ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

Transkript

1 ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen av et stokastisk forsøk Utfallsrom: samling av alle mulige utfall Eks.: et terningkast; utfallsrommet kan bestå av de seks enkeltutfallene 1,, 3, 4, 5, og 6 Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall Utfallsrom: Ω = { u, u,...} 1 Sannsynligheten for utfallet, u: u), der 0 u) 1 og u ) + u ) + L = 1 1 Dvs.: Sannsynligheten for utfallet, u, defineres til et tall mellom 0 og

2 Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall Hvert utfall har en sannsynlighet, kjent eller ukjent Summen av alle sannsynligheter i utfallsrommet er lik 1 Tilordningen av sannsynlighet baseres på bl.a. erfaring og egenskaper ved det stokastiske forsøket God/realistisk tilordning: overensstemmelse mellom relativfrekvenser og sannsynligheter 4 Grunnbegrep, sannsynligheter og relativfrekvenser n gjentakelser av et stokastisk forsøk (f.eks. n kast med en terning) La n u være antall ganger utfallet u forkommer blant de n forøkene (f.eks. antall seksere blant alle kastene) Relativfrekvensen til u, er forholdet mellom n u og n: n u n EXCEL-simulering 5 Grunnbegrep, sannsynlighetsmodell Utfallsrommet med sannsynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalles en sannsynlighetsmodell 6

3 Grunnbegrep, uniform modell Utfallsrommet med sannsynligheter tilordnet alle enkeltutfall, kalles en sannsynlighetsmodell Uniform sannsynlighetsmodell: For et stokastisk forsøk med k (endelig) antall utfall, der alle utfall har like stor mulighet for å inntreffe, defineres sannsynligheten til å være den samme for alle utfallene, 1/k. Denne modellen kalles en uniform sannsynlighetsmodell. Eks. 1: kast med pengestykke; {mynt, kron} Eks. : kast med terning; {1,, 3, 4, 5, 6} 7 Grunnbegrep, uniform modell Eks. 3: trekke en rekke i LOTTO (7 av tallene 1,,..., 34); k = Uniform modell? (J!) Sannsynligheten for en bestemt rekke: en bestemt rekke trekkes) = 1/ = Grunnbegrep, uniform modell Eks. 4: kast med to terninger; betrakter summen av resultatene med de to terningene: {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1}, (k=11) sum = 7) = 1/11 (v/uniform sannsynlighetsmodell) Er dette rimelig?? F.eks. vil da ha at: sum=1) = sum=7)! 10 3

4 Grunnbegrep, uniform modell Uniform modell 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Grunnbegrep, uniform modell Virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Grunnbegrep, uniform modell lå: uniform; rød: virkeligheten 0,18 0,16 0,14 0,1 0,1 0,08 0,06 0,04 0,

5 Grunnbegrep, uniform modell Nytt forslag til utfallsrom: { (1,1), (1,), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (,1),... (,6),... (6,1), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }; k=36 f.eks. betyr (3,5): rød terning=3 og blå terning=5 Her er alle utfall like mulige!! (=> uniform modell) 14 Grunnbegrep, begivenheter En begivenhet er en samling av utfall. eks.: minst fem : {5, 6} partall : {, 4, 6} { u u, K} Utfallsrom: Ω = 1, egivenhet: ( Ω) Sannsynligheten for : ) 15 Grunnbegrep, begivenheter Sannsynligheten for begivenheten er summen av sannsynlighetene til enkeltutfallene: Sannsynligheten for : ) ) = u) u 0 ) 1 Ω) = 1 (husk at Ω er en begivenhet; den MÅinntreffe!) 16 5

6 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter (kp..,.3) Vi har ofte behov for å utrykke og finne sannsynligheten for sammensatte begivenheter; eller, eller eller C, og C, osv. Snitt, union og komplement fra mengdelæren brukes. 17 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter (kp..,.3) Referanseeks.: Tre kast med pengestykke; vi betrakter rekkefølge av kron (K) og mynt (M). {KKK, KKM, KMK, MKK, KMM, MKM, MMK, MMM} = { u 1, u, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8 } : kron minst to ganger, : mynt i første Da: ={u 1, u, u 3, u 4 } og ={u 4, u 6, u 7, u 8 } 18 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter; Venndiagram ={u 1, u, u 3, u 4 } og ={u 4, u 6, u 7, u 8 } Venndiagram: u 4 u 5 Veldig nyttig hjelpemiddel i en del situasjoner. 19 6

7 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter Operasjon: Unionen mellom og Skrivemåte: Inntreffer eller (eller begge) inntreffer u 4 u 5 0 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter Operasjon: Snittet mellom og Skrivemåte:, Inntreffer og inntreffer u 4 u 5 1 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter Operasjon: Skrivemåte: Inntreffer Koplementet til C, ikke inntreffer C 7

8 Grunnbegrep, operasjoner med begivenheter To begivenheter sies å være disjunkte hvis og bare hvis begivenhetene ikke kan inntreffe samtidig. Disjunkte mengder har ingen felles element. C D C D = φ 3 Regneregler med sannsynlighet 1. Komplementsetningen: ) = 1 ) ( Ω) = 1) C 4 Regneregler med sannsynlighet. ddisjonssetningen (generell): ) = ) + ) ) 5 8

9 Regneregler med sannsynlighet Er addisjonssetningen gyldig for to disjunkte begivenheter? C D) = C) + D) C D) C D 6 Sannsynlighetsregning, eksempel ) = 1 ) ) = ) + ) ) Tokomponentsystem, parallellkoplet System ok når minst en av komponentene er ok. nta at : ok) = 0.9 = ok) og begge ok) = 0.85 a) Hva er sannsynligheten for at systemet er ok? b) Hva er sannsynligheten for at ingen av komponentene er ok? 7 9