6 Sannsynlighetsregning

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "6 Sannsynlighetsregning"

Transkript

1 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene for antall mulige kombinasjoner som gir en sum på 2 øyne, 3 øyne,,12 øyne. Framstill resultatene grafisk. 2 Finn sannsynligheten for å a) få 3 øyne i ett kast med terning b) trekke en konge fra en kortstokk (med 52 kort, derav 4 konger) c) trekke ut en jente tilfeldig i en klasse med 20 gutter og 15 jenter d) trekke ut et partall tilfeldig fra mengden {1 20) 3 I et spill med terning må du få seks øyne for å kunne gå videre. Hva er sannsynligheten for at du kan gå videre etter a) én omgang? b) to omganger? c) tre omganger? (Vi kaster terningen én gang per omgang.) 4 I en klasse liker halvparten av elevene matematikklæreren. 80 % av elevene liker engelsklæreren og 40 % liker begge lærerne. Vi trekker ut en tilfeldig elev fra klassen. Hva er sannsynligheten for at eleven a) bare liker matematikklæreren? b) bare liker engelsklæreren? c) verken liker matematikk- eller engelsklæreren? 5 a) Vi antar at 32 % av de stemmeberettigede i Norge stemmer på Arbeiderpartiet (Ap). Hva er da sannsynligheten for at 1) én tilfeldig utvalgt person stemmer Ap? 2) to tilfeldig utvalgte personer stemmer Ap? 3) ingen av de to tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? 4) tre tilfeldig utvalgte personer stemmer Ap? 5) to av de tre tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? 6) én av de tre tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? 7) ingen av de tre tilfeldig utvalgte personene stemmer Ap? b) Summer sannsynlighetene for punktene 4, 5, 6 og 7 ovenfor. Kommenter svaret.

2 6 Ti lapper er nummerert fra 1 til 10. Vi legger disse lappene i en hatt og trekker én av dem tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å trekke a) lapp nummer 6? b) en lapp med høyere tall enn 6? Vi legger lappen vi trakk tilbake i hatten, og trekker en gang til. Hva er sannsynligheten for å trekke c) lapp nummer 6 begge gangene? d) en lapp med høyere tall enn 6 begge gangene? e) en lapp med høyere tall enn 6 den første gangen, og en lapp med lavere tall enn 6 den andre gangen? 7 Vi har tre kort med spar og sju kort med ruter i en hatt. Vi trekker tre kort fra hatten uten å legge de kortene som blir trukket, tilbake. Hva er sannsynligheten for å trekke a) en spar først? b) en spar først og deretter en ruter? c) en spar og to ruter? 8 Sannsynligheten for å trekke en rød og en svart kule fra en bolle er henholdsvis 0,3 og 0,5. a) Hva er sannsynligheten for å trekke en rød eller en svart kule? b) La oss si at det er ti svarte kuler i bollen. Hvor mange røde er det da? 9 Det er ti kuler i en bolle som er merket med tallene 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6 og 6. Vi trekker en tilfeldig kule fra bollen. Hva er sannsynligheten for a) at kulen er merket med tallet4? b) å trekke en kule med høyere tall enn 4? c) å trekke en kule med lavere tall enn 7? d) å trekke en kule med høyere tall enn 6? 10 Av 350 elever som går opp til eksamen, kommer 80 % til å få ståkarakter. Av de som stryker, får 80 % ståkarakter ved andre forsøk. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt elev som sitter ved eksamensbordet for første gang, vil bestå eksamen ved første eller andre forsøk? 11 På en skole er det to hundre avgangselever. Av disse elevene har seksti stykker faget 3MX og førti stykker faget 3BI. Tjue elever har både 3MX og 3BI. En avgangselev trekkes tilfeldig ut. Hva er sannsynligheten for at eleven har 3MX eller 3BI? (BI: biologi, MX: matematikk)

