S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka"

Transkript

1 S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = P (sum antall øyne lir minst 10) = = P (sum antall øyne lir høyst 4) = = P (minst én sekser) = = 200 Man kan sette sammen et måltid på 200 måter = 60 Jaco kan velge ukse, skjorte og genser på 60 måter = Man kan lage forskjellige svenske ilnummer a 6 = Charlotte kan trekke okstavene på 1296 måter. 1 P (okstavene danner ordet PRAT) = = 0, = 0, 077 % = Lappene kan trekkes på måter. 1 P (okstavene danner ordet EVA) = = 0, = 0, 0041 % Aschehoug Side 1 av 74

2 7.7 a Tresifrede tall kan estå av 5 forskjellige oddetall. 3 5 = 125 Det fins 125 tresifrede tall der alle sifrene er oddetall. 3 4 = 64 Det fins 64 tresifrede tall der hvert siffer er 2, 4, 6 eller 8. 4 c 3 = a Det fins 81 firesifrede tall der hvert siffer er 7, 8 eller = Det er mulig å svare på måter = 1024 c Det er mulig å svare galt på 1024 måter P (10 gale svar) = = 0, 017 = 1,7 % Sannsynligheten er 1,7 % for at Eivind svarer galt på alle de 10 spørsmålene. d P(minst ett riktig svar) = 1 P(10 gale svar) = 1 0, 017 = 0, 983 = 98, 3 % Sannsynligheten er 98,3 % for at Eivind får minst ett riktig svar = 15 Divya kan velge mellom 15 reiseruter = 60 Lise kan pynte seg på 60 måter = 21 Sykkelen har 21 gir a Det er 6 mulige utfall på den ene treningen og 6 mulige utfall på den andre terningen. 6 6 = 36. Altså gir dette tilsammen 36 mulige utfall. 3 6 = 216 Dette forsøket gir 216 mulige utfall. 5 c 6 = 7776 Det er 7776 utfall dersom du kaster 5 terninger. Aschehoug Side 2 av 74

3 = 64 1 = 63 Det er mulig å lage 63 tegn med lindeskrift a = 120 Malin kan sette sammen måltidet på 120 måter. 232 = 12 c Hun kan sette sammen en middag med suppe, kjøtt og is på 12 måter P (middag med suppe, kjøtt og is) = = = 0,1 = 10 % Sannsynligheten er 10 % for at hun får middag med suppe, kjøtt og is = av tallene mellom 100 og 999 estår av tre forskjellige sifre a 5 = 625 Det er 625 firesifrede tall der alle sifrene er oddetall = 500 Det er 500 firesifrede tall der alle sifrene er partall. c = a Det er 1800 firesifrede tall som er delelig med = Du kan tippe forskjellige rekker = 72 c Du har tippet 72 rekker. For hver helgardering man gjør, må man multiplisere antall rekker som tippes, med tre, og for hver halvgardering man gjør, må man multiplisere antall rekker som tippes, med to. På denne måten kommer man fram til hvor mange rekker man har tippet, og det er slik Norsk Tipping har kommet fram til taellen på aksiden av tippekupongen a 432 = 24. Mathias kan trekke okstavene på 24 måter. Aschehoug Side 3 av 74

4 1 P (okstavene danner ordet TRE) = 24 Sannsynligheten er 1 24 for at okstavene danner ordet TRE a 3P 2 = 32 = 6 4P 2 = 4 3 = 12 c 5P 3 = = 60 d 6P 3 = = P 5 = = 720 Klassen kan sette opp stafettlaget på 720 måter P 3 = = 60 Hun kan sette opp lista på 60 måter P 3 = = Du kan trekke kortene på måter a 3! = = 6 4! = 4321 = 24 c d 4! 4321 = = 4 3! ! = = 5 4 = 20 3! ! = = 120 De kan fordele oppgavene på 120 måter a 4! = 4321 = 24 Aschehoug Side 4 av 74

5 1 P (lappene danner ordet TONE) = 24 Sannsynligheten er 1 24 for at lappene danner ordet TONE a 3! = = 6 Du kan lage 6 forskjellige tresifrede tall dersom de skal inneholde forskjellige sifre. 3 3 = 27 c Du kan lage 27 forskjellige tresifrede tall dersom tallene kan gjentas. Dersom du skal lage et tresifret tall med minst to like tall, tar vi antall muligheter totalt og trekker fra antall muligheter med forskjellige tall = 21 Altså kan du lage 21 forskjellige tresifrede tall dersom det skal inneholde minst to like sifre a 4! = 4321 = 24 Du kan lage 24 forskjellig koder dersom de skal inneholde forskjellige okstaver. 4 4 = 256 Du kan lage 256 forskjellige koder dersom okstavene kan gjentas. c Dersom du skal lage en kode med minst to like okstaver, tar vi antall muligheter totalt og trekker fra antall muligheter med forskjellige okstaver = 232 Du kan lage 232 forskjellige koder dersom den skal inneholde minst to like okstaver Vi ruker CAS: Sangene kan avspilles på måter a Vi ruker CAS: De kan sitte på måter. Aschehoug Side 5 av 74

6 Vi ruker CAS: De kan sitte på måter ! a = = 3 2! 2 1 5! = = 5 4! 4321 c 6P 2 = 6 5 = 30 d 6P = = = 15 2! ! = 4321 = 24 De kan fordeles på 24 måter a 4P 3 = 432 = 24 Du kan lage 24 tresifrede tall dersom de skal inneholde forskjellige sifre. 3 4 = 64 Du kan lage 64 tresifrede tall dersom sifrene kan gjentas. c = Du kan lage 40 tresifrede tall dersom de skal inneholde minst to like sifre. 29 P 3 = = Du kan lage forskjellige ord P 4 = = Man kan legge kortene på måter Dette etyr at hvert lag spiller det totalt være = kamper. Siden det alltid er 2 fotallag i hver kamp, vil = fotallkamper. Aschehoug Side 6 av 74

7 7.36 6! a = = 6 5 = 30 4! 4321 c d 10! = = = 720 7! P = = = 20 3! ! = = = 10 3!2! a 5P 4 = = 120 Man kan lage 120 firesifrede tall dersom tallet skal inneholde forskjellige sifre. 4 5 = 625 Man kan lage 625 firesifrede tall dersom sifrene kan gjentas. c = 505 Man kan lage 505 firesifrede tall dersom minst to sifre skal være like a Vi ruker CAS: Lagleder kan sette opp laget på måter. Vi ruker CAS Lagleder kan fordele utøverne på måter P (Judith får alle riktige) = = = = 0, = 0,139 % 6! Sannsynligheten er 0,139 % for at Judith får alle riktige på gloseprøven. Aschehoug Side 7 av 74

