Grunnleggende Grafalgoritmer II
|
|
- Ingrid Langeland
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Grunnleggende Grafalgoritmer II Lars Vidar Magnusson March 17, 2015 Kapittel 22 Dybde-først søk Topologisk sortering Relasjonen til backtracking
2 Dybde-Først Søk Dybde-først søk i motsetning til et bredde-først søk vil gå så dypt som mulig før den returnerer. Input er en graf G = (V, E) som kan være enten rettet eller urettet. Output er to tidsstempler v.d og v.f som angir henholdsvis når en node oppdages og når den er ferdig utforsket. Tidsstemplene vil være til nytte for algoritmer vi skal se på senere. Koden i boka bygger også et dybde-først tre ved å lagre v.π. Algoritmen vi presenterer her garanterer å besøke alle noder i.e. den bygger en skog av dybde-først trær. Dette er ikke et krav.
3 Ideen bak Dybde-Først Søk I et dybde-først søk så begynner vi å undersøke en node så snart den oppdages Vi bruker ingen kø som i et bredde-først søk Dybde-først søket benytter seg av fargekoder under kjøringen av algoritmen white - hittils uoppdagede noder gray - oppdagede men ikke ferdig utforsket black - ferdig utforskede noder Tidstempelene følger følgende regler. Unike heltall mellom 1 og 2 V. v V : 1 v.d < v.f 2 V
4 Pseudokode for Dybde-Først Søk (DFS) Pseudokoden for dybde-først søk (DFS) er listet under. Koden bruker en global variabel time for å holde styr på tiden. Denne koden initialiserer algoritmen og sørger for at alle node blir besøkt. DFS kaller algoritmen DFS-Visit for å utføre selve søket.
5 Pseudokode for Dybde-Først Søk (DFS-Visit) Pseudokode for DFS-Visit er listet under. Denne algoritmen er ansvarlig for å utføre dybde-først søket.
6 Hvordan DFS Fungerer Figuren under viser hvordan DFS kjører på en eksempelgraf.
7 Analyse av DFS I et dybde-først søk vil alle noden utforskes én gang. Alle kanter besøkes én gang Dette gir oss en kjøretid på Θ(V + E). Dette er nesten det samme som BFS. Forskjellen mellom de to er at DFS besøker alle nodene og undersøker alle kantene i.e. Θ ikke O
8 Egenskaper ved DFS For alle u og v så gjelder en av de følgende forholdene. u.d < u.f < v.d < v.f eller v.d < v.f < u.d < u.f. Intervallene [u.d, u.f ] og [v.d, v.f ] er ikke overlappende i.e hverken u eller v er etterkommer av den andre. u.d < v.d < v.f < u.f. v er etterkommer av u. v.d < u.d < u.f < v.f. u er etterkommer av v. Det vil aldri skje at u.d < v.d < u.f < v.f. Dette er analogt med at d og f for de ulike nodene danner balanserte paranteser. v er en etterkommer av u bare hvis ved tiden u.d eksisterer en sti fra u til v med bare hvite noder (unntatt u).
9 Visulisering av Egenskapene ved DFS Figuren under viser hvordan egenskapene ved DFS henger sammen.
10 Klassifisering av Kanter Egenskapene til et dybde-først søk kan brukes til å klassifisere kantene i en graf. Tre-kant (tree): en kant som er med i dybde-først treet. Tilbake-kant (back): en kant fra en etterkommer til en forgjenger Forover-kant (forward): en kant fra en forgjenger til en etterkommer som ikke er med i dybde-først treet. Kryss-kant (cross): er alle andre kanter. I en urettet graf kan disse skillene by på noen problemer siden en kant går begge veier. I disse tilfellene klassifiseres den som den først passende. I en urettet graf får vi bare tre- og tilbake-kanter.
11 Visualisering av Klassifisering av Kanter Figuren under viser hvordan kantene i en graf kan klassifiseres utifra egenskapene til et dybde-først søk.
