Fra A til B. Syvende forelesning

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Fra A til B. Syvende forelesning"

Transkript

1 Fra A til B Syvende forelesning 1

2 Amøbeproblemet nok en gang. Hva er n/2? 2 Skal la være å trekke frem binærtrefiguren igjen ;-) La oss se på det på en litt annen måte, som passer dagens tema (fra A til B ).

3 Zenos paradoks. Hvis vi skal fra x til y må vi først innom A. Og fra A til y må vi først innom B osv. Hvordan kommer vi noensinne frem? La oss for enkelhets skyld anta at vi har endelig oppløsning, og at ting går opp. Vi kan da anta at E er 1 unna y i dette tilfellet. Hvis vi lar avstanden fra x til y være n så får vi følgende sum: n/2 (fra x til A) + n/4 (fra A til B) + n/ 8 (fra B til C) etc., helt til vi tar det siste skrittet på lengde 1, og er da 1 unna y. Hvor langt har vi reist? n 1. Nok et bevis for rekkesummen n/2 = n 1. 3

4 x = n k 1 4

5 x = n k 1 2x = n k 5

6 x = n k 1 2x = n k 1 + n k 6

7 2x = n k 1 + n k x = n k 1 7

8 2x = n k 1 + n k x = n k 1 8

9 x = n k 1 9

10 n k 1 = n k 1 10

11 Microsofts MapPoint (tidlig 2005) gir forslag til korteste vei fra Haugesund til Trondheim. Via bl.a. London miles. En annen variant involverer å ta ferge fra Haugesund til Newcastle Upon Tyne, og så ta ferge fra Newcastle Upon Tyne til Bergen. Senere løste MS problemet ved å forby deg å beregne en sti mellom disse byene. Det ser ut til at MapPoint nå fungerer bedre Korteste vei fra s til v: Den stien som har lavest vekt-sum over kantene. Korteste vei 11

12 12

13 Bare bruk én-til-alle i stedet for én-til-én. Man kjenner ingen algoritme som har bedre asymtotisk worst-case (selv om det finnes «tweaks»). Varianter Bare snu kantene, så får du én-tilalle. Én-til-én Alle-til-én I dag Én-til-alle Senere Alle-til-alle 13

14 Optimal substruktur s x y z s x y z 14

15 Hvis vi tillater negative sykler kan vi bruke korteste vei til å løse lengste vei-problemet, som er NP-komplett. Ingen kjente løsninger. (Problemet er at vi da ikke lenger har optimal substruktur; evt. figur på tavla.) Sykler NPC whatevs <

16 Representasjon [v] Forgjenger i den korteste stien Forgjengergraf: V = {v V : [v] = nil} {s} E = {( [v], v) E : v V {s}} 16

17 s π[s] = nil x π[x] = s y π[z] y = x z π[z] = y 17

18 Relax u v u v u v u v

19 Dette er litt «Cormenorientert», og presenteres mest for i gå flere perspektiver på hvorfor disse algoritmene virker. Se slutten av intro til kap. 24 og avsnitt Om dere ikke henger med på alt, tenk at dette kan være forskjellige perspektiver eller innsikter som kan hjelpe dere til å forstå forklaringene som kommer etterpå. Korteste vei-egenskaper 19

20 Fra starten Initialize- Single- Source π[v] = nil for enhver node v d[s] = 0 d[v] = for enhver annen node v 20

21 Trekantulikheten s u δ(s, v) δ(s, u) + w(u, v) v 21

22 Overestimat s v d[v] δ(s, v) 22

23 Ingen sti s v d[v] = 23

24 Konvergens s s u Relax d[v] = δ(s, v) v v 24

25 Sti-oppdatering s s s x y y Path relaxation property. v v 25 v Helt essensiell for forståelse av algoritmene i dag! Kjøres relax i rekkefølge på den korteste stien, vil endenoden få riktig estimat. Om vi kjører ekstra relax-er spiller ingen rolle.

