Fagdag ) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?"

Transkript

1 Fagdag Plan Fagdag ,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Kombinatorikk: 1) Kiosken Usunt AS selger hamburgere. De har et rasende godt tilbud på en meny med drikke, hamburger og tilbehør, som inneholder nok kalorier til en skogsarbeider for flere dager og en glukemisk indeks som ville gjøre en geit til diabetiker. Av drikke kan du velge Cola, Sprite eller Solo, av hamburger kan du velge Hawai, Cheese eller vanlig, og som tilbehør kan du velge pommes frites eller potetmos. På hvor mange forskjellige måter kan du sette opp en meny. (Drikke er selvfølgelig litersflasker og hamburgerene er alle på 0 gram. Av tilbehør får du så mye du klarer å spise. Hvis du kaster opp er hele måltidet gratis.) 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? 3) Vi har 6 langrennsløpere på elitelaget og skal trekke ut et stafettlag til NM. På hvor mange forskjellige måter kan vi gjøre dette? (Skal trekke ut både personer og hvilke etapper de skal gå.) ) Vi har 6 langrennsløpere på elitelaget og skal trekke ut stykker som skal reise til NM. På hvor mange forskjellige måter kan vi gjøre dette? ) Vi deler ut 2 kort på personer. (Bridge, Whist eller noe sånt.) På hvor mange forskjellige måter kan dette gjøres? Vi skal kjøpe 10 aksjer og velger fra en liste med 1 børsnoterte selskaper. Hvor mange forskjellige porteføljer er det da mulig å kjøpe? Sannsynlighetsregning: 1) Hva menes med at et eksperiment er tilfeldig? (Stokastisk) 2) Hva legger du i begrepet de store talls lov? 3) Hva er utfallsrommet og sannsynlighetsmodellene for disse eksperimentene: Vi kaster en terning og observerer om vi får partall eller ulike tall Vi kaster to terninger og observerer om summen av øyne er partall eller ulike tall 1 av 10 fd.tex

2 Fagdag Vi kaster to terninger og observerer summen av øyne Vi kaster to mynter og observer antall kron ) Du har kastet en terning fem ganger og ikke fått noen seksere. Hva er sannsynligheten for å få en sekser i sjette kast? ) I en urne er det 3 svarte og 2 røde kuler. Hva er sannsynligeheten for å trekke: En rød kule Først en rød og så en svart Først en svart og så en rød Trekke to kuler etter hverandre og få en rød kule til sist Trekke to kuler etter hverandre og ha trukket en rød først, når den andre var svart 6) Du kaster 10 mynter samtidig og observerer antall kron. Hva er sannsynligheten for å få 3 kron? 7) Du har 00 røde lapper og 00 svarte lapper i en eske. Du trekker en lapp og legger den tilbake igjen 10 ganger. hva er sannsynligheten for at 3 av lappene var røde? 8) Du har 00 røde lapper og 00 svarte lapper i en eske. Du trekker 10 lapper uten å legge noen tilbake. Hva er sannsynligheten for at 3 av lappene er røde? ) Sannsynligheten for å vinne i lotteri A er 0.03, mens sannsynligheten for å vinne i lotteri B er Hva er sannsynlighetene for hendelsene: Vinne i både lotteri A og lotteri B Vinne i minst et av lotteriene. Ikke vinne i noen av dem 10) I varekontrollene i et firma vraket kontrolløren i gjennomsnitt % av artiklene. En nærmere undersøkelse av de vrakede artiklene viste at kun 0% av disse virkelig var defekte. I tillegg viste en nærmere kontroll at 2% av de godkjente artiklene i virkeligheten var defekte. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig defekt artikkel blir godkjent av kontrollen. Teori: Begreper: Tilfeldighet, hending/hendelse, forsøk, resultat, utfall,mengder, sannsynlighetsmodell, avhengighet, betinget sannsynlighet, mm Regneregler: P(A B), P(A B), P(A B), Total sannsynlighet, Bayes setning Viktige tips: Bruk av figurer: Venndiagram, sannsynlighetstrær, tabeller Kombinatorikk Kombinatorikk er læren om hvordan vi kan gruppere og ordne et utvalg av elementer, og brukes til å regne ut sannsynligheter. Hvis vi trekker ut r elementer fra en mengde på n elementer, har vi hovedtilfeller: Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet n r n r Uordnet n r 1 n r r Tips: Prøv å gjøre om alle kombinatorikkoppgaver til et lappetrekkingseksperiment, der du skal trekke ut r av de n lappene. Still deg selv spørsmålene: Spiller rekkefølgen på de r uttukne lappene noen rolle? (Ordnet/uordnet utvalg?) Kan samme lappen trekkes flere ganger? (Med/uten tilbakelegging?) Eksempler: MTL/O Det skal spilles fotballkamper i en serie, hvor mange utfall kan vi få? 2 av 10 fd.tex

