Sannsynlighet løsninger

Transkript

1 Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant Kombinatorikk Sannsynlighetsberegninger Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell Binomisk sannsynlighetsmodell Eksempelsett Oppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen/NDLA Eksamensoppgavene er hentet fra 1

2 3.1 Pascals talltrekant Fyll i tallene som mangler i Pascals talltrekant Bruk Pascals talltrekant til å finne svar på regneoppgavene a) b) c) d) Svarene er markert med farge i Pascals trekant. 2

3 3.1.3 I en hatt ligger det fem kuler. Bruk Pascals talltrekant og svar på oppgavene. a) På hvor mange måter kan du trekke ut én kule fra hatten? 5 b) På hvor mange måter kan du trekke ut to kuler fra hatten? 10 c) På hvor mange måter kan du trekke ut tre kuler fra hatten? 10 d) På hvor mange måter kan du trekke ut fire kuler fra hatten? 5 e) På hvor mange måter kan du trekke ut fem kuler fra hatten? Bruk Pascals talltrekant og regn ut. a) a b a 2ab b b) a b a 4a b 6a b 4ab b c) a b a 5a b10a b 10a b 5ab b d) a b a 6a b15a b 20a b 15a b 6ab b 3

4 3.1.5 Bruk Pascals talltrekant og regn ut. a) x x 3x 1 3x1 1 x 3x 3x b) x 2 3 x 3x 2 3x 2 2 x 6x 12x c) 3a a 63 a 43a a a 54a 12a a a 12a 54a 108a 81 d) 2x x 3 2x 4 32x x 34x 4 6x x 48x 96x 64 Alternativ: 3 2x 4 2 x x 3 x 2 3 x x 6x 12x 8 2 e) 0 9x

5 3.2 Kombinatorikk I hvert av tilfellene nedenfor skal du avgjøre om vi har et ordnet utvalg med tilbakelegging et ordnet utvalg uten tilbakelegging et uordnet utvalg uten tilbakelegging a) En kodelås består av 3 tall mellom 0 og 9. Hvert tall kan brukes flere ganger. I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Vi kan også bruke tallene mellom 0 og 9 flere ganger. Vi har et ordnet utvalg med tilbakelegging. b) En kodelås består av 5 bokstaver. Hver bokstav kan bare brukes én gang. I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Vi kan ikke bruke bokstavene mer enn én gang. Vi har dermed et ordnet utvalg uten tilbakelegging. c) Et bilnummer. I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Vi regner med at vi kan bruke tall og bokstaver mer enn én gang. Vi har dermed et ordnet utvalg med tilbakelegging. d) I klassen din skal det trekkes ut én leder, én festansvarlig og én økonomiansvarlig. Den første som blir trukket ut blir leder osv. I dette tilfellet har rekkefølgen noe å si. Samme person kan ikke ha to oppgaver. Vi har dermed et ordnet utvalg uten tilbakelegging. e) I klassen din skal det trekkes ut 4 elever som skal ta ansvaret for en klassefest. I dette tilfellet har rekkefølgen ikke noe å si. Samme person kan ikke ha to oppgaver. Vi har dermed et uordnet utvalg uten tilbakelegging En kodelås består av 5 tall mellom 0 og 9. Samme tall kan brukes flere ganger. a) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage? Dette er et ordnet utvalg med tilbakelegging. Vi har 10 valgmuligheter hver gang vi skal velge et tall. Det gir ulike kombinasjoner b) Hvor mange ulike kombinasjoner kan du lage dersom du ikke kan ha to like tall etter hverandre? Vi kan velge det første tallet i koden blant 10 ulike tall, deretter få du 9 tall å velge mellom. Det gir ulike kombinasjoner 5