26 Forgjenger-delgraf Forg jengerpekerne utgjør «korteste veitrær» s x y v 26

27 Hvis alle kanter relaxes «i hytt og vær», igjen og igjen, så vil alt bli riktig til slutt, på grunn av egenskapvene vi har sett. De riktige estimatene «sprer» seg, for hver kant i en korteste vei som blir relaxet «i riktig rekkefølge». (Spørsmålet blir om vi kan finne en lur rekkefølge å kjøre Relax i, så vi slipper å jobbe så mye. Det er der de mer spesifikke algoritmene slår til.) Generell metode 27

28 Tenk parallellitet Path relaxation er kjernen: Hvis vi sørger for alle kanter i korteste vei-treet blir relaxet i riktig rekkefølge fra rota (*minst*) så blir svaret riktig. Alle nodene kan få nye «tilbud» De som får nye tilbud kan gi nye tilbud videre Til slutt vil vi (hvis alle kantene besøkes om hverandre) få et riktig svar 28

29 Relax *alle* kantene én gang. Mengden noder med korrekt estimat har da vokst «ett skritt utover» fordi vi har kjørt relax på alle de riktige kantene i riktig rekkefølge. Litt mye ekstra-arbeid, dog Bellman-Ford 29

30 Tillater negative kanter Kan oppdage negative sykler som kan nås Beregner d[v] og π[v] for alle v i V 30

31 Initialiser grafen Kjør Relax på alle kantene Hvorfor V 1 iterasjoner? Hvordan virker den siste sjekken? Gjenta forrige punkt V 2 ganger (V 1 totalt) Sjekk om ytterligere forbedringer er mulig Ja: Negativ sykel Nei: Alt i orden 31

32 Anta en kortest sti (v 0,, vk) Første iterasjon vil relaxe bl.a. (v 0, v1) Iterasjon k vil relaxe bl.a. (v k 1, vk) Vi vet da at d[vk] = δ(v0, k) Det siste er pga. sti-oppdateringsegenskapen (path relaxation). 32

33 Hvorfor blir dette kjøretiden? Kjøretid: Θ(VE) 33

34 r x y z 1/s / / 4/s Her vises bare verdier etter hver iterasjon. 1/s 1/r 1/r 2/r 1/s 1/r 2/x 2/r 1/s 1/r 2/x 2/r Nøyaktig hvilke verdier man får underveis kommer an på rekkefølgen man kjører Relax i, men det endelige svaret (for avstandene) blir likt. 34

35 Korteste vei Én til alle Ingen neg. sykler Relax alle kanter V 1 ganger Neg. vekter Sykelvarsel O(VE) Bellman Ford 35

36 Dynamisk programmering. Her vet vi riktig rekkefølge fra starten av (en topologisk sortering). Verdt å merke seg: All dynamisk programmering (som vi kommer til senere) er egentlig DAG-SP. Det er bare ikke alltid så lett å se DAG-en :-) «DAG-Shortest-Path» 36

37 Tillater (naturligvis) ikke sykler Tillater negative kanter Beregner også d og π 37

38 Kan gjøre det omvendt også og relaxe innkommende kanter. Sorter nodene topologisk Initialiser grafen For hver node u, i rekkefølge: For hver etterfølger v: Relax (u, v) 38

39 Enhver kortest vei vil gå fra venstre mot høyre Alle får relaxet kantene sine i riktig rekkefølge 39

40 Kjøretid: Θ(V + E) 40

41 I motsetning til grafer generelt kan vi her like gjerne finne *lengste* sti, såkalt critical path i prosjektanalyse. Ingen effektive metoder er kjent for å finne lengste sti i en graf generelt. s t x y z

42 Evt. lengste! Korteste vei Én til alle Ingen sykler Top-sort + Relax inn eller ut Effektiv men kravstor O(V + E) DAG-Shortest-Path 42

43 Motivasjon En slags intuisjon bak Dijkstras algoritme. Vil være korrekt (om enn ikke nødvendigvis effektiv) for heltallsvekter. Heltallsvekter i BFS 43

44 BFS skiller ikke på kanter med ulik vekt. Vil ikke nødvendigvis finne riktige avstander eller riktige stier. (Kan du finne et enkelt moteksempel?) For heltall kan vi omforme grafen så BFS fortsatt finner korteste veier 2 44

45 Det er bare å splitte opp kantene. Vekt 2 blir til to kanter (med en ny «dummy-node»). Merk: Dette er ikke noe som brukes i praksis bare intuitiv motivasjon. BFS vil nå fungere akkurat som før det bør være opplagt at vi får riktig svar. Hvordan oppfører algoritmen seg, hvis vi ser på den opprinnelige grafen? 45

46 Vi lar dummy-nodene være «usynlige» hvordan vil algoritmen «se ut» da? Algoritmen «sprer» fortsatt nodebesøkene ut fra start-noden i nivåer men høye kantvekter forsinker den (med usynlige «mellomstasjoner». Tiden det tar før vi besøker en node er proporsjonalt med den korteste veien dit (litt som bølger som sprer seg i et kanal-nettverk eller dominoer som faller). Kan vi kanskje simulere dette direkte, uten å bruke dummynoder? Hvordan kan vi besøke noder i avstandsrekkefølge når vi ikke kjenner avstanden? Samme prinsipp som før: Vedlikehold estimater når kan vi nå en node hvis vi følger de veiene vi har funnet så langt? Hoved-innsikt: Vi vil aldri kunne finne snarveier til den som alt ser ut til å være nærmest, så det er trygt å besøke den. 46