8 a P (Vegard gjetter alle riktig) = = = = 0, 0083 = 0,83 % 5! a c 6 6 d Sannsynligheten er 0,83 % for at Vegard gjetter riktig på alle. Løsninger til oppgavene i oka Siden sannsynligheten er såpass liten for at Vegard får alle riktig dersom han are gjetter, urde Signe skifte mening og tro på han. P2 32 = = = 3 2 2! 2 1 P3 432 = = = 4 3 3! P = = = = ! P = = = = ! P = = = = ! Vennene kan fordele seg på 10 måter a Vi ruker CAS: = Vi ruker CAS: 29 ( 7 ) = Aschehoug Side 8 av 74

9 c Vi ruker CAS: d 37 ( 13 ) = Vi ruker CAS: = 7.44 Vi ruker CAS: 30 ( 4 ) = De kan velge utsendingene på måter Vi ruker CAS: 10 ( 7 ) =120 De 7 spillerne kan velges ut på 120 måter a Vi ruker CAS: 48 ( 6 ) = Aschehoug Side 9 av 74

10 Det fins rekker i Viking Lotto. P (Joackim vinner førstepremie) = = 8,15 10 = 8,15 10 % a c 6 6 d P = = = = 6 2 2! P = = = = ! P = = = = ! P = = = = = ! P = = = = ! Du kan trekke karamellene på 20 måter Vi ruker CAS: 10 ( 8 ) = 45 En elev kan velge ut 8 spørsmål på 45 måter Vi ruker CAS: 15 ( 11 ) =1365 Spillerne kan velges ut på 1365 måter. Aschehoug Side 10 av 74

11 7.51 Vi ruker CAS: 15 ( 3 ) = 455 Delegatene kan velges ut på 455 måter a c 8 8 d P = = = = ! P = = = = = ! P = = = = = ! P = = = = ! P = = = = ! Det lir 45 håndtrykk P = = = = ! Det kan gjøres på 190 måter Vi ruker CAS: 20 ( 15 ) = Laglederen kan velge ut stafettlaget på måter. Aschehoug Side 11 av 74

12 7.56 Siden tallet 5 må være med, velges det ut 6 tall fra de resterende 33. Vi ruker CAS: 33 ( 6 ) = Lykketallet er med i lottorekker a Vi ruker CAS: 9 ( 7 ) = 36 Du tipper 36 rekker dersom du krysser av 9 tall. Vi ruker CAS: Du tipper 120 rekker dersom du krysser av 10 tall. c For å finne ut hvor mange rekker man har tippet dersom man krysser av 8, 9, 10, 11 eller 12 tall på lottokupongen, ruker Norsk Tipping formelen for antall uordnede utvalg uten tilakelegging, altså n C r. Her er r alltid 7 siden hver rekke estår av 7 tall, mens c er antall tall man har krysset av på lottokupongen Rad 6: Rad 7: x = = 84 y = = 126 Aschehoug Side 12 av 74

13 7.60 a I: 3x+ 2y = 7x II : 2y+ 3x= 35 I:2y = 7x 3x= 4x I II : 4x+ 3x= 35 2y = 4x y = 2x y = 2 5 = 10 7x = 35 x = 5 4! 4! = = = 1 0 0! (4 0)! 1 4! 4! 4! = = = = 4 1 1!(4 1)! 13! 321 4! 4! = = = = = = 6 2 2! (4 2)! 2! 2! ! 4! = = = = 4 3 3! (4 3)! 3! 1! ! 4! 4! = = = = 1 4 4! (4 4)! 4! 0! 4!1 Disse tallene finner vi i rad 4 i Pascals trekant a Vi skriver opp de første radene i Pascals trekant: rad 0 1 rad1 1 1 rad rad rad rad rad rad Vi finner tetraedertallene langs den diagonalen som er skrevet med rødt. Vi finner tetraedertall nummer 1 i posisjon nummer 3 i rad nummer 3 nummer 2 i posisjon nummer 3 i rad nummer 4 nummer 3 i posisjon nummer 3 i rad nummer 5 osv. Aschehoug Side 13 av 74 1

14 c Altså finner vi tetraedertall nummer n i posisjon nummer 3 i rad nummer n + 2. Derfor kan n det n -te tetraedertallet gis som Det tiende tetraedertallet er P = = = ! a Vi ruker CAS: Utrykket i oppgave a kan skrives slik: 1 a + 4 a n + 6 a + 4 a Koeffisientene her er 1, 4, 6, 4 og 1. Vi finner dem i rad nummer 4 i Pascals trekant a (2x + 3 y) = (2 x) + 3 (2 x) 3y x (3 y) + (3 y) = 8x + 36x y + 54xy + 27y (2 x+ y) = (2 x) + 4 (2 x) y+ 6 (2 x) y + 4 2x y + y = 16x + 32x y + 24x y + 8xy + y c ( x y) = x + 4 x ( y) + 6 x ( y) + 4 x ( y) + ( y) 7.65 a rad 0: rad 1: 1, 1 rad 2: 1, 2, 1 rad 3: 1, 3, 3, 1 = x 4x y + 6x y 4xy + y rad 4: 1, 4, 6, 4, 1 rad 5: 1, 5, 10, 10, 5, rad 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, = 10 3 = 20 3 = Aschehoug Side 14 av 74

15 7.66 a 1 5 ( 2 ) finner du i rad nummer 5, plass nummer ( 4 ) finner du i rad nummer 6, plass nummer ( 2 ) finner du i rad nummer 7, plass nummer ( 7 ) finner du i rad nummer 7, plass nummer = 15 4 = 21 2 = 35 4 = 7.67 a c d ( x+ 1) = x + 4 x 1+ 6 x x = x + 4x + 6x + 4x ( x+ 2) = x + 4 x x x = x + 8x + 24x + 32x ( x+ 1) = x + 5 x x x x = x + 5x + 10x + 10x + 5x ( x 1) = x + 4 x ( 1) + 6 x ( 1) + 4 x ( 1) + ( 1) = x 4x + 6x 4x a rad 0: c 7 4 rad 1: 1, 1 rad 2: 1, 2, 1 rad 3: 1, 3, 3, 1 rad 4: 1, 4, 6, 4, 1 rad 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 rad 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 rad 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, = 35 3 = 21 5 = = 35 Vi kan velge elevene på 35 måter. Aschehoug Side 15 av 74

16 7.69 I : x+ y = 15 a II : y+ 2x= 20 I : y = 15 x I II : 15 x+ 2x= 20 x = x = 5 y = 15 5 y = a rad 0: c 6 d 7 rad 1: 1, 1 rad 2: 1, 2, 1 rad 3: 1, 3, 3, 1 rad 4: 1, 4, 6, 4, 1 rad 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 rad 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 rad 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, = 15 4 = 21 5 = 20 3 = Vi kan velge elevene på 20 måter. 35 x = Vi ser på den sjuende raden i Pascals trekant. Der finner vi 35 på plass nummer 3 og plass nummer 4. Dette etyr at det kan være 3 eller 4 elever i komiteen. Aschehoug Side 16 av 74

