SANNSYNLIGHETSREGNING

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "SANNSYNLIGHETSREGNING"

Transkript

1 SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like mange piker som gutter hvert år? Hvorfor?

2 SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Dersom vi kaster en vanlig Yatzy-terning 6000 ganger, eller raskere, lar en kalkulator eller en PC simulere 6000 kast, får vi omtrent ere, ere, ere, ere, ere og ere. Hvorfor gjør vi det?

3 En av de betydelige bidragsyterne til sannsynlighetsregningen var den franske matematikeren og filosofen Blaise Pascal ( ). Han forsøkte å finne om og eventuelt hvordan en i det lange løp kunne vinne når en spilte forskjellige typer spill. Har du et system som hjelper deg når du spiller?

4 Sannsynlighet Når vi kaster en Yatzy-terning, er det 6 mulige utfall. Alle utfallene er like sannsynlige. 1 Derfor er sannsynligheten for hvert utfall. 6 Men hva betyr det at sannsynligheten for noe er 6 1?

5 Sannsynlighet I en kortstokk er det 52 kort, 13 kløver, 13 spar, 13 ruter og 13 hjerter. Hva er sannsynligheten for å trekke 3? Et hjerterkort? Et sort kort? Et bildekort (knekt, dame eller konge)?

6 Mengdelære Mengdelære er en variant av et logisk system som ble utviklet av den greske filosofen og vitenskapsmannen Aristoteles ( f.kr.). N Z Q R C

7 SNITT Venn-diagram A B leses A snitt B eller A OG B

8 UNION A B leses A union B eller A ELLER B. Unionen av to mengder A og B er mengden av de elementene som er med i A ELLER i B ELLER i begge.

9 Differansmengden A \ B A \ B kan vi lese A minus B eller A IKKE B. A \ B er mengden av de elementene som er med i A, men IKKE i B.

10 Snitt og union av tre mengder A B C A B C

11 ((A \ B) (A \ C)) (A B C) (A \ (B C)) (A B C) Prioritet 1. Parenteser 2. Differansmengde \ 3. Snitt 4 Union A \ B A \ C A B C A \ (B C) A B C

12 Forsøk, utfall og utfallsrom De 6 mulige utfallene av et terningkast kaller vi utfallsrommet. Det vi gjør for å få et utfall, kaller vi et forsøk. Et terningkast er et forsøk. Utfallsrommet kan vi se på som mengden U. Med Venn-diagram kan vi illustrere den slik: Når hvert utfall i utfallsrommet har like stor sannsynlighet, sier vi at utfallsrommet er uniformt. Sannsynlighetene er like eller uniforme. I et uniformt utfallsrom er sannsynligheten for hvert utfall 1. antall utfall i utfallsrommet

13 Hending En hending er ett eller flere mulige utfall. A: En 5-er eller en 6-er. A U Utfallsrommet U er også en hending: U: En 1-er eller en 2-er eller en 3-er eller en 4-er eller en 5-er eller en 6-er. U U B: En 1-er eller en 2-er eller en 3-er eller en 4-er eller en 5-er. Dersom vi innfører hendingen C: En sekser kan vi alternativt definere hendingen B slik: B U \ C

14 Hendinger og sannsynlighet A: En 5-er eller en 6-er p (A) p (B) p(b) p(u \ C) p(u) p(c) p (B) p(u) p(c) p(u) er 1 fordi ett av utfallene i utfallsrommet helt sikkert vil inntreffe. Sannsynlighet er alltid et tall i intervallet [0,1] p 0 betyr at utfallet eller hendingen helt sikkert ikke vil inntreffe. p 1 betyr at utfallet eller hendingen helt sikkert vil inntreffe.

15 Kvadrat gjorde det lettere å se logikken i brøkregning. Yatzy-terninger har den samme funksjonen i sannsynlighetsregning. Derfor fortsetter vi med dem: D: En 1-er eller en 2-er eller en 3-er eller en 4-er. E: En 3-er eller en 4-er eller en 5-er eller en 6-er. Med Venn-diagram kan vi illustrere hendingene slik: p(d) er 4 2. Det samme er p(e). 6 3 Men hva er p(d E), dvs. sannsynligheten for D ELLER E og hva er p(d E), dvs. sannsynligheten for D OG E?