47 Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi oss riktige svar. Altså litt som DAG-SP, men ikke topologisk sortert vi ordner (på magisk vis) etter faktisk avstand. (Hvis vi bare tar med kanter i de korteste stiene så er grafen topologisk sortert ) Dijkstras algoritme 47

48 48

49 I stedet for topologisk rekkefølge: Etter stigende avstand fra s Som BFS men prioritetskø (med d[v]) i stedet for FIFO-kø Takler ikke negative kanter! 49

50 For spinkle grafer: Bruker binær haug som prioritetskø Må kunne endre nøkler (dvs. d[v]) underveis Må ha kobling mellom mellom noder og haug-innslag Kan evt. legge inn noder flere ganger i stedet 50

51 Initialiser grafen Så lenge det finnes uferdige noder: Velg u med lavest d[u] For alle kanter (u, v): Relax(u, v) 51

52 Hvis nodene besøkes etter stigende avstand: Kantene i korteste veier bli relaxet i riktig rekkefølge Topologisk sortering av kantene som «teller» Men Hvordan vet vi at lavest d[v] faktisk er nærmest? 52

53 (Min egen variant av korrekthetsbeviset litt enklere (IMO) enn det hos Cormen et al.) Hypotetisk: Vi ordner noder etter faktisk avstand. Vi har positive kanter, så bakoverkantene vil være irrelevante (selv om vi jo ikke vet hvilke de er). Med andre ord har vi en (skjult, ukjent) DAG. Vi ønsker å besøke nodene i avstandsrekkefølge *uten å kjenne til* denne rekkefølgen (eller DAG-en). Induksjon to the rescue 0 3 7??? Vi har besøkt de k 1 første nodene, og relaxet kantene ut. Disse nodene har nå riktig avstandsestimat og det har også den neste i rekka (selv om vi ikke vet hvilken det er ennå). Det er akkurat som i DAG-shortest-path. 53 Betrakt den neste i sortert rekkefølge. Den har korrekt estimat. Alle de gjenværende har større avstand, og minst like store estimater. Dermed må den med lavest estimat være den neste, og vi har løst problemet for k.

54 Cormen sin variant av korrekthetsbeviset. Dette er jo på sett og vis det samme beviset men uttrykt på en ganske annen måte Merk: Det er snakk om nok et bevis ved kontradiksjon. Vi antar at d[u] ikke er korrekt i det en node u legges til, og viser at vi får en selvmotsigelse. Den neste er kanskje forelesningens vanskeligste slide. 54

55 Anta at u er den første som ikke har riktig d- verdi når den legges til. Da må x ha hatt riktig d- verdi, og siden (x, y) er relaxet, så må y også ha riktig d-verdi i det u legges til. Dette virker bare hvis vi ikke har negative kanter; ellers kan vi ta «snarveier» og vi vet ikke lenger hvilken node som er nærmest. d[y] = (s, y) (s, u) d[u] Vi vet her at y forekommer før u på den korteste stien (Merk at x og y godt kan sammenfalle med s her.) Husk også at d er et overestimat av δ. 55 d[u] Men Siden u ble valgt før y så vet vi at d[u] d[y]. d[y] d[y] = (s, y) = (s, u) = d[u] Sandwitch!

56 Underliggende antagelse: u er den første med galt men minimalt avstandsestimat (blant de hittil ubesøkte). Vi har y med korrekt d d[y] = δ(s, y) Dette viste vi ved å se at det må finnes en y med en forgjenger x rett innenfor og som altså har fått kjørt relax på sin forgjengerkant i den korteste stien, og dermed har korrekt d. u ligger senere på korteste vei δ(s, y) δ(s, u) d[u] men besøkes likevel (feilaktig) Det er denne ulikheten som ikke gjelder hvis vi har negative kanter. Da kan en node tidligere på den korteste stien likevel ligge lenger unna startnoden. d[u] d[y] 56 Vi får altså både d[y] d[u] og d[u] d[y], dvs. d[y] = d[u], med de faktiske avstandene klemt imellom. Med andre ord: Begge avstandene er korrekte likevel og vi har en selvmotsigelse.