3 12 a) Vi kaster tre mynter. Lag en tabell over sannsynlighetsfordelingen for antall kron, dvs. 0 kron, 1 kron, osv. b) Gjør det samme for et kast med fire mynter. 13 Ved en skole er det totalt seks hundre og førti elever. Av disse elevene har to hundre fysikk og to hundre og femti engelsk. Ett hundre og førti elever har både fysikk og engelsk. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev a) har engelsk? b) enten har fysikk eller engelsk eller begge deler. c) har fysikk når vi vet at eleven også har engelsk. 14 I en eske ligger det én rød, fire blå og fem svarte kuler. a) Hva er sannsynligheten for å trekke en blå kule når vi trekker én gang? Vi trekker én kule åtte ganger og legger den tilbake i esken etter hver trekning. b) Hva er sannsynligheten for at seks av de åtte kulene er blå? 15 Vi tenker oss at du går i en skoleklasse med tjue elever. Fire forskjellige oppdrag skal fordeles blant elevene ved at læreren trekker ett og ett navn fra klasselisten. Først tenker vi oss at de elevene som blir trukket ut, ikke blir strøket fra listen før neste trekning. a) Hvor mange måter kan oppdragene fordeles på? b) Hva er sannsynligheten for at du blir tildelt alle de fire oppdragene? For å hindre at én og samme elev blir tildelt flere oppdrag tenker vi oss nå at de elevene som blir trukket ut, blir strøket fra listen før neste trekning. c) Hvor mange forskjellige måter kan oppdragene nå fordeles på? I klassen din skal fem elever trekkes ut til å holde foredrag. Trekningen foregår i fem omganger, og den som trekkes ut i én omgang, strykes før neste trekning. d) Hva er sannsynligheten for at du får holde foredrag? 16 På en pultrekke sitter Anne, Marius, Grethe, Kasper og Irene. a) Hvor mange måter kan de fem elevene sitte etter hverandre på? Det skal velges ut tre elever fra denne pultrekken ved loddtrekning. b) Hvor mange ordnede utvalg på tre elever er det mulig å trekke ut? (ABC og BAC er to ordnede utvalg som inneholder de samme elementene. Ordnet utvalg betyr at rekkefølgen spiller en rolle).

4 c) Hva er sannsynligheten for at de tre uttrukne elevene blir Anne, Kasper og Irene, hvis vi ikke tar hensyn til i hvilken rekkefølge de blir trukket ut? d) Hva er sannsynligheten for at de tre uttrukne elevene består av to jenter og én gutt? 17 En matematikktest inneholder det seks spørsmål. For hvert spørsmål er det gitt fem mulige svar, men bare ett av svarene er riktig. For å få ståkarakter på testen må elevene ha minst to rette svar. Jens tipper alle svarene vilkårlig. Hva er sannsynligheten for at a) Jens har akkurat to riktige svar? b) at ingen av svarene hans er riktige? c) han greier testen. 18 Vi trekker vilkårlig ett kort fra en kortstokk, legger kortet tilbake og noterer om det er spar, hjerter, kløver eller ruter. Hva er sannsynligheten for a) at vi etter fire slike trekninger har trukket to kort med ruter. b) å trekke minst to kort med ruter etter fire slike trekninger? 19 I en forening er 70 % av medlemmene menn, resten er kvinner. Det viser seg at 30 % av mennene og 40 % av kvinnene i foreningen røyker. Ett medlem trekkes ut på slump. Hva er sannsynligheten for at det uttrukne medlemmet a) røyker? b) er kvinne, forutsatt at medlemmet røyker? 20 Ved en videregående skole skal elevene velge fag. Skolen tilbyr tolv forskjellige valgfag. En elev skal velge fem av disse fagene. a) Forklar at eleven kan velge mellom 792 fagkombinasjoner. (Les stoffet om kombinatorikk etter oppgave 34.) På bakgrunn av tidligere valg antar vi at elevene ved en bestemt studieretning velger slik: Matematikk Engelsk Verken matematikk eller engelsk 60 % 30 % 20 % b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i denne studieretningen velger 1) minst ett av fagene matematikk og engelsk? 2) både matematikk og engelsk? 3) matematikk, men ikke engelsk?