16 Addisjonssetningen p(d E) p(d) + p(e) p(d E)

17 Addisjonssetningen H: Vi rekker et hjerterkort. B: Vi trekker et bildekort. p(h) p(b) p( H B) p (H B) p(h) + p(b) p(h B) + + ( ) av de 52 kortene er med i H ELLER i B ELLER i begge.

18 Uavhengige og avhengige hendinger R3: Rød terning viser en treer. B4: Blå terning viser en firer. Utfall Rød Blå Hending nr. terning Terning B B R R R R3 og B R R B B B R3 og B4 er uavhengige hendinger. 6 1 p (R3) p (B4) 36 6 p(r3. B4) 1 36 ( 1 6 Dersom sannsynligheten for en hending ikke endres når vi får vite om en annen hending har inntruffet eller ikke, så er de to hendingene uavhengige hendinger. 1 ) 6 Hvis det at en hending har inntruffet eller ikke inntruffet, endrer sannsynligheten for den andre hendingen, så er de to hendingene avhengige. Mer matematisk: Dersom p(a B) p(a) p(b), så er de to hendingene A og B UAVHENGIGE. Dersom p(a B) p(a) p(b), så er de to hendingene A og B AVHENGIGE.

19 Et eksempel på avhengige hendinger kan være følgende: 100 menn og 200 kvinner blir spurt om de, hvis det var valg, ville stemt på parti X. Menn Kvinner Totalt Ville ikke stemt på parti X Ville stemt på parti X Totalt Vi trekker et tilfeldig skjema og vurderer to hendinger: K: Skjemaet er fylt ut av en kvinne. X: Skjemaet er fylt ut av en som ville stemt på parti X. Dette kan ikke være uavhengige hendinger. Hvorfor?

20 Menn Kvinner Totalt Ville ikke stemt på parti X Ville stemt på parti X Totalt p (X) (125 av 300 spurte ville stemt på parti X) Men dersom vi først undersøker og finner at skjemaet er fra en kvinne, så blir p(x) 50 1 (50 av 200 kvinner ville stemt på parti X) Dersom skjemaet er fra en mann, så er p(x) 75 3 (75 av 100 menn ville stemt på parti X) Også p(k) endres når vi vet om den andre hendingen har inntruffet eller ikke. p (K) er i utgangspunktet Dersom skjemaet er fra en som ville stemt parti X, så er p(k) (50 av de 125 som ville stemt på parti X, er kvinner) Dersom skjemaet er fra en som ikke ville stemt på parti X, så er p(k) (150 av de 175 som ikke ville stemt på parti X, er kvinner)

21 Uavhengige og avhengige hendinger I dette eksemplet er de to hendingene K og X avhengige hendinger. Sannsynligheten for hending X endres når vi først undersøker om hending K har inntruffet og motsatt. Da forventer vi at p(k X) ikke er lik p(k) p(x). Vi kontrollerer om det er slik: K: Skjemaet er fylt ut av en kvinne. X: Skjemaet er fylt ut av en som ville stemt på parti X. Tabellen Menn Kvinner Totalt Ville ikke stemt på parti X Ville stemt på parti X Totalt forteller oss at 200 p (K) p (X) p (K X) p (K) p(x) p(k X) p(k) p(x) Hendingene K: Skjemaet er fylt ut av en kvinne. X: Skjemaet er fylt ut av en som ville stemt på parti X. er avhengige hendinger.