17 7.71 a rad 0: 1 rad 1: 1, 1 rad 2: 1, 2, 1 rad 3: 1, 3, 3, 1 rad 4: 1, 4, 6, 4, 1 rad 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 rad 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 rad 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1 rad 8: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, ( 2) ( 3) ( 2) ( 4) ( 3) ( 4) ( 3) ( 5) c n n! = = 10 = = 15 = = 35 = = 56 = r r! ( n r)! n n! n! = = n r ( n r)! n ( n r)! ( n r)! r! Vi ser at disse inominalkoeffisientene er like a c (2 a ) = (2 a) + 3 (2 a) ( ) a ( ) + ( ) = 8a 12a + 6a (2a+ 3) = (2 a) + 4 (2 a) (2 a) a = 16a + 96a + 216a + 216a+ 81 (3x 2) = (3 x) + 4 (3 x) ( 2) + 6 (3 x) ( 2) x ( 2) + ( 2) = x 216x 216x 96x 16 x+ y = x+ 5xy+ 10xy + 10xy+ 5xy + y d I: 3x+ 2y = 7x a II : 7x+ 35 = 7 y I: 2y = 7x 3x 2y = 4x y = 2x Aschehoug Side 17 av 74

18 I II : 7x+ 35 = 7 2x 35 = 14x 7x 35 = 7x x = 5 y = 2x= 2 5 = a rad 0: 1 rad 1: 1, 1 rad 2: 1, 2, 1 rad 3: 1, 3, 3, 1 rad 4: 1, 4, 6, 4, 1 rad 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 rad 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 Summen i hver av radene: rad 0: 1 rad 1: 2 rad 2: 4 rad 3: 8 rad 4: 16 rad 5: 32 rad 6: 64 Vi ser at summen fordoler seg for hver rad. Hver rad kan skrives som en toerpotens med radnummeret som eksponent. n n (1 1) n n 1 n n 1 1 n n 1 1 n n n = + = n n 1 n = n + n + n + + n + n n 1 n c 7.75 n 1 n 1 ( n 1)! ( n 1)! ( n 1)! ( n 1)! + = + = + r 1 r ( r 1)! ( n 1 ( r 1))! r! ( n 1 r)! ( r 1)! ( n r)! r! ( n r 1)! ( n 1)! r ( n 1)! ( n r) ( n 1)! r ( n 1)! ( n r) = + = + ( r 1)! ( n r)! r r! ( n r 1)! ( n r) r! ( n r)! r! ( n r)! ( n 1)! r+ ( n 1)! ( n r) ( n 1)! ( r+ n r) ( n 1)! n = = = r! ( n r)! r! ( n r)! r! ( n r)! n! = = r! ( n r)! n ( r ) Aschehoug Side 18 av 74

19 7.76 P(to gutter og én jente) = P1 5 = = = 5 1 1! 1 P2 32 = = = 3 2 2! 2 1 P3 876 = = = ! ( 2) 8 ( 3) Dermed er P(to gutter og én jente) = = a P(ingen defekte lyspærer) = PX ( = 0) = P0 = = 1 0 0! 4 4P = = = 1 4 4! P = = = ! 4321 Dermed er 11 1 P(ingen defekte lyspærer) = PX ( = 0) = = P(én defekt lyspære) = PX ( = 1) = P1 3 = = = 3 1 1! 1 4 4P3 432 = = = 4 3 3! Dermed er P(én defekt lyspære) = PX ( = 2) = = Aschehoug Side 19 av 74

20 3 c 3 4 P(tre defekte lyspærer) = PX ( = 3) = P3 321 = = = 1 3 3! P1 4 = = = 4 1 1! 1 Dermed er 14 4 P(tre defekte lyspærer) = PX ( = 3) = = Løsninger til oppgavene i oka 7.78 a P(ingen røde Non Stop) = P0 = = 1 0 0! 3 3P3 321 = = = 1 3 3! P3 654 = = = ! Dermed er 11 1 P(ingen røde Non Stop) = = P(én rød Non Stop) = P1 3 = = = 3 1 1! 1 3 3P = = = = 3 2 2! Dermed er 33 9 P(én rød Non Stop) = = c P(høyst én rød Non Stop) = P(ingen røde Non Stop) + P(én rød Non Stop) = + = = Aschehoug Side 20 av 74

21 7.79 a Vi lar X stå for antall gutter i festkomiteen. P(én gutt i festkomiteen) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 18,3 % for at det lir med én gutt i festkomiteen. P(tre gutter i festkomiteen) = PX ( = 3) = P(3 X 3) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 31,7 % for at det lir med tre gutter i festkomiteen. Aschehoug Side 21 av 74

22 c P(minst tregutter i festkomiteen) = P(3 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren. d Sannsynligheten er 39,6 % for at det lir med minst tre gutter i festkomiteen. Vi lar Y stå for antall jenter i festkomiteen. P(minst to jenter i festkomiteen) = P(2 Y) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 60,4 % for at det lir med minst to jenter i festkomiteen. Aschehoug Side 22 av 74

23 7.80 a Vi lar X stå for antall plommer av sort A. P(ti plommer av sort A) = PX ( = 10) = P(10 X 10) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 20,7 % for at kunden får ti plommer av sort A. P(minst ti plommer av sort A) = P(10 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 38,0 % for at kunden får minst ti plommer av sort A. Aschehoug Side 23 av 74

24 c Vi lar Y stå for antall plommer av sort B. P(minst åtte plommer av sort B) = P(8 Y) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 17,2 % for at kunden får minst åtte plommer av sort B P(to lå, én rød og én gul kule) = Vi ruker CAS: ( 1) 9 ( 4) Sannsynligheten er 28,6 % for at du får to lå, én rød og én gul kule a 2 3 P(to lå kuler) = P2 21 = = = 1 2 2! P0 1 = = = 1 0 0! 1 Aschehoug Side 24 av 74

25 5 5 P = = = = ! Dermed er 11 1 P(to lå kuler) = = = 0,1 = 10 % P(én rød og én lå kule) = P1 2 = = = 2 1 1! 1 3 3P1 3 = = = 3 1 1! 1 Dermed er 23 6 P(én rød og én lå kule) = = = 0,6 = 60 % c P(to røde kuler) = P0 1 = = = 1 0 0! 1 3 3P2 32 = = = 3 2 2! 2 1 Dermed er 13 3 P(to røde kuler) = = = 0,3 = 30 % d Løsninger til oppgavene i oka P(minst én rød kule) = P(én rød kule og én lå kule) + P(to røde kuler) = 0,6 + 0,3 = 0,9 = 90 % 7.83 a Vi lar X være antall røde kuler. P(4 røde kuler) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 25 av 74

26 Sannsynligheten er 22,1 % for å få 4 røde kuler. P(minst 3 røde kuler) = P(3 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 68,9 % for å få minst 3 røde kuler. c P(høyst 3 røde kuler) = PX ( 3) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 26 av 74