12 Topologisk Sortering Vi skal se på hvordan vi kan utføre et såkalt topologisk sortering av rettet graf uten sykler (directed acyclic graph) (DAG). Vi vil finne en lineær rekkefølge av noder slik at hvis en kant (u, v) E så må u komme før v. Algoritmen er egnet for å sortere strukturer og prosesser som har en delvis rekkefølge. a > b og b > c a > c Vi kan også ha a og b som vi ikke vet noe om rekkefølgen på. Topologisk sortering av en DAG kan alltid finne en total rekkefølge utifra en delvis rekkefølge.
13 Eksempel På Delvis Rekkefølge Figuren under viser en graf som har en delvis rekkefølge.
14 Pseudokode for Topological-Sort Pseudokoden for Topological-Sort er listet under Pseudokoden impliserer en sortering av nodene på dets avslutningstid. Dette er strengt tatt ikke nødvendig. Vi kan skrive ut nodene direkte når de avsluttes. Da vil rekkefølgen vi er ute etter være den omvendte av det som blir skrevet ut. Vi kan legge til avsluttede noder på begynnelsen av en lenket liste.
15 Hvordan Topological-Sort Fungerer Figuren under viser en graf som har en delvis rekkefølge samt den lineære rekkefølgen som Topological-Sort genererer.
16 Analyse av Topological-Sort Siden algoritmen er identisk med DFS bortsett fra utskrift/innsetting av fullførte noder, så vil også kjøretiden være den samme. Kjøretiden for Topological-Sort er Θ(V + E).
17 Korrektheten til Topological-Sort For å bevise at Topological-Sort er korrekt må vi bare bevise at hvis (u, v) E så må v.f < u.f. Når vi utforsker (u, v) så må u være grå, og v en av følgende. Hvis v er hvit så blir v en etterkommer av u og da vet vi at v.f < u.f. Hvis v er svart så er v allerede ferdig utforsket i.e. v.f < u.f v kan ikke være grå, for det vil gitt grafen en tilbake-kant, som ikke er mulig i en DAG (se fagboka).
18 Relasjonen Mellom Dybde-Først Søk og Backtracking Backtracking er en algoritmestrategi som er relatert til dybde-først søk. Vi prøver hver mulighet så snart de oppdages og går tilbake (backtrack) når vi når en situasjon som ikke kan lede til en løsning. Backtracking-løsninger er gjerne rekursive. Vi bygger en løsning inkrementelt Prøver mulighetene sekvensielt i hvert rekursive kall De potensielle muligheten kan sees som noder i en graf, og at de rekursive kallene er et søk gjennom grafen. Grafen må ikke alltid være eksplisitt. Den kan bygges etter behov.
19 Maze-Problemet Maze-problemet går ut på å finne en vei gjennom en labyrint gitt et startpunkt. Dette kan enkelt løses ved å utforske alle gyldige veier i labyrinten rekursivt. Hvert rekursive kall som utforsker en ny posisjon i labyrinten kan sees som en node i en graf med alle posisjonene som kan nås fra den posisjonen som nabonodene.
20 Dronning-Problemet Dronning-problemet er et problem med historisk klang. Problemet går ut på plassere n dronninger på et n n sjakkbrett slik at de ikke angriper hverandre. Dette problemet kan løses på mange ulike måter. Teste alle mulige kombinasjoner (veldig ineffektivt) Teste litt smartere ved å unngå plasseringer på samme rad og kolonne. Bygge løsningen inkrementelt med backtracking De mulige posisjonene for hver dronning kan sees som noder i en graf og backtracking algoritmen som en dybde-først søk.
