O, what a tangled. Fjerde forelesning. Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-)

Transkript

1 Dagens oppvarming 1

2 O, what a tangled Fjerde forelesning Robot-eksemplet som ikke ble gjennomgått sist blir frivillig selvstudium (ut fra foilene :-) O, what a tangled web we weave / When first we practice to deceive! Sir Walter Scott, *Marmion* 2 Bruk av verktøy som rekursjon, induksjon, etc. er mer implisitt denne gangen. Se om hvor mange du kjenner igjen ;-)

3 I dag Topologisk sortering Sterke komponenter Minimale spenntrær Kruskals algoritme Prims algoritme 3

4 4

5 5

6 6

7 En litt annen måte å forklare traversering på Traversering 7

8 Forrige gang Q = [startnode] while Q: plukk ut en node u fra Q legg naboene til u inn i Q Vi gjør gjerne noe mer etter hvert som vi legger inn og plukker ut noder, da. F.eks. når vi legger inn: Husk hvor du kom fra (noden u). Det gir oss et traverseringstre. Det kan også hende vi gjør oppdateringer av avstandsestimater e.l. Mer om det siden. 8 Husk: For å besøke flere komponenter må vi starte fra hver (ubesøkt) node i grafen. Vi skal se en parallell til det i SCCer senere Hvilken node vi plukker ut påvirker atferden. Er Q en FIFO-kø får vi BFS En LIFO-kø gir DFS En helt vilkårlig (eller tilfeldig) kø vil også gi oss en gyldig traversering. (Prim og Dijkstra bruker prioritetskøer med dynamisk oppdatert prioritet men det er fortsatt en traversering som dette.)

9 Annet perspektiv Vi bygger et tre I hver runde Rundt treet er et snitt Utvid treet med en kant fra snittet Kan være et nyttig perspektiv når vi skal se på hvorfor f.eks. Prims og Dijkstras algoritmer er korrekte. Prim: Vi velger minste kant over snittet (vi har et eget teorem om hva som skjer da). Dijkstra: Vi observerer at det ikke finnes noen snarveier gjennom snittet. Mer om det siden. Snitt: Egentlig fordeling av nodene i to mengder. Her representert ved kantene mellom de to mengdene. 9 Når vi ikke kommer videre har vi (1) enten traversert hele grafen eller (2) truffet et *blokkerende* snitt (tomt for kanter, hvis grafen er usammenhengende, eller med kun rettede baklengskanter ).

10 Litt spesielt: I praksis besøker vi hver nabo vi finner direkte (vha. rekursjon), før de andre legges inn i køen. DFS? WTF? Hvilken informasjon ligger egentlig i finish-time? Alle noder er hvite fra starten «Halvferdige» er grå Ferdige er svarte d[v]: discover-time f[v]: finish-time Besøk alle hvite vi støter på rekursivt En grå node har ikke fått besøkt alle sine naboer ennå (dvs. vi har ikke backtracket over den). Eksempel s. 605 i boka (3. utg). 10

11 Topologisk sortering 11

12 DAG Directed Acyclig Graph Rettet asyklisk graf Dvs: Vi kan ikke gå i ring! Naturlig representasjon av avhengigheter 12

13 Dance Grade 10, Open Dramatic Arts Grade 9, Open Dramatic Arts Grade 10, Open Music Grade 9, Open Music Grade 10, Open Dramatic Arts Grade 11, University/College Dramatic Arts Grade 11, Open Music Grade 11, University/College Music Grade 11, Open Grade 12, U Dramatic Arts Grade 12, Open Music Grade 12, University/College Exploring the Arts Grade 12, Open Any Grade 9 or 10 arts course Media Arts Grade 10, Open Any Grade 11 arts course Media Arts Grade 11, Open 13 Visual Arts Grade 11, University/College For å ta et fag må du ta alle de forutsatte fagene, og deres forutsatte fag etc. For å finne ut hva som trengs for et bestemt fag kan du kjøre en baklengs traversering fra noden. Media Arts Grade 12, Open Visual Arts Grade 12, University/Col

14 Vi har en delvis ordning Hvis a > b og b > c så a > c Det kan være at verken a > b eller b > a 14

15 15!

16 16 Et eksempel fra sportsverden (ikke min sterke side): Hvordan kle på seg før man står i mål i hockey

17 Vi må nesten ta på strømper før skøyter < 17

18 18 men maske og susp kan vi ta på i vilkårlig rekkefølge. Hvordan velge?