22 H: Vi trekker et hjerterkort. B: Vi trekker et bildekort. Uavhengig eller avhengig?

23 H: Vi trekker et hjerterkort. B: Vi trekker et bildekort p (B) p (B) er også dersom vi vet at hending H har inntruffet (3 av de 13 hjerter-kortene er bildekort). Det samme er tilfellet dersom vi vet at H 3 ikke har inntruffet. Også da er p (B) Dersom H ikke har inntruffet, er p (B) (det er 9 bildekort blant de 39 kortene som ikke er hjerter) p (H) Dersom hending B har inntruffet, er 52 4 (3 av de 12 bildekortene er hjerter). 3 p (H) 12 Dersom hending B ikke har inntruffet, er 10 1 p (H) (10 av de 40 kortene som ikke er 40 4 bildekort, er hjerter). 1 4 H og B viser seg å være uavhengige hendinger. Sannsynlighetene endres ikke selv om vi får vite om en hending har inntruffet eller ikke inntruffet. Uavhengigtesten under bekrefter at H og B er uavhengige. p (H B) p (H) p(b) p(h B) p(h) p(b)

24 D: Vi kaster en 1-er eller en 2-er eller en 3-er eller en 4-er. E: Vi kaster en 3-er eller en 4-er eller en 5-er eller en 6-er. Uavhengig eller avhengig?

25 D: Vi kaster en 1-er eller en 2-er eller en 3-er eller en 4-er. E: Vi kaster en 3-er eller en 4-er eller en 5-er eller en 6-er. p(d) og p(e) er begge Men dersom vi vet at en av hendingene har inntruffet, 2 1 endres sannsynligheten for den andre til. 4 2 Dersom vi vet at en hending ikke har inntruffet, har den andre helt sikkert inntruffet. Sannsynligheten for den andre hendingen er da 1. D og E må være avhengige hendinger. Uavhengigtesten under bekrefter det. 2 p (D E) p (D) p(e) p(d) p(e) p(d E)

26 Hendingene D: En 1-er eller en 2-er eller en 3-er eller en 4-er. E: En 3-er eller en 4-er eller en 5-er eller en 6-er. er avhengige hendinger. Men hva hvis vi omdefinerer hending E slik:

27 Hvis p(a B) p(a) p(b), så er de to hendingene A og B UAVHENGIGE. Hvis p(a B) p(a) p(b), så er de to hendingene A og B AVHENGIGE. Produktsetningen Hvis to hendinger A og B er UAVHENGIGE, så er p(a B) p(a) p(b) Den første formuleringen over og produktsetningen gir at To hendinger A og B er UAVHENGIGE hvis og bare hvis p(a B) p(a) p(b)

28 Betinget sannsynlighet 1 Sannsynligheten for at et tilfeldig kort fra en blandet kortstokk er A, er. 52 Men dersom vi får vite at det er et hjerterkort, er sannsynligheten for at det er A, lik 0. Dersom vi får vite at det er en spar, er sannsynligheten for at det er A, lik Dersom vi får vite at det er et ess, er sannsynligheten for at det er A, lik 4 1. Gitt to hendinger A og B. Sannsynligheten p (A B) leser vi sannsynligheten for A gitt B. Med det mener vi sannsynligheten for hending A når vi vet at hending B har inntruffet.

29 Vi trekker et kort fra en blandet kortstokk og definerer to hendinger: A: Kortet er et ess. S: Kortet er en spar De to hendingene kan vi med venndiagram illustrere slik: Venndiagrammet forteller oss at p(a S), dvs. sannsynligheten for at kortet er et ess når 1 vi vet at det er en spar, er, og at p(s A), dvs. sannsynligheten for at kortet er en spar 13 når vi vet at det er et ess, er 4 1.

30 I et uniformt utfallsrom, dvs. et utfallsrom der alle utfallene har like stor sannsynlighet, kan vi finne sannsynligheten for en gitt hending H ved å telle hvor mange utfall som gir hendingen (vi kaller dem gunstige utfall) og dividere på antall mulige utfall, dvs. på antall utfall i utfallsrommet: Antall gunstige utfall p (H) Antall mulige utfall Fra venndiagrammet ser vi at det er 4 mulige utfall dersom vi får vite at det kortet vi har trukket, er et ess. Dersom vi får vite at det er en spar, er det 13 mulige utfall. De gunstige utfallene for A S (A gitt S) og S A (S gitt A) finner vi i snittet mellom A og S, dvs. i A S. p(a S) og p(s A) kan vi følgelig beregne slik: Antall gunstige utfall Antall utfall i A S p (A S) Antall mulige utfall Antall utfall i S 1 13 Antall gunstige utfall Antall utfall i A S p (S A) Antall mulige utfall Antall utfall i A 1 4