6 3.2.3 Et bilnummer består av to bokstaver og deretter fem tall mellom 0 og 9. Det kan velges mellom 20 ulike bokstaver. Det første tallet kan ikke være 0. a) Hvor mange kombinasjoner finnes det? Vi kan her velge mellom 20 bokstaver. Det første tallet i bilnummeret velges blant 9 ulike tall, mens de 4 siste velges mellom 10 ulike tall. Det gir ulike kombinasjoner Et annet bilnummer består av tre bokstaver og deretter fire tall mellom 0 og 9. Det kan velges mellom 20 ulike bokstaver. Det første tallet kan ikke være 0. b) Hvor mange kombinasjoner finnes det? Vi kan her velge mellom 20 bokstaver. Det første tallet i bilnummeret velges blant 9 ulike tall, mens de 3 siste velges mellom 10 ulike tall. Det gir ulike kombinasjoner Stefania, Dina, Joar, Jon og Henrik skal løpe en skolestafett. De trekker ut hvem som skal løpe de ulike etappene. a) Hvor mange måter kan stafettlaget settes opp på? Dette er et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Her kan vi velge mellom 5 løpere til første etappe, deretter 4 på andre etappe osv. Det gir ! 120 mulige måter b) Det er bestemt på forhånd at Henrik skal løpe sisteetappen. Hvor mange mulige stafettkombinasjoner blir det nå? Nå har vi bare 4 løpere å velge mellom til første etappe osv. Det gir ! 24 mulige kombinasjoner 6

7 3.2.5 En kode på 3 bokstaver skal bestå av bokstaver fra det norske alfabetet. En bokstav kan bare brukes én gang. Det er 29 bokstaver i det norske alfabetet. Hvor mange ulike koder kan du lage? Dette er et ordnet utvalg uten tilbakelegg. Det gir ulike koder I et borettslag med 50 medlemmer skal det velges et styre med leder, nestleder og kasserer. Først velges leder, deretter nestleder og til slutt kasserer. a) Hvor mange måter kan styret settes sammen på? Dette er et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Det gir mulige måter I et annet borettsslag som også består av 50 medlemmer, skal det velges ut tre medlemmer til en dugnadskomité. b) Hvor mange ulike komiteer er det mulig å sette sammen? Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Det gir ulike komitéer 321 c) Forklar med dine egne ord hvorfor det blir langt færre kombinasjoner i situasjonen som er beskrevet i b) sammenliknet med situasjonen i a). Det er mange ulike ordnede utvalg som utgjør det samme uordnede utvalget. Tenk deg at personene A, B og C er trukket ut. Dersom vi hadde tatt hensyn til rekkefølgen, ville vi ha seks ulike kombinasjoner, nemlig ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA. Når vi ikke tar hensyn til rekkefølgen, danner disse tre personene bare én kombinasjon. Vi får derfor 6 ganger så mange kombinasjoner i situasjonen som er beskrevet i a) sammenliknet med situasjonen beskrevet i b). 7

8 3.2.7 Det skal trekkes ut to personer fra en gruppe på fire personer. a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt. Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Rekkefølgen de to personene blir trukket ut i betyr ikke noe. En person kan heller ikke bli trukket ut to ganger. Vi lar de fire personene få bokstavene A, B, C og D. b) Sett opp de ulike kombinasjoner som finnes. Vi får kombinasjonene: AB, AC, AD, BC, BD og CD. c) Bruk formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegging, og finn antall ulike kombinasjoner. n 4 4! 432 Antall ulike kombinasjoner blir 6 k 2 2! 2! Det skal trekkes ut tre elever fra klasse 2STB. Det er 30 elever i klassen. a) Hvilken type utvalg er dette? Argumenter godt for svaret ditt. Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Rekkefølgen de to personene blir trukket ut i betyr ikke noe. En elev kan heller ikke bli trukket ut to ganger. b) Hvor mange ulike kombinasjoner finnes det? Bruker formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall ulike kombinasjoner blir n 30 30! ! k 3 3! 27! 3! 27! Det skal trekkes ut 6 spillere til volleyballag fra en gruppe på 10 spillere. Hvor mange måter kan dette gjøres på? Her har vi et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall ulike kombinasjoner blir n 10 10! ! k 6 6! 4! !