Grunnleggende Grafalgoritmer
Grunnleggende Grafalgoritmer Lars Vidar Magnusson 19.3.2014 Kapittel 22 Representere en graf Bredde-først søk Grafer i Informatikken Problem med grafer går ofte igjen i informatikkens verden, så det å
DetaljerMinimum Spenntrær - Kruskal & Prim
Minimum Spenntrær - Kruskal & Prim Lars Vidar Magnusson 4.4.2014 Kapittel 23 Kruskal algoritmen Prim algoritmen Kruskal Algoritmen Kruskal algoritmen kan beskrives med følgende punkter. Vi har en en sammenkoblet
DetaljerAlg. Dat. Øvingsforelesning 3. Grafer, BFS, DFS og hashing. Børge Rødsjø rodsjo@stud.ntnu.no
Alg. Dat Øvingsforelesning 3 Grafer, BFS, DFS og hashing Børge Rødsjø rodsjo@stud.ntnu.no Dagens tema Grafer Terminologi Representasjon av grafer Bredde først søk (BFS) Dybde først søk (DFS) Hashing Hashfunksjoner,
DetaljerØvingsforelesning 4. Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær. Magnus Botnan
Øvingsforelesning 4 Topologisk sortering, Strongly Connected Components og Minimale spenntrær Magnus Botnan botnan@stud.ntnu.no 09/10/09 1 I dag Topologisk Sortering Sterke Komponenter Minimale Spenntrær
DetaljerLars Vidar Magnusson
Binære Søketrær Lars Vidar Magnusson 14.2.2014 Kapittel 12 Binære Søketrær Søking Insetting Sletting Søketrær Søketrær er datastrukturer som støtter mange dynamiske sett operasjoner. Kan bli brukt både
DetaljerGrådige algoritmer. Lars Vidar Magnusson Kapittel 16. Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder
Grådige Algoritmer Lars Vidar Magnusson 12.3.2014 Kapittel 16 Grådige algoritmer Aktivitetvelgingsproblemet Huffmankoder Ideen bak Grådige Algoritmer Ideen bak grådige algoritmer er å løse optimaliseringsproblem
DetaljerAlg. Dat. Øvingsforelesning 3. Grafer, BFS, DFS og hashing
Alg. Dat Øvingsforelesning 3 Grafer, BFS, DFS og hashing Dagens tema Grafer Terminologi Representasjon av grafer Bredde først søk (BFS) Dybde først søk (DFS) Hashing Hashfunksjoner, hashtabeller Kollisjonshåndtering
DetaljerGrunnleggende Grafteori
Grunnleggende Grafteori 2. September, 2019 Institutt for Informatikk 1 Dagens plan Terminologi og definisjoner Hvordan representere grafer i datamaskinen Traversering Dybde-først-søk Bredde-først-søk Topologisk
DetaljerGrunnleggende Grafalgoritmer III
Grunnleggende Grafalgoritmer III Lars Vidar Magnusson 26.3.2014 Kapittel 21 og 22 Usammenhengende-sett Strongly-connected components Usammenhengende Sett Usammenhengende sett er ikke en grafalgoritme i
DetaljerAlgdat - øvingsforelesning
Algdat - øvingsforelesning Topologisk sortering og minimale spenntrær Nils Barlaug Dagens plan 1. 2. 3. 4. 5. Praktisk og dagens plan Topologisk sortering Minimale spenntrær a. Kruskal b. Prim Tips til
DetaljerLøsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3. Algoritmer og Datastrukturer ITF20006
Løsningsforslag for Obligatorisk Oppgave 3 Algoritmer og Datastrukturer ITF20006 Lars Vidar Magnusson Frist 28.03.14 Den tredje obligatoriske oppgaven tar for seg forelesning 9 til 13, som dreier seg om
DetaljerKorteste Vei I. Lars Vidar Magnusson 9.4.2014. Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei
Korteste Vei I Lars Vidar Magnusson 9.4.2014 Kapittel 24 Hvordan finne korteste vei Egenskaper ved korteste vei Korteste Vei Problemet I denne forelesningen skal vi se på hvordan vi kan finne korteste
DetaljerØvingsforelesning 2 - TDT4120. Grafer og hashing. Benjamin Bjørnseth
Øvingsforelesning 2 - TDT4120 Grafer og hashing Benjamin Bjørnseth Informasjon Studasser algdat@idi.ntnu.no Program Presentasjon av øving 2 Grafer og traverseringsalgoritmer BFS, DFS Hashing Gjennomgang
DetaljerPG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10
PG4200 Algoritmer og datastrukturer Forelesning 10 Lars Sydnes, NITH 9. april 2014 NOE Å STUSSE PÅ? Quadratic probing i Hash-tabell: ( ) 2 i + 1 p = p + ( 1) i+1 2 Underforstått forutsetning: Heltallsaritmetikk
DetaljerLars Vidar Magnusson Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting
Rød-Svarte Trær Lars Vidar Magnusson 21.2.2014 Kapittel 13 Rød-Svarte (Red-Black) trær Rotasjoner Insetting Sletting Rød-Svarte Trær Rød-Svarte trær (red-black trees) er en variasjon binære søketrær som