31 De to utledningene Antall gunstige utfall Antall utfall i A S p (A S) Antall mulige utfall Antall utfall i S 1 13 Antall gunstige utfall Antall utfall i A S p (S A) Antall mulige utfall Antall utfall i A kan vi kortere skrive slik: 1 4 N(A S) p (A S) N(S) 1 13 N(A S) p (S A) N(A) 1 4 N(A S), N(A), N(S) er antall utfall (element) i henholdsvis A snitt S ( A S), A og S. Vi lar N være antall utfall i hele utfallsrommet, dvs. antall kort i hele kortstokken, dividerer teller og nevner på N og får: N(A S) 1 p (A S) N 52 ( N(S) 13 N ) N(A S) 1 p (S A) N 52 ( N(A) 4 N 52 1 ) 4 Vi repeterer hendingene A og S: A: Vi trekker et ess. S: Vi trekker en spar N(A) er sannsynligheten for å trekke et ess, dvs. p(a). N N 4 52 N(S) er sannsynligheten for å trekke en spar, dvs. p(s) N(A S) N 1 52 er sannsynligheten for å trekke A, dvs. p(a S). Vi kan derfor omskrive slik:

32 p(a S) p(a S) p(s) p(s A) p(a S) p(a) Nå kan vi konkludere med en formel som gjelder for betinget sannsynlighet. Gitt to vilkårlige hendinger A og B: p (A B), dvs. sannsynligheten for A gitt B, kan beregnes slik: p(a B) p(a B) p(b) p (B A), dvs. sannsynligheten for B gitt A, kan beregnes slik: p(a B) p(b A) p(a)

33 Vi vet at p(a B) p(a B) p(b) og at p(b A) p(a B) p(a) Det gir at p(a B) p(b) p(a B) p(a) p(b A) Dersom vi tar utgangspunkt i p(b A) p(a B) p(a) og bytter ut B) får vi den formen det er vanlig å presentere en viktig likhet på: p(a med p(b) p(a B), p(b A) p(b) p(a B) p(a) Denne likheten ble utledet av den engelske presten Thomas Bayes ( ) og publisert to år etter hans død i Vanlige betegnelser på likheten er Bayes formel, Bayes regel, Bayes teorem og Bayes setning. På nettet finner du mye stoff om Bayes og likheten hans.

34 Mer om uavhengige og avhengige hendinger Vanlig språkforståelse forteller oss at to hendinger er uavhengige dersom sannsynligheten for hver av dem ikke endres når vi får vite om den andre hendingen har funnet sted eller ikke. Mer matematisk kan vi si det samme slik: To hendinger A og B er uavhengige dersom B) p(a) p(a og p(b A) p(b) Egentlig trenger vi bare å teste én av de to likhetene. Dersom p(a B) er lik p (A), må p(b A) være lik p (B) og omvendt. Det kan vi vise med Bayes setning slik: p(b) p(a B) p(a) p(b) p(a) p(a) Hvis p(a B) p(a), så p (B A) p(b) Foran fant vi at p(a B) p(b) p(a B) p(a) p(b A). Dette kaller vi produktsetningen for sannsynligheter Dersom hendingene A og B er uavhengige, endres ikke sannsynligheten for den ene selv om vi får vite at den andre har inntruffet eller at den ikke har inntruffet. Da er p (A B) p(a) og p (B A) p(b). Produktsetningen p(a B) p(b) p(a B) p(a) p(b A) kan da omskrives slik: p(a B) p(b) p(a) p(a) p(b) Vi kan oppsummere dette slik: To hendinger A og B er UAVHENGIGE hvis og bare hvis p(a B) p(a) p(b)

35 Valgtrær Vi har en pose med 3 røde kuler og 4 blå og skal trekke 3 tilfeldige kuler. Hva er sannsynligheten for å trekke 3 blå kuler?

36 Valgtrær Vi har en pose med 3 røde kuler og 4 blå og skal trekke 3 tilfeldige kuler. Hva er sannsynligheten for å trekke 3 blå kuler? p (BBB) 0, Sjansen for å trekke 3 blå kuler er 11,4%.