19 19 Kanskje her?

20 socks hose pants shorts t-shirt chest pad Vår oppgave: Finn en *total* ordning som respekterer den *partielle* ordningen. Det flere muligheter. skates sweater leg pads mask batting glove catch glove blocker 20

21 Vanlig sortering kan (konseptuelt) ses på som et spesialtilfelle. DAG-en er da *komplett*

22 for må dette ktig? dan kan man en kjøretid på + E)? Tenk selection sort 1. «Klipp av» noder uten innkanter 2. Legg løse noder bakerst i lista 3. Hvis grafen ikke er tom, start på nytt Helt OK i seg selv, men for å få til SCCalgoritmen vår må vi gjøre det på en litt annen måte 22 La oss se nærmere på DFS her.

23 Lemma 22.11: G er asyklisk hvis og bare hvis DFS ikke finner bakover-kanter. (Hvorfor?) Vi har altså ingen bakover-kanter < ; = ; ; % 23

24 Kjernen i beviset Ingen bakoverkanter Møter kun hvite/svarte Hvit: Etterkommer lavere Svart Ferdig lavere f[u] > f[v] u v Hvis vi sorterer omvendt etter f[v] vil alle kanter dermed gå samme vei. 24

25 Altså: Sortér i synkende finished -tid. Topological-Sort(G): Hvorfor må det bli riktig? Kall DFS(G) for å beregne f[v] Etter hvert som nodene er ferdige: Legg dem i starten av en liste Returner den lenkede listen 25

26 socks shorts hose t-shirt 7/ 14 osv pants chest pad 8/ 13 skates sweater 9/ 12 10/11 leg pads mask batting glove 1/ 6 catch glove 2/ 5 blocker 3/4 26

27 Alle piler går til høyre (tenk deg at alle var på samme linje ) socks shorts hose pants skates leg pads t-shirt chest pad sweater mask batting glove catch glove blocker 27

28 Kant-ensretting Ingen sykler Sorter etter f Underveis O(E + V) Topologisk sortering 28

29 29

30 Strongly Connected Components, eller SCCs. Deler av grafen der det finnes stier fra enhver node til enhver annen (innen samme komponent). Sterke komponenter 30

31 Hvorfor? Viktig strukturbeskrivelse av grafer Lar oss finne naturlige «enheter» i grafen For oss: Mest en anvendelse av topologisk sortering 31

32 Vi kan teste om en komponent er sterk ved traversering i G og G T fra en vilkårlig node, s. Hvis alle nås, kan alle nå hverandre, via s. De som kan nås fra s i G og G T er SCC-en til s. To noder som kan nå hverandre har samme SCC. G og G har samme SCC-er Komponentgraf: Hver node er en SCC Lemma: Komponentgrafen er en DAG (Se neste slide.) 32

33 33

34 Notér de!e! f-verdiene som brukes er altså fra første trinn. Hvert DFS-tre i tredje trinn blir en SCC. Men hvorfor det?! 1. Kjør DFS på G, og ta vare på f-verdier 2. Beregn G T 3. Kall DFS på G T men velg noder etter synkende f-verdi 34

35 Vi vil besøke én og én komponent Hva om vi besøker besøker komponentene i topologisk rekkefølge? Og hva om vi bruker GT i stedet for G? Vi kan da traversere en hel komponent med DFS, men kommer oss aldri videre, for kantene til alle komponentene vi ikke har besøkt er bak frem, og peker mot oss. 35

36 Vi vil først vise at hvis vi velger noder etter synkende f så vil vi besøke komponentene i topologisk sortert rekkefølge 36

37 = / /! Lemma 22.14: I denne situasjonen vil den seneste noden i C være ferdigbehandlet før den seneste i C. Korollar: Hvis kanten ligger i G transponert så vil situasjonen være omvendt. Enda et korollar: Hvis den seneste i C er behandlet ferdig før den seneste i C så kan det ikke være noen kant fra C til C i G transponert (direkte fra forrige). 37

38 Så Vi starter med C som har maks f-verdi Vi utforsker alle noder i C Siden f(c) > f(c ) finnes det ingen kanter fra C til C i G T Altså: Vi utforsker bare C Fortsett så med C etc. 38