57 La oss koble bevisene: I første utgave tenkte vi DAG-SP, med enkelte irrelevante kanter (som automatisk ignoreres av Relax, siden de bare kan gjøre ting verre). I andre utgave tenkte vi selvmotsigelse: Vi plukker en node for tidlig den har lavest estimat, men er lenger til høyre her enn den neste. Er det mulig? 0 3 7??? Nei! Det er ikke mulig. Den egentlig neste (uthevede) noden har korrekt estimat (som vi vet). Avstanden er lavere enn alle senere avstander, og dermed må estimatet (som er korrekt) også være det (senere estimater er minst like store som avstandene). Vi har nå antatt at en senere node er valgt først altså at den ikke har større estimat. Eneste konklusjon: Ikke større estimat, og ikke lavere avstand samme estimat og avstand som neste node (uthevet). Altså må estimatet være korrekt en selvmotsigelse. 57

58 Kjøretid avhengig av prioritetskøen. Hver Relax (det vil si, hver kant) kan måtte bruke Decrease-Key som koster O(lg V). Hver Extract-Min (dvs. for hver node) koster også O(lg V). Vi har altså: O(E lg V) + O(V lg V). Hvis alle kan nås fra starten vil E dominere, og vi får O((E+V) lg V) = O(E lg V). Kjøretid: O(E lg V) * * Hvis alle noder kan nås fra s 58

59 s x y z

60 Korteste vei Én til alle Ingen neg. kanter Besøk nærmeste Relax til alle naboer Effektiv Spes. på spinkle G Kravstor O(E lg V) Dette er jo en gjenganger. Jo sterkere krav vi stiller, jo mer effektive er algoritmene. Dijkstras algoritme 60

Lineær sortering. Radix sort

Lineær sortering. Radix sort Fra forrige gang 1 Lineær sortering Radix sort 2 Sorter hvert siffer for seg Bruk en stabil sortering (f.eks. CS) for å bevare arbeidet så langt Vi må begynne med minst signifikante siffer Konstant antall

Detaljer

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi

Detaljer

O(V 2 ) bwfs(v, i=1) λ[v] = i for each neighbor u of v if 0 < λ[u] < i. bwfs(u, i+1) if λ[u] = 0

O(V 2 ) bwfs(v, i=1) λ[v] = i for each neighbor u of v if 0 < λ[u] < i. bwfs(u, i+1) if λ[u] = 0 O(V 2 ) bwfs(v, i=1) λ[v] = i for each neighbor u of v if 0 < λ[u] < i bwfs(u, i) for each neighbor u of v if λ[u] = 0 bwfs(u, i+1) Bacwards-first search; traverserer en graf med kvadratisk worst-casekjøretid.

Detaljer

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.

Dijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi

Detaljer

Algdat Redux. Fjortende forelesning. Repetisjon av utvalgte emner.

Algdat Redux. Fjortende forelesning. Repetisjon av utvalgte emner. Algdat Redux Fjortende forelesning Repetisjon av utvalgte emner. 1 Nå har vi en brukbar (om enn ikke helt intuitiv) definisjon av «alt» og nå ønsker vi å lage oss en liste med de problemene som er «verst

Detaljer

Dijkstras algoritme Spørsmål

Dijkstras algoritme Spørsmål :: Forside s algoritme Åsmund Eldhuset asmunde *at* stud.ntnu.no folk.ntnu.no/asmunde/algdat/dijkstra.pdf :: Vi er ofte interessert i å finne korteste, raskeste eller billigste vei mellom to punkter Gods-

Detaljer

Teoriøving 7 + litt om Ford-Fulkerson. Magnus Lie Hetland

Teoriøving 7 + litt om Ford-Fulkerson. Magnus Lie Hetland Teoriøving 7 + litt om Ford-Fulkerson Magnus Lie Hetland Oppgave 1 a s 7 t 3 x 4 2 2 8 2 u 6 v 3 w Bruk DIJKSTRA eller BELLMAN-FORD og finn minste avstand fra s til de andre nodene. Svar/utregning (DIJKSTRA):

Detaljer

Alle mot alle. Åttende forelesning. (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder.

Alle mot alle. Åttende forelesning. (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder. Enkel alle-til-allealgoritme: Kjør Dijkstra (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder. Kan fungere for spinkle grafer blir dyrt ellers. Alle mot alle Åttende forelesning 1 Dijkstra

Detaljer

Øvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle

Øvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle Øvingsforelesning Korteste vei: Alle til alle TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Ole Kristian Pedersen 02. november, 2018 IDI, NTNU Plan for dagen Løsninger teoriøving 10 Alle til alle med Dijkstra &

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 14. desember 2011 Eksamenstid 1500 1900 Sensurdato 14. januar Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Studentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005

Studentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Studentnummer: Side 1 av 1 Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Faglige kontakter under eksamen: Magnus Lie Hetland, Arne Halaas Tillatte hjelpemidler: Bestemt enkel

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 11. august 2014 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode D. Ingen

Detaljer

MAT1030 Forelesning 25

MAT1030 Forelesning 25 MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier

Detaljer

Korteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei

Korteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei I Lars Vidar Magnusson 9.4.2014 Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei Problemet I denne forelesningen skal vi se på hvordan vi kan finne korteste

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 11. august 2014 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode D. Ingen

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl

Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf.