37 Vi har en pose med 3 røde kuler og 4 blå og skal trekke 3 tilfeldige kuler. Fordi hvert trekk har 2 mulige utfall, rød eller blå kule, kan vi også finne de 8 utfallene ved å telle i totallsystemet. Vi lar 0 representer rød (R) og 1 blå (B): 000 RRR 001 RRB 010 RBR 011 RBB 100 BRR 101 BRB 110 BBR 111 BBB

38 Vi har en pose med 3 røde kuler og 4 blå og skal trekke 3 tilfeldige kuler. Ett av utfallene vil helt sikkert finne sted. Derfor er summen av sannsynlighetene 1, hendinger har 2 røde og 1 blå kule. Dersom vi ser bort fra rekkefølge, er sannsynligheten for å trekke 2 røde og 1 blå p(rrb) + p(rbr) + p(brr) 0, , ,1143 0,3429.

39 Introduksjon til binomiske forsøk Når vi kaster en mynt, vurderer vi sannsynlighetene for krone og mynt som like. Begge er 0,5. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 10 0, dvs. tilnærmet en tusendel. Dersom 2000 personer kaster hver sin mynt 10 ganger, kan vi forvente at 2 av dem får krone på alle kastene. 10 Men hva er sannsynligheten for å få 5 krone og 5 mynt på 10 kast? Blir også den 0,5? Vi kommer tilbake til denne sannsynligheten, men tenk litt på spørsmålet så lenge.

40 Binomiske forsøk Ordet bi betyr to. Et binomisk forsøk er et forsøk der vi får ett av to mulige utfall. La oss tenke oss at vi skal utføre et binomisk forsøk 3 ganger. I hvert forsøk kan vi få utfallet A eller utfallet A (ikke A). Vi sier at sannsynligheten for å få A er p. Da må sannsynligheten for å få A være 1 p. Hvert av de 3 forsøkene gir oss ett av 2 mulige utfall. De 3 forsøkene gir oss følgelig ett av mulige utvalg. Fordi hvert forsøk har 2 mulige utfall, kan vi lett liste de 8 utvalgene ved å telle i det binære tallsystemet inntil vi har brukt opp tre sifferposisjoner (en kort innføring i det binære tallsystemet finner du i kapittel 2): Dersom vi lar 0 representere A og 1 A, kan vi liste de 8 mulige utvalgene slik: A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Sannsynligheten for å få A er p. Sannsynligheten for å få A er 1 p.

41 Sannsynlighetene for hvert av de 8 utvalgene kan vi liste slik: A A A p( A A A ) 3 ( 1 p) (1 p) (1 p) (1 p) A A A p( A A A ) 2 2 ( 1 p) (1 p) p (1 p) p p (1 p) A A A p( A A A ) 2 ( 1 p) p (1 p) p (1 p) A A A p( A A A ) (1 p) p p (1 p) p p (1 p) 2 2 A A A p( A A A ) 2 p (1 p) (1 p) p (1 p) 2 A A A p( A A A ) p (1 p) p p (1 p) A A A p( A A A ) p p (1 p) p (1 p) 2 A A A p( A A A ) 3 p p p p Her er det system. Dette systemet blir lettere å se dersom vi stokker litt på rekkefølgen og lister utvalgene etter hvor mange ganger A inntreffer:

42 Utvalg Antall ganger A inntreffer Antall ganger A ikke inntreffer Sannsynlighet for utvalget når rekkefølge har betydning A A A 0 3 ( 1 p) 3 A A A p (1 p) A A A p (1 p) A A A p (1 p) A A A 2 1 (1 p) p 2 A A A 2 1 (1 p) p 2 A A A 2 1 (1 p) p 2 A A A p Her ser vi at en formel for å beregne sannsynligheten for å få utfall der A inntreffer x ganger og A y ganger i en bestemt rekkefølge, kan være følgende (husk at et tall opphøyd i 0 er lik 1. a 0 1): p(a inntreffer x ganger, A inntreffer y ganger) x y p (1 p) Denne formelen overrasker oss ikke, men la oss undersøke sannsynlighetene når rekkefølge ikke har betydning.