DetaljerIN Algoritmer og datastrukturer
IN2010 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2018 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 4: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2010 H2018, forelesning 4 1 / 54
DetaljerSortering i Lineær Tid
Sortering i Lineær Tid Lars Vidar Magnusson 5.2.2014 Kapittel 8 Counting Sort Radix Sort Bucket Sort Sammenligningsbasert Sortering Sorteringsalgoritmene vi har sett på så langt har alle vært sammenligningsbaserte
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 14. desember 2011 Eksamenstid 1500 1900 Sensurdato 14. januar Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 6: Grafer Bjarne Holen (Ifi, UiO) INF2220 H2009, forelesning 6 1 / 31 Dagens plan:
DetaljerBacktracking som løsningsmetode
Backtracking Backtracking som løsningsmetode Backtracking brukes til å løse problemer der løsningene kan beskrives som en sekvens med steg eller valg Kan enten finne én løsning eller alle løsninger Bygger
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 918 51 949 Eksamensdato 4. desember, 2017
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 11. august 2014 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode D. Ingen
DetaljerKorteste Vei II. Lars Vidar Magnusson 11.4.2014. Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen
Korteste Vei II Lars Vidar Magnusson 11.4.2014 Kapittel 24 Bellman-Ford algoritmen Dijkstra algoritmen Bellman-Ford Algoritmen Bellman-Ford er en single-source korteste vei algoritme. Den tillater negative
DetaljerO, what a tangled. Fjerde forelesning. Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-)
Dagens oppvarming 1 O, what a tangled Fjerde forelesning Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-) O, what a tangled web we weave / When first we practice
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf. 91851949 Eksamensdato 11. august 2014 Eksamenstid (fra til) 0900 1300 Hjelpemiddelkode D. Ingen
DetaljerVi skal se på grafalgoritmer for:
Grafalgoritmer Vi skal se på grafalgoritmer for: Traversering: Oppsøk alle nodene i grafen en og bare en gang, på en eller annen systematisk måte Nåbarhet: Finnes det en vei fra en node til en annen node?
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2016, forelesning 5 1 / 49
DetaljerDijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.
Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi
DetaljerMinimum spenntrær. Lars Vidar Magnusson Kapittel 23. Kruskal Prim
Minimum Spenntrær Lars Vidar Magnusson 2.4.2014 Kapittel 23 Minimum spenntrær Kruskal Prim Minimum Spenntrær Et spenntre er et tre som spenner over alle nodene i en graf G = (V, E). Et minimum spenntre
DetaljerOppgave 3 a. Antagelser i oppgaveteksten. INF1020 Algoritmer og datastrukturer. Oppgave 3. Eksempelgraf
Oppgave 3 3 a IN1020 Algoritmer og datastrukturer orelesning 15: Gjennomgang av eksamen vår 2001 oppgave 3 Arild Waaler Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 11. desember 2006 Oppgave 3 a. Antagelser
DetaljerIN Algoritmer og datastrukturer
IN010 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 018 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer III Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) IN010 0.10.018 1 / 0 Dagens plan: Dybde-først søk Biconnectivity
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2016 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 6: Grafer II Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 28.09.2016 1 / 30 Dagens plan: Dijkstra fort.
DetaljerN-dronningproblemet Obligatorisk oppgave 1 I120, H-2000
N-dronningproblemet Obligatorisk oppgave 1 I120, H-2000 Innleveringsfrist : Mandag, 2. Oktober, kl.10:00 Besvarelsen legges i arkivskapet på UA i skuff merket I120 Innhold: utskrift av godt dokumentert
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Dag Normann - 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende: Eulerstier
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl
SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Løsningsforslag for eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf.