9 Du skal nå se på noen eksempler på forsøk som kan oppfattes som at vi legger n antall nummererte lapper i en hatt og trekker ut en lapp r ganger. Denne oppgaven har ikke løsningsforslag. Diskuter med dine medelever dersom du er usikker. Tenk deg godt om før du spør læreren din. a) Å kaste en terning kan oppfattes som å plassere 6 lapper, nummerert fra 1 til 6, i en hatt, og så trekke 1 lapp. Hvor mange mulige utfall finnes det? b) Å spille lotto kan oppfattes som å ha 34 lapper, nummerert fra 1 til 34, i en hatt, og så trekke 7 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det? c) Å velge to elever til elevrådet kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det? d) Å velge leder og nestleder i klassen kan oppfattes som å ha 30 lapper, nummerert fra 1 til 30, i en hatt, og så trekke 2 lapper. Den første som trekkes blir leder. Hvor mange mulige utfall finnes det? e) Å tippe fotballkamper kan oppfattes som å ha 3 lapper, nummerert fra 1 til 3, i en hatt, og så trekke en lapp 12 ganger. Hver gang legges lappen tilbake. Hvor mange mulige utfall finnes det? f) Å lage en bokstavkode på 3 bokstaver kan oppfattes som å ha 29 lapper, nummerert fra 1 til 29, i en hatt, og så trekke 3 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det? g) Å velge ut 11 spillere fra en stall på 18 kan oppfattes som å ha 18 lapper, nummerert fra 1 til 18, i en hatt, og så trekke 11 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det? h) Å velge ut 4 skiløpere til et stafettlag fra en stall på 8 kan oppfattes som å ha 8 lapper, nummerert fra 1 til 8, i en hatt, og så trekke 4 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det? i) Samme som h), men vi tar også hensyn til hvem som skal gå de forskjellige etappene. Hvor mange mulige utfall finnes det? j) Å få utdelt 13 kort når du spiller amerikaner, kan oppfattes som å ha 52 lapper, nummerert fra 1 til 52, i en hatt, og så trekke 13 lapper. Hvor mange mulige utfall finnes det? 9

10 3.3 Sannsynlighetsberegninger I en klasse er det 16 jenter og 14 gutter. Klassen skal stille et lag i en volleyballturnering. Laget skal ha seks spillere. a) Hvor mange rene jentelag kan vi sette sammen? 16 Antall ulike lag er b) Hvor mange rene guttelag kan vi sette sammen? 14 Antall ulike lag er c) Hvor mange ulike lag kan vi sette sammen dersom laget kan bestå av både gutter og jenter? 30 Antall ulike lag er I klassen går blant andre guttene Espen, Tor, Håkon, Markus, Anders og Olav. d) Hvor stor er sannsynligheten for at akkurat disse seks guttene velges ut til et rent guttelag i volleyballturneringen? Definerer hendelsen A. A : Alle de seks guttene trekkes ut. 1 1 PA 0,