27 Sannsynligheten er 75,3 % for å få minst 3 røde kuler a Vi lar X være antall gutter. P(ikke velger noen gutt) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 25,5 % for ikke å velge noen gutter. Aschehoug Side 27 av 74

28 P(velger én gutt) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 50,9 % for at vi velger én gutt. c P(velger to gutter) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 21,8 % for at vi velger to gutter. Aschehoug Side 28 av 74

29 7.85 a Vi lar X være antall sjokoladeiter. P(4 sjokoladeiter) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 31,7 % for at du får 4 sjokoladeiter. P(minst 4 sjokoladeiter) = P(4 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 43,7 % for at du får minst 4 sjokoladeiter. Aschehoug Side 29 av 74

30 c Vi lar Y være antall karameller. P(minst 3 karameller) = P(3 Y) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 56,3 % for at du får minst 3 karameller a Vi lar X være antall defekte lyspærer. P(ingen defekte lyspærer) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 31,1 % for at ingen av lyspærene er defekte. Aschehoug Side 30 av 74

31 P(én defekt lyspære) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 43,1 % for at en av lyspærene er defekt. c P(minst 2 defekte lyspærer) = P(2 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 25,8 % for at minst 2 av lyspærene er defekte. Alternativt: P(minst to defekte lyspærer) = 1 P(én defekt lyspære) P(ingen defekte lyspærer) =1 0,311 0,431 = 0,258 = 25,8 % Aschehoug Side 31 av 74

32 7.87 a Vi lar X være antall seigmenn. P(like mange av hvert kjønn) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 42,9 % for at vi får like mange «seigpersoner» av hvert kjønn. P(flest seigmenn) = P(3 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 45,2 % for at vi får flere seigmenn enn seigpersoner. Aschehoug Side 32 av 74

33 7.88 a Vi ruker CAS: Du kan trekke kulene på måter. Vi ruker CAS: c Du kan trekke to kuler av hver farge på måter P (to kuler av hver farge) = = 0,153 = 15,3 % a 3 4 P(tre røde kuler) = P3 321 = = = 1 3 3! P0 1 = = = 1 0 0! 1 7 7P3 765 = = = ! Dermed er 11 1 P(tre røde kuler) = = P(én lå og to røde kuler) = P2 32 = = = 3 2 2! P1 4 = = = 4 1 1! 1 Dermed er P(én lå og to røde kuler) = = Aschehoug Side 33 av 74

34 c 1 12 P(minst to lå kuler) = 1 P(tre røde kuler) P(én lå og to røde kuler) = = = P(én kvinne og én mann) = P1 2 = = = 2 1 1! 1 P1 4 = = = 4 1 1! 1 P2 65 = = = ! ( 1) 6 ( 2) Dermed er 24 8 P(én kvinne og én mann) = = a Vi lar X være antall gutter. P(to gutter) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 47,6 % for at det lir to gutter i komiteen. Aschehoug Side 34 av 74

35 Vi lar Y være antall gutter. P(to jenter) = PY ( = 2) = P(2 Y 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 23,8 % for at det lir to jenter i komiteen. c P(minst to gutter) = P(2 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 73,8 % for at det lir minst to gutter i komiteen. Aschehoug Side 35 av 74

36 d P(flest gutter) = P(3 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 26,2 % for at det lir flere gutter enn jenter i komiteen a Vi lar X være antall hjerter. P(to hjerter) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 27,4 % for at en pokerspiller får to hjerterkort. Aschehoug Side 36 av 74

37 P(minst to hjerter) = P(2 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 36,7 % for at en pokerspiller får minst to hjerterkort a Vi lar X være antall vinnertall. P(seks vinnertall) = PX ( = 6) = P(6 X 6) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,0035 % for at du tipper riktig seks vinnertall. Aschehoug Side 37 av 74

38 P(fem vinnertall) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,14 % for at du tipper riktig 5 vinnertall. c P(fire vinnertall) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 1,9 % for at du tipper riktig fire vinnertall. Aschehoug Side 38 av 74

39 d P(minst tre vinnertall) = P(3 X) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 13,5 % for at du tipper riktig minst 3 vinnertall a Vi lar X være antall hjerter. P(fem hjerter) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller dette inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,05 % for at en pokerspiller får are hjerterkort. Aschehoug Side 39 av 74

40 P (alle kortene har samme farge) = 4 0, 0005 = 0, 0020 = 0, 20 % Løsninger til oppgavene i oka 7.95 a Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 10,3 % for at vi får tre klesklyper av hver farge. Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 13,5 % for at vi får fire røde, tre grønne og to gule klesklyper a Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 0,07 % for at en ridgespiller får fem spar, fem hjerter og tre kløver. Vi ruker CAS: Sannsynligheten er 2,6 % for at en ridgespiller får fire spar, tre hjerter, tre ruter og tre kløver a P(egge er jenter) = P(det eldste er jente) P(det yngste er jente) = 0,486 0,486 = 0,236 Sannsynligheten 23,6 % for at ekteparet har to jenter. P(det eldste er gutt og det yngste er jente) = P(det eldste er gutt) P(det yngste er jente) = 0,514 0, 486 = 0, 250 Sannsynligheten 25,0 % for at det eldste arnet er en gutt og det yngste er en jente. c P(det eldste er jente og det yngste er gutt) = P(det eldste er jente) P(det yngste er gutt) = 0, 486 0,514 = 0, 250 Sannsynligheten 25,0 % for at det eldste arnet er en jente og det yngste er en gutt. Aschehoug Side 40 av 74

41 a P(rød første gang og gul andre gang) = P(rød) P(gul) = = c Sannsynligheten er 1 18 Løsninger til oppgavene i oka for at lykkehjulet første gang stopper på rød og på gul andre gang P(gul første gang og rød andre gang) = P(gul) P(rød) = = Sannsynligheten er 1 18 for at lykkehjulet første gang stopper på gul og på rød andre gang P(én gang på rød og én gang på gul) = P( RG) + P( GR) = + = = Sannsynligheten er 1 9 for at lykkehjulet stopper én gang på rød og én gang på gul a P P P P P 3 (en gutt) = (GJJJ) + (JGJJ) + (JJGJ) + (JJJG) = 4 0,514 0,486 = 0,236 Sannsynligheten er 23,6 % for at ekteparet har én gutt. P P P P P 3 (tre gutter) = (GGGJ) + (GGJG) + (GJGG) + (JGGG) = 4 0,514 0, 486 = 0, 264 Sannsynligheten er 26,4 % for at ekteparet har tre gutter. a P PX (ingen riktige svar) = ( = 0) = = 1 1 = P PX (ett riktig svar) = ( = 1) = = 4 = c P(høyst ett riktig svar) = PX ( = 0) + PX ( = 1) = + = = k 4 k a 4 PX ( k) ( k) ( k) k 4 k ( k) k+ 4 k ( k) 4 ( k) P(tre mynt) = PX ( = 3) = 4 = 4 = = c P(fire mynt) = PX ( = 4) = 4 = 1 = = = = = = = d P(minst tre mynt) = PX ( = 3) + PX ( = 4) = + = Aschehoug Side 41 av 74

