STK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen:

Transkript

1 STK00 våren 05 etnget sannsynlghet Svarer tl avsntt.4 læreboa Esempel V vl først ved help av et esempel se ntutvt på hva betnget sannsynlghet betyr V legger fre røde ort og to svarte ort en bune Ørnulf organ Matemats nsttutt Unverstetet Oslo V treer tlfeldg ett ort og så ett ort tl A «første ort er rødt» «andre ort er svart» V har at P(A 4/ /3 Hvs A har nntruffet er sannsynlgheten for l /5 Dette er den betngede sannsynlgheten for gtt A I esempel er det ntutvt lart hva betnget sannsynlghet er Det er e alltd le enelt: Hva er den betngede sannsynlgheten for at begge ortene er røde gtt at mnst ett av dem er rødt? Hva er den betngede sannsynlgheten for at det første ortet er rødt gtt at det andre er svart? V trenger en defnson av betnget sannsynlghet! V vl brue et esempel tl å motvere defnsonen V srver P( A /5 4 Norse barn delt nn etter ønn og fargeblndhet: Normal Fargeblnd Totalt Gutt 47.3 % 4. % 5.4 % Jente 48.3 % 0.3 % 48. % Totalt 95. % 4.4 % 00 % V velger tlfeldg ett barn og ser på begvenhetene: F «barnet er fargeblndt» G «barnet er en gutt» V har P(G 0.54 og Det er «opplagt» at P( F G P( F G 0.04 ( F G P( G 5 Esemplet motverer defnsonen: ( ( A P A P( Ved å bytte om «rollene» tl A og ( ( A P A P( A

2 Esempel V ser gen på ortesemplet V treer tlfeldg ett ort og så ett ort tl V an tree to ort på. 5 måter V an tree først et rødt og så et svart ort på 4. 8 måter V an tree det første ort rødt på måter Det gr P( A 8 P( A 0 A «første ort er rødt» «andre ort er svart» Dermed er ( ( A P A P( A 8 / 8 0 / 0 5 V vl bestemme P( A ut fra defnsonen (det gr en se på at defnsonen er rmelg 7 (selvfølgelg! 8 Esempel 3 Hva er den betngede sannsynlgheten for at det første ortet er rødt gtt at det andre er svart? (Jf. det andre spørsmålet ovenfor V har funnet at P( A 8 V an få et svart ort andre gang på to måter: først rødt, så svart ort, dvs A to svarte ort, dvs A A «første ort er rødt» «andre ort er svart» V vl bestemme Dermed er P( P( A + P( A Det gr at ( ( A P A P( (dvs. l sannsynlgheten for at første ort er svart 8 / / P( A Hva betyr det egentlg at den betngede sannsynlgheten er 4/5 80% for at det første ortet er rødt gtt at det andre er svart? Produtsetnngen Hus at sannsynlghet er relatv frevens «det lange løp» V tener oss at v treer to ort mange ganger At P(A /3 betyr at det første ortet vl være rødt ca /3 av gangene Defnson av betnget sannsynlghet: ( ( A P A P( Denne gr produtsetnngen: P( A P( A P( At P(A 4/5 betyr at hvs v bare teller med de gangene der det andre ortet er svart, så vl det første ortet være rødt ca 4/5 av dsse gangene Tlsvarende: P( A P( A P( A

3 Esempel 4 Ovenfor fant v P( A ortesemplet som antall gunstge utfall delt på antall mulge utfall V an også fnne denne sannsynlgheten ved produtsetnngen V har P ( A 4 og P( A 5 Dermed gr produtsetnngen: P( A P( A P( A Produtsetnngen for tre begvenheter: P( A A A 3 P( A A P( A A A 3 P( A P( A A P( A A A 3 Produtsetnngen gelder på tlsvarende måte for fre og flere begvenheter 4 Esempel 5 Etter offentlg statst er sannsynlgheten 95% for at 5 år gammel vnne sal bl mnst 70 år 9% for at 70 år gammel vnne sal bl mnst 75 år 87% for at 75 år gammel vnne sal bl mnst 80 år Opplysnngene gr: P( A 0.95 P( A A 0.9 P( A A A Hva er sannsynlgheten for at 5 år gammel vnne sal bl mnst 80 år? V tar for oss 5 år gammel vnne og ser på begvenhetene A «vnnen blr mnst 70 år» A «vnnen blr mnst 75 år» A 3 «vnnen blr mnst 80 år» 5 Hvs vnnen blr mnst 80 år, blr hun også mnst 70 år og mnst 75 år Derfor er A A A3 A3 P(mnst 80 år P( A 3 P( A A A3 P( A P( A A P( A A A Total sannsynlghet Anta at A, A,..., A er dsunte og at A A... A S Dette og produtsetnngen gr setnngen om total sannsynlghet P( P( A A V an da srve en begvenhet som en unon av dsunte begvenheter: ( A ( A... ( A A 3 A A 4 P( A P( A 7 Esempel En bedrft produserer varer på to masner Masn I produserer 35% av varene Masn II produserer 5% av varene 3% av varene fra masn I er defete % av varene fra masn II er defete En vare velges tlfeldg fra lageret Hva er sannsynlgheten for at varen er defet? 8

4 V ser på hendelsene: «varen er defet» A «varen ommer fra masn I» A «varen ommer fra masn II» Da er: P( A 0.35 P( A 0.5 P( A 0.03 P( A 0.0 Setnngen om total sannsynlghet gr: P( P( A P( A + P( A P( A Esempel 7 V legger fre røde ort og to svarte ort bune I to røde ort og fre svarte ort bune II V velger tlfeldg en bune og treer to ort fra denne Hva er sannsynlgheten for at v får to røde ort? 0 A «v treer fra bune I» A «v treer fra bune II» «v treer to røde ort» Opplysnngene gr: P( A P( A 4 3 P( A 5 5 P( A 5 5 ayes' setnng Anta at A, A,..., A er dsunte og at A A... A S Defnsonen av betnget sannsynlghet gr at ( ( A P A P( V bruer produtsetnngen for telleren og total sannsynlghet for nevneren og får ayes' setnng: Setnngen om total sannsynlghet gr 7 P( P( A P( A P( A P( A P( A Esempel 8 Se på esempelet med produson av varer Hvs varen er defet, hva er da sannsynlgheten for at den ommer fra den første masnen? V har dsse begvenhetene og sannsynlghetene: «varen er defet» A «varen ommer fra masn I» A «varen ommer fra masn II» P( A 0.35 P( A 0.5 P( A 0.03 P( A ayes setnng gr: P( A P( A P( A P( A P( A + P( A P( A I det lange løp ommer % av de defete varene fra masn I 4

5 Esempel 9 V ser på esempel 7 Hvs begge ortene er røde, hva er sannsynlgheten for at v tra fra bune I? A «v treer fra bune I» A «v treer fra bune II» «v treer to røde ort» Esempel 0 En vnne tar en mamografundersøelse S «vnnen har brystreft» M «undersøersøelsen vser tegn på reft» P( A P( A P( A P( A 5 5 ayes setnng gr: P( A Fra erfarnger med mammograf har v P( M S 0.95 P( M S V antar at P( S Anta at undersøelsen vser tegn på reft Hva er da sannsynlgheten for at vnnen vrelg har reft? ayes setnng gr: P( S M P( M S P( S P( M S P( S + P( M S P( S Selv om undersøelsen vser tegn på reft, er det bare % sannsynlg at hun vrelg har det 7