39 Vi traverserer (G T ) SCC i omvendt topologisk rekkefølge 39

40 Vi vil bare kunne bevege oss innad i C eller til komponenter vi allerede har besøkt, siden vi besøker nodene i omvendt topologisk rekkefølge i komponentgrafen. G T gir motstand Vi kan utforske C uansett, siden den er sterk men vi kommer oss ikke videre, fordi kantene går bakover. 40

41 Finn SCCer Viser struktur DFS i G T etter f Basert på DFS i G O(V + E) SCC vha DFS 41

42 42

43 43

44 Eksempel på grådighet: Velg det som er optimalt sett helt med lokale øyne. Det viktigste er da å vise at det blir korrekt (med induksjon og/eller bevis ved selvmotsigelse). Minimale spenntrær 44

45 Eksempel: Et sett med hus og veier. Hver vei forbinder to (og bare to) hus. Hver vei har en reparasjonskostnad. Mål: Reparer nok veier (men ikke fler) til at 1. Alle hus kan nå hverandre (urettet graf), og 2. Totale kostnader minimeres Annet eksempel: Elektroniske kretser; bruk minst mulig metall. Annet eksempel: Elektrisk nettverk for et sett med byer. 45 Hvorfor må det bli et tre? Hvis vi har én sykel, hva kan/må vi gjøre?

46 Spenntrær ' :H :0 I & ( N J + : M N ) * J K L, - Har V 1 kanter Har ingen sykler Er ikke nødvendigvis unike I 0 ::. 46

47 Vi bygger oss et sett med kanter. Begynner med en tom mengde, og legger til én og én kant. Invariant: Foreløpig løsning er et subsett av et MST. Trenger ikke være sammenhengende. Når vi har V-1 kanter *må* det jo være riktig. 47

48 «Trygg» betyr bare at vi ikke bryter invarianten. Så A er et ekte subsett av et MST helt til det faktisk *er* et MST. 1. A er en tom mengde Hvordan finner vi trygge kanter? 2. Så lenge A ikke er et spenntre: a) Finn en kant som er trygg for A b) Legg kanten til i A Induksjon 48

49 Viktig! 6 Anta at A ikke har noen kanter over «snittet» på figuren. Den letteste kanten er da trygg. (Vi kan ha flere.) % = Vises lett ved selvmotsigelse. Hvorfor kan det bli galt hvis A allerede krysser snittet?? > :H6 49

50 A er en skog Hver trygg kant slår sammen to trær Vi trenger V 1 iterasjoner 50

51 Trivia: Union-find-strukturen er *supereffektiv*. Den er et eksempel på en av de få kjøretidene i pensum som er raskere enn logaritmisk, men likevel (i teorien) langsommere enn konstant. ( I teorien, fordi det vil være omtrent fysisk umulig for den å komme over 4 ) Se etter Inverse Ackermann i boka eller på nett :-) «I hy! og vær» Se på dekomponering/ reduksjon/rekursjon/ induksjon som perspektiver her Går igjennom kantene i sortert rekkefølge (etter vekt), og hopper over ulovlige kanter (de som gir sykler). Liten ekstra vanskelighet: Hvordan avgjør vi om en kant skaper en sykel? Vi må ha en lur datastruktur som tar vare på trærne i skogen så langt. Kruskals algoritme Union-find: Beskrevet mer i detalj i læreboka. Hovedprinsipp: Alle trær har en peker til sitt «super-tre»/union. 51

52 Finn MST Sorter kanter Bruk lovlige O(E lg V) Kruskals algoritme 52

53 Minner om DFS/BFS, men har en annen type «kø»/ valgmekanisme: «Jevnt og fint» Ta alltid noden som det er billigst å koble til treet du har så langt. Her har vi altså hele tiden bare ett tre i A. Traversering Prims algoritme 53

54 = > Her er snittet «rundt» treet. 54 (+)"*A#0)#

55 Finn MST Traversering Neste: Kortest Raskest i praksis O(V lg V + E) Akkurat det er ikke pensum, men jeg har sett studier som tyder på det :-) (Med vanlig binær heap.) Prims algoritme 55

56 Så 56

57 Topsort: DFS; sortér etter f SCC: 2 DFS; #2 etter f fra #1 i GT Kruskal: Kanter sortert; unngå sykler O(E lg V) Prim: Koble til billigste node O(V lg V + E) Ikke helt klart hvilken som er «best» av Prim og Kruskal. Empirisk (i virkelige implementasjoner) vinner Prims algoritme også over mer avanserte algoritmer. 57