43 3 I ett utvalg inntreffer A 0 ganger. Sannsynligheten for dette utvalget er 1 p) (. 2 I tre utvalg inntreffer A 1 gang. Sannsynligheten for hvert av disse utvalgene er p (1 p). I tre utvalg inntreffer A 2 ganger. Sannsynligheten for hvert av disse utvalgene er p 2 (1 p) I ett utvalg inntreffer A 3 ganger. Sannsynligheten for dette utvalget er 3 p.. Antall ganger A inntreffer Sannsynlighet når rekkefølge ikke har betydning Dette gir oss følgende tabell: 0 1 (1 p) p (1 p) p (1 p) p For å utlede videre må du kjenne binomialkoeffisienten og vite hva vi mener med fakultet i matematikken. Det ser vi på på den neste siden.

44 Fakultet Vi starter med et gitt tall, la oss kalle det n, og multipliserer det med tallet under og videre med tallet under det igjen osv. ned til 1 vi utfører multiplikasjonen: n (n 1) (n 2) (n 3) Produktet (resultatet) kaller vi n! som leses n fakultet. Det gir oss definisjonen: n! n (n 1) (n 2) (n 3) For eksempel er 10! En har vedtatt at 0! skal være lik 1. 0! 1

45 Binomialkoeffisienten Formelen n n! k k!(n k)! kalles binomialkoeffisienten. Den er nyttig i mange forskjellige sammenhenger. Vi kan bruke den til å redigere tabellen foran: Antall ganger A inntreffer Sannsynlighet når rekkefølge ikke har betydning 0 1 (1 p) p (1 p) p (1 p) p Når vi utfører det binomiske forsøket 3 ganger, kan vi få utfallet A 3 0 3! 0!(3 0)! 3! 1 3! 0 ganger på 1 måte ! 1!(3 1)! 3! 1 2! gang på 3 måter ! 2!(3 2)! 3! 2!1! ganger på 3 måter ! 3!(3 3)! 3! 3!1 3 ganger på 1 måte.

46 Vi kan følgelig også vise tabellen foran slik: Antall ganger A inntreffer Sannsynlighet når rekkefølge ikke har betydning 0 3 (1 p) p (1 p) p 2 (1 p) p 3 Tabellen forteller oss sannsynlighetene for å få ett av de to mulige utfallene 0, 1, 2 og 3 ganger når vi utfører det samme binomiske forsøket 3 ganger. Tabellen antyder hvordan den generelle formelen er, dvs. den formelen som kan fortelle oss sannsynligheten for å få ett av de to mulige utfallene (vi kaller det A) k ganger når vi utfører et binomisk forsøk n ganger og rekkefølge ikke har betydning. I hvert forsøk er sannsynligheten for å få A lik p. Prøv å formulere den generelle formelen.

47 Den generelle formelen (algoritmen) er slik: Binomisk forsøksserie Vi utfører et binomisk forsøk n ganger. I hvert forsøk kan vi få utfallet A eller A. Sannsynligheten for å få A er p. Sannsynligheten for å få A er 1 p. Når rekkefølge ikke har betydning, er sannsynligheten for å få A k ganger n k n k p (1 p) k I det forrige avsnittet spurte vi om sannsynligheten for å få 5 krone og 5 mynt når vi 10 kastet en mynt 10 ganger er,5 0. Svaret er både ja og nei. Dersom vi vil ha krone og mynt i en bestemt rekkefølge, er svaret ja. Dersom rekkefølgen ikke betyr noe, er svaret nei. Vi innser at mange kastkombinasjoner gir 5 krone og 5 mynt. Vi kan få krone på de 5 første kastene og mynt på de 5 siste eller motsatt, eller krone og mynt på annet hvert kast osv ! 5!(10 5)! 10! 5!5! Eksakt vil 252 utvalg gi 5 krone og 5 mynt. I hvert av disse utvalgene er 5 krone og 5 mynt ordnet i en bestemt rekkefølge. 10 Sannsynligheten for å få et bestemt av de 252 utvalgene er 0,5. Da må sannsynligheten for å få 5 krone og 5 mynt uansett rekkefølge være ,5 0, 2461 La oss kontrollere om vi får det samme svaret med formelen n k n k p (1 p) k :

