LO118D Forelesning 9 (DM)

Transkript

1 LO118D Forelesning 9 (DM) Grafteori

2 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn

3 Graf, urettet Definisjon En graf (eller urettet graf) G består av en mengde V med noder og en mengde E med kanter slik at hver kant e E er tilordnet et uordnet par med noder. Hvis det er en unik kant e tilordnet nodene v og w, kan vi skrive e = (v, w) eller e = (w, v). (Merk at det her er snakk kanter i en urettet graf, ikke ordnede par).

4 Graf, rettet Definisjon En rettet graf G består av en mengde V med noder og en mengde E med kanter slik at hver kant e E er tilordnet et ordnet par (v, w) med noder. Hvis det er en unik kant e tilordnet det ordnede paret (v, w) med noder, skriver vi e = (v, w), som indikerer en kant fra v til w.

5 Noder og kanter Definisjon En kant e i en graf (rettet eller urettet) som er tilordnet nodene v og w sies å være insident på v og w. Nodene v og w sies å være insident på kanten e. Nodene v og w kalles nabonoder.

6 Graf Definisjon Hvis G er en graf (rettet eller urettet) med noder V og kanter E, skriver vi G = (V, E). Mengdene V og E antas å være endelige og V antas å ikke være tom.

7 Parallelle kanter og løkker Det kan være flere kanter tilordnet et par med noder, slike kanter kalles parallelle kanter. Det kan være en kant fra en node til samme node, en slik kant kalles en løkke. En graf som verken har parallelle kanter eller løkker kalles en enkel graf.

8 Vektet graf Det går an å tilordne vekter til kantene i en graf. Slike grafer kalles vektede grafer.

9 Hyperkube En hyperkube, eller n-kube, er en graf med noder som representerer de 2 n bit-strengene av lengde n. To noder er nabonoder hvis og bare hvis bit-strengene de representerer er forskjellige i akkurat én bit-posisjon.

10 Komplett graf Definisjon En komplett graf på n noder, K n, er en enkel graf med n noder der det er en kant mellom hvert par av distinkte noder.

11 Todelt graf Definisjon En graf G = (V, E) er todelt hvis det eksisterer delmengder V 1 og V 2 av V slik at V 1 V 2 =, V 1 V 2 = V, og hver kant i E er insident på en node i V 1 og en node i V 2.

12 Komplett, todelt graf Definisjon En komplett, todelt graf på m og n noder, K m,n, er en enkel graf der mengden med noder er partisjonert i delmengdene V 1 med m noder og V 2 med n noder, og mengden av kanter består av kanter på formen (v 1, v 2 ) der v 1 V 1 og v 2 V 2.

13 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn

14 Vei Definisjon La v 0 og v n være noder i en graf. En vei fra v 0 til v n av lengde n er en alternerende følge med n + 1 noder og n kanter med v 0 først og v n til slutt, (v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n 1, e n, v n ), der kant e i er insident på nodene v i 1 og v i for i = 1,..., n.

15 Sammenhengende graf Definisjon En graf G er sammenhengende hvis det finnes en vei mellom nodene v og w for alle noder v og w i G.

16 Delgraf Definisjon La G = (V, E) være en graf. Vi kaller (V, E ) en delgraf av G hvis 1 V V og E E. 2 For alle kanter e E, hvis e er insident på v og w, så er v, w V.

17 Komponent Definisjon La G være en graf og v være en node i G. Delgrafen G av G som består av alle noder og kanter i en vei som begynner i v kalles komponenten av G som inneholder v.

18 Veier og sykler Definisjon La v og w være noder i en graf G. En enkel vei fra v til w er en vei fra v til w der ingen noder besøkes flere ganger. En sykel (krets, rundtur) er en vei med lengde > 0 fra v til v der ingen kanter besøkes flere ganger. En enkel sykel er en sykel fra v til v der ingen noder besøkes flere ganger med unntak av start- og sluttnoden.

19 Euler-sykel En spesiell type sykel kalles Euler-sykel. En Euler-sykel er en enkel sykel som inneholder alle kanter i en graf. I en graf som består av én node v og ingen kanter definerer vi veien (v) som en Euler-sykel.

20 Noders grad En node v har grad δ(v). Graden til en node er antallet kanter som er insident på noden. En løkke bidrar med 2 til graden av en node.

21 Teorem Teorem og Hvis en graf G har en Euler-sykel, så er G sammenkoblet og alle nodene har like grad (partall). Hvis G er en sammenkoblet graf og alle nodene har like grad, så har G en Euler-sykel.

22 Teorem Teorem If G er en graf med m kanter og nodene {v 1,..., v n }, så er n δ(v i ) = 2m. i=1 Spesielt, så er summen av gradene til alle nodene like (partall).

23 Korollar Korollar I enhver graf er det et like antall noder av odde grad.

24 Teorem Teorem En graf har en vei fra v til w (v w) der ingen kanter besøkes flere ganger, der alle noder og kanter i grafen er med i veien, hvis og bare hvis grafen er sammenkoblet og v og w er de eneste nodene av odde grad.

25 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn

26 Hamilton-sykel En sykel som besøker alle nodene i en graf kun én gang, med unntak av start-/sluttnoden, kalles en Hamilton-sykel.

27 Omreisende handelsmann Problemet med omreisende handelsmenn er å finne en minimal Hamilton-sykel i en vektet graf.

28 Gray-koder En n-kube har en Hamilton-sykel hvis og bare hvis n 2 og det finnes en følge, s 1, s 2,..., s 2 n hvor hver s i er en bit-streng av lengde n, som oppfyller Hver bit-streng av lengde n finnes i følgen. s i og s i+1 er forskjellige i akkurat én bit-posisjon, i = 1,..., 2 n 1. s 2 n og s 1 er forskjellige i akkurat én bit-posisjon. Denne følgen kalles en Gray-kode.

29 Korollar Korollar n-kuben har en Hamilton-sykel for alle positive, heltallige n 2.

30 Neste gang Mer grafteori.