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Kontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl

Kontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl Student nr.: Side 1 av 5 Kontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl 0900-1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 73 593442. Hjelpemidler: Alle

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 7. desember 2013 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode Målform/språk

Detaljer

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann

Forelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 9. august, 07 Eksamenstid

Detaljer

Algdat Eksamensforelesning. Nils Barlaug

Algdat Eksamensforelesning. Nils Barlaug Algdat Eksamensforelesning Nils Barlaug Eksamen Pensum Eksamen Pensum Oppgaver du har gjort og ting du har lest Eksamen Pensum Oppgave på eksamen Oppgaver du har gjort og ting du har lest Eksamen Pensum

Detaljer

Øvingsforelesning 4. Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær. Magnus Botnan

Øvingsforelesning 4. Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær. Magnus Botnan Øvingsforelesning 4 Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær Magnus Botnan botnan@stud.ntnu.no 09/10/09 1 I dag Topologisk Sortering Sterke Komponenter Minimale Spenntrær

Detaljer

Algdat - Øvingsforelesning. Maks flyt

Algdat - Øvingsforelesning. Maks flyt Algdat - Øvingsforelesning Maks flyt Dagens plan 1. LF teoriøving 7 2. Maks flyt 3. Ford-Fulkerson 4. Maksimal bipartitt matching 5. Presentasjon av øving 9 2 Øving 7 4b) I hvilken rekkefølge velges noder

Detaljer

Korteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen

Korteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Korteste Vei II Lars Vidar Magnusson 11.4.2014 Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Bellman-Ford Algoritmen Bellman-Ford er en single-source korteste vei algoritme. Den tillater negative

Detaljer

Eksamen i tdt4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamen i tdt4120 Algoritmer og datastrukturer Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 5 Oppgavestillere: Magnus Lie Hetland Jon Marius Venstad Kvalitetskontroll: Magnar Nedland Faglig

Detaljer

Løsningsforslag - Korteste vei

Løsningsforslag - Korteste vei Sist endret: 17.08.2010 Hovedside FAQ Beskjeder Timeplan Ukeplan Øvinger Gruppeøving Eksamensoppgaver Pensum Løsningsforslag - Korteste vei [Oppgave] [Levering] [Løsningsforslag] Innleveringsfrist: 21.10.2011

Detaljer

Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim

Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim Lars Vidar Magnusson 4.4.2014 Kapittel 23 Kruskal algoritmen Prim algoritmen Kruskal Algoritmen Kruskal algoritmen kan beskrives med følgende punkter. Vi har en en sammenkoblet

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

All good things. Fjortende forelesning

All good things. Fjortende forelesning All good things Fjortende forelesning 1 Reduksjons- Eksempler 2 Clique til Independent Set 3 Partition til Bin Packing 4 Partition til Subset Sum 5 CNF-SAT til Dir. Ham. Cycle 6 Dir. Ham. Cycle til Ham.

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 14. desember 2011 Eksamenstid 1500 1900 Sensurdato 14. januar Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl

Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 41661982; Magnus Lie

Detaljer

O, what a tangled. Fjerde forelesning. Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-)

O, what a tangled. Fjerde forelesning. Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-) Dagens oppvarming 1 O, what a tangled Fjerde forelesning Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-) O, what a tangled web we weave / When first we practice

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 9. august, 07 Eksamenstid

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 918 51 949 Eksamensdato 4. desember, 2017

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.

Detaljer

Grunnleggende Grafteori

Grunnleggende Grafteori Grunnleggende Grafteori 2. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Terminologi og definisjoner Hvordan representere grafer i datamaskinen Traversering Dybde-først-søk Bredde-først-søk Topologisk

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.