48 n k n k p (1 p) k Vi setter n 10, k 5 og p 0, ,5 (1 0,5) 5 n n! k k!(n k)! 10 10! 10! !(10 5)! 5!5! ,5 0, ,5 0, , ,5 10 Formelen for binomiske forsøksserier gir oss det uttrykket vi forventet: 252 0, ,5 0,2461 p(5 krone og 5 mynt) 0,2461 Dersom vi utfører en serie på 10 myntkast mange ganger, kan vi forvente å få 5 krone 1 og 5 mynt i rundt eller 25 % av seriene. 4

49 Tabellen under viser oss de andre sannsynlighetene (K står for krone og M for mynt): Vi kaster en mynt 10 ganger p(0 K og 10 M) p(1 K og 9 M) p(2 K og 8 M) p(3 K og 7 M) p(4 K og 6 M) p(5 K og 5 M) p(6 K og 4 M) p(7 K og 3 M) p(8 K og 2 M) p(9 K og 1 M) p(10 K og 0 M) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) ,5 (1 0,5) 10 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 0,2051 0,1172 0,0439 0,0098 0,0010 Sum 1,0000 Vi får helt sikkert ett av de 11 utvalgene. Derfor er summen av sannsynlighetene 1,0. Når vi lister sannsynlighetene for samtlige mulige utvalg, kaller vi verdiene punktsannsynligheter. Legg merke til symmetrien i punktsannsynlighetene. Den ser du enda tydeligere i den grafiske framstillingen på neste side:

50 Her ser vi for eksempel at sannsynligheten for 3 krone og 7 krone er den samme, dvs. at ,5 (1 0,5) 0,5 (1 0,5) ,5 0,5 0,5 0, Vi dividerer begge sidene på 0,5 0,5 og får at

51 Dersom vi gjør tilsvarende for de andre parvis like sannsynlighetene, får vi at Dette kan få oss til å tro at k n k n n. La oss undersøke om det er slik: k)! k!(n n! k n k)! k!(n n! k)!k! (n n! k)! n k)!(n (n n! k))! (n k)!(n (n n! k n n + Det er slik at k n k n n Når vi trekker k element fra n element uten tilbakelegging, får vi ett av k n mulige uordnete utvalg. Denne regelen kan vi nå utvide slik: Når vi trekker k element fra n element uten tilbakelegging, får vi ett av k n n k n mulige uordnete utvalg.

52 Vi avrunder dette kapitlet med noen påstander: Dersom 23 personer er samlet, er sannsynligheten for at minst 2 har fødselsdag på samme dato 0,51. p(23 personer. Minst 2 fødselsdag på samme dato) 0,51 Dersom 60 personer er samlet, er det nesten sikkert at minst 2 har fødselsdag på samme dato. p(60 personer. Minst 2 fødselsdag på samme dato) 0,99 Prøv å bekrefte eller avkrefte disse påstandene før du leser vår konklusjon på neste side.

53 På forrige side presenterte vi påstandene: Kapittel 28 SANNSYNLIGHETSREGNING Fødselsdag på samme dato p(23 personer. Minst 2 fødselsdag på samme dato) 0,51 p(60 personer. Minst 2 fødselsdag på samme dato) 0,99 For å finne om det er slik, er det enklest å tenke komplement. Vi kan begynne med å stille spørsmålet: Hva er sannsynligheten for at det ikke er slik at 2 har fødselsdag på samme dato? Dersom 1 person er samlet, er det sikkert at 2 ikke har fødselsdag på samme dato. p 1 Dersom 2 personer er samlet, må den andre personen ha fødselsdag på en av de gjenværende 364 dagene i året (her sier vi at et år består av 365 dager). Sannsynligheten 364 for det er. Det gir at sannsynligheten for at 2 personer ikke har fødselsdag på 365 samme dato når 2 er samlet, kan beregnes slik: personer har brukt opp 2 av årets 365 dager. Da er det 363 dager igjen til person nummer 3. Det gir at sannsynligheten for at 2 personer ikke har fødselsdag på samme dato når 3 personer er samlet, kan beregnes slik: Systemet er klart: Sannsynligheten for at 2 personer ikke har fødselsdag på samme dato når n personer er samlet, kan beregnes slik: n Denne multiplikasjonen kan også skrive slik: 365! n (365 n)! 365 Vi har funnet sannsynligheten for at 2 personer ikke har fødselsdag på samme dato når n personer er samlet. Komplementet er at minst 2 personer har fødselsdag på samme dato. Sannsynligheten for det må være 365! 1. n (365 n)! 365 I tabellen på neste side har vi brukt denne formelen og beregnet sannsynlighetene for et utvalg n-verdier.