42 7.102 a For hvert av spørsmålene kan Signe svare riktig eller galt. For hvert av spørsmålene er sannsynligheten 1 3 for at hun svarer riktig. Vi antar at Signe svarer på spørsmålene uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall riktige svar. P(fem riktige svar) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 21,4 % for at Signe får fem riktige svar. P(minst åtte riktige svar) = P(8 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 8,8 % for at Signe får minst åtte riktige svar. Aschehoug Side 42 av 74

43 7.103 Hvert av frøene vil enten spire eller ikke spire. Hvert frø spirer med 80 % sannsynlighet. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. Det skal være minst 95 % sannsynlighet for at minst 50 frø vil spire. Vi må altså løse P(50 X) 0, 95 Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Vi må altså så 69 frø for at det skal være minst 95 % sannsynlighet for at minst 50 frø vil spire a For hvert av de tre pengestykkene som kastes, kan man få enten mynt eller kron. Sannsynligheten for å få mynt er 50 %. Myntene kastes uavhengig av hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall mynt P(ingen mynt) = PX ( = 0) = = = P PX 3 c P PX 3 d P PX (én mynt) = ( = 1) = 3 1 = = (to mynt) = ( = 2) = 3 2 = = (tre mynt) = ( = 3) = = = Aschehoug Side 43 av 74

44 7.105 a Løsninger til oppgavene i oka For hvert av de åtte pengestykkene som kastes, kan man få enten mynt eller kron. Sannsynligheten for å få mynt er 50 %. Myntene kastes uavhengig av hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall mynt. P(ingen mynt) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,4 % for å få ingen mynt. P(to mynt) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 10,9 % for å få to mynt. Aschehoug Side 44 av 74

45 c P(fire mynt) = PX ( = 4) = P(4 X 4) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 27,3 % for å få fire mynt. d P(seks mynt) = PX ( = 6) = P(6 X 6) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 10,9 % for å få seks mynt. Aschehoug Side 45 av 74

46 7.106 a For hver av de fem terningene som kastes, kan man få enten sekser eller ikke-sekser. Sannsynligheten for å få en sekser er 1. Terningene kastes uavhengig av hverandre, og vi har 6 dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall seksere. P(ingen seksere) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,2 % for å få ingen seksere. P(to seksere) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 16,1 % for å få to seksere. Aschehoug Side 46 av 74

47 c P(minst to seksere) = P(2 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 19,6 % for å få minst to seksere a For hver av de 20 personene som trekkes ut, kan de enten støtte det politiske partiet eller ikke. Sannsynligheten for at en person støtter partiet, er 30 %. Vi antar at personene trekkes ut uavhengig av hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall personer som støtter partiet. P(fem støtter partiet) = PX ( = 5) = P(5 X 5) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 17,9 % for at fem personer støtter partiet. Aschehoug Side 47 av 74

48 P(seks støtter partiet) = PX ( = 6) = P(6 X 6) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 19,2 % for at seks personer støtter partiet. c P(høyst fem støtter partiet) = PX ( 5) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 41,6 % for at høyst fem personer støtter partiet. d P(minst åtte støtter partiet) = P(8 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 48 av 74

49 Sannsynligheten er 22,8 % for at minst åtte personer støtter partiet a Hver av de 30 erteplantene kan enten få gule eller grønne frø. Sannsynligheten for at en erteplante får gule frø, er 3. Vi antar at fargen på frøene til erteplantene er uavhengig av 4 hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall erteplanter med gule frø. P(20 av dem har gule frø) = PX ( = 20) = P(20 X 20) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 9,1 % for at 20 av erteplantene har gule frø. Aschehoug Side 49 av 74

50 P(24 av dem har gule frø) = PX ( = 24) = P(24 X 24) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 14,6 % for at 24 av erteplantene har gule frø. c P(høyst 20 har gule frø) = PX ( 20) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 19,7 % for at høyst 20 av erteplantene har gule frø. d P(minst 24 har gule frø) = P(24 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 50 av 74

51 Sannsynligheten er 34,8 % for at minst 24 av erteplantene har gule frø a For hver av de 10 spørsmålene kan Ali få enten riktig eller galt. Sannsynligheten for at han velger rett svaralternativ, er 1. Vi antar at Ali gjetter på spørsmålene uavhengig av 3 hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall riktige svar. P(Ali vinner) = P(9 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,04 % for at Ali vinner. Aschehoug Side 51 av 74

52 Dersom Ali vet svaret på 5 av spørsmålene, etyr det at han gjetter på 5 spørsmål og må gjette riktig på minst 4 av dem for å vinne. P(Ali vinner) = P(4 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 4,5 % for at Ali vinner a For hvert av de fem pengestykkene som kastes, kan man få enten mynt eller kron. Sannsynligheten for å få mynt er 50 %. Myntene kastes uavhengig av hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall mynt P(tre mynt) = PX ( = 3) = 10 3 = = = P PX 5 c P PX 5 d (fire mynt) = ( = 4) = = 5 = (fem mynt) = ( = 5) = = = P(minst fire mynt) = PX ( = 4) + PX ( = 5) = + = = a For hver av de seks terningene som kastes, kan man få enten sekser eller ikke-sekser. Sannsynligheten for å få en sekser er 1. Terningene kastes uavhengig av hverandre, og vi har 6 dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall seksere. P(ingen seksere) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Aschehoug Side 52 av 74

53 Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 33,5 % for å få ingen seksere. P(én sekser) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,2 % for å få én sekser. c P(to seksere) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 53 av 74

54 Sannsynligheten er 20,1 % for å få to seksere. d P(høyst to seksere) = PX ( 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 93,8 % for å få høyst to seksere. e P(minst tre seksere) = P(3 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 54 av 74

55 Sannsynligheten er 6,2 % for å få minst tre seksere a 1 For hver av de tre kulene som trekkes, kan man få enten rød eller lå kule. Sannsynligheten for å få en rød kule er 3. Kulene trekkes uavhengig av hverandre, og vi 5 har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være røde kuler. P(to røde kuler) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 43,2 % for å få to røde kuler med tilakelegging. Aschehoug Side 55 av 74

56 P(to røde kuler) = 3 P(RRB) = 3 = = = 0, Sannsynligheten er 60 % for å trekke to røde kuler uten tilakelegging. 1 Det er nå 300 røde kuler og 200 lå kuler. Altså er sannsynligheten for å trekke en rød kule fortsatt 3 5. P(to røde kuler) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Løsninger til oppgavene i oka 2 Sannsynligheten er 43,2 % for å få to røde kuler med tilakelegging P(to røde kuler) = 3 P(RRB) = 3 = 0, Sannsynligheten er 43,3 % for å trekke to røde kuler uten tilakelegging a Hvert av de 60 frøene kan spire eller ikke spire. Sannsynligheten for at et frø spirer, er 85 %. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. 1 P(50 frø spirer) = PX ( = 50) = P(50 X 50) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 56 av 74