3 Fagdag Har n 3 lapper hvor vi har skrevet H,U eller B. Trekker r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, fordi hver lapp er resultatet på en spesiell kamp. Vi må legge tilbake lappen vi trekker hver gang, da flere kamper kan få samme resultat. Altså: Ordnet, med tilbakelegging: n r 3 23 UTL/O: Vi har 28 elever og skal ta ut et stafettlag på personer. På hvor mange måter kan dette gjøres? Skriver navnene på n 28 lapper. Trekker ut r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, forskjell på å bli trukket ut til første eller siste etappe. Hver løper kan trekkes ut bare en gang. Altså: Ordnet, uten tilbakelegging: n r Lommeregner: 6 npr UTL/U: Du skal trekke ut kort fra en kortstokk. Hvor mange forskjellige hender kan du få? Kortstokken er allerede n 2 lapper, ferdig påskrevet. Rekkefølgen spiller ingen rolle, du har den samme hånden uansett hvordan du stiller den opp. Hvert kort kan bare trekkes en gang. n 2 Altså: Uordnet, uten tilbakelegging: r LR: 2 nc 13 MTL/U: (Egentlig ikke pensum, sjelden variant, men for fullstendighetens skyld) Du skal kjøpe r 10 aksjer fra n 1 forskjellige selskaper. På hvor mange måter kan du sette opp porteføljen din? Rekkefølgen spiller ingen rolle. Du kan kjøpe samme aksje flere ganger. n r Altså: Uordnet, med tilbakelegging: r LR: 2 nc 10 Sannsynlighetsfordelinger To viktige sannsynlighetsfordelinger (sannsynlighetsfunksjoner), begge gjelder problemstillingen: Trekke et utvalg av en viss størrelse Observere antallet i utvalget som et visst kjennetegn eller ikke. (Kun to muligheter.) Binomisk fordeling: Forsøk: Kaste en mynt n ganger og observere antall kron. P K P M 0. Sannsynligheten for å få x kron blir da: P X x n x p x 1 p n x x 0. x 0. x Formelen kan utledes ved kombinatorikk. La oss se på muligheten for å få 3 kron. Mulige forsøksserier er f.eks. KKKMM, KKMMK, KMMKK osv. Sannsynligheten for å få akkurat en av disse blir da Vi innser at vi har slike serier, da vi kan få seriene ved å trekke ut n forskjellige 3 plasseringer for r 3 kron som en uordnet trekning uten tilbakelegging. Hypergeometrisk fordeling: En klasse har N 28 elever hvorav K 10 er jenter. Vi trekker ut n elever. Hvaer K N K 10 sannsynligheten for at x av disse er jenter? Her får vi P X x x n x x N n x 28 3 av 10 fd.tex

