STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

Transkript

1 STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1

2 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde kort og to svarte kort i en bunke. 2

3 Vi trekker tilfeldig ett kort og så ett kort til: Se på begivenhetene: A = «første kort er rødt» B = «andre kort er svart» Vi har at P(A) = 4/6 = 2/3. Hvis A har inntruffet er sannsynligheten for B lik 2/5. Dette er den betingede sannsynligheten for B gitt A. Vi skriver P(B A) = 2/5.

4 I eksempel 1 er det intuitivt klart hva betinget sannsynlighet er. Det er ikke alltid like enkelt: Hva er den betingede sannsynligheten for at begge kortene er røde gitt at minst ett av dem er rødt? Hva er den betingede sannsynligheten for at det første kortet er rødt gitt at det andre er svart? Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Vi vil bruke et eksempel til å motivere definisjonen. 4

5 Eksempel 2 Se på de som handler i en kolonialbutikk en dag: Brød Ikke brød Totalt Melk Ikke melk Totalt Vi velger tilfeldig en kunde og ser på begivenhetene: A = «handler melk» B = «handler brød» Vi har P( B) = Det er «opplagt» at: P( A B) = = og 40 / / 100 P( A B) = P = ( A B ) P( B) 5

6 Eksemplet motiverer definisjonen: P( A B) P = ( A B ) P( B) Ved å bytte om «rollene» til A og B P( B A) P = ( A B ) P( A) 6

7 Eksempel 3 Vi ser igjen på korteksemplet. Vi trekker tilfeldig ett kort og så ett kort til. Se på begivenhetene: A = «første kort er rødt» B = «andre kort er svart» Vi vil bestemme P( B A) ut fra definisjonen. Det gir en sjekk på at definisjonen er rimelig. 7

8 Vi kan trekke to kort på 6. 5 = 30 måter. Vi kan trekke først et rødt og så et svart kort på 4. 2 = 8 måter. Vi kan trekke det første kort rødt på 4. 5 = 20 måter. Det gir Dermed er P ( A B ) = 8 og P( A) 30 = P P( B A ) = ( A B ) = 8 / 30 P( A) 20 / 30 = = (selvfølgelig!) 8

9 Eksempel 4 Hva er den betingede sannsynligheten for at det første kortet er rødt gitt at det andre er svart? (Jf. det andre spørsmålet ovenfor.) Se på begivenhetene: A = «første kort er rødt» B = «andre kort er svart» Vi vil bestemme P( A B). 9

10 Vi har funnet at P( A B) = Vi kan få et svart kort andre gang på to måter: først rødt, så svart kort, dvs A B to svarte kort, dvs A B Derfor kan vi skrive B som en disjunkt union: B = ( A B) ( A B) Det gir at P( B) = P( A B) + P( A B) = = = 30 3 Altså har vi at P( A B) P = ( A B ) P( B) = 8 / / = =

11 Hva betyr det egentlig at den betingede sannsynligheten er 4/5 = 80% for at det første kortet er rødt gitt at det andre er svart? Husk at sannsynlighet er relativ frekvens «i det lange løp». Vi tenker oss at vi trekker to kort mange ganger. At P(A) = 2/3 betyr at det første kortet vil være rødt ca 2/3 av gangene. At P(A B) = 4/5 betyr at hvis vi bare teller med de gangene der det andre kortet er svart, så vil det første kortet være rødt ca 4/5 av disse gangene. 11

12 Produktsetningen Definisjon av betinget sannsynlighet: P ( ) = ( A B P A B ) P( B) Denne gir produktsetningen: P( A B) = P( A B) P( B) Tilsvarende: P( A B) = P( A) P( B A) 12

13 Eksempel 5 Ovenfor fant vi P( A B) i korteksemplet som antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall (når vi trekker to kort). Vi kan også finne denne sannsynligheten ved produktsetningen. Vi har P( A ) = 4 og P( B A) = Dermed gir produktsetningen: P( A B) = P( A) P( B A ) = =