DetaljerAlgoritmer og Datastrukturer
Eksamen i Algoritmer og Datastrukturer IAI 21899 Høgskolen i Østfold Avdeling for informatikk og automatisering Lørdag 15. desember 2001, kl. 09.00-14.00 Hjelpemidler: Alle trykte og skrevne hjelpemidler.
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Dag Normann
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Forelesning 25 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:16) MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerDijkstras algoritme Spørsmål
:: Forside s algoritme Åsmund Eldhuset asmunde *at* stud.ntnu.no folk.ntnu.no/asmunde/algdat/dijkstra.pdf :: Vi er ofte interessert i å finne korteste, raskeste eller billigste vei mellom to punkter Gods-
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 3. desember 2012 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 3. januar 2013 Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Eksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Tlf.!! 91851949 Eksamensdato! 15. august 2013 Eksamenstid (fra til)! 0900 1300 Hjelpemiddelkode D.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-27 14:15) Forelesning 25 MAT1030 Diskret Matematikk 27. april
DetaljerHeapsort. Lars Vidar Magnusson Kapittel 6 Heaps Heapsort Prioritetskøer
Heapsort Lars Vidar Magnusson 24.1.2014 Kapittel 6 Heaps Heapsort Prioritetskøer Sorterings Problemet Sorterings problemet er et av de mest fundementalske problemene innen informatikken. Vi sorterer typisk
DetaljerEksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl
SIF8010 2003-08-09 Stud.-nr: Antall sider: 1 Eksamen i fag SIF8010 Algoritmer og datastrukturer Lørdag 9. august 2003, kl. 0900 1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 41661982; Magnus Lie
DetaljerGRAF-TRAVERSERING. Hvordan utforske en labyrint uten å gå seg vill. Rekkefølge på kanter: Dybde-Først Søk A B C D E F G H I J K L M N O P
R-TRVRSRIN ybde-ørst Søk redde-ørst Søk ruk av MetodeMal som designmønster (Template Method Pattern H Hvordan utforske en labyrint uten å gå seg vill. t dybde-først søk (S) i en urettet graf er som å vandre
DetaljerHashtabeller. Lars Vidar Magnusson Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering
Hashtabeller Lars Vidar Magnusson 12.2.2014 Kapittel 11 Direkte adressering Hashtabeller Chaining Åpen-adressering Dictionaries Mange applikasjoner trenger dynamiske sett som bare har dictionary oparsjonene
DetaljerEksamensoppgave i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Eksamensoppgave i TDT0 Algoritmer og datastrukturer Faglig kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland Telefon 98 5 99 Eksamensdato 7. desember, 06 Eksamenstid
DetaljerDagens plan: INF Algoritmer og datastrukturer. Grafer vi har sett allerede. Det første grafteoretiske problem: Broene i Königsberg
Dagens plan: INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2009 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF2220, forelesning 6: Grafer Definisjon av en graf Grafvarianter Intern representasjon
DetaljerEksamen i tdt4120 Algoritmer og datastrukturer
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Side 1 av 5 Oppgavestillere: Magnus Lie Hetland Jon Marius Venstad Kvalitetskontroll: Magnar Nedland Faglig
DetaljerDisjunkte mengder ADT
Binære relasjoner A A = {(x, y) x, y A}: mengden av ordnede par over A. Disjunkte mengder ADT Weiss kap. 8.1 8.5 Løser ekvivalensproblemet Lett og rask implementasjon Vanskelig tidsforbrukanalyse Ark 1
DetaljerKontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl
Student nr.: Side 1 av 5 Kontinuasjonseksamen i fag SIF8010 Algoritmer og Datastrukturer Torsdag 9. August 2001, kl 0900-1500 Faglig kontakt under eksamen: Arne Halaas, tlf. 73 593442. Hjelpemidler: Alle
DetaljerINF1020 Algoritmer og datastrukturer GRAFER
GRAFER Dagens plan: Minimale spenntrær Prim Kapittel 9.5.1 Kruskal Kapittel 9.5.2 Dybde-først søk Kapittel 9.6.1 Løkkeleting Dobbeltsammenhengende grafer Kapittel 9.6.2 Å finne ledd-noder articulation
DetaljerBacktracking som løsningsmetode
Backtracking Backtracking som løsningsmetode Backtracking løser problemer der løsningene kan beskrives som en sekvens med steg eller valg Kan enten finne én løsning eller alle løsninger Bygger opp løsningen(e)
DetaljerLars Vidar Magnusson
B-Trær Lars Vidar Magnusson 5.3.2014 Kapittel 18 B-trær Standard operasjoner Sletting B-Trær B-trær er balanserte trær som er designet for å fungere bra på sekundære lagringsmedium e.g. harddisk. Ligner
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
N0 - lgoritmer og datastrukturer ØSTN 0 nstitutt for informatikk, Universitetet i Oslo orelesning : rafer ngrid hieh Yu (fi, UiO) N0 0.0.0 / 0 agens plan: ybde-først søk Strongly connected components jesteforelesning:
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Roger Antonsen - 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) Introduksjon Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt rundt oss!
DetaljerLive life and be merry
Om grådighet og først litt mer DP. Live life and be merry Ellevte forelesning for tomorrow you may catch some disgusting skin disease. [Edmund Blackadder] 1 2 g i t k i s K o rt Grådighet All form for
DetaljerAlgdat Eksamensforelesning. Nils Barlaug
Algdat Eksamensforelesning Nils Barlaug Eksamen Pensum Eksamen Pensum Oppgaver du har gjort og ting du har lest Eksamen Pensum Oppgave på eksamen Oppgaver du har gjort og ting du har lest Eksamen Pensum
DetaljerMetode for å lære ny algoritme. Dagens forelesingsplan : time 1. Dybde-Først-Søk : Labyrint. Dybde-Først-Søk : Krigsstrategi. Dybde-Først-Søk : Hva
agens orelesingsplan : time 1 Metoe or å lære ny algoritme Gjennomgang av ybe-først-søk 5-10 min, Sune Gjennomgang av teori-øving 2 5-10 min, Sanve Presentasjon av teori-øving 3 5-10 min, Sanve Se litt
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Introduksjon. En graf. Forelesning 22: Grafteori. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Introduksjon 21. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-21 15:13) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerIntroduksjon. MAT1030 Diskret matematikk. Søkealgoritmer for grafer. En graf
Introduksjon MAT13 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 28 Vi skal nå over til kapittel 1 & grafteori. Grafer fins overalt rundt
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 21: Grafteori Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 9. april 2008 Introduksjon Vi skal nå over til kapittel 10 & grafteori. Grafer fins overalt
DetaljerFra A til B. Syvende forelesning
Fra A til B Syvende forelesning 1 Amøbeproblemet nok en gang. Hva er 1+2+4+ +n/2? 2 Skal la være å trekke frem binærtrefiguren igjen ;-) La oss se på det på en litt annen måte, som passer dagens tema (fra
DetaljerAlle mot alle. Åttende forelesning. (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder.
Enkel alle-til-allealgoritme: Kjør Dijkstra (eller eller Bellman-Ford, eller BFS, alt ettersom) fra alle noder. Kan fungere for spinkle grafer blir dyrt ellers. Alle mot alle Åttende forelesning 1 Dijkstra
DetaljerVi skal se på grafalgoritmer for:
Grafalgoritmer Vi skal se på grafalgoritmer for: raversering: Nåbarhet: Oppsøk alle nodene i grafen en og bare en gang, på en eller annen systematisk måte innes det en vei fra en node til en annen node?
DetaljerAvsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer
Avsluttende eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdato 18. august 2011 Eksamenstid 0900 1300 Sensurdato 8. september Språk/målform Bokmål Kontakt under eksamen Magnus Lie Hetland (tlf.
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2015 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2015, forelesning 5 1 / 55
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
INF2220 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 2017 Ingrid Chieh Yu Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 5: Grafer I Ingrid Chieh Yu (Ifi, UiO) INF2220 H2017, forelesning 5 1 / 53
DetaljerKøbenhavn 20 Stockholm
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 26. mai 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg:
DetaljerGRAFER. Korteste vei i en vektet graf uten negative kanter. Korteste vei, en-til-alle, for: Minimale spenntrær
IN Algoritmer og datastrukturer GRAER IN Algoritmer og datastrukturer Dagens plan: orteste vei, en-til-alle, for: ektet rettet graf uten negative kanter (apittel 9..) (Dijkstras algoritme) ektet rettet
DetaljerDet første grafteoretiske problem: Broene i Königsberg
Dagens plan: INF0 - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 007 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo INF0, forelesning 6: Grafer Denisjon av en graf (kap. 9.1) Grafvarianter Intern representasjon
DetaljerTMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4140 Diskret Matematikk Høst 2016 Seksjon 10.2 18 La G = (V,E) være en enkel graf med V 2. Ettersom G er enkel er de mulige
DetaljerStudentnummer: Side 1 av 1. Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005
Studentnummer: Side 1 av 1 Løsningsforslag, Eksamen i TDT4120 Algoritmer og datastrukturer August 2005 Faglige kontakter under eksamen: Magnus Lie Hetland, Arne Halaas Tillatte hjelpemidler: Bestemt enkel
DetaljerOppgave 1. Sekvenser (20%)
Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet UNIVERSITETET I BERGEN Eksamen i emnet I 20 - Algoritmer, datastrukturer og programmering Mandag 2.Mai 200, kl. 09-5. Ingen hjelpemidler tillatt. Oppgavesettet
DetaljerTeoriøving 7 + litt om Ford-Fulkerson. Magnus Lie Hetland
Teoriøving 7 + litt om Ford-Fulkerson Magnus Lie Hetland Oppgave 1 a s 7 t 3 x 4 2 2 8 2 u 6 v 3 w Bruk DIJKSTRA eller BELLMAN-FORD og finn minste avstand fra s til de andre nodene. Svar/utregning (DIJKSTRA):
DetaljerPG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 2
PG 4200 Algoritmer og datastrukturer Innlevering 2 Frist: Mandag 21.april 2014 kl 23.55 Utdelt materiale: Se zip-filen innlevering2.zip. Innlevering: Lever en zip-fil som inneholder følgende: PG4200_innlevering_2.pdf:
DetaljerMAT1030 Forelesning 25
MAT1030 Forelesning 25 Trær Roger Antonsen - 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) Forelesning 25 Litt repetisjon Vi har snakket om grafer og trær. Av begreper vi så på var følgende. Eulerstier
DetaljerUke 5 Disjunkte mengder
Uke 5 Disjunkte mengder MAW, kap.. 8 September 19, 2005 Page 1 Hittil Forutsetninger for og essensen i faget Metodekall, rekursjon, permutasjoner Analyse av algoritmer Introduksjon til ADT er Den første
DetaljerINF Algoritmer og datastrukturer
IN2220 - lgoritmer og datastrukturer HØSTN 2016 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo orelesning 7: rafer III Ingrid hieh Yu (Ifi, UiO) IN2220 05.10.2016 1 / 28 agens plan: evis for Prim ybde-først
DetaljerIN1010 V18, Obligatorisk oppgave 5
IN1010 V18, Obligatorisk oppgave 5 Innleveringsfrist: Tirsdag 17.04. kl 10:00 Versjon 1.3 (12.04.2018) Sist modifisert av Silje Merethe Dahl. Innledning I denne oppgaven skal du bruke rekursjon til å lage
DetaljerForelesning 25. MAT1030 Diskret Matematikk. Litt repetisjon. Litt repetisjon. Forelesning 25: Trær. Roger Antonsen
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 25: Trær Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Forelesning 25 29. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-29 00:28) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerLineær sortering. Radix sort
Fra forrige gang 1 Lineær sortering Radix sort 2 Sorter hvert siffer for seg Bruk en stabil sortering (f.eks. CS) for å bevare arbeidet så langt Vi må begynne med minst signifikante siffer Konstant antall
DetaljerA study of different matching heuristics. Hovedfagspresentasjon Jan Kasper Martinsen
A study of different matching heuristics Hovedfagspresentasjon Jan Kasper Martinsen (janma@ifi.uio.no) Terminologi: Graf teori En graf består av et sett med noder Nodene er tilknyttet hverandre ved hjelp
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN. 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: ITF 20006 Emne: Algoritmer og Datastrukturer Dato: 22.05.2015 Eksamenstid: kl 09.00 til kl 13.00 Hjelpemidler: Faglærer: 4 dobbeltsidige ark med notater Lars Magnusson
DetaljerDijkstras algoritme. Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert.
