Alle mot alle. Åttende forelesning. (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder.

Transkript

1 Enkel alle-til-allealgoritme: Kjør Dijkstra (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder. Kan fungere for spinkle grafer blir dyrt ellers. Alle mot alle Åttende forelesning 1

2 Dijkstra fra alle noder: Θ(VE lg V), Θ(V 3 lg V) (Kan gjøres i Θ(V 3 )) Floyd-Warshall: Θ(V 3 ) Antar ikke noe om positive kanter 2

3 DP kort oppsummert: Løsningsmetode der vi bygger løsninger fra optimale delløsninger. Utregningene av disse overlapper, så vi mellomlagrer delløsninger for å unngå eksponensiell kjøretid. Mer om dette siden. Litt DP 3

4 4

5 5

6 1. Karakteriser strukturen til en optimal løsning. Og egentlig 2. Definér verdien til en optimal løsning rekursivt. 4. Beregne løsningen som ga den optimale verdien. 3. Beregn den optimale verdien «bottom-up», og ta vare på del-løsninger. Mer om dette siden. Eksempel struktur definisjon beregning Eksempel: Lengste stigende subsekvens med maks-sprang k. 6

7 DAG-SP igjen Strukturen til en optimal løsning: Gitt av trekantulikheten Rekursiv definisjon av optimal verdi: Rekursivt definert vha. forgjengere «Bottom-up»-beregning: Relax fra alle forgjengere, f.v. t.h. 7

8 Vi må av og til «lage» en struktur/ dekomponering og det er tilfellet for dagens algoritmer. Hoved-ideene bak algoritmene er nettopp disse dekomponeringene i «kunstige delproblemer». Vi kunne ha tenkt: 1. Finn korteste vei fra A til B, 2. fra A til C, etc. I stedet tenker vi: Finn alle korteste veier *av en begrenset type*, og så slakker vi gradvis begrensningen, til vi har et svar. Dekomponering 8

9 ! 9

10 Dekomponering Eksempel på hvordan man kan dekomponere. (Metoden diskuteres i detalj i Cormen baserer seg på matriseprodukt. Her bare brukt som et eksempel.) Delproblem med parameter m: Finn alle korteste veier som maksimalt kan inneholde m kanter. Ved å øke m til n finner vi til slutt det endelige resultatet. Nøkkelen blir å få til dette trinn for trinn og for å få til det snur vi det etter hvert på hodet (med en rekursiv definisjon). Maks m kanter 10

11 Dekomponering Kanskje hakket mindre naturlig: Delproblem med parameter k: Finn alle korteste stier som kun har lov til å gå *via* nodene v1 vk. Ved å øke k til n finner vi det endelige svaret. Også her må vi til med en rekursiv definisjon for å kunne bygge oss opp, trinn for trinn. Kun via v1 vk 11

12 Én rekursiv dekomponering gir oss en algoritme som ligner på algoritmen for matriseprodukt. Korteste vei og matriseprodukt 12

13 [ n 2 ] x i 2 i,i+1 i+3 3 i=1

14 Dette er dekomponeringen vi brukte i DAG-SP og Dijkstra også, egentlig. p = i p k j δ(i, j) = δ(i, k) + w kj Hvis p inneholder maks m kanter, så vil p inneholde maks m 1 kanter 14

15 Optimal lengde l (m) ij fra i til j med maks m kanter. 15

16 (0) lij = 0 16 if i = j, if i = j.

17 Merk at vi kan ha k=j (og dermed w_kj = 0), som tilsvarer l_ij^(m) = l_ij^(m-1). (m) lij = (m 1) min lik + wkj 1 k n Ligner veldig på oppbygningen i DAG-SP og Dijkstra. 17

18 δ(i, j) = (n 1) lij = (n) lij 18 = (n+1) lij =

19 W = (w ij ) L (m) = l (m) ij 19

20 Floyd-Warshall 20

21 k er muligens med Delproblem med parameter k: Kan kun gå via de k første nodene. En slik sti kan deles i to mindre delproblemer (med lavere parameter) : Alle mellomliggende noder i {1 k 1} 21

22 7 9 : (117#%')*+),#(')7-)*'#2)$7#%783/74/7555/7993:!"#$%&'(" )*%+$,-.'*/! w7 : #" 9 = ;, (9) " (9 3) (9 3) ;7 : = (9 3) # #" ;9: +#% ;7 :, ;79 <=(-) (;) ;7 : C(%' < (=) = w7 : >)2(?$) 2(%@' 0(-) #%')*+),#(') -)*'#2)$ " (=) # = ;7 : / $#%2) (11 -)*'#2)$ %?+>)*), =5 0*+1$." 2*..*+3$1 22

23 Kubisk kjøretid, naturligvis FGHIJKCLMN=LGG(>, =) < (;) > )*% 9 3.* = 4* )*% 7 3.* = 4* )*% : 3.* = 4* ; (9) 7: +#% ( ; (9 3) 7:, ; (9 3) 79 + ; (9 3) ) 9: %".$%/ < (=) 23 Transitiv closure: Egentlig akkurat det samme men sjekker om det *finnes* en sti, i stedet for å beregne hvor *lang* den er. (Bruker logiske i stedet for aritmetiske operasjoner.)

24 k =

25 k =

26 k =

27 k =

28 Korteste vei Alle til alle Gå via v1 vk Med eller uten vk O(V 3 ) Floyd-Warshall 28

29 Sjekkliste Dette er en sjekkliste for ting dere kan gjøre for å løse et problem. Sjekklisten er basert på kap. 10 i «The Algorithm Design Manual» av Steven S. Skiena. 29

30 A. Forstår jeg virkelig problemet? B. Kan jeg finne en enkel algoritme? C. Kan jeg bruke en pensum-algoritme? D. Kan jeg løse spesialtilfeller? E. Hvilke designmetoder er mest relevante? 30

31 A. Forstår jeg virkelig problemet? B. Kan jeg finne en enkel algoritme? C. Kan jeg bruke en pensum-algoritme? D. Kan jeg løse spesialtilfeller? E. Hvilke designmetoder er mest relevante? 31

32 Hva består input av, helt presist? Hva er ønsket output, helt presist? Kan jeg konstruere et input-eksempel som jeg kan løse for hånd? Hva skjer da? Hva slags strukturer har jeg å jobbe med? Sekvenser, strenger, grafer, tall, mengder? 32

33 A. Forstår jeg virkelig problemet? B. Kan jeg finne en enkel algoritme? C. Kan jeg bruke en pensum-algoritme? D. Kan jeg løse spesialtilfeller? E. Hvilke designmetoder er mest relevante? 33

34 Kan jeg finne en korrekt brute force-løsning? Hvordan vet jeg at den er korrekt? Kan jeg bruke en enkel regel gjentatte ganger? Alltid velg den største/minste? Når fungerer det, og når fungerer det ikke? 34

35 A. Forstår jeg virkelig problemet? B. Kan jeg finne en enkel algoritme? C. Kan jeg bruke en pensum-algoritme? D. Kan jeg løse spesialtilfeller? E. Hvilke designmetoder er mest relevante? 35

36 Finnes det en algoritme som passer helt? Finnes det noen som nesten passer? Hva slags reduksjoner kan jeg få til? Jobb systematisk med de algoritmene du kan! 36

37 A. Forstår jeg virkelig problemet? B. Kan jeg finne en enkel algoritme? C. Kan jeg bruke en pensum-algoritme? D. Kan jeg løse spesialtilfeller? E. Hvilke designmetoder er mest relevante? 37

38 Hva om jeg ignorerer deler av problemet? Hva om jeg setter noen parametre til trivielle verdier som 0 eller 1? Kan jeg forenkle problemet til noe jeg kan løse effektivt? Hvorfor kan ikke denne spesial-løsningen generaliseres? Er problemet et spesialtilfelle av noe kjent? 38

39 A. Forstår jeg virkelig problemet? B. Kan jeg finne en enkel algoritme? C. Kan jeg bruke en pensum-algoritme? D. Kan jeg løse spesialtilfeller? E. Hvilke designmetoder er mest relevante? 39

40 Hjelper det å sortere? Kan jeg dele i to, kanskje med binærsøk? Store/små, Høyre/ venstre? Splitt-og-hersk? Kan jeg finne en rekkefølge på elementer/delproblemer? Kan jeg bruke det til DP? Kan jeg formuelere problemet som et lineært program? Ligner problemet på et NPC-/ NPH-problem? Kan jeg redusere fra et slikt problem? Noe som gjøres ofte (f.eks. søk)? Kan jeg bruke en datastruktur til speed-up? Søketre/hashtabell/heap? 40