11 3.3.2 I en klasse er det 8 jenter og 7 gutter. Klassen skal stille et lag i en volleyballturnering. Laget skal bestå av 3 jenter og 3 gutter. a) På hvor mange ulike måter kan vi trekke ut tre gutter? 7 7! ulike måter 3 3! 4! 32 1 b) På hvor mange ulike måter kan vi trekke ut tre jenter? 8 8! ulike måter 3 3! 5! 32 1 Multipliser svarene du fikk i a) og b). Hva har du funnet nå? Svaret forteller hvor mange ulike lag med 3 jenter og 3 gutter vi kan sette sammen. I klassen går de tre jentene, Mette, Mari og Martha. c) Hva er sannsynligheten for at alle disse tre jentene kommer med på laget når det foretas en tilfeldig trekning? Definerer hendelsen A. A : Alle de tre jentene kommer på samme lag. 1 1 PA Per-Mathias Høgmo skal ta ut 11 fotballspillere som skal starte i en landskamp. Han kan velge mellom 2 målmenn, 6 forsvarsspillere, 7 midtbanespillere og 5 spisser. Laget til Høgmo skal bestå av 1 målmann, 3 forsvarsspillere, 5 midtbanespillere og 2 spisser. a) Hvor mange ulike lagoppstillinger er mulig? Hvert av valgene til Høgmo er et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall mulige lagoppstillinger blir b) Bestem sannsynligheten for at en som ikke kjenner noen av spillerne, skal sette opp samme lagoppstilling som Høgmo. 1 Sannsynligheten blir 0,

12 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell En gruppe på 4 elever består av 2 gutter og 2 jenter. Det skal trekkes ut 2 elever fra gruppen. La guttene få bokstavene G 1 og G 2, og jentene J 1 og J 2. a) List opp antall mulige ulike kombinasjoner. De ulike kombinasjonene er G 1 G 2, G 1 J 1, G 1 J 2, G 2 J 1, G 2 J 2, J 1 J 2. I alt 6 ulike kombinasjoner. b) Finn sannsynligheten for at det trekkes ut 2 jenter. Det er bare en mulighet for 2 jenter, nemlig J 1 J 2. Sannsynligheten for 2 jenter blir dermed 1 6 c) Finn sannsynligheten for at det trekkes ut 1 jente og 1 gutt. Det er i alt 4 ulike kombinasjoner med 1 jente og 1 gutt, nemlig G 1 J 1, G 1 J 2, G 2 J 1, G 2 J 2. Sannsynligheten for 1 jente og 1 gutt blir dermed d) Bruk formelen for hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, og finn svarene i b) og c). Sannsynligheten for 2 jenter blir er Sannsynligheten for 1 jente og 1 gutt blir

13 3.4.2 I en klasse skal det trekkes ut 4 elever til en festkomité. Klassen består av 16 jenter og 14 gutter. a) Bestem sannsynligheten for at det blir en komité på 4 jenter. Dette er en hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra Sannsynligheten for at det blir en komité på 4 jenter er 0,0664. b) Bestem sannsynligheten for at det blir en komité på 4 gutter. Sannsynligheten for at det blir en komité på 4 gutter er 0,0365. c) Hvorfor er ikke svarene i a) og b) like? Det er færre gutter enn jenter. Det er derfor mindre sannsynlig å trekke 4 gutter enn å trekke 4 jenter. 13

14 d) Hva blir sannsynligheten for at det blir en komité på 2 jenter og 2 gutter? Sannsynligheten for at det blir en komité på 2 jenter og 2 gutter er 0,

15 3.4.3 Du trekker 4 kort fra en kortstokk. a) Hva er sannsynligheten for å trekke 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjerter? Definerer hendelsen A: Trekke 1 spar, 1 kløver, 1 ruter og 1 hjerter PA 0, b) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 4 hjerter? Definerer hendelsen: B: Trekke 4 hjerter PB 0,

16 c) Hva er sannsynligheten for å trekke ut 2 ruter og 2 spar? Definerer hendelsen C: Trekke 2 ruter og 2 spar P C , Du trekker 8 kort fra en kortstokk. d) Bestem sannsynligheten for å trekke 2 spar, 2 kløver, 3 hjerter og 1 kløver. Definerer hendelsen D: Trekke 2 spar, 2 kløver, 3 hjerter og 1 kløver PD 0,

17 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell Vi kaster et kronestykke tre ganger. a) Tegn et valgtre som illustrerer de mulige utfallene vi kan få. b) Hva er sannsynligheten for å få nøyaktig to mynt? Vi har åtte ulike utfall. I tre av utfallene får vi nøyaktig to mynt. c) Hva er sannsynligheten for å få ingen kron? 3 PNøyaktig to mynt 0,375 8 Sannsynligheten for ingen kron er det samme som sannsynligheten for bare mynt. 1 PIngen kron 0,125 8 d) Bruk binomialformelen til å finne svarene i b) og c). n p p k k Bruker formelen 1 Svar på b) nk der n 3, k antall mynt og p 0, ! Sannsynligheten for å få nøyaktig to mynt er 3 0, ! 1!