Detaljer

IN Algoritmer og datastrukturer

IN Algoritmer og datastrukturer IN00 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 08 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer II Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) IN00 8.09.08 / Dagens plan: Korteste vei en-til-alle vektet

Detaljer

GRAFER. Korteste vei i en vektet graf uten negative kanter. Korteste vei, en-til-alle, for: Minimale spenntrær

GRAFER. Korteste vei i en vektet graf uten negative kanter. Korteste vei, en-til-alle, for: Minimale spenntrær IN Algoritmer og datastrukturer GRAER IN Algoritmer og datastrukturer Dagens plan: orteste vei, en-til-alle, for: ektet rettet graf uten negative kanter (apittel 9..) (Dijkstras algoritme) ektet rettet

Detaljer

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon

Repetisjon og mer motivasjon. MAT1030 Diskret matematikk. Repetisjon og mer motivasjon Repetisjon og mer motivasjon MAT030 Diskret matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 4. april 2008 Først litt repetisjon En graf består av noder og

Detaljer

KORTESTE STI. Vektede Grafer. Korteste Sti. Dijkstra s Algoritme. Vektet Urettet Graf

KORTESTE STI. Vektede Grafer. Korteste Sti. Dijkstra s Algoritme. Vektet Urettet Graf Vektet Urettet Graf KORTESTE STI Finn: fra en Enkel Kilde til Alle Noder. (Engelsk: Single Source Shortest Path - SSSP) Vektede Grafer vekter på kanter representerer f.eks. avstand, kostnad, båndbredde...

Detaljer

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet

Forelesning 23. Grafteori. Dag Normann april Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering. Digresjon: Firefarveproblemet Forelesning 23 Grafteori Dag Normann - 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og noder kan være naboer. Vi bør kjenne til begrepene om sammenhengende

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid

Detaljer

Algdat - øvingsforelesning

Algdat - øvingsforelesning Algdat - øvingsforelesning Topologisk sortering og minimale spenntrær Nils Barlaug Dagens plan 1. 2. 3. 4. 5. Praktisk og dagens plan Topologisk sortering Minimale spenntrær a. Kruskal b. Prim Tips til

Detaljer

Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 9

Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 9 Løsningsforslag for utvalgte oppgaver fra kapittel 9 9.2 1 Grafer og minne.......................... 1 9.2 4 Omvendt graf, G T......................... 2 9.2 5 Kompleksitet............................

Detaljer

MAT1030 Forelesning 24

MAT1030 Forelesning 24 MAT1030 Forelesning 24 Grafteori og trær Roger Antonsen - 28. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-28 22:32) Forelesning 24 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Ekstra ark kan legges ved om nødvendig, men det er meningen at svarene skal få plass i rutene på oppgavearkene. Lange svar teller ikke positivt.

Ekstra ark kan legges ved om nødvendig, men det er meningen at svarene skal få plass i rutene på oppgavearkene. Lange svar teller ikke positivt. Side 1 av 5 Noen viktige punkter: (i) (ii) (iii) (iv) Les hele eksamenssettet nøye før du begynner! Faglærer går normalt én runde gjennom lokalet. Ha evt. spørsmål klare! Skriv svarene dine i svarrutene

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 18. august 2011 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 8. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Maks Flyt og NPkompletthet

Maks Flyt og NPkompletthet Maks Flyt og NPkompletthet Flyt - Intro Mange av oppgavene om flyt handler om å se at Dette kan vi løse som et flytproblem. Resten er som regel kortsvarsoppgaver, og går på grunnleggende forståelse av

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 Oppsummering En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori

Oppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 23: Grafteori Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 16. april 2008 En graf består av noder og kanter Kanter ligger inntil noder, og

Detaljer

IN Algoritmer og datastrukturer

IN Algoritmer og datastrukturer IN010 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 018 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer III Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) IN010 0.10.018 1 / 0 Dagens plan: Dybde-først søk Biconnectivity

Detaljer

Algdat-ninja på 60 minutter: Et galskapsprosjekt. Magnus Lie Hetland

Algdat-ninja på 60 minutter: Et galskapsprosjekt. Magnus Lie Hetland Algdat-ninja på 60 minutter: Et galskapsprosjekt Magnus Lie Hetland 15. november, 2002 Advarsel: Tettpakkede og overfladiske foiler forut! 1 Algtdat i 6 punkter 1. Grunnbegreper og basisverktøy 2. Rekursjon

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer II Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 28.09.2016 1 / 30 Dagens plan: Dijkstra fort.