4 Fagdag Hypergeometrisk fordeling: Avhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker uten tilbakelegging! Binomisk fordeling: Uavhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker med tilbakelegging. (Eller har så stor n at sannsynligheten holder seg konstant uansett.) Hendinger og mengder Matematikken gir oss i de andre naturvitenskapene tallmessig oversikt over hva som vil skje i eksperimenter, forsøk og virkelige situasjoner når vi kjenner en del forutsetninger og premisser. Resultatet er altså ofte forutsigbart. Når vi derimot kaster en terning, er det umulig å si noe sikkert om resultatet. Likevel er det fruktbart å kunne si noe om hva som kan skje og prøve å tallfeste de forskjellige mulighetene. Sannsynlighetsregning prøver å kvantifisere (tallfeste) tilfeldighet. Dette gjøres ved å angi en sannsynlighet (sjanse, odds) til de forskjellige, mulige resultater. Tilfeldig, stokastisk Umulig å forutsi resultatet Forsøk Kaste en mynt og observere om vi får M eller K, kaste en terning og observere om vi får 6, kaste to terninger og observere summen av antall øyne, trekke 2 kuler fra en krukke og observere om de har lik farve, osv. Legg merke til at vi må angi både hva som skal gjøres og hva som skal observeres! Kaste en terning er intet stokastisk forsøk, vi må spesifisere hva som skal observeres: Observere antall øyne Observere om vi får like antall øyne Observereomvifår3 eller Utfall, elementær begivenhet Et mulig enkeltresultat av et forsøk. Alle utfall er mulige, gjensidig utelukkende og utgjør tilsammen Utfallsrommet til et forsøk. Hendelse, hending, begivenhet Samling av flere utfall, delmengder av utfallsrommet. Sannsynlighet Tall mellom 0 og 1 (0 og 100% brukes av vanlige folk, men ikke matematikere/statistikere!). At sannsynligheten for å få 6 med et terningkast er P seks 1 betyr i praksis at hvis vi gjentar eksperimentet ganger, så kan vi 6 regne med at ca av kastene gir sekser. ( De store talls lov ) Eksempler: Gjøremål Observasjon Utfallsrom med utfall Eksempler på hendelser A. Kaste mynt Kron eller mynt U M,K M, K, M, K B. Kaste terning Sekser? U J,N J, N, J, N C. Kaste terning Antall øyne? U 1,2,3,,,6 1, 2,, 6, 1, 3, D. Kaste to terninger Sum øyne? U 2,3,,,6,7,8,,10,11,12 7, 3,6,, 12 E. Undersøke lyspære Hvor lenge lyser den? U 0, 0,1000, 1000, F. Trekke ut en rekrutt Observere høyde U 10,20 (f.eks.) 180,20, 10, 180 Legg merke til: av 10 fd.tex

5 Fagdag A.,B.,C. og D. har endelige utfallsrom, E. og F. har uendelige utfallsrom A.,B.,C. og D. har diskrete utfallsrom, E. og F. har kontinuerlige utfallsrom I E. og F. kan ikke utfall defineres (f.eks. 180), kun hendelser (f.eks. 17., 180. ) da ingen lyspære varer nøyaktig 180 timer og ingen rekrutt er nøyaktig 180 cm. Må angi intervaller i disse to tilfellene. Hendelsen {M,K} angir ikke noe som kan skje (umulig å få M og K samtidig), men en samling av flere mulige utfall.vi kan derfor si at P({M,K}) 1, da enten M eller K må skje. Notasjonseksempler med mengder: A.: P M 1, P M,K 1, P 0 2 C.: P 2,,6 1 2 eller L 2,,6 : Likeantalløyne P L 1,P U U 1,3, : Ulikeantalløyne D.: L 2,,6,8,10,12 : Liketall D3 3,6,,12 : Delelig med 3 P L 18 12, P D3 (Se lenger ned hvis du ikke skjønner hvorfor.) Regneregler: Motsatt sannsynlighet P(A 1 P A er viktig fordi det ofte er letter å regne ut det motsatte av det det spørres om! Addisjonssetningen P A B P A P B P A B når A og B ikke er disjunkte, dvs A B ikke er tom mengde. Produktsetningen P A B P A P B når A og B er uavhengige, dvs når hendelsene A og B ikke influerer på hverandre. (Avhengighet: Se betinget sannsynlighet senere.) Når vi skal finne sannsynligheter, er de vanligste mulighetene: Empirisk sannsynlighet Brukes når det er umulig å utlede noen teoretisk sannsynlighet. Da må vi basere oss på erfaring. P(guttefødsel) er litt større enn P(jentefødsel) og tallfestingen av disse er kun basert på empirisk vurdering av fødselsstatistikker. Geometrisk/Symmetrisk sannsynlighet P seks p 1 for et terningkast er basert på at alle 6 utfall er like sannsynlige, da det rent geometrisk ikke er noen grunn til at et resultat skal være mer sannsynlig enn de andre.med 6 like sannsynlige utfall må da p p p p p p 1 p 1 6 Tilfeller med like sannsynlige utfall kalles Uniforme sannsynlighetsmodeller. Her gjelder den viktige huskeregelen: antall gunstige enkeltutfall P noe skjer antall mulige enkeltutfall Sammensatte sannsynligheter I mer komplekse tilfeller må man se på modellen som en sammensetning av uniforme modeller, slik at p gunstige kan brukes. Det vil si at utfall idet mulige forsøket vi studerer betraktes som hendelser satt sammen av utfall i et enklere, uniformt forsøk! av 10 fd.tex