18 Svar på c) ! 1 1 Sannsynligheten for å få ingen kron er 1 0, ! 3! Vi kaster en terning 10 ganger. Finn sannsynligheten for at vi får a) to seksere P(to seksere)= 0, Utregning med digitalt hjelpemiddel 18

19 b) tre seksere P(tre seksere)= 0, c) ingen seksere 5 P(ingen seksere)= ,162 19

20 d) minst en sekser Sannsynligheten for minst en sekser er det samme som 1 sannsynligheten for ingen seksere. Vi får P(minst én sekser)=10,162 0, Morten planter 40 tulipanløk i hagen. Han regner med at spireevnen til løkene er 80 %. Hva er sannsynligheten for at a) minst 30 av løkene vil spire? Dette er en binomisk situasjon. Jeg bruker sannsynlighetskalkulatorene i GeoGebra. At minst 30 av løkene vil spire vil si at fra og med 30 til og med 40 av løkene vil spire. Sannsynligheten for at minst 30 løk spirer er 0,

21 b) høyst 30 av løkene vil spire? Høyst 30 vil si at fra 0 til og med 30 løk spirer. Sannsynligheten for at høyst 30 løk spirer er 0,2682. c) mellom 20 og 30 av løkene vil spire? Dersom vi tar med sannsynligheten for akkurat 20 og 30, får vi: Sannsynligheten for at for at mellom 20 og 30 av løkene vil spire er 0,2682. d) Alle løkene vil spire? Sannsynligheten for at alle løkene vil spire er 0,80 0,

22 3.5.4 Ved en matematikkeksamen var det 20 % stryk. Tenk deg at du trekker 8 tilfeldige besvarelser. Beregn sannsynligheten for at a) alle står Sannsynligheten for at alle 8 bestod eksamen er 8 0,80 0,168 b) minst halvparten stryker Minst halvparten stryker vil si at 4 eller flere stryker. Sannsynligheten for at minst halvparten stryker er 0,0563. c) to stryker Sannsynligheten for at akkurat 2 stryker er 0,

23 3.5.5 En skiskytter har en treffsikkerhet på 88 %. I et løp skal det skytes på 20 blinker. Hva er sannsynligheten for at skiskytteren treffer a) alle 20 blinkene? Vi har en binomisk situasjon og jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra. 20 Sannsynligheten for at skiskytteren treffer alle 20 blinkene er 0,88 0,0776 b) minst 18 av blinkene? Sannsynligheten for at skiskytteren treffer minst 18 av blinkene er 0,

24 c) høyst 16 av blinkene? Sannsynligheten for at skiskytteren treffer høyst 16 av blinkene er 0,

25 3.6 Eksempelsett Eksempelsett S1 våren 2007 a) Regn ut 8. Forklar hvor i Pascals trekant du finner denne binomialkoeffisienten Denne binomialkoeffisienten finner vi i rad 8 (teller ikke med det øverste ett-tallet) og 6 plasser inn fra venstre når vi begynner å telle med 0. b) På en volleyballkamp møter det 8 spillere, 5 jenter og 3 gutter. Det trekkes ut 6 spillere som skal starte å spille. Hva er sannsynligheten for at alle guttene får starte? Sannsynligheten er