Detaljer

Grunnleggende Grafalgoritmer II

Grunnleggende Grafalgoritmer II Grunnleggende Grafalgoritmer II Lars Vidar Magnusson March 17, 2015 Kapittel 22 Dybde-først søk Topologisk sortering Relasjonen til backtracking Dybde-Først Søk Dybde-først søk i motsetning til et bredde-først

Detaljer

Korteste vei problemet (seksjon 15.3)

Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Korteste vei problemet (seksjon 15.3) Skal studere et grunnleggende kombinatorisk problem, men først: En (rettet) vandring i en rettet graf D = (V, E) er en følge P = (v 0, e 1, v 1, e 2,..., e k, v k

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016

TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige

Detaljer

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne

Detaljer

Grunnleggende Grafalgoritmer

Grunnleggende Grafalgoritmer Grunnleggende Grafalgoritmer Lars Vidar Magnusson 19.3.2014 Kapittel 22 Representere en graf Bredde-først søk Grafer i Informatikken Problem med grafer går ofte igjen i informatikkens verden, så det å

Detaljer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 13. august 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.

Detaljer

Avanserte flytalgoritmer

Avanserte flytalgoritmer Avanserte flytalgoritmer Magnus Lie Hetland, mars 2008 Stoff hentet fra: Network Flows av Ahua m.fl. (Prentice-Hall, 1993) Graphs, Networks and Algorithms, 2. utg., av Jungnickel (Springer, 2005) Repetisjon

Detaljer

SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER SIF8010 ALGORITMER OG DATASTRUKTURER KONTINUASJONSEKSAMEN, 1999; LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 (12%) Anta at du skal lage et støtteprogram som umiddelbart skal varsle om at et ord blir skrevet feil under inntasting

Detaljer

Kompleksitet. IN algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon

Kompleksitet. IN algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon Kompleksitet IN2010 - algoritmer og datastrukturer Plenumstime / repetisjon Dagens agenda Kompleksitet - hva er det? Avgjørelsesproblemer Kompleksitetsklassene P og NP Reduksjoner - å redusere et problem

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)

Detaljer

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne

Detaljer

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien

MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oversikt over den delen av grafteorien som er gjennomgått i MAT1140 høsten 2013. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 918 51 949 Eksamensdato 12. august, 2014 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.

Detaljer

Alg. Dat. Øvingsforelesning 3. Grafer, BFS, DFS og hashing. Børge Rødsjø rodsjo@stud.ntnu.no

Alg. Dat. Øvingsforelesning 3. Grafer, BFS, DFS og hashing. Børge Rødsjø rodsjo@stud.ntnu.no Alg. Dat Øvingsforelesning 3 Grafer, BFS, DFS og hashing Børge Rødsjø rodsjo@stud.ntnu.no Dagens tema Grafer Terminologi Representasjon av grafer Bredde først søk (BFS) Dybde først søk (DFS) Hashing Hashfunksjoner,

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 6 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap LØSNINGSFORSLAG,

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 20. april 200 (Sist oppdatert: 200-04-20 4:8) MAT030 Diskret Matematikk 20. april 200

Detaljer

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på.

Go with the. Niende forelesning. Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Go with the Niende forelesning Mye matematikk i boka her ikke så komplisert, men mye å holde styr på. Fokuserer på de viktigste ideene i dagens forelesning, så det forhåpentligvis blir lettere å skjønne

Detaljer

Korteste vei i en vektet graf uten negative kanter

Korteste vei i en vektet graf uten negative kanter Dagens plan: IN - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 7 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo IN, forelesning 7: Grafer II Korteste vei, en-til-alle, for: Vektet rettet graf uten negative kanter

Detaljer

MAT1030 Forelesning 23

MAT1030 Forelesning 23 MAT030 Forelesning 23 Grafteori Roger Antonsen - 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:36) Forelesning 23 Repetisjon og mer motivasjon Først litt repetisjon En graf består av noder og kanter Kanter

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 20. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-20 14:17) Grafteori MAT1030 Diskret Matematikk 20. april

Detaljer

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori.

Forelesning 23. MAT1030 Diskret Matematikk. Repetisjon og mer motivasjon. Repetisjon og mer motivasjon. Forelesning 23: Grafteori. MAT030 Diskret Matematikk Forelesning 23: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 23 22. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-22 2:37) MAT030 Diskret Matematikk

Detaljer

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10

PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 Lars Sydnes, NITH 9. april 2014 NOE Å STUSSE PÅ? Quadratic probing i Hash-tabell: ( ) 2 i + 1 p = p + ( 1) i+1 2 Underforstått forutsetning: Heltallsaritmetikk

Detaljer

Søk i tilstandsrom. Backtracking (Kap. 10) Branch-and-bound (Kap. 10) Iterativ fordypning. Dijkstras korteste sti-algoritme A*-søk (Kap.