Her finnes det også (minst) en riktig rekkefølge for Relax, men den må vi oppdage litt etter hvert. Tenk vann som sprer seg i rør: Vi behandler krysningspunktene i den rekkefølgen de fylles. Det må gi
DetaljerDefinisjon. I et binært tre har hver node enten 0, 1 eller 2 barn
Binære trær Definisjon I et binært tre har hver node enten 0, 1 eller 2 barn Rekursiv definisjon: Et binært tre er enten tomt, eller: Består av en rotnode og to binære trær som kalles venstre subtre og
DetaljerInnhold. Innledning 1
Innhold Innledning 1 1 Kompleksitetsanalyse 7 1.1 Innledning.............................. 8 1.2 Hva vi beregner........................... 8 1.2.1 Enkle operasjoner...................... 8 1.2.2 Kompleksitet........................
DetaljerMAT1030 Forelesning 22
MAT1030 Forelesning 22 Grafteori Dag Normann - 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:45) Kombinatorikk Oppsummering av regneprinsipper Ordnet utvalg med repetisjon: n r Ordnet utvalg uten repetisjon:
DetaljerKombinatorikk. MAT1030 Diskret Matematikk. Oppsummering av regneprinsipper
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kombinatorikk 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:43) MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 22: Grafteori Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. april 2010 (Sist oppdatert: 2010-04-14 12:42) Kombinatorikk MAT1030 Diskret Matematikk 14.
DetaljerSøk i tilstandsrom. Backtracking (Kap. 10) Branch-and-bound (Kap. 10) Iterativ fordypning. Dijkstras korteste sti-algoritme A*-søk (Kap.
Søk i tilstandsrom Backtracking (Kap. 10) DFS i tilstandsrommet. Trenger lite lagerplass. Branch-and-bound (Kap. 10) BFS Trenger mye plass: må lagre alle noder som er «sett» men ikke studert. Kan også
DetaljerKorteste vei i en vektet graf uten negative kanter
Dagens plan: IN - Algoritmer og datastrukturer HØSTEN 7 Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo IN, forelesning 7: Grafer II Korteste vei, en-til-alle, for: Vektet rettet graf uten negative kanter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 13. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: INF2220 lgoritmer og datastrukturer
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF2220 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 16. desember 2013 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamensdag: 14. desember 2012 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: INF2220
DetaljerMorfologi i Binære Bilder
Morfologi i Binære Bilder Lars Vidar Magnusson February 26, 2018 Delkapittel 9.1 Preliminaries Delkapittel 9.2 Dilation and Erosion Delkapittel 9.3 Opening and Closing Delkapittel 9.4 The Hit-or-Miss Transformation
DetaljerHva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist
Stack Hva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi ta ut et element, tar
DetaljerHva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist
Stack Hva er en stack? En lineær datastruktur der vi til enhver tid kun har tilgang til elementet som ble lagt inn sist Et nytt element legges alltid på toppen av stakken Skal vi ta ut et element, tar
DetaljerINF1020 Algoritmer og datastrukturer GRAFER
GRAFER Dagens plan: Definisjon av en graf (kapittel 9.1) Grafvarianter Intern representasjon av grafer (kapittel 9.1.1) Topologisk sortering (kapittel 9.2) Korteste vei, en-til-alle, for: uvektet graf
DetaljerLO118D Forelesning 9 (DM)
LO118D Forelesning 9 (DM) Grafteori 26.09.2007 1 Introduksjon 2 Veier og sykler 3 Hamiltonsykler og omreisende handelsmenn Graf, urettet Definisjon En graf (eller urettet graf) G består av en mengde V
Detaljer