26 3.6.2 Eksempelsett S1 våren 2007 Når vi tipper en enkeltrekke i fotballtipping, skal vi tippe resultatet i 12 fotballkamper. Utfallet av en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). a) Hvilke antagelser må du gjøre for at det å tippe en enkeltrekke kan sees på som et binomisk 1 forsøk med n 12 og p? 3 Det er 12 kamper Hvert enkelt tippetegn må settes tilfeldig Å tippe resultatet i en kamp må være uavhengig av hva som tippes i de andre kampene 1 Lik sannsynlighet for H, U og B. Da blir p 3 I resten av oppgaven skal vi anta at betingelsene for binomisk forsøk er oppfylt. For å få gevinst må vi ha minst 10 rette. b) Hva er sannsynligheten for å få minst 10 rette når vi tipper én enkeltrekke? Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra Det er 0,05 % sjanse til å få minst 10 rette når vi tipper én enkeltrekke gitt disse betingelsene. 26

27 En tipper hevdet at det var like vanskelig å få 0 rette som å få 12 rette. c) Vis at han tar feil, og forklar hvorfor de to sannsynlighetene ikke blir like. Sannsynligheten for 12 rette blir 0, Sannsynligheten for 0 rette er det samme som sannsynligheten for 12 feil. Sannsynligheten for feil på én kamp er lik 2/3. Vi har også nå en binomisk situasjon Sannsynligheten for 0 rette er 0,00775 Vi ser at det er langt større sjanse til å få 0 rette enn 12 rette. Det er to muligheter til å tippe feil på en enkelt kamp mot én mulighet til å tippe riktig. Dermed blir sannsynligheten for å få 0 rette høyere enn å få 12 rette. 27

28 En ekspert på fotballtipping hevder at han i gjennomsnitt vil få gevinst på hver femte enkeltrekke han tipper. d) Finn, gjerne ved prøving og feiling, hvor stor sannsynlighet p tippeeksperten må ha i gjennomsnitt for å tippe rett resultat på hver enkelt kamp. Tippeeksperten mener at sannsynligheten for å få minst 10 rette vil være 1 0,20 5. Jeg prøver meg fram med sannsynlighetskalkulatoren. Ved p 0,67 Litt lavt Ved p 0,68 Litt høyt Ved p 0,676 28

29 Tippeeksperten må altså ha en sannsynlighet på 0,676 for å tippe rett i hver enkelt kamp Eksempelsett S1 høsten 2007 a) Skriv opp de syv første radene av Pascals talltrekant. Marker hvor du finner binomialkoeffisientene 5, 5 og 5 i trekanten Binomialkoeffisientene er merket i trekanten til høyre , 10 og n P X k p 1 p k k b) Formel for binomisk fordeling: Antall uavhengige forsøk er n. X er antall ganger A inntreffer. n k PA Regn ut sannsynligheten for å få 2 kron når vi kaster en mynt 5 ganger P X p i hvert forsøk. 29

30 3.6.4 Eksempelsett S1 høsten 2007 I en klasse er det 25 elever, 14 jenter og 11 gutter. Det skal trekkes ut 6 elever til å rydde etter klassefesten. a) Hva er sannsynligheten for at det trekkes ut 4 jenter og 2 gutter? Lar hendelsen A stå for 4 jenter og 2 gutter. Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling og finner PA 0,

31 b) Hva er sannsynligheten for at det trekkes ut like mange gutter og jenter? Lar hendelsen B stå for 3 jenter og 3 gutter. Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling og finner PB 0, c) Hva er sannsynligheten for at det trekkes ut flere jenter enn gutter? Flere jenter enn gutter vil være at det trekkes ut 4, 5 eller 6 jenter. Sannsynligheten for at det trekkes ut flere jenter enn gutter er 0,

32 d) Hva er sannsynligheten for at begge kjønn blir representert i ryddegjengen? Når begge kjønn er representert er antall jenter mellom 1 og 4. Sannsynligheten for at begge kjønn blir representert i ryddegjengen er 0,