Søk i tilstandsrom. Backtracking (Kap. 10) Branch-and-bound (Kap. 10) Iterativ fordypning. Dijkstras korteste sti-algoritme A*-søk (Kap. Søk i tilstandsrom Backtracking (Kap. 10) DFS i tilstandsrommet. Trenger lite lagerplass. Branch-and-bound (Kap. 10) BFS Trenger mye plass: må lagre alle noder som er «sett» men ikke studert. Kan også

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105)

LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER (IT1105) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 8 Faglig kontakt under eksamen: Magnus Lie Hetland LØSNINGSFORSLAG, EKSAMEN I ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

Detaljer

INF1020 Algoritmer og datastrukturer GRAFER

INF1020 Algoritmer og datastrukturer GRAFER GRAFER Dagens plan: Minimale spenntrær Prim Kapittel 9.5.1 Kruskal Kapittel 9.5.2 Dybde-først søk Kapittel 9.6.1 Løkkeleting Dobbeltsammenhengende grafer Kapittel 9.6.2 Å finne ledd-noder articulation

Detaljer

Live life and be merry

Live life and be merry Om grådighet og først litt mer DP. Live life and be merry Ellevte forelesning for tomorrow you may catch some disgusting skin disease. [Edmund Blackadder] 1 2 g i t k i s K o rt Grådighet All form for

Detaljer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer

Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 0. desember, 08 Eksamenstid

Detaljer

Kompleksitet og Beregnbarhet

Kompleksitet og Beregnbarhet Kompleksitet og Beregnbarhet 16. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Avgjørelsesproblemer. P EXPTIME NP Reduksjoner NP-kompletthet Uavgjørbarhet UNDECIDABLE DECIDABLE PSPACE NPC NP

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 14. Desember 1999, kl

Løsningsforslag til eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 14. Desember 1999, kl Student nr.: Side 1 av 7 Løsningsforslag til eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 14. Desember 1999, kl 0900-1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 73 593442. Hjelpemidler:

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 5 1 / 55

Detaljer

Forelesning 24. Grafer og trær. Dag Normann april Vektede grafer. En kommunegraf

Forelesning 24. Grafer og trær. Dag Normann april Vektede grafer. En kommunegraf Forelesning 24 Grafer og trær Dag Normann - 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og Eulerstier Hamiltonkretser Minimale utspennende trær. Vi skal nå se

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2016, forelesning 5 1 / 49

Detaljer

GRAFER. Noen grafdefinisjoner. Korteste vei i en uvektet graf V 2 V 1 V 5 V 3 V 4 V 6

GRAFER. Noen grafdefinisjoner. Korteste vei i en uvektet graf V 2 V 1 V 5 V 3 V 4 V 6 IN Algoritmer og datastrukturer GRAER Dagens plan: Kort repetisjon om grafer Korteste, en-til-alle, for: uektede grafer (repetisjon) ektede rettede grafer uten negatie kanter (Dijkstra, kapittel 9..) ektede

Detaljer

Alg. Dat. Øvingsforelesning 3. Grafer, BFS, DFS og hashing

Alg. Dat. Øvingsforelesning 3. Grafer, BFS, DFS og hashing Alg. Dat Øvingsforelesning 3 Grafer, BFS, DFS og hashing Dagens tema Grafer Terminologi Representasjon av grafer Bredde først søk (BFS) Dybde først søk (DFS) Hashing Hashfunksjoner, hashtabeller Kollisjonshåndtering

Detaljer

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER

ALGORITMER OG DATASTRUKTURER Stud. nr: Side 1 av 7 NTNU Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet BOKMÅL Fakultet for informasjonsteknologi, matematikk og elektroteknikk Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap AVSLUTTENDE

Detaljer

Øvingsforelesning 12 Maks flyt

Øvingsforelesning 12 Maks flyt Øvingsforelesning 12 Maks flyt Ole Kristian Pedersen 9. november 2018 ] Plan for dagen Maksimal flyt og minimale snitt Maksimal bipartitt matching Tidligere eksamensoppgaver Introduksjon øving 12 Hva er

Detaljer

Vektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave

Vektede grafer. MAT1030 Diskret matematikk. En kommunegraf. En kommunegraf. Oppgave MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. april 2008 Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var Eulerkretser og

Detaljer

INF Algoritmer og datastrukturer

INF Algoritmer og datastrukturer INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Prioritetskø og Heap Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2016, forelesning

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann

Grafteori. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 24: Grafer og trær. Dag Normann MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 24: Grafer og trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Grafteori 21. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-21 12:55) MAT1030 Diskret Matematikk 21.

Detaljer

Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 14. Desember 1999, kl

Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 14. Desember 1999, kl Student nr.: Side 1 av 7 Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Tirsdag 14. Desember 1999, kl 0900-1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 73 593442. Hjelpemidler: Alle kalkulatortyper

Detaljer