14 Produktsetningen for tre begivenheter: P( A A A ) = P( A A ) P( A A A ) = P( A ) P( A A ) P( A A A ) Produktsetningen gjelder på tilsvarende måte for fire og flere begivenheter. 14

15 Eksempel 6 Etter offentlig statistikk er sannsynligheten 95% for at 65 år gammel kvinne skal bli minst 70 år 92% for at 70 år gammel kvinne skal bli minst 75 år 87% for at 75 år gammel kvinne skal bli minst 80 år Hva er sannsynligheten for at 65 år gammel kvinne skal bli minst 80 år? Vi tar for oss 65 år gammel kvinne og ser på begivenhetene A 1 = «kvinnen blir minst 70 år» A 2 = «kvinnen blir minst 75 år» A 3 = «kvinnen blir minst 80 år» 15

16 Opplysningene gir: P( A ) = P( A A ) = 0.92 P( A A A ) = 0.87 Hvis kvinnen blir minst 80 år, blir hun også minst 70 år og minst 75 år Derfor er A1 A2 A3 = A3 P(minst 80 år) = P( A 3 ) = P( A1 A2 A3 ) = P( A ) P( A A ) P( A A A ) = =

17 Total sannsynlighet Anta at A1, A2,..., Ak er disjunkte og at A1 A2... Ak = S A 1 Vi kan da skrive en begivenhet B som en union av disjunkte begivenheter: B = ( A B) ( A B)... ( A B) 1 2 Dette og produktsetningen gir setningen om total sannsynlighet k B A 3 A A2 4 k P( B) = P( Ai B) i = 1 k = i = 1 P( B A ) P( A ) i i 17

18 Eksempel 7 En bedrift produserer varer på to maskiner. Maskin I produserer 35% av varene. Maskin II produserer 65% av varene. 3% av varene fra maskin I er defekte. 1% av varene fra maskin II er defekte. En vare velges tilfeldig fra lageret. Hva er sannsynligheten for at varen er defekt? 18

19 Vi ser på hendelsene: B = «varen er defekt» A 1 = «varen kommer fra maskin I» A 2 = «varen kommer fra maskin II» Da er: P( A ) = 0.35 P( A ) = P( B A ) = 0.03 P( B A ) = Setningen om total sannsynlighet gir: 2 2 P( B) = P( B A ) P( A ) + P( B A ) P( A ) = =

20 Eksempel 8 Vi legger fire røde kort og to svarte kort i bunke I to røde kort og fire svarte kort i bunke II Vi velger tilfeldig en bunke og trekker to kort fra denne. Hva er sannsynligheten for at vi får to røde kort? 20

21 A 1 = «vi trekker fra bunke I» A 2 = «vi trekker fra bunke II» B = «vi trekker to røde kort» Opplysningene gir: P( A ) = P( A ) = P( B A1) = = P( B A ) = = Setningen om total sannsynlighet gir P ( B ) = = 7 30 =

22 Bayes' setning Anta at A1, A2,..., Ak er disjunkte og at A1 A2... Ak = S Definisjonen av betinget sannsynlighet gir at P ( ) = ( A ) j B P Aj B P( B) Vi bruker produktsetningen for telleren og total sannsynlighet for nevneren og får Bayes' setning: P( A B) j = P( B A ) P( A ) k i = 1 j P( B A ) P( A ) i j i 22

23 Eksempel 9 Se på eksempelet med produksjon av varer. Hvis varen er defekt, hva er da sannsynligheten for at den kommer fra den første maskinen? Vi har disse begivenhetene og sannsynlighetene: B = «varen er defekt» A 1 = «varen kommer fra maskin I» A 2 = «varen kommer fra maskin II» P( A1) = 0.35 P( A ) = P( B A1) = 0.03 P( B A ) =