57 Sannsynligheten er 12,9 % for at 50 av frøene vil spire. 2 P(minst 50 frø spirer) = P(50 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 71,6 % for at minst 50 av frøene vil spire. Vi må løse P(50 X) 0,99 Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Aschehoug Side 57 av 74

58 Vi må så 67 frø for at sannsynligheten skal være minst 99 % for at minst 50 frø vil spire For hver av fødslene vil det enten være en tvillingfødsel eller så vil det ikke være det. For hver fødsel er sannsynligheten 1 % for at det vil være en tvillingfødsel. Vi antar at fødslene skjer uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall tvillingfødsler. Det skal være minst 90 % sannsynlighet for at minst tre tvillingpar fødes på sykehuset i løpet av et år. Vi må altså løse P(3 X) 0,90 Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Aschehoug Side 58 av 74

59 Det må være 531 fødsler ved et sykehus i løpet av et år for at sannsynligheten skal være 90 % for at det lir født minst tre tvillingpar a Hvert av de 50 frøene kan spire eller ikke spire. Sannsynligheten for at et frø spirer, er 90 %. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre, og vi har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. P(høyst 39 frø spirer) = P(39 X) Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 0,94 % for at høyst 39 frø spirer. Siden det er en lav sannsynlighet for at 39 eller færre frø vil spire dersom spireprosenten virkelig er 90 %, har Ane en god grunn til å påstå at spireprosenten er mindre enn 90 %. Kapitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 a rad 0: 1 rad 1: 1, 1 rad 2: 1, 2, 1 rad 3: 1, 3, 3, 1 rad 4: 1, 4, 6, 4, 1 rad 5: 1, 5, 10, 10, 5, 1 rad 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 Aschehoug Side 59 av 74

60 4 ( 2 ) = 6 c 1 5 ( 2 ) =10 5 ( 3 ) = = ( x 1) = x + 3 x ( 1) + 3 x ( 1) + ( 1) = x 3x + 3x 1 Løsninger til oppgavene i oka ( x+ 3) = x + 4 x x x = x + 12x + 54x + 108x+ 81 ( x+ 2) = x + 5 x x x x = x + x + x + x + x Oppgave 2 5! = = 120 Du kan lage 120 femsifrede tall med lappene. Oppgave 3 a 4 5 = 625 Du kan lage 625 koder. 5P 4 = = 120 Du kan lage 120 koder dersom okstavene er forskjellige. c = 505 Du kan lage 505 koder der minst to okstaver er like. Oppgave 4 a For hver av de fire skålene kan man enten trekke én rød Non Stop eller én lå Non Stop. Sannsynligheten for å trekke én rød Non Stop er 2. Siden trekkene skjer uavhengig av 3 hverandre, har vi dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall røde Non Stop P(én rød Non Stop) = PX ( = 1) = 4 1 = P PX (to røde Non Stop) = ( = 2) = 6 2 = = Oppgave a P (to FOX) = 3 = Aschehoug Side 60 av 74

61 c P (tre FOX) = = P(minst to FOX) = P(to FOX) + P(tre FOX) = + = Oppgave 6 a I : x+ y = 15 II : y+ 2x= 2y I: x+ y = 15 x= 15 y I II : y+ 2 (15 y) = 2 y x = = 5 y+ 30 2y = 2y 30 3y = 3 3 y = 10 Del 2 Med hjelpemidler Oppgave 7 a Vi ruker CAS: Gruppene kan fordeles på måter. Vi ruker CAS: Gruppene kan fordeles på måter. Oppgave 8 a Hvert av de 100 frøene som sås, kan enten spire eller ikke spire. Sannsynligheten for at et frø spirer, er 80 %. Vi antar at frøene spirer uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall frø som spirer. 1 P(80 frø spirer) = PX ( = 80) = P(80 X 80) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 61 av 74

62 Sannsynligheten er 9,9 % for at 80 frø vil spire. 2 P(minst 80 frø spirer) = P(80 X) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 55,9 % for at minst 80 frø vil spire. 3 P(høyst 70 frø spirer) = PX ( 70) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 62 av 74

63 Sannsynligheten er 1,1 % for at høyst 70 frø vil spire. Vi må løse P(80 X) 0,90 Vi fyller inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Man må så 107 frø for at det skal være minst 90 % sannsynlighet for at minst 80 frø skal spire. Aschehoug Side 63 av 74

64 Oppgave 9 Her ruker vi sannsynlighetskalkulatoren med hypergeometrisk sannsynlighetsmodell. Vi fyller inn informasjonen og starter med å finne sannsynligheten for at Petter og Henning kommer i forskjellige heat. P(de kommer i samme heat) = 1 P(de kommer i forskjellige heat) = 1 0,5455 = 0, 4545 Sannsynligheten er 45,5 % for at de kommer i samme heat. Oppgave 10 a For hver av de 200 fødslene vil det enten være en tvillingfødsel eller så vil det ikke være det. For hver fødsel er sannsynligheten 1 % for at det vil være en tvillingfødsel. Vi antar at fødslene skjer uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall tvillingfødsler. P(ingen tvillingfødsler) = PX ( = 0) = P(0 X 0) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 64 av 74

65 Sannsynligheten er 13,4 % for at det ikke lir født noen tvillinger. P(to tvillingpar) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 27,2 % for at det lir født to tvillingpar. c P(høyst ett tvillingpar) = PX ( 1) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 65 av 74

66 Sannsynligheten er 40,5 % for at det lir født høyst ett tvillingpar. d P(minst fire tvillingpar) = P(4 X) Vi fyller inn informasjonen i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 14,2 % for at det lir født minst fire tvillingpar. Oppgave 11 a Vi lar X være hvor mange av vennene som kommer med på turen. P(egge kommer med på turen) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 66 av 74

67 Sannsynligheten er 52,5 % for at egge vennene kommer med på turen. P(én kommer med på turen) = PX ( = 1) = P(1 X 1) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 40,4 % for at én av vennene kommer med på turen. c P(minst én kommer med på turen) = P(1 X) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 67 av 74

68 Sannsynligheten er 92,9 % for at minst én av vennene kommer med på turen. Oppgave 12 a Vi lar X være antall kontrollerte komponenter som er defekte. 1 P(to komponenter er defekte) = PX ( = 2) = P(2 X 2) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 31,8 % for at to av de kontrollerte komponentene er defekte. 2 P(høyst to komponenter er defekte) = PX ( 2) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 68 av 74

69 Sannsynligheten er 68,1 % for at høyst to av de kontrollerte komponentene er defekte. 3 P(minst fire komponenter er defekte) = P(4 X) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 11,0 % for at minst fire av de kontrollerte komponentene er defekte. Aschehoug Side 69 av 74