6 Fagdag Eksempel på sammensatte sannsynligheter: E. Kast med to terninger hvor summen av øyne studeres. Utfallsrom: U 2,3,,,6,7,8,,10,11,12 Utfallene her kan sees på som hendelser i et annet forsøk, nemlig kast med to terninger hvor man observerer øyne og i hvilken rekkefølge vi fikk dem. I dette forsøket har vi utfallsrommet: U 1,1 1,2 1,3 1, 1, 1,6 2,1 2,2 2,3 2, 2, 2,6 3,1 3,2 3,3 3, 3, 3,6,1,2,3,,,6,1,2,3,,,6 6,1 6,2 6,3 6, 6, 6,6 og dette utfallsrommet er uniformt med p 1 utfallet 7 er f.eks. hendelsen 6,1,,2,,3, 3,, 2,, 1, 6 i det uniforme forsøket. Vi får P 7 P 6,1 P,2... P 1,6 p p p p p p 6 (da utfallene i det uniforme forsøket er disjunkte) Vi får sannsynlighetsfordelingen: x P X x Betinget sannsynlighet Her anbefaler jeg meget sterkt at dere lærer dere til å bruke tabeller og sannsynlighetstrær, slik det blir vist lenger ned! Reglene for betinget sannsynlighet er særlig aktuelle ved sammensatte hendelser og forsøk som går i flere trinn, eller er sammensatt av flere forsøk Også aktuelt når man bare kjenner sannsynligheter for hendelser, altså sammensatte utfall. Forsøk: Trekke kort fra kortstokk og observere valør. E: Ess H: Honnørkort S: Spar Begrepet og notasjonen for betinget sannsynlighet er enkel nok: a) P Ess, når vi vet at det er en spar P E S (sier E gitt S) b) P Ess, når vi vet at det er en honnør P E H (sier E gitt H) Men hvordan regner vi det ut? a) Vi befinner oss i praksis i et redusert utfallsrom, nemlig de 13 forskjellige sparkortene. Av disse er bare ett ess og vi får P E S 1 eller forholdet mellom antall muligheter i E S; 1 13 og S; I et uniformt utfallsrom kan vi regne: P E S P S 6 av 10 fd.tex

7 Fagdag b) Redusert utfallsrom er her de 16 honnørene, og da vi har ess får vi: P E H 16 som også kunne vært skrevet P E H 2 P H Regel for betinget sannsynlighet: P A B P A B P B som gir to andre regler: P A B P B P A B eller P A B P A P B A Uavhengige hendelser Legg merke til at P E 1 som er lik P E S men forskjellig fra P E H Hendelsen E er derfor uavhengig av S, men avhengig av H. To hendelser A og B er uavhengige hvis: P A B P A ellerpåenannenmåtep A B P A P B Betingede sannsynligheter kommer kanskje best frem hvis man tegner Venn-diagrammene som tabeller eller sannsynlighetstrær: Eksempel: Vi skal trekke en elev fra en gruppe på 100 elever, der vi har 60 jenter og 0 gutter. Av jentene røyker 18, av guttene 10. Vi tegner venndiagrammet som oppdelt i de fire mulighetene: J G R R R J R J R G R G Som kan illustreres med tabeller: J G Med antall: R Med sannsynlighet: R J G R R Fordelen med tabeller er at vi kan regne ut det meste rett fra tabellen uten å tenke så mye på formlene med betinget sannsynlighet: P R J og P J P R J P R J P J Tilsvarende: P R G P R G 0 0. P G Dessuten: P R P R J P R G 100 Total sannsynlighet I mange oppgaver kan de betingede sannsynlighetene være oppgitt f.eks. slik: P J 0.6, P G 0., P R J 0.3 og P R G av 10 fd.tex

8 Fagdag I tabell: J G R R fordi P R J P J P R J og P R G P G P R G Da kan vi regne ut P R P R J P R G Vi kunne også ha skrevet P R P J P R J P G P R G som er setningen for total sannsynlighet. (Forsøk på formulering: Hvis utfallsrommet er delt opp i D 1,D 2,...der D i er disjunkte og tilsammen utgjør hele utfallsrommet, så kan en mengde skrives som unionen: A A D 1 A D 2...) For oversiktens skyld, tabellen fullstendig utfyllt: J G R R Legg merke til at summering av rader og kolonner stemmer hele veien. Dette gir gode muligheter for å kontrollere svar! Med sannsynlighetstre: Å trekke ut en person kan omformes til et såkalt to-trinns-forsøk der vi først undersøker kjønn og deretter undersøker om personen røyker. Dette kan illustreres med et sannsynlighetstre der alle muligheter listes opp slik: R J J R J R G G R G For å få en jente som røyker må vi først få en jente, deretter en jente som røyker, dvs først J og deretter R J hvilket fører til at P R J P J P R J Tilsvarende P R G P G P R G Samler vi opp alle som røyker, uavhengig av kjønn, får vi: P R P R J P R G P J P R J P G P R G Vi har igjen sett et eksempel på total sannsynlighet: Hvis utfallsrommet S er fullstendig oppdelt i O 1,O 2,O 3,...,O n og vi har gitt 8 av 10 fd.tex

9 Fagdag P A O 1, P A O 2,...,P A O n i tillegg til P O 1,P O 2,...,P O n har vi P A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n (Med fullstendig oppdeling mener vi at O-ene dekker hele S og at alle O-ene er disjunkte.) Dette kan illustreres slik med en tabell: O 1 O 2... O n A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n P A A P O 1 P O 2... P O n 1 Eksempel på et rent fler-trinns-forsøk: I rene fler-trinns-forsøk er det som regel sannsynlighetstre som gir best oversikt. Vi har en urne med 2 røde, 3 svarte og hvite kuler. Vi trekker to kuler og observerer farven og rekkefølgen vi trekker farvene i. Vi bruker notasjonen for hvit kule trukket først og H 2 for hvit kule trukket sist osv. Uten tilbakelegging: (Avhengighet) Vi trekker uten tilbakelegging og får derfor avhengighet, sannsynligheter for den andre kulen avhenger av hva den første var. Vi ønsker å regne ut sannsynligheten for at en, og bare en, av kullene er hvit. H 2 H 2 H 2 H 2 Sannsynligetstreet over viser at P(en hvit) kan settes sammen av hendelsene H 2 og H 2 og vi får derfor: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H I tabell kan det fremstilles slik: H 2 H Med tilbakelegging: (Uavhengighet) Hvis vi legger tilbake den første kulen før vi trekker den andre, vil sannsynligheter for den andre kulen være helt uavhengig av hva den første var, og vi kan bruke multiplikasjonsregelen uten av 10 fd.tex

10 Fagdag betinging. Vi får samme sannsynlighetstreet, men i utregningen forsvinner alle betinginger: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H I tabell blir det seende slik ut: H 2 H 2 1 Jeg håper disse eksemplene illustrerer at det er lettere å takle oppgaver med betinget sannsynlighet og setningen for total sannsynlighet, hvis dere alltid tegner sannsynlighetstrær eller tabeller. Tabellene har også den fordelen at det er lett å kontrollere om man har regnet riktig. Med sannsynligheter i alle ruter skal alle vannrette og loddrette summer stemme og til slutt gi 1 nederst i høyre hjørne. 10 av 10 fd.tex

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Aasum, Jon-Henning & Maers, Rafael Lukas 1. april 2014 Sammendrag Denne artikkelen forsøker å gi en god forklaring på grunnleggende kombinatorikk og sannsynlighetsregning,

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418 4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2

Detaljer

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2014 MAT110 Statistikk 1 Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal 2 Figur 1: But under a different accounting convention... 3 4 Forord Dette er del I (av II) av kompendiet i faget MAT110 Statistikk

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012

FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012 FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012 2 Innhold TALL OG ALGEBRA... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: ADDISJON OG SUBTRAKSJON... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: MULTIPLISERE MED NEGATIVE TALL... 5 Å REGNE MED NEGATIVE TALL:

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

2 Om å lære matematikk og litt om vurdering av måloppnåelse/kompetanse

2 Om å lære matematikk og litt om vurdering av måloppnåelse/kompetanse Fagdag 5-3MX Innhold: 1. Tilbakemelding på første termin 2. Om å lære matematikk og vurdering 3. Sannsynlighetsfordelinger (7.2), forventning og varians (7.3, 7.4): Gjennomgåelse 4. Oppgaver 1 Tilbakemelding

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer

En kort innføring i sannsynlighetsregning

En kort innføring i sannsynlighetsregning En kort innføring i sannsynlighetsregning Harald Goldstein Sosialøkonomisk institutt Januar 2000 Innhold 1 Innledning 1 2 Begivenheter og sannsynlighet 4 2.1 Matematiskbeskrivelseavbegivenheter... 4 2.2

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Simulering - Sannsynlighet

Simulering - Sannsynlighet Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 37 dag 1 1. Dersom vi dobler et bestemt tall, og så trekker fra tre, får vi tre mer enn halvparten av det tallet vi begynte med. Hvilket tall begynte vi med?

Detaljer

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jo Eidsvik og Arild Brandrud Næss Tlf: 90 12 74 72 og 99 53 82 94 Eksamensdato: 9. desember 2013 Eksamenstid

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Kilde: www.clipart.com 1 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Statistikk, sannsynlighet og

Detaljer

Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for barnetrinnet

Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for barnetrinnet Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for barnetrinnet Utviklet med støtte fra Bakgrunn og innledning Tilfeldighetenes spill var et eksperiment som ble kjørt på Akvariet i Bergen under Forskningsdagene

Detaljer

Simulering på regneark

Simulering på regneark Anne Berit Fuglestad Simulering på regneark Trille terninger eller kaste mynter er eksempler som går igjen i sannsynlighetsregningen. Ofte kunne vi trenge flere forsøk for å se en klar sammenheng og få

Detaljer

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk? 1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at

Detaljer

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så

Detaljer

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Ungdomstrinnet 8 _ (x²) 1 2 4 (x²) 1 2 _ (x²) 1 2 _ 4 _ 8 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

1 Sannsynlighetsrgning

1 Sannsynlighetsrgning 1 Sannsynlighetsrgning 1.1 Det er 13 grønne og 18 røde baller i en eske. Vi trekker ut to baller etter hverandre. a) Hva er sannsynligheten for å få to grønne baller? Svar: P(g 1, g 2 ) = p(g 1 ) p(g 2

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1. La x være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV.. 21

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV.. 21 Innhold Velkommen til studiet... 13 Oppbygning... 15 Sammenheng og helhet... 16 Pedagogisk struktur... 17 Lykke til med et spennende kurs... 19 DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV.. 21 Kapittel 1 Tall...

Detaljer

Motivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008

Motivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Oppsummering ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 008 Pensum: Pensumbok: Per Chr. Hagen: "Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk",

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21 Innhold Velkommen til studiet... 13 Oppbygning... 15 Sammenheng og helhet... 16 Pedagogisk struktur... 17 Lykke til med et spennende kurs... 19 DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21 Kapittel 1 Tall...

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

Dersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller.

Dersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller. "FBI-spillet" ------------- Et spill for 4 spillere av Henrik Berg Spillmateriale: --------------- 1 vanlig kortstokk - bestående av kort med verdi 1 (ess) til 13 (konge) i fire farger. Kortenes farger

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329,

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329, 3 Sannsynlighet Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige begivenheter og gjøre rede for sannsynlighetsbegrepet beregne sannsynligheter ved

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Inspirasjon og motivasjon for matematikk

Inspirasjon og motivasjon for matematikk Inspirasjon og motivasjon for matematikk Hvordan får vi aktive, engasjerte og motiverte elever og lærere i matematikk? Bjørnar Alseth Høgskolen i Oslo Styremedlem i Lamis Lærebokforfatter; MULTI Mona Røsseland

Detaljer

Kengurukonkurransen 2010

Kengurukonkurransen 2010 Kengurukonkurransen 2010 «Et sprang inn i matematikken» CADET (9. 10. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2010 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for sjette gang i Norge. Dette

Detaljer

Kontinuerlige stokastiske variable.

Kontinuerlige stokastiske variable. Kontinuerlige stokastiske variable. I forelesning har vi sett på en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f() =2 og sannsynlighetsfunksjon F () = 2 for. Der hadde jeg et reint regneteknisk

Detaljer

1 Stokastisk variabel

1 Stokastisk variabel FY1/TFY415 Innføring i kvantefysikk - Notat om sannsynlegheit 1 1 Stokastisk variabel Før vi byrjar på oppgåvene gjev vi ein liten briefing om stokastiske variable, middelverdiar, usikkerheiter osb. Ein

Detaljer

Den gode matematikkundervisning

Den gode matematikkundervisning Den gode matematikkundervisning Hvordan får vi aktive, engasjerte og motiverte elever og lærere i matematikk? - hva er det? Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter;

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Regler for: getsmart Grønn. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Grønn. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! -6 Regler for: getsmart Grønn Hele tall 3 4 Hele tall 8-6 -6 3-6 3 8 Hele tall Hele tall 3 4 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn.

Statistikk 2. Tabellen nedenfor viser oljeproduksjonen i et OPEC-land i perioden 1990 til 2005. Produksjonen er i 1000 tonn. Statistikk Innledning Begrepet statistikk skriver seg fra tiden da en stat samlet inn opplysninger som myndighetene hadde bruk for. Opplysningene eller dataene som ble samlet inn, dreide seg for det meste

Detaljer

LO118D Forelesning 3 (DM)

LO118D Forelesning 3 (DM) LO118D Forelesning 3 (DM) Mengder og funksjoner 27.08.2007 1 Mengder 2 Funksjoner Symboler x y Logisk AND, både x og y må være sanne x y Logisk OR, x eller y må være sann x Negasjon, ikke x x For alle

Detaljer

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 Emnenavn Grunnleggende matematikk Precalculus MA6001 Undervisningssemester Høst 2014 Professor Petter Bergh petter.bergh@math.ntnu.no

Detaljer

3 x 3 ruter. Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver

3 x 3 ruter. Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver 3 x 3 ruter Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver som kan brukes i matematikktimene. Magisk kvadrat Du har

Detaljer

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Innledning og litt historie Flere almanakker viser hvilke dager det er fullmåne og når

Detaljer

Mappeoppgave om sannsynlighet

Mappeoppgave om sannsynlighet Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2, 5-10, Våren 2013

Løsningsforslag Matematikk 2, 5-10, Våren 2013 Løsningsforslag Matematikk 2, 5-10, Våren 2013 OPPGAVE 1 a) Ved avlesning på Vedlegg 1 finner at fart etter 3 sekunder er 14.3 meter/sekund. (Viktig med god forklaring, også Ok om man skriver for eksempel

Detaljer

Sannsynlighet (Kap 3)

Sannsynlighet (Kap 3) Sannsynlighet (Kap 3) Medisinsk statistikk Del I 3 sept. 2008 Eirik Skogvoll, 1.amanuensis/ overlege Hva er sannsynlighet? Grunnleggende sannsynlighetsregning 1 Brystkreft (Eks. 3.1) Forekomst av brystkreft

Detaljer

Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007

Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007 Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007 Inviter foreldrene på matematisk aften (forslag til invitasjon nederst i dette dokumentet).

Detaljer

Innhold. Innledning. Del I

Innhold. Innledning. Del I Innhold Del I Innledning 1 Hva er statistikk?...17 1.1 Bokas innhold 18 1.1.1 Noen eksempler 18 1.1.2 Historie 21 1.1.3 Bokas oppbygning 22 1.2 Noen viktige begreper 23 1.2.1 Populasjon og utvalg 23 1.2.2

Detaljer

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling Om du ikkje alt har gjort det: https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/start Video http://video.adm.ntnu.no/serier/55d47b463d96a Referansegruppe

Detaljer