24 Bayes setning gir: P( A B) 1 = = P( B A ) P( A ) 1 1 P( B A ) P( A ) + P( B A ) P( A ) = 0.62 I det lange løp kommer 62% av de defekte varene fra maskin I. 24

25 Eksempel 10 Vi ser på eksempel 8 Hvis begge kortene er røde, hva er sannsynligheten for at vi trakk fra bunke I? A 1 = «vi trekker fra bunke I» A 2 = «vi trekker fra bunke II» B = «vi trekker to røde kort» 1 6 P( A1) = P( A 2 ) = P( B A 1) = P( B A2) = 2 15 Bayes setning gir: P( A B) 1 = =

26 Eksempel 11 En kvinne tar en mamografiundersøkelse. Se på begivenhetene: S = «kvinnen har brystkreft» M = «undersøkelsen viser tegn på kreft» Fra erfaringer med mammografi har vi P( M S ) = 0.95 P( M S ) = Vi antar at P( S) =

27 Anta at undersøkelsen viser tegn på kreft Hva er da sannsynligheten for at kvinnen virkelig har kreft? Bayes setning gir: P( S M) = = P( M S) P( S) P( M S) P( S) + P( M S ) P( S ) = 0.16 Selv om undersøkelsen viser tegn på kreft, er det bare 16% sannsynlig at hun virkelig har det 27

28 Avhengige og uavhengige begivenheter Husk definisjonen av betinget sannsynlighet: P( A B) P = ( A B ) P( B) Hvis P(A B) = P(A) er A og B uavhengige begivenheter. Hvis P(A B) P(A) er A og B avhengige begivenheter. Merk at hvis P(A B) = P(A), så er P( B A) P = ( A B ) P( A) P = ( A ) P ( B ) P( A) = P( B) 28

29 Eksempel 12: Kast én terning to ganger. A = «minst fem øyne i første kast» B = «sum øyne lik sju» C = «minst én sekser» (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 P( A) P( B) P( C) = = 6 36 = P( A B) = 2 36 P( A C) = P( B A) = = = P( B ) 36 7 P( C A) = = P( C)

30 Hvis P(A B) = P(A), dvs A og B er uavhengige begivenheter, så er P( A B) = P( A ), dvs A og B er uavhengige P( A B ) = P( A ), dvs A og B er uavhengige P( A B ) = P( A ), dvs A og B er uavhengige Viktig resultat: A og B er uavhengige hvis og bare hvis P( A B) = P( A) P( B) Resultatet gjelder også når A og/eller B har sannsynlighet null. 30

31 Eksempel 13: Kast kronestykke og femkrone La for eksempel KM bety krone på kronstykket og mynt på femkronen Utfallsrom U = {MM, MK, KM, KK} A = {MM, MK} B = {MM, KM} C = {MK, KM} MK KK MM KM P( A) P( B ) = = P( A B) = A og B er uavhengige A og C er uavhengige B og C er uavhengige = Men ( ) 0 P A B C så A, B og C er ikke uavhengige 1 4

32 Uavhengighet for flere begivenheter Begivenhetene A1, A2,..., An er uavhenige hvis vi for enhver k og enhver delmengde av indekser i1, i2,..., i k har at P ( A A... A ) = P ( A ) P ( A )... P ( A ) i i i i i i 1 2 k 1 2 k Ovenfor har vi sett på situasjoner der vi kan vise at begivenheter er uavhengige. Men vanligvis er uavhengighet en forutsetning for sannsynlighetsmodellen vår. 32

33 Eksempel 14 Kast fem terninger. Hva er sannsynligheten for at vi ikke får en eneste sekser? Vi finner først P(ingen seksere) = = = Dermed er P(minst én sekser ) = 1 P(ingen seksere ) = =

34 Eksempel 15 Kast fem terninger. Hva er sannsynligheten for at alle terningene viser samme antall øyne (yatzy). Vi har at P(yatzy) = P(fem enere) + P(fem toere) + P(fem treere) + P(fem firere) + P(fem femere) + P(fem seksere) = = 6 =