70 Vi må løse likningen P(minst fire komponenter er defekte) = P(4 X) = 0, 294 Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Det er 14 defekte komponenter i pakningen. Oppgave 13 a For hvert av de 20 skuddene Emil skyter, så vil han enten treffe linken eller omme. Sannsynligheten for at et skudd treffer linken, er 85 %. Vi antar at skuddene treffer linken uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall skudd som treffer linken. Dersom Emil ommer på linken, kan dette påvirke prestasjonene hans seinere, og skuddene kan dermed ikke ses på som uavhengige hendelser. Dessuten vil forholdene én estemt dag kunne påvirke hvor stor andel av de 20 linkene Emil treffer, og det er dermed ikke sikkert at p = 0,85. P(Emil treffer alle linkene) = PX ( = 20) = P(20 X 20) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 70 av 74

71 Sannsynligheten for at Emil treffer alle linkene, er 3,9 %. c P(Emil treffer minst 18 av linkene) = P(18 X) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: d Sannsynligheten for at Emil treffer minst 18 av linkene, er 40,5 %. For hvert av de 25 rennene Emil er med på, vil han enten treffe alle linkene eller ikke treffe alle linkene. Sannsynligheten for at han treffer alle linkene, er 3,88 %. Vi antar at Emils prestasjoner på rennene er uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall renn der Emil treffer alle linkene. P(Emil treffer alle linkene i minst 3 renn) = P(3 X) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Aschehoug Side 71 av 74

72 Sannsynligheten for at Emil treffer alle linkene i minst tre av rennene, er 7,1 %. Oppgave 14 a For hvert av de 10 spørsmålene kan laget enten svare riktig eller galt. Sannsynligheten for at de svarer riktig, er 25 %. Vi antar at quiz-laget svarer på spørsmålene uavhengig av hverandre og har dermed et inomisk forsøk. Vi lar X være antall riktige svar quiz-laget til klasse 2A får. 1 P(tre riktige svar) = PX ( = 3) = P(3 X 3) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 25,0 % for at de svarer riktig på tre spørsmål. Aschehoug Side 72 av 74

73 2 P(minst fire riktige svar) = P(4 X) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 22,4 % for at de svarer riktig på minst fire spørsmål. 3 Dersom de svarer galt på minst sju spørsmål, etyr det at de har høyst tre riktige svar. P(høyst tre riktige svar) = PX ( 3) Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren: Sannsynligheten er 77,6 % for at de svarer galt på minst sju spørsmål. Vi må løse likningen P(minst ni riktige svar) = P(9 X) = 0,156 Aschehoug Side 73 av 74

74 Vi fyller informasjonen inn i sannsynlighetskalkulatoren og prøver oss fram: Løsninger til oppgavene i oka Ut fra dette ser vi at laget må gjette på tre spørsmål og vet altså svaret på sju av spørsmålene. Aschehoug Side 74 av 74

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 6 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 6 6 6 1 P(sum antall øyne lir høyst 4) = = 6 6 11 P(minst

Detaljer

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.

Detaljer

S1 kapittel 3 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

S1 kapittel 3 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene S kapittel Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene. a Utfallsrom U KK, KM, MK, MM Sannsynlighetsmoell P( KK) P ( KM) P ( MK) P ( MM) Sannsynlighetsmoellen er uniform fori alle utfallene har samme

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 4 MER ØVING

KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 4 MER ØVING Oppgave 1 En dag lurer du på hva du skal ha på deg. Du ser i skapet og ser at det ligger 3 bukser, en lys og en mørk olabukse og en grå bukse. Du leter etter en genser og finner fire forskjellige gensere.

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle

Detaljer

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418 4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter

Detaljer

Nasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2

Nasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Nasjonale prøver 2005 Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Skolenr.... Elevnr.... Gutt Omslag_skriv_mate_10.indd 1 Jente Bokmål 15. mars 2005 03-02-05 12:54:02 Alt du gjør, skal skrives i dette heftet. Når

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329,

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329, 3 Sannsynlighet Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige begivenheter og gjøre rede for sannsynlighetsbegrepet beregne sannsynligheter ved

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

Påbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka Påygging kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6.1 (Vi nøyer oss me å lge én tell, hvor vi også fører inn svrene fr oppgve og.) Antll kst 50 100 500 1000 5000 10 000 Antll enere

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2009 2010

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2009 2010 okmål Niels Henrik bels matematikkonkurranse 009 00 Første runde. november 009 Ikke bla om før læreren sier fra! belkonkurransens første runde består av 0 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Eksamensoppgaver Våren 2015 OPPGAVE 4 (UTEN HJELPEMIDLER) Tenk deg at du har ti bananer i skapet. Fem av dem er gule, tre er grønne, og to er blitt brune. Du tar tilfeldig to bananer.

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015 Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 204 205 Første runde. november 204 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00 minutter.

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler

Detaljer

1P kapittel 2 Algebra

1P kapittel 2 Algebra 1P kapittel Algera Løsninger til oppgavene i oka.1 a a+ a a 5+ 4 9 c 8c 6c c d d d 0d 0. a + + 5+ 4+ 10 c 5 9 4 d 4 7. a 7 5+ + 8 5+ 8+ 7 + + 10 5y+ + y + 5y+ y 4 4y c 8y 8y + 8y 8y 4+ 0y 4.4 7r+ 10h+

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET

STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING

SANNSYNLIGHETSREGNING SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Matematikk S2 kapittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Matematikk S2 kapittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen Matemati S2 apittel 5 Sannsynlighet Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 508 a Utfall: 1 og 2, 1 og 3, 1 og 4, 2 og 3, 2 og 4, 3 og 4. De ses utfallene er lie sannsynlige, så de har hver sannsynlighet 1

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging Basisoppgaver til Tall i areid Påygging Tall og algera Sannsynlighet Funksjoner 4 Modellering 5 Statistikk Basisoppgaver til Tall i areid Påygging kap. Tall og algera. Potenser. Nye potenser. Store og

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Faktor 3 Oppgavebok. Løsningsforslag. Løsningsforslag til kapittel 6: Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet. Kategori 1

Faktor 3 Oppgavebok. Løsningsforslag. Løsningsforslag til kapittel 6: Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet. Kategori 1 Faktor 3 Oppgavebok til kapittel : Statistikk, kombinatorikk og sannsynlighet Kategori 1.101 a) Gjennomsnittsverdien blir: 3 + + 1 + 9 = 7,50 kr Gjennomsnittsverdien blir: 9 + + 11 + + 1 = 7, m 5.10 a)

Detaljer

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 1 Tall og algebra Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel Tall og algera Løsninger til innlæringsoppgavene. a 8 + ( ) 8 ( ) +. a Temperaturen er C. Så reuseres en me C. Da lir temperaturen C C 8 C Temperaturen er C. Så reuseres en me x. Da lir temperaturen

Detaljer

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) =

Ulike typer utvalg. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Ordnet utvalg uten tilbakelegging 29 (29 1) (29 2) (29 3) = MAT000V Sasylighetsregig og kombiatorikk Urdede utvalg ute tilbakeleggig Pascals talltrekat og biomialkoeffisietee Ørulf Borga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo Ulike typer utvalg Eksempel 6.: Vi

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2005 2006

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2005 2006 okmål Niels Henrik bels matematikkonkurranse 005 006 Første runde 3. november 005 Ikke bla om før læreren sier fra! belkonkurransens første runde består av 0 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka

1T kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka 1T kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 7.1 Vi vet t kokepunktet til vnn er 100 C (ve hvoverflten). Derfor vet vi på forhån t vnnet til Anres ikke vil koke ve re 50 C. The vil

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

Plassere positive og negative tall på tallinjen KOPIERINGSORIGINAL 2.1. Navn: KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse. Oppgave 4a. Oppgave 4b.

