker å finne en maksimal delmengde av kantene, slik at ingen node har mer enn en tilknyttet kant fra delmengden. Dette kan vi løse med maks flyt!

35 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at: Alle kantene går fra L til R, og ikke L til L eller R til R. L og R ikke overlapper. Vi ønsker å finne en maksimal delmengde av kantene, slik at ingen node har mer enn en tilknyttet kant fra delmengden. Dette kan vi løse med maks flyt! 1. Koble nodene i L til en superkilde, og nodene i R til en supersluk.

36 Maksimal bipartitt matching Gitt en graf, der nodene kan deles i to delmengder, L og R, slik at: Alle kantene går fra L til R, og ikke L til L eller R til R. L og R ikke overlapper. Vi ønsker å finne en maksimal delmengde av kantene, slik at ingen node har mer enn en tilknyttet kant fra delmengden. Dette kan vi løse med maks flyt! 1. Koble nodene i L til en superkilde, og nodene i R til en supersluk. 2. Finn maks flyt!

37 Eksamensoppgave Du har oppgitt et flytnettverk med en tilhørende flyt (dvs., en flytfunksjon ikke bare flytverdien). Beskriv kort en algoritme for å avgjøre om flyten er maksimal. Hva blir kjøretiden?

38 Eksamensoppgave Du har oppgitt et flytnettverk med en tilhørende flyt (dvs., en flytfunksjon ikke bare flytverdien). Beskriv kort en algoritme for å avgjøre om flyten er maksimal. Hva blir kjøretiden? Svar: Let etter en augmenting path (en iterasjon av Ford-Fulkerson). Om du finner en er flyten ikke optimal; eller er den det. Kjøretid Θ(E + V ) med DFS, BFS, e.l..

39 Eksamensoppgave I en urettet graf, gitt tre noder u, v og w, skal du avgjøre om et finnes en sti fra u til w som går via v. Beskriv kort en algoritme som løser problemet.

40 Eksamensoppgave I en urettet graf, gitt tre noder u, v og w, skal du avgjøre om et finnes en sti fra u til w som går via v. Beskriv kort en algoritme som løser problemet. Svar: Bruk flyt med kapasitet 1, v som kilde og u og w koblet til et nytt sluk. Får vi flyt 2 finnes en slik sti.

41 Spørsmål?

42 Introduksjon øving 12