5 21 En bedrift produserer tegnestifter. Vi lar x stå for antallet tegnestifter i en eske. Sannsynlighetsfordelingen er gitt ved denne tabellen: x P(x = ) 0,02 0,14 0,35 0,38 0,01 a) Finn P(x = 58). b) Finn sannsynligheten for at antallet stifter i en eske er mindre enn Tabellen nedenfor er hentet fra en rapport som helseministeren kom med i Den angir antallet årlige dødsfall som skyldes sigarettrøyking. Tallene er beregnet som et gjennomsnitt for årene 1990, 1991 og Dødsårsak Menn Kvinner Totalt Kreft Hjerte- og karsykdommer Luftveissykdommer Totalt Vi trekker en tilfeldig person fra tabellen. Hva er sannsynligheten for at denne personen a) døde av luftveissykdommer? b) døde av kreft hvis vi vet at vedkommende var kvinne? c) var kvinne når vi vet at vedkommende døde av kreft? I Statistisk årbok finner vi at det er 1023 kvinner per 1000 menn i Norge. Undersøkelser viser at 37 % av mennene og 32 % av kvinnene røyker. Vi trekker en tilfeldig nordmann. Hva er sannsynligheten for at denne personen d) røyker? e) er kvinne når vi vet at vedkommende røyker? 23 Ved en skole spaserer en femdel av elevene til skolen hver dag. Vi velger tre tilfeldige elever. Regn ut sannsynligheten for at minst to av disse elevene spaserer til skolen hver dag. 24 Ved en opptaksprøve ble det gitt seks ja-og nei-spørsmål. For å bestå prøven måtte tre eller flere spørsmål være riktig besvart. Har en person som bare gjetter, større enn to tredels sjanse til å bestå prøven?

6 25 I en skoleklasse er det 25 elever: 14 gutter og 11 jenter. Det skal velges en klassekomité på fem elever. a) Hvor mange måter kan vi plukke ut denne komiteen på hvis den skal bestå av 1) bare gutter? 2) to jenter og tre gutter? Vi antar at komiteen velges ved loddtrekning. Hva er sannsynligheten for at komiteen består av b) tre gutter og to jenter? c) minst halvparten gutter? 26 Et verksted har 25 arbeidere. Ti av dem har vært ansatt i firmaet i mer enn sju år. Formannen velger ut tre arbeidere tilfeldig til et oppdrag. a) Hva er sannsynligheten for at 1) ingen av personene som blir valgt, har vært ansatt i mer enn sju år? 2) bare én av dem som blir valgt, har mer enn sju års erfaring i firmaet? På verkstedet er ni av de ansatte kvinner. b) Hva er sannsynligheten for at minst én av de tre som blir valgt til oppdraget, er kvinne? Når en arbeider blir valgt tilfeldig, er sannsynligheten 0,12 for at denne arbeideren er en kvinne som har vært ansatt i mer enn sju år. c) Hvor mange kvinner har vært ansatt i firmaet i mer enn sju år? d) Hva er sannsynligheten for at det er minst én mann som har mer enn sju års erfaring i firmaet, blant de tre som velges ut til oppdraget? 27 I en fornøyelsespark får alle barna lov til å trekke fem lodd ved inngangen. En dag ble parken besøkt av 4518 barn. Tabellen nedenfor viser hvor mange barn som ikke vant, eller som vant på ett av loddene, to av loddene, osv. Antall gevinster Antall barn a) Hvor mange gevinster fikk hvert barn i gjennomsnitt? Fabrikken som lager loddene, oppgir at 10 % av dem gir gevinst. b) Regn ut sannsynligheten for at et barn som får fem tilfeldige lodd, vinner på ingen, ett, to, tre, fire eller fem av dem. Sammenlign resultatet i b) med tabellen ovenfor. Synes du det er god overensstemmelse?

7 28 I lommeboka di har du fire femtikronesedler og fem tohundrekronesedler. Du tar ut fire tilfeldige sedler. Det beløpet som du tar ut, er avhengig av hvilke sedler du tilfeldigvis velger ut. a) Hvilke pengebeløp kan de fire tilfeldige sedlene utgjøre til sammen? b) Hva er sannsynligheten for at du tar ut åtte hundre kroner? c) Hvilket beløp er det mest sannsynlig at du tar ut? 29 Idrettslaget Driv har meldt på 20 spillere til en håndballturnering. Erfaring fra tidligere turneringer tilsier at hver spiller har 3 % sjanse for å bli skadet i løpet av turneringen. a) Regn ut sannsynligheten for at ingen, én eller to av Drivs spillere blir skadet i løpet av turneringen? b) Hva er sannsynligheten for at minst tre av Drivs spillere blir skadet under turneringen? Det deltar 32 lag i turneringen. Alle lagene består av 20 spillere. c) Regn ut sannsynligheten for at minst ett av lagene får tre eller flere spillere skadet. 30 a) I en flervalgsoppgave er det fem forskjellige svaralternativer til hvert spørsmål. Bare ett av alternativene er riktig. Hva er sannsynligheten for å 1) svare riktig på et spørsmål bare ved å gjette? 2) oppnå ett riktig svar ved å gjette svarene på to spørsmål? 3) oppnå to riktige svar ved å gjette svarene på to spørsmål? 4) oppnå ingen riktige svar ved å gjette svarene på to spørsmål? b) Er det en sammenheng mellom 2), 3) og 4)? c) Hva er sannsynligheten for å oppnå tre riktige svar ved å gjette svarene på ti spørsmål? 31 Før en historieprøve får klassen til Mette i oppdrag å utrede tjue spørsmål. Prøven skal bestå av åtte av de tjue spørsmålene. a) Hvor mange forskjellige prøver er det mulig å lage når rekkefølgen som spørsmålene kommer i, ikke spiller noen rolle? Mette er usikker på tre av de tjue spørsmålene. Hun har regnet ut at det er en sannsynlighet på omtrent 0,2 for å unngå disse spørsmålene på prøven. b) Forklar hvordan du tror at Mette har regnet. Hvilke forutsetninger har hun regnet med? Mette tror at hun skal klare å få karakteren 5 på prøven dersom hun ikke får mer enn ett av de spørsmålene som hun er usikker på. c) Regn ut sannsynligheten for at Mette skal klare å få karakteren 5 på prøven.

8 32 I en skoleklasse er det 12 gutter og 16 jenter. Alle elevene stiller seg i en rekke. a) Hvor mange ulike måter kan denne rekken ordnes på? Det skal plukkes ut tre elever til å være leder, nestleder og sekretær i klassestyret. b) Hvor mange ulike sammensetninger kan klassestyret få? Fire av elevene i klassen får anledning til å være med på en skoletur til utlandet. Elevene skal plukkes ut ved loddtrekning. c) Hva er sannsynligheten for at tre jenter og én gutt blir med på turen? 33 Sannsynligheten for at det står personer på en bussholdeplass og venter på bussen, er 0,85. En buss som skal på langtur, skal stoppe tre steder for å ta med passasjerer. Hva er sannsynligheten for at det står passasjerer på minst én av de tre holdeplassene? 34 Ett hundre ungdommer har lunsjpause. Vi vet at 65 av dem spiser brød, og at 45 spiser epler. 30 av ungdommene spiser både brød og epler. Hva er sannsynligheten for at en vilkårlig utvalgt person spiser a) brød? b) både brød og epler? c) enten brød eller epler? d) brød, når du vet at personen også spiser epler?

9 ORIENTERINGSSTOFF Odds og spill Hvis det er dobbelt så stor sannsynlighet for at en hendelse inntreffer som for at den ikke inntreffer, sier vi at oddsen er to til én for at hendelsen inntreffer. Hvis tippere mener at sannsynligheten for at Rosenborg slår Brann, er tre ganger større enn sannsynligheten for at Brann slår Rosenborg, sier vi at oddsen er 3 : 1 for Rosenborg-seier. Generelt kan vi si at oddsen for at en hendelse inntreffer, er forholdet mellom sannsynligheten for at den inntreffer og sannsynligheten for at den ikke inntreffer. Med symboler kan vi skrive det slik: a b = 1 p p a = a : b b uttrykker oddsen, p uttrykker sannsynligheten for at hendelsen inntreffer, og 1 p uttrykker sannsynligheten for at hendelsen ikke inntreffer. Det er vanlig å uttrykke oddsen som forholdet mellom to positive tall som ikke har felles faktor. Vi sier for eksempel ikke at oddsen er 10 : 4, men 5 : 2. Hvis vi kjenner oddsen for en hendelse, kan vi finne sannsynligheten for at hendelsen inntreffer ved å «snu» formelen ovenfor (gjør et forsøk på å vise denne overgangen selv): a p = a + b I gambling eller spill brukes odds. Hvis en spiller mener at hun eller han vil gi tre til én i odds for at Rosenborg slår Brann, betyr det at personen er villig til å gi kr 300 mot kr 100 (eller kanskje kr 3000 mot kr 1000, osv.) for at det skal skje. Dersom oddsen for et veddemål er lik oddsen for at en hendelse inntreffer, sier vi at oddsen for veddemålet er rettferdig. Eksempel 1 1 Statistikk viser at (ca.) 12 av vogntogene som blir veid, har overvekt. Er oddsen rettferdig dersom en person tilbyr seg å vedde kr 100 mot kr 10 på at neste vogntog har overvekt? Løsningsforslag = Sannsynligheten for at et vogntog ikke har overvekt, er Dermed er dette oddsen for at vogntoget har overvekt:

10 = : = 1: Det er det samme som å si at oddsen for at det neste vogntoget ikke har overvekt, er 11 : 1. Veddemålet ville ha vært rettferdig hvis personen hadde tilbudt kr 110 mot kr 10. Det opprinnelige veddemålet på kr 100 mot kr 10 favoriserer personen som tilbyr veddemålet, og det er ikke rettferdig. Kombinatorikk og lotto Eksempel 2 1) Vi legger tre lapper (elementer) med bokstavene A, B og C i en bolle. Fra bollen skal vi trekke ut to lapper (elementer) uten å legge den første lappen tilbake. Vi skal finne ut hvor mange kombinasjoner vi kan få, uten at rekkefølgen spiller en rolle (altså at AB er det samme som BA). Det gir de tre kombinasjonene AB, AC og BC. 2) Vi utvider til fire lapper: A, B, C og D. Vi skal trekke ut to lapper uten tilbakelegging. Det gir seks kombinasjoner: AB, AC, AD, BC, BD og CD. 3) Vi utvider til fem lapper, A, B, C, D og E, og trekker ut to lapper som ovenfor. Det gir ti kombinasjoner: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE og DE. I del 1 har vi tre muligheter når vi trekker den første lappen og to muligheter når vi trekker den andre lappen, til sammen 3 2 = 6 muligheter. Men når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, er to og to av disse mulighetene like (AB =BA, AC = CA og BC = CB). For å finne antall kombinasjoner må vi derfor dividere med to. I del 2 får vi tilsvarende 4 3 = 12 muligheter. Når to og to muligheter er like, må vi dele på to for å finne antall kombinasjoner. I del 3 får vi 5 4 = 20 muligheter. Vi deler på to for å finne antall kombinasjoner. 4) Vi legger fire lapper med bokstavene A, B, C og D i en bolle. Vi skal trekke ut tre lapper uten tilbakelegging. Hvor mange kombinasjoner får vi i dette tilfellet? Løsningsforslag: Antallet muligheter er = 24. Seks og seks av disse mulighetene er like. Med bokstavene ABC kan vi for eksempel få kombinasjonene ABC, ACB, BAC, BCA, CAB og CBA. Antallet kombinasjoner finner vi da ved å dividere tjuefire med seks (fire kombinasjoner).

11 Når vi skal plukke ut r elementer fra en mengde på n elementer, kan vi bruke en formel som ser slik ut: n n! (r ) = r!( n r)! = ncr n! leses «n fakultet» og betyr n (n 1) (n 2) ! = 3 2 1= 6 5! = = 120 Hvis det for eksempel sitter fem elever på en rekke, kan elevene plasseres på 120 ulike måter (rekkefølger). Formelen ovenfor finner vi på lommeregneren på OPTN, (F6), (F3) PROB og ncr. C står for kombinasjoner (Combinations). Vi skriver heller ncr. Vi bruker formelen på delene 1, 2, 3 og 4 ovenfor: 1) 3C2 = 3. Vi får tre ulike kombinasjoner ved å trekke ut to elementer fra en samling på tre elementer der rekkefølgen ikke spiller noen rolle. 2) 4C2 = 6 3) 5C2 = 10 4) 5C3 = 10 I læreboka er det et eksempel der det skal trekkes ut en komité på tre elever i en klasse med 25 elever. 14 av elevene er jenter. Vi får 25C3 = 2300 ulike kombinasjoner ved å trekke ut tre elever. (I læreboka er tallet Det er fordi vi for eksempel kan få seks kombinasjoner av «Inger, Bente og Arne». Det utgjør én komité. Vi finner dermed antall ulike komiteer ved å dividere med seks: : 6 = 2300). Vi får 14C3 = 364 kombinasjoner ved å trekke ut tre jenter. (Læreboka opererer med Det samme resonnementet som ovenfor gjelder også her, altså: 3184 : 6 = 364). Sannsynligheten for å få en komité som består av tre jenter, er 14C3 364 P( 3J ) = = = 0,158 25C Sannsynlighetene for å få en komité med to gutter og en jente fordeler seg slik: antall kombinasjoner med to gutter: 11C2 = 55 antall kombinasjoner med én jente: 14C1 = 14 (ikke overraskende?) antall kombinasjoner med to gutter og én jente: = 770

12 Sannsynligheten for å få en komité med to gutter og en jente er 11C 2 14C P( 2G + 1J ) = = = = 0,335 25C Lotto Ved vanlig lottospill skal vi plukke ut sju av trettifire tall. I lottotrekningen blir det trukket ut sju hovedtall og tre tilleggstall (tidligere var det to tilleggstall). Vi skal finne sannsynligheten for å vinne de enkelte pengepremiene. Det enkleste er å bruke kombinatorikk (slik beskrevet ovenfor): 1. premie: (7 + 0) 7 tall tippet riktig Antallet kombinasjoner når vi skal trekke ut 7 tall av 34 tall er 34C7 = Bare én av disse rekkene har de 7 rette tallene, slik at sannsynligheten for å få førstepremien er 1 = 0, , % Vi kan vel ikke regne med å vinne hver gang? 2. premie: (6 + 1) 6 rette av 7 hovedtall og ett tilleggstall Antall kombinasjoner: 7C6 3C1 = 7 3 = 21 Vi må ha 6 rette av de 7 hovedtallene og 1 riktig av de 3 tilleggstallene. Sannsynligheten for andrepremie er = 0, = 0,00039% 3. premie: (6 + 0) Vi må tippe 6 riktige hovedtall. Antall kombinasjoner: 7C6 24C1 3C0 = 168 7C6 betyr at vi må ha 6 av de 7 hovedtallene riktig. 3C0 sier at vi ikke skal ha riktig tilleggstall. 24C1 betyr at det sjuende tallet må komme fra de resterende 24 tallene (34 7 3). Sannsynligheten for tredjepremie er = 0, ,003123%

13 4. premie: (5 + 0) (kan også ha (5 + 1) og (5 +2)) Antall kombinasjoner: 7C5 3C0 24C2 + 7C5 3C1 24C1 + 7C5 3C2 24C0 = = 21( ) = C5 3C0 24C2 betyr de kombinasjonene som har 5 riktige hovedtall, ingen tilleggstall og dermed 2 tall fra de resterende 24 tallene. Tilsvarende resonnement gjelder for de to andre leddene ovenfor. Sannsynligheten for 4. premie er = 0, ,1370% 5. premie: (4 + 1) (kan også ha (4 + 2) og (4 + 3)) Antall kombinasjoner: 7C4 3C1 24C2 + 7C4 3C2 24C1 + 7C4 3C3 24C0 = = 35 ( ) = Kommentarene til 4. premien gjelder her også. Sannsynligheten for 5. premie er = 0, ,58619% Sannsynligheten for ikke å vinne på en tilfeldig lottorekke er 100 % 0, % 0,00039 % 0, % 0,1370 % 0,58619 % = 99, % Spørsmålet er da hvor lurt det er å bruke penger på å spille lotto. Er det drømmen om de store gevinstene som er drivkraften? Oppgave Regn ut sannsynlighetene for å få pengepremier i lotto når det bare er to tilleggstall i tillegg til de sju ordinære tallene. Regn ut vinnersjansene i vikinglotto (det trekkes 6 av 48 tall og 2 tilleggstall). Det gis premier for 6 rette, 5 rette pluss et tilleggstall, 5 rette, 4 rette og 3 rette.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015 Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 204 205 Første runde. november 204 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00 minutter.

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Kilde: www.clipart.com 1 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Statistikk, sannsynlighet og

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai 2008

Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 22. mai 2008 Høgskolen i Telemark Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL. mai 008 EKSAMEN I MATEMATIKK 1. semester 10 studiepoeng Skolebasert lærerutdanning Tid 5 timer Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 15 5,5 10 3,0 10 Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret så enkelt som mulig 1 0 1 3 9 6 4 8 Oppgave 3 (1 poeng) Løs

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

E K S A M E N. Matematikk 2MX. Privatistar/Privatister. AA6516 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET

E K S A M E N. Matematikk 2MX. Privatistar/Privatister. AA6516 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Matematikk 2MX Privatistar/Privatister 8. desember 2004 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning for allmenne, økonomiske og administrative fag Oppgåva

Detaljer

Kengurukonkurransen 2008 > Et sprang inn i matematikken <

Kengurukonkurransen 2008 > Et sprang inn i matematikken < Kengurukonkurransen 2008 > Et sprang inn i matematikken < Benjamin (6. 8. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2008 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for fjerde gang i Norge.

Detaljer

Kengurukonkurransen 2010

Kengurukonkurransen 2010 Kengurukonkurransen 2010 «Et sprang inn i matematikken» CADET (9. 10. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2010 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for sjette gang i Norge. Dette

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007

Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-9. mai 2007 eksamensoppgaver.org September 17, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418 4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte

Detaljer

REKT Random Events Knowledge Test

REKT Random Events Knowledge Test REKT Random Events Knowledge Test Dette instrumentet er utarbeidet av psykolog og forsker Nigel Turner, ved Center for Addiction and Mental Health i Toronto, Canada. Instrumentet har både klinisk og forskningsmessig

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22.

Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.2011 DEL 1 OPPGAVE 1. a1) Regn ut 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 3 2 2 3 10 8 2 2 1 10 32 22 22. c) Løs likningen 6 4 x 4 x 6 4 x 4 x Løsningsforslag heldagsprøve 1T 19.05.011 DEL 1 OPPGAVE 1 a1) Regn ut 10 8 3 3 10 8 3 3 10 8 1 10 3 a) 3 5 4 5 3 5 5 4 5 3 5 5 3 5 5 4 5 1 3 5 1 5 1 1 3 1 5 1 3 3 5

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 5000000000 0,0005 Oppgave ( poeng) Løs likningen 6 Oppgave 3 ( poeng) Løs likningen lg( 3) 0 Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

SYSTEM- TABELLER. og premietabeller

SYSTEM- TABELLER. og premietabeller SYSTEM- TABELLER og premietabeller Systemspill er en enkel måte å spille mange forskjellige rekker på. Her vil du finne premietabeller og premieoversikt på antall rekker ved systemspill på alle våre spill.

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Elevene skal opparbeide ferdigheter i å kunne lese, formidle emner og ideer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler.

Elevene skal opparbeide ferdigheter i å kunne lese, formidle emner og ideer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler. GRUPPEOPPGAVER L97 Elevene skal opparbeide ferdigheter i å kunne lese, formidle emner og ideer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler. Muntlig matematikk kombinert med praktisk begrep-

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet

Detaljer

Eksamen 29.11.2012. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 29.11.2012. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 29.11.2012 REA3022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del 2 skal

Detaljer

Systemtabeller. og premietabeller

Systemtabeller. og premietabeller Systemtabeller og premietabeller Systemspill er en enkel måte å spille mange forskjellige rekker på. Her vil du finne premietabeller og premieoversikt på antall rekker ved systemspill på alle våre spill.

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 29.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 29.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Eksamen 23.11.2011. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.11.2011. MAT1017 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.11.2011 MAT1017 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Eksamen 28.11.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 28.11.2011. REA3022 Matematikk R1. Nynorsk/Bokmål Eksamen 28.11.2011 REA3022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Vedlegg: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar. Del

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Binomisk fordeling. Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Binomisk fordeling. Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilfeldige variabler Når vi kaster to terninger er det 36 utfall Vi ser på X = «sum antall øyne» De mulige verdiene

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (2 poeng) Oppgave 2 (4 poeng) Oppgave 3 (4 poeng) I er en konstant. Deriver funksjonene DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f( x) 5x x 5 b) g( x) x e x Oppgave (4 poeng) Polynomfunksjonen P er gitt ved 3 P( x) x x 10x 8, DP a) Faktoriser P( x ) i førstegradsfaktorer.

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1010 Matematikk 2T-Y Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

Terminprøve vår matematikk

Terminprøve vår matematikk Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen nye MEGA 8 Terminprøve vår matematikk 2013 Bokmål CAPPELEN DAMM AS Terminprøver vår for 8. trinn 2013 nye MEGA 1 Terminprøver vår 2013 nye MEGA 8 Vårens terminprøve er

Detaljer

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 2013 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Våren 01 Oppgave 1 ( poeng) Hilde skal kjøpe L melk,5 kg poteter 0,5 kg ost 00 g kokt skinke Gjør et overslag og finn ut omtrent hvor mye hun må betale. L melk:14,95 kr 15

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Eksamen 25.05.2012. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 25.05.2012. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 25.05.2012 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Øvingshefte. Ligninger

Øvingshefte. Ligninger Øvingshefte Matematikk Ungdomstrinn/VGS Ligninger Copyright Fagbokforlaget Vigmostad & Bjørke AS Kartleggeren øvingshefte Matematikk U-trinn/VGS Ligninger 1 Ligninger Seksjon 1 Oppgave 1.1 Skriv tallet

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Aasum, Jon-Henning & Maers, Rafael Lukas 1. april 2