Plassere positive og negative tall på tallinjen KOPIERINGSORIGINAL 2.1. Navn: KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse. Oppgave 4a. Oppgave 4b. KOPIERINGSORIGINAL 2.1 KAPITTEL 2 Tall og tallforståelse Plassere positive og negative tall på tallinjen Navn: Oppgave 4a 0 1 Oppgave 4b 40 0 40 Oppgave 4c 20 0 20 Oppgave 5a 6 3 0 1 4 Oppgave 5b 2 1 0

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka

2P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreboka P kapittel 4 Statistikk Løsninger til oppgavene i læreoka 4.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012

Tall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2012 Tall i areid Påygging terminprøve våren 2012 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 a Skriv tallene på standardform. 1 0,000

Detaljer

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre

Detaljer

DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans?

DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans? SETT 12 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvilket av følgende tall er delelig med 9? A) 309 B) 456 C) 696 D) 783 E) 939 2. To esker inneholder to røde og to hvite kuler hver. Vi tar en tilfeldig

Detaljer

A) 13 B) 15 C) 18 D) 23 E) 24

A) 13 B) 15 C) 18 D) 23 E) 24 SETT 35 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En digital klokke viser tiden i timer og minutter. Av og til er klokkeslettet det samme om man leser det baklengs, for eksempel klokken 02:20 eller

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Systemtabeller. og premietabeller

Systemtabeller. og premietabeller Systemtabeller og premietabeller Systemspill er en enkel måte å spille mange forskjellige rekker på. Her vil du finne premietabeller og premieoversikt på antall rekker ved systemspill på alle våre spill.

Detaljer

Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235

Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Oppgave 2 Skriv tallene med sifre a To hundrere, en tier, fem enere og

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

SYSTEM- TABELLER. og premietabeller

SYSTEM- TABELLER. og premietabeller SYSTEM- TABELLER og premietabeller Systemspill er en enkel måte å spille mange forskjellige rekker på. Her vil du finne premietabeller og premieoversikt på antall rekker ved systemspill på alle våre spill.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

A)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 %

A)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 % SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Per er i butikken for å kjøpe frukt. En appelsin koster 3 kroner, en banan koster 2 kroner, og et eple koster 1 krone. Per skal kjøpe for nøyaktig

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 44 dag 1 1. Et lykkehjul er inndelt i 30 like store sektorer. En av sektorene er merket med 7 kr, to er merket med 4 kr, tre er merket 3 kr og fire er merket

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

Motivasjon og engasjement i matematikk

Motivasjon og engasjement i matematikk Motivasjon og engasjement i matematikk Verksted på matematikkens dag 28.04.2015 Geir Botten Høgskolen i Sør-Trøndelag, Trondheim Mynter i lomma Jeg har fem mynter i lomma. Til sammen er det 32 kroner.

Detaljer

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig

Detaljer

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 1 HG Februar 2013 Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 Oppgave 3.17 Definer to begivenheter Oppgitt A = løgntesten sier at Per lyver B = Per lyver faktisk PAB ( ) = 0.85 PA ( B) = 0.70 PB ( ) =

Detaljer

YF kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgavene i læreboka

YF kapittel 2 Likninger Løsninger til oppgavene i læreboka YF kapittel Likninger Løsninger til oppgavene i læreboka Oppgave 01 a a+ a a b 5b+ 4b 9b c 8c 6c c Oppgave 0 a + + b 5+ 4+ 10 c 5 9 4 Oppgave 0 a 7y 7y 0y 0 b 6y 5y y c 8y+ 1y 4y Oppgave 04 a 5z z z z

Detaljer

A) 1,5 kg B) 2 kg C) 2,33 kg D) 2,5 kg E) 3 kg

A) 1,5 kg B) 2 kg C) 2,33 kg D) 2,5 kg E) 3 kg SETT 24 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. På et museum ligger det tre steiner. Til sammen veier steinene 5 kg, og den tyngste veier to tredjedeler så mye som de to andre til sammen. Hvor mye

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 27 DAG 1 DAG 2

OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET SETT 27 DAG 1 DAG 2 SETT 27 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. På figuren er de to små sirklene like store. Hva er forholdet mellom arealene av det skraverte og det ikkeskraverte området? A) 1:1 B) 1:2 C) 3:4

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

1 Sannsynlighetsrgning

1 Sannsynlighetsrgning 1 Sannsynlighetsrgning 1.1 Det er 13 grønne og 18 røde baller i en eske. Vi trekker ut to baller etter hverandre. a) Hva er sannsynligheten for å få to grønne baller? Svar: P(g 1, g 2 ) = p(g 1 ) p(g 2

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Første runde

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Første runde Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 9. november 2017 (bokmål) Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 100 minutter.

Detaljer

KappAbel 2010/11 Oppgaver 1. runde - Bokmål

KappAbel 2010/11 Oppgaver 1. runde - Bokmål Regler for poenggivning på oppgavene (i henhold til konkurransereglene) : Riktig svar gir 5 poeng. Galt svar gir 0 poeng Ubesvart oppgave gir 1 poeng. NB: På oppgavene 3, 4, 7 og 8 gis 5 poeng for 2 korrekte

Detaljer

Korte ermer 4/8. Lange ermer 4/8. Korte ermer 8/12. Lange ermer 4/12

Korte ermer 4/8. Lange ermer 4/8. Korte ermer 8/12. Lange ermer 4/12 Oppgave 3. 110 I ei kasse ligger det 12 hvite og 8 grå skjorter. Blant de hvite er det 8 med korte ermer, og blant de grå er det 4 med korte ermer. Vi trekker tilfeldig ei skjorte og innfører hendingene:

Detaljer

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr

Oppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer

Detaljer

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka

Påbygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i boka Påygging kapittel 3 Statistikk Løsninger til oppgavene i oka 3.1 a Det er 5 + 8 = 13 elever som ruker inntil 119 minutter på sosiale medier. Da er det 5 13 = 1 elever som ruker 10 179 minutter på sosiale

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY)

Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Oslo, 16.-17.10.14 Astrid Bondø 19-Nov-15 Bygda Alvfjord Eksamen har i dag 5000 innbyggere. 2P 2014 Man regner med at innbyggertallet vil

Detaljer