54 Antall personer samlet Sannsynlighet for at minst 2 har fødselsdag på samme dato Her ser vi at 1 0, , , , , , , , , , , , , , , ,9941 p(23 personer samlet. Minst 2 fødselsdag på samme dato) 0,51 p(60 personer samlet. Minst 2 fødselsdag på samme dato) 0,99 Grafisk kan vi vise sannsynlighetene for alle n-verdiene opp til og med 60 slik:

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Blokk1: Sannsynsteori

Blokk1: Sannsynsteori Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA0 Statistikk 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

Oppgave 1 a) Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt av binomialkoeffisienten

Oppgave 1 a) Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt av binomialkoeffisienten Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 2, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Oppgave 1 dvs 2 kort med samme verdi og 3 kort med ulike andre verdier. 4 verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter.

Oppgave 1 dvs 2 kort med samme verdi og 3 kort med ulike andre verdier. 4 verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter. TMA0 Statistikk Vår 008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer Løsningsskisse Oppgave a Ett par, dvs kort med samme verdi og kort med ulike andre verdier.

Detaljer

Kapittel 2, Sannsyn. Definisjonar og teorem på lysark, eksempel og tolking på tavla. TMA september 2016 Ingelin Steinsland

Kapittel 2, Sannsyn. Definisjonar og teorem på lysark, eksempel og tolking på tavla. TMA september 2016 Ingelin Steinsland Kapittel 2, Sannsyn 2.1 Utfallsrom Onsdag 2.2 Hendingar Onsdag 2.3 Telle mogeleg utfall: I dag 2.4 Sannsyn for ei hending: Onsdag 2.5 Addetive reglar: Onsdag 2.6 Betinga sannsyn, uavhengighet og produktregelen

Detaljer

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,

Detaljer

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4,

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2016 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Geir Storvik Basert på presentasjon av Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1 STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.

Detaljer

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Innhold: Produktsetning, avhengighet, betinget sannsynlighet (.2,.) Setningen om total sannsynlighet (.4) Bayes setning (.4) Disse tingene henger

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015

Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Oppgave 1 (vekt 20 %) a) Løs ligningen 3x 2 7x + 2 = 0 ved å bruke formelen for løsning av andregradsligninger. Løsning. 3x 2 7x + 2 = 0 x = ( 7) ( 7)2

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Aasum, Jon-Henning & Maers, Rafael Lukas 1. april 2014 Sammendrag Denne artikkelen forsøker å gi en god forklaring på grunnleggende kombinatorikk og sannsynlighetsregning,

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Simulering - Sannsynlighet

Simulering - Sannsynlighet Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling Om du ikkje alt har gjort det: https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/start Video http://video.adm.ntnu.no/serier/55d47b463d96a Referansegruppe

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning etinget sannsynlighet, total sannsynlighet og ayes setning Vi vil først ved hjelp av et eksempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr: Vi legger fire røde kort og to svarte kort i en bunke

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer,

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

ECON240 Vår 2018 Oppgaveseminar 1 (uke 6)

ECON240 Vår 2018 Oppgaveseminar 1 (uke 6) ECON240 Vår 2018 Oppgaveseminar 1 (uke 6) Oppgaver til prerequisites og kapittel 1 fra læreboken Example P.1, P.5, P.6, P.7, P.8, P.9, P.11, P.12, P.13, og P.14 Example 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.7, 1.9,

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte

Detaljer

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer