SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN
|
|
- Hjørdis Sletten
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for lærere, men kan med fordel også brukes av interesserte elever. Innledning L97 har satt sannsynlighetsregning mer i fokus enn tidligere læreplaner (se.s.2) Dette innføringskurset ønsker å møte behovet for repetisjon og oppjustering for ungdomsskolens matematikklærere, både faglig og didaktisk. Oppbygningen av kurset viser først et mulig innføringsopplegg i sannsynlighetsregning for elever på 9. klassetrinn. Her settes elevaktivitet, gruppearbeid,drøfting og refleksjon i fokus uten å gi støtte i for mye teori. Etter introduksjonsfasen taes ulike problemstillinger opp til drøfting og sees i lys av teoristoffet som er samlet i et eget kapittel. Teoristoffet er primært innrettet mot lærer, slik at en del av dette går ut over grunnskolematematikken, men vil styrke lærerens teoretiske bakgrunn. Før en går i gang med sannsynlighetsregningen i klassen anbefales en rask gjennomgang av teoristoffet for egen oppdatering. Opplegget er basert på et konstruktivistisk læringssyn der vi bevisst søker å ta utgangspunkt og spille på elevenes egne refleksjoner i prosessen underveis og ved oppsummeringen når teoristoffet løftes fram. Et viktig stikkord er således - tid til refleksjon. I tråd med dette har læreren her en viktig rolle ved å gi de raskeste grupper nye utfordringer og ikke gå inn på eller gi løsninger for tidlig. Når problemstillingene drøftes er det viktig å gi plass til elevenes løsningsforslag og la drøftingen ta utgangspunkt i disse. En del oppgaver fra avgangsprøver, heldagsprøver med mer er tatt med for å gi muligheter for ekstra trening og differensiering i klassen. I oppsummeringsfasen trekkes nødvendig teoristoff inn, gjerne med utgangspunkt i elevenes egne forslag. Mengden av teori avhenger av klassens ståsted, tiden som avsettes til temaet, m.m - og avpasses av lærer. Emnet vil også kunne egne seg som tema / prosjektarbeid f.eks. om elevene tok utgangspunkt i ulike typer spill og sannsynlighet. ( kortspill / yatsee / spill som adm. av Norsk Tipping AS m.m.)
2 2 I GRUNNSKOLEMATEMATIKKEN L97 Temaet taes opp på ulike klassetrinn og i L97 finner vi under hovedemne Behandling av data følgende : I opplæringen skal elevene : 6. klasse - gjøre erfaringer med sannsynlighet ved å reflektere over og samtale om situasjoner fra dagliglivet, spill og forskjellige eksperimenter. 7. klasse - vurdere og etter hvert beskrive sannsynlighet som tall i området 0 til 1 - fra erfaringer i dagliglivet, i spill og ved eksperimenter. 9. klasse - arbeide med å utvikle mer presise begreper og uttrykksmåter for sannsynlighet og med å tallfeste sannsynligheter. - gjøre erfaringer med at relativ frekvens noen ganger må brukes som et anslag for sannsynlighet. - beregne sannsynligheter ut fra situasjoner hvor alle enkeltutfall har like stor sjanse. - undersøke situasjoner der det må regnes med usikkerhet, risiko og sjanse, for eksempel spill, forsikring, etterforskning og medisin. - prøve ut simulering av praktiske situasjoner der tilfeldighet inngår.
3 3 TIME 1 INTRODUKSJON Elevene grupperer seg i treer-grupper. Gruppen trenger følgende utstyr : GRUPPE : * 12 brikker - 3 ulike farger * 2 mynter * 2 terninger * 2 A4-ark med spillene : Double-toss og Sats på hester 1. Gruppene prøver de to spillene. Double-toss Elevene velger hvert sitt startfelt hhv. 0, 1 og 2. Notér opp posisjonene til brikkene når første brikke når mål. Prøv spillet 3 ganger og skift startfelt mellom hver gang. Drøft hvordan spillet fungerer og prøv å forklare hvorfor det blir slik. Svar her : Sats på hester Les først instruksjonen. Hver elev velger brikkefarge. Bestem startrekkefølge ved at hver elev gjør et terningkast. Den som har høyest terningøyne velger startfelt for sin første brikke, de øvrige i rekkefølge etter hva øynene viser. Fortsett i denne rekkefølge til alle brikkene er plassert på startfeltet. Prøv spillet og notér ned fra hvilken startposisjon vinnerbrikken kommer. Er dette tilfeldig? Prøv spillet påny og sjekk om resultatet gjentaes. Drøft erfaringene og gi svar på disse spørsmål : A. Hvilken hest bør du ikke velge om du vil komme først til mål? B. Hvilke hest / hester har størst sjanse til å vinne, og hvorfor? Svar her :
4 4 Double-toss TIME 1 Dere trenger : 3 brikker og 2 mynter. Spilleregler : 1. Plassér brikkene i startfeltene 0,1 og Kast med 2 mynter og flytt brikkene slik : A. Hvis resultatet er 2 mynt, flytt brikke 0 en rute fram. B. Hvis resultatet er 1 mynt og 1 krone, flytt brikke 1 en rute fram. C. Hvis resultatet er 2 krone, flytt brikke 2 en rute fram. Lykke til! MÅL START
5 5 Sats på hester 12 hester (brikker) stiller i startfeltet nederst på siden. (Se INTRODUKSJON) TIME 1 Spilleregler : 1. Kast med to terninger. 2. Ved hvert kast viser summen av øyne nummeret på den hest som får flytte en rute framover. 3. Skift om å kaste terningene. Lykke til! MÅL
6 6 Hva mener vi med begrepet sannsynlighet? TIME 2 *Start timen med en oppsummering fra time 1 Hva er elevenes forklaring på de to spillene? Vi skal nå se på en del sammenhenger der begrepet sannsynlighet dukker opp. Eksempler : 1. Kast mynt / krone og finn ut hvordan utfallet kan bli om vi : A. kaster 2 ganger. B. kaster 3 ganger Hvor mange muligheter har vi i tilfelle B? 2. Kast med en terning. Hva er sannsynligheten for ener? Hva mener vi med sannsynlighet? 3. Kast med to terninger og svar på følgende spørsmål : A. Hvilke verdier kan summen av øyne anta? B. Hvor mange ulike kombinasjoner har vi når vi kaster med 2 terninger? (for eksempel 3 5, treer i første kast,femmer i andre kast er én mulighet, osv.) C. Hva er sannsynligheten for to enere? 4. Kan du finne ut hva sannsynligheten er for 3 enere ved 3 kast? Drøfting : Om noen av eksemplene over ikke løses utfordre da elevene til å finne ut av dette til neste time. Bruk nå litt tid på å la elevene formulere sine forslag til hvordan sannsynligheten kan uttrykkes mest sannsynlig vil brøk bli nevnt, men kom også inn på sannsynligheten som et tall, mellom 0 og 1, og også muligheten for å uttrykke sannsynligheten i prosent. Til neste time kan elevene prøve å finne løsningen på følgende grublis : Grublis : En mattelærer på ungdomstrinnet hadde følgende opplegg for lekseprøve i muntlige fag : Om summen av øyne ved tre påfølgende terningkast blir mindre enn 8 skal elevene ha lekseprøve. Uten spørsmål fra lærer og uten bruk av hjelpemidler skal leksen da skrives. Vurdér sannsynligheten for lekseprøve ved et slikt opplegg. Begrunn svaret.
7 7 Mer sannsynlighetsregning TIME 3 *Start timen med en oppsummering fra time 2 Hvor stor sannsynligheter det for lekseprøve? Vil noen prøve å forklare hvorfor det blir slik. Flere eksempler : 1. Forsøk : Ved å kaste en tom fyrstikkeske vil 3 utfall være mulige : - flatside - kant - ende Del opp klassen i toer-grupper og start med en demonstrasjon av forsøket. Gruppene skal deretter stille opp en hypotese for hvor stor sannsynlighet det er for hvert av de mulige utfall. Lærer registrerer de ulike gruppenes hypoteser. Videre skal gruppene gjøre følgende : a) Samarbeid på gruppen og gjør 100 forsøk. Lag en frekvenstabell og presentér resultatene i din gruppe? Finn også relativ frekvens. Hva blir sannsynlighetene i prosent? b) Alle grupperesultatene samles i en tabell for hele klassen. Drøft resultatet og si noe om grunnen til at gruppene hadde svært ulike resultater. Hvordan stemte hypotesene med samletabellen for hele klassen? 2. I en boks er det 5 kuler - 2 røde, 2 blå og 1 gul. Vi trekker ut en kule tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at vi trekker : a) en rød kule? b) en blå eller gul kule? c) en kule som ikke er gul? Utforskingsoppgave (til neste matematikk-time) På en norsk tippekupong er det 12 kamper. Finn ut hvor mange ulike kombinasjoner (rekker) vi maksimalt kan ha. Du leverer inn en rekke uten garderinger. Finn da ut, og angi svarene som brøk : a) Hvor stor sjanse har du for å få 12 rette? b) Cecilie fikk en gang 0 rette i tipping og sa da : Jeg fortjener sannelig en trøstepremie med dette resultatet. Kan du finne ut hvor mange tipperekker det hver gang er som gir resultatet 0 rette?
8 8 Mer sannsynlighetsregning TIME 4 43 *Start timen med en oppsummering fra time 3 Flere eksempler : 1. Gruppeoppgave Finn ut hvilke farger kulene har? I en sylinderformet metallboks med lokk ligger et ukjent antall fargete, men ellers like kuler. Læreren lar elevene etter tur trekke en kule som vises til alle før den legges tilbake i boksen. Etter at alle elever har trukket 2 ganger skal elevene i gruppen diskutere og finne ut hvor mange kuler av hver farge boksen inneholder. Oppgaven blir enklere om læreren opplyser hvor mange kuler totalt som finnes i boksen. En tom kakeboks og kinasjakk-kuler egner seg bra til denne oppgaven. 2. En familie har 4 barn. Hvor stor sannsynlighet er det for at det er 4 gutter? Her regner vi like stor sannsynlighet for gutt som for jente. Grublis : Ved en gjettelek i TV fikk en deltaker valget mellom 3 dører merket 1, 2 og 3. Bak en av dørene Grublis : sto en bil og bak de 2 andre en geit. Programlederen visste hvilken dør bilen var bak. Deltakeren valgte døren merket 2. Programlederen åpnet da en av de to andre dørene og viste fram en geit. Deltakeren fikk så tilbud om å holde på døren merket 2 eller å skifte til den andre døren som ikke var åpnet. Hva ville du gjort? Beregn sannsynligheten for å vinne bilen hvis du skifter til den andre døren. Tips : Det finnes 3 alternativer for bilens plassering : A B C Bil Geit Geit Geit Bil Geit Geit Geit Bil Vi antar at alle tre alternativene er like sannsynlige. a) Hvis bilen er plassert som i A, vil programlederen åpne dør 3. b) Hvis bilen er plassert som i B, vil programlederen åpne dør 1 eller 3, hvilken spiller ingen rolle. c) Hvis bilen er plassert som i C, vil programlederen åpne dør 1
9 9 TIME 5 *Start timen med en oppsummering fra time 4 Treningsoppgaver 1. Hentet fra avgangsprøven 1997 (oppgv. 15). RV 6 RV 3 RV 3 A RV 9 En gruppe elever foretok en trafikkundersøkelse ved punktet A på riksvei 3 ( RV 3 ). I løpet av en time passerte det i alt 36 biler i pilens retning. Av disse var det : 10 biler som kjørte inn på RV 6 14 biler som kjørte inn på RV 9 12 biler som fortsatte langs RV 3 1 p a) Hva er sannsynligheten for at den første av de 36 bilene kjørte inn på RV 9? 2p b) Hva er sannsynligheten for at begge de to første av de 36 bilene kjørte inn på RV 6? 2. Ved normert prøve i 1993 (og i 1994), var oppgaven gitt som følger : To jenter og tre gutter som er på tur sammen, blir enige om at to av dem skal ta seg av oppvasken. Hvem det skal være, avgjøres ved loddtrekning hvor alle har like stor sjanse til å bli trukket ut. Hva er sannsynligheten for at det blir to gutter som skal vaske opp? Vis / forklar hvordan du kom fram til svaret : Svar :
10 10 TIME 6 43 Flere treningsoppgaver 3. Hentet fra avgangsprøven 1992 (oppgv. 15). Johanne har tre røde, to grønne og en blå blyant i pennalet sitt. Blyantene er helt like bortsett fra fargen. a) Hun tar ut en blyant uten å se på fargen. Hva er sannsynligheten for at den er grønn? b) Hun legger blyanten tilbake, og ber Kari ta ut to blyanter uten å se på fargene. Johanne mener at sannsynligheten for at begge blyantene er røde, vil være 5 1, mens Kari mener at sannsynligheten vil være 3 1. Har noen av de to rett? Begrunn svaret. 4. Per gjør ett kast med 2 terninger, en svart og en hvit. a) Hva er sannsynligheten for å få 3 på den hvite terningen? De to tallene (antall øyner) han får, multipliserer han med hverandre. b) Hva er sannsynligheten for å få oddetall til svar?
11 11 Terminologi Kombinatorik LÆRER 1 Stokastisk - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Kaster vi f.eks. med terning har vi seks ulike muligheter for antall øyne terningen viser. En liste over alle mulighetene kaller vi forsøkets utfallsrom, terningøyne 3 og 4 betegnes som utfall, hvorav terningøyne 3 representerer det vi kaller et enkeltutfall. EKSEMPEL 1. For å klargjøre begreper og betegnelser studerer vi kast med en terning. Om vi får oddetall slipper vi oppvasken, får vi partall tar vi oppvasken. Begivenhet Det vi regner ut sannsynligheten for kalles ofte en begivenhet. Begivenheten A definerer vi som : A : Terningens øyne viser oddetall. Begivenheten A = {1, 3, 5 } gir 3 gunstige utfall av det totale 6 mulige. Utfallsrommet S = {1,2,3,4,5,6 } viser at vi totalt har 6 mulige antall gunstige utfall = antall mulige utfall 3 Sannsynlighet Sannsynligheten P( A) = = 0, 50 Relativ frekvens EKSEMPEL 2. I et statistisk forsøk kaster Ole og Anne med terning og noterer ned hver gang terningens øyne viser 6. Resultatene er vist i tabellen under. Antall kast Antall seksere Relativ frekvens a n a n , , ,16 6 Relativ frekvens defineres som antall gunstige utfall (a) dividert med antall mulige utfall (n).
12 12 De store talls lov Terminologi Tenk deg at vårt mynt / krone- forsøk fra time 2 utvides slik at elevene arbeider i grupper på to og to og at hver gruppe gjør 100 kast. 30 elever i klassen gir oss 15 forsøksgrupper. Sannsynligheten er like stor for krone som mynt. Likevel kan vi ikke forvente nøyaktig 50 % krone og 50 % mynt. Hvorfor ikke? La elevene være aktive om du tar opp dette spørsmålet til diskusjon i klassen. Stopp forsøket når alle grupper har gjort 5 kast og registrer resultatet. Plott resultatet inn i et diagram som viser antall kast på x-aksen og % eller sannsynlighet som brøk eller desimaltall på y- aksen. Resultatene vil vise at når antall kast i forsøket vårt øker og blir svært stort vil sannsynligheten nærme seg 0.5 i forsøket vårt. Dette er i samsvar med de store talls lov som kan formuleres slik : Dersom en rekke identiske forsøk gjøres, vil andelen av en bestemt hendelse nærme seg en bestemt verdi når antall forsøk gjøres stadig større. Denne verdien kalles for sannsynligheten for den bestemte hendelsen, og kan uttrykkes slik : LÆRER 2 sannsynligheten = Antall ganger en registrerer hendelsen Antall ganger forsøket ble gjort når antall ganger forsøket ble gjort er et stort tall Hva som menes med et stort tall må videre avklares. Ta utgangspunkt i den verdien klassen finner når hele forsøket avsluttes og la dette være en anledning til å komme inn på begrepet uendelig ( la antallet gå mot uendelig ). Geometrisk sannsynlighetsmodell Et eksempel på en slik modell kan være en terning. Om dette er det vi kaller en hederlig terning er sannsynligheten like stor for å få ener som et hvilket som helst annet av tallene fra 2 til og med seks. Geometrien tilsier at alle sider har like stor sannsynlighet derfor navnet geometrisk modell. La elevene foreslå andre eksempler på geometriske modeller. Uniform sannsynlighetsmodell Et klassisk eksempel er trekning av fargete, men ellers identiske kuler fra en boks (se TIME 4 eks. 1 ). Her vil alle utfallene ha samme sannsynlighet for å inntreffe, vi har det vi kan betegne et symmetrisk utfallsrom. Da vil sannsynligheten for en bestemt hendelse være gitt som : sannsynligheten = Antall gunstige utfall Antall mulige utfall
13 13 Teori - Kombinatorikk LÆRER 3 Kombinatorikk er den gren av statistikken som tar for seg ordning og gruppering av elementer og kommer fram til hvor mange ulike kombinasjoner et bestemt statistisk forsøk har. Et sentralt prinsipp innen kombinatorikken er multiplikasjonsprinsippet, eller multiplikasjonsregelen som den også kalles. Multiplikasjonsprinsippet Vi starter opp med å betrakte et eksempel. Eksempel 1 På en kafé kan du velge mellom 3 ulike middagsretter og 2 desserttyper. Hvor mange ulike kombinasjoner av middag og dessert har du totalt. Figuren under gir svar på problemet. A a b 1 2 B C Figur 1. Oversikt over middag / dessert kombinasjoner. a b a b middagsretter og 2 typer dessert gir 3 2 = 6 ulike kombinasjoner. Figuren over kalles et trediagram og gir en grei oversikt over antall kombinasjoner. Multiplikasjonsprinsippet : Dersom et statistisk forsøk har r trinn og n 1 muligheter i første trinn, n 2 muligheter i andre trinn, og n r muligheter i r te trinn, vil vi totalt ha n 1 n 2 n r muligheter.
14 14 Eksempel 2 Hvor mange ulike måter kan 4 personer, A, B, C, og D stille i kø på? Systematiserer vi og starter med A først vil figur 2 under gi oss en oversikt over problemet. LÆRER 4 A B C D A B D C A C B D A C D B 6 A D B C A D C B B A C D B A D C B C A D B C D A 6 B D A C B D C A C A B D C A D B C B A D 6 C B D A D A B C D A C B Figur 2. Oversikt over totalt antall køkombinasjoner. Figuren over viser klart at vi totalt har 6 4 = 24 ulike kombinasjoner. En annen måte å se dette på er følgende : 1. Først i køen kan hhv. A, B, C og D stå. Antall muligheter = 4 2. Når den første i køen er valgt er det 3 igjen til plass nr. 2 Antall muligheter = 3 3. Når de to første er valgt er det 2 igjen til plass nr. 3 Antall muligheter = 2 4. Når de tre første er valgt er det kun 1 mulighet på plass 4 Antall muligheter = 1 Totalt skulle dette gi : = 24 mulige køkombinasjoner. Dette kan vi skrive som 4! ( 4 fakultet ). Øker vi antall personer i køen til 5 vil vi totalt få 5! = = 120 ulike kombinasjoner. Overnevnte eksempel
15 15 representerer en kategori som betegnes : et ordnet utvalg uten tilbakelegging. LÆRER 5 Et utvalg uten tilbakelegging vil si at et objekt som er trukket ut ikke legges tilbake før trekningen foretas påny og følgelig kun kan opptre en gang i utvalget. Ved LOTTO-spill trekkes 7+2 nummererte kuler ut uten tilbakelegging. Dersom rekkefølgen i utvalget er avgjørende, har vi et ordnet utvalg og tilsvarende om rekkefølgen ikke spiller noen rolle har vi et ikke ordnet utvalg. LOTTO-spill er et eksempel på ikke-ordnet utvalg hvor rekkefølgen av de uttrukne vinnertallene ikke spiller noen rolle. Ordnet og uordnet utvalg uten tilbakelegging Eksempel 3 Av 4 bokstaver A, B, C og D skal 2 bokstaver trekkes ut. Hvor mange måter kan dette gjøres på? Oppstilles mulighetene i en figur har vi : ORDNET IKKE-ORDNET UTVALG UTVALG AB AC AB AD AC BA AD BC BD BC CA BD CB CD DA CD DB DC Figur 3. Antall mulige kombinasjoner av 2 uttrukne bokstaver av et utvalg på 4. Ved første trekning har vi 4 bokstaver å velge blant, ved neste trekning har vi 3. Dette gir totalt 4 3 = 12 kombinasjoner ved et ordnet utvalg. Ser vi bort fra rekkefølgen, dvs. vi har et uordnet utvalg reduseres antall kombinasjoner til 6. Ved et ordnet utvalg kan vi generalisere overstående til : Skal vi trekke s elementer utfra en total populasjon på n vil antall mulige kombinasjoner være gitt ved : n (n-1) (n-2) (n-(s-1)) Overstående antall kan vi ved å multiplisere med (n-s)! og deretter dividere med (n-s)!
16 16 Da får vi : n ( n 1)... ( n ( s 1) ( n s) ( n ( s + 1) n! n (n-1) (n-(s-1)) = = ( n s)! ( n s)! Overstående uttrykk lar seg lettere beregne med lommeregner hvor fakultetsfunksjon er tilgjengelig. Telleren er fakultetet av antall elementer vi totalt har til rådighet mens nevneren er fakultetet av de elementer som ikke skal trekkes ut. Eksempel 4 Utvider vi eksempel 3 til å trekke 3 bokstaver utfra totalt 4 vil følgende muligheter fremtre : LÆRER 6 ORDNET ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB IKKE- ORDNET ABC ABD ACD DAB DAC DBA BCD DBC DCA DCB Figur 4 Ordnet og ikke-ordnet utvalg i eksemplets kombinatoriske forsøk. Antall ordnete utvalg blir (se eksempel 2) : = 24. Den første av de ikke-ordnete kombinasjonene over, ABC, gir utgangspunkt for 3! = 6 ordnete kombinasjoner. 3! får vi fordi dette representerer totalt antall muligheter å kombinere 3 bokstaver. Økes antallet
17 til 4 bokstaver, ABCD, får vi = 4! (se eksempel 2). Antall ikke-ordnete kombinasjoner i overnevnte eksempel finnes ved : 17 LÆRER 7 Antallordneteutvalg Ant. måteråordne3bokst. på = = = ! 4 Overnevnte oppstilling betegnes : 3 og leses 4 over 3. Generelt kan vi si : Skal vi trekke s elementer uten tilbakelegging av en populasjon på n vil antall uordnete utvalg være gitt ved : n n! n ( n 1)... ( n ( s 1)) = = s s!( n s)! s! Eksempel 5 LOTTO Ved LOTTO-spill trekkes 7 tall ut av en populasjon på 34 tall i alt. Dette er en ikke-ordnet trekning uten tilbakelegging og antall mulige kombinasjoner kan finnes ved : 34 34! = = = !27! En del interessante opplysninger vedrørende overnevnte spill fremgår av tabellen under, som er opplysninger fra Norsk Tipping AS. Premie Kombinasjoner Sannsynlighet Ant.vinnerrekker Premie % Gj.snittlig premiebeløp 7 rette 1 1 : ,6 30 % rette 21 1 : ,3 15 % rette : ,6 15 % rette : ,0 20 % rette : ,4 20 % 51 I LOTTO trekkes det 7 vinnertall + 3 tilleggstall koster hver rekke ved innlevering kr. 3,-
- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
DetaljerForskjellige typer utvalg
Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
Detaljer10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
DetaljerForelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.
Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.
DetaljerNotater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
DetaljerLottotrekningen i Excel
Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne
DetaljerFagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?
Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon
DetaljerSannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
DetaljerINNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet
INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,
DetaljerKapittel 3: Kombinatorikk
Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger.
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene
DetaljerKapittel 3: Kombinatorikk
Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger).
DetaljerLegg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.
Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Hva er sannsynlighet? 2. Grunnleggende regler for sannsynlighetsregning 3. Tilfeldighet i datamaskinen
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske
DetaljerSannsynlighet løsninger
Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerMULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016
MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.
DetaljerSannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerTema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19
Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,
Detaljer6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet
. kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.
DetaljerOppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerNotat kombinatorikk og sannsynlighetregning
Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerStatistikk 1 kapittel 3
Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der
DetaljerFire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort
Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
Detaljer10.5 Mer kombinatorikk
bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet [ ]
Kapittel 2: Sannsynlighet [2.3-2.5] TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 2.3, 2.4, 2.5: Kombinatorikk og sannsynlighet [18.august 2004] Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/21 Produktregel for valgprosess TEO 2.1
DetaljerOppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Oppgaver Innhold 3.1 Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 5 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 9 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerSimulering - Sannsynlighet
Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 3
Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte
DetaljerTilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet
Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet Utviklet med støtte fra Bakgrunn og innledning Tilfeldighetenes spill var et eksperiment som ble kjørt på Akvariet i Bergen under Forskningsdagene
DetaljerLøsningsforslag til tidligere mappeoppgaver
til tidligere mappeoppgaver Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 007 9. november 007 Her legger vi ut løsningsforslag til noen oppgaver fra tidligere i år. Se på http://www-lu.hive.no/team/t06ab/todelt-logg.htm
DetaljerSannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.
DetaljerUndervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet
Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Kilde: www.clipart.com 1 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Statistikk, sannsynlighet og
Detaljer4.4 Sum av sannsynligheter
4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 201 Oppgaver fra boka 2.6.1 En kjemiker vil observere effekten av 2 ulike
DetaljerKvikkbilde 8 6. Mål. Gjennomføring. Planleggingsdokument Kvikkbilde 8 6
Kvikkbilde 8 6 Mål Generelt: Sammenligne og diskutere ulike måter å se et antall på. Utfordre elevene på å resonnere omkring tallenes struktur og egenskaper, samt egenskaper ved regneoperasjoner. Spesielt:
DetaljerPrøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler
Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall
ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen
DetaljerKompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2
3 Sannsynlighet Innhold Kompetansemål... 2 3. Hva er sannsynlighet?... 2 Utfall og utfallsrom... 3 Tilfeldig forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet... 5 Sannsynlighetsmodeller... Andre eksempler på tilfeldige
DetaljerBeskrivende statistikk.
Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk
Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2
DetaljerRegning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal
Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!
DetaljerMappeoppgave om sannsynlighet
Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en
Detaljer9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
DetaljerSTK1100 våren 2017 Kombinatorikk
STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige
DetaljerRegler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!
(x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at
DetaljerTERNINGER. - variasjon i matematikkundervisningen. Astrid Bondø NSMO. 18-Aug-13
TERNINGER - variasjon i matematikkundervisningen Astrid Bondø NSMO 18-Aug-13 Siffer blir tall Lamis skriftserie: Et ess i ermet Bruk en vanlig 6-er terning eller en 0-9 terning. Kast terningene. Du får
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.
DetaljerQuiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 2 4.2 Addisjon av sannsynligheter... 6 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet... 12 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning...
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerSannsynlighet 1P, Prøve 1 løsning
Sannsynlighet P, Prøve løsning Del Tid: 0 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Klassen holder på med brøkregning. Elevene sitter i grupper. Hver gruppe har en bunke med fem røde kort merket med tallene,,,
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet
Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk
DetaljerSannsynlighetsregning
Kapittel 3: Sannsynlighetsregning Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfallet blir. Utfallsrom, S: Mengden av alle mulige utfall
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle
DetaljerSAMMENDRAG OG FORMLER
SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen
Detaljer2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerLøsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
DetaljerSannsynlighet 1P, Prøve 2
Sannsynlighet 1P, Prøve 2 Del 1 Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Du snurrer et lykkehjul som stanser tilfeldig på en av bokstavene. Se figuren ovenfor. a) Hvor mange mulige utfall finnes
DetaljerRegler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!
(x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Ungdomstrinnet 8 _ (x²) 1 2 4 (x²) 1 2 _ (x²) 1 2 _ 4 _ 8 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk
DetaljerTRINN 1: HVA ER ET SET?
ALDER: 8 år til voksen ANTALL SPILLERE: 2 til 4 FORMÅL MED SPILLET: Å skåre flest poeng. Skår poeng ved å lage SET med din terning og de som allerede er på brettet. Jo flere SET du lager, jo flere poeng
DetaljerForsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet
Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri
DetaljerStatistikk 1 kapittel 3
Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der
DetaljerMAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan
DetaljerSannsynlighet for alle.
Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.
DetaljerLøsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.
c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5
DetaljerLøsningsforslag eksamen 1T våren 2010 DEL 1. Oppgave 1. a) Funksjonen f er gitt ved f x 2x 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f x 2x 3 Grafen
Løsningsforslag eksamen T våren 00 DEL Oppgave a) Funksjonen f er gitt ved f 3. Tegn grafen og finn nullpunktene for f f 3 Grafen y 0 8 6 4-4 -3 - - 3 4 - -4 Nullpunkt 3 0 3 Nullpunkt når 3 b) Løs likningen
DetaljerSTK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.
ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 1
Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Løsninger Innhold Modul. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 7 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 3 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012
Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform
DetaljerLøsningskisse seminaroppgaver uke 11 ( mars)
HG Mars 008 Løsningskisse seminaroppgaver uke (0.-4. mars) ECON 0 EKSAMEN 004 VÅR Oppgave En gitt prøve er laget som en flervalgsprøve ( multiple choice test ). Prøven består av tre spørsmål. For hvert
Detaljerb) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
DetaljerTest, 3 Sannsynlighet og statistikk
Test, 3 Sannsynlighet og statistikk Innhold 3. Stokastiske variabler og sannsynlighetsfordelinger... 3. Forventningsverdi, varians og standardavvik... 5 3.3 Normalfordelingen... 4 3.4 Sentralgrensesetningen...
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
DetaljerNasjonale prøver. Matematikk 10. trinn Oppgave 2
Nasjonale prøver 2005 Matematikk 10. trinn Oppgave 2 Skolenr.... Elevnr.... Gutt Omslag_skriv_mate_10.indd 1 Jente Bokmål 15. mars 2005 03-02-05 12:54:02 Alt du gjør, skal skrives i dette heftet. Når
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 6 4.5 1 La ABC være en trekant, og la D være et punkt på AB slik at A B D. Utsagnet
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 7 4.8 1 La ABC være en trekant og E et punkt i det indre av BC. Vi skal vise
DetaljerSannsynlighet oppgaver
Sannsynlighet oppgaver Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 4 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 8 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 9 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerTotal sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet
Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,
Detaljersannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk
Forrige forelesning oppsummert på 90 sekunder "stokastisk forsøk": myntkast, terningkast, trekking av kort,... utfallsrom: alle de mulige utfallene av et stokastisk forsøk eksempel på utfallsrom: kaster
DetaljerAktiviteter i sannsynlighetsregning på samlingen i MAT102 onsdag 8. februar
Aktiviteter i sannsynlighetsregning på samlingen i MAT102 onsdag 8. februar Her er en rekke aktiviteter som utvikler begrepsforståelsen i sannsynlighet. Målet med disse aktivitetene er å kunne vurdere
DetaljerForelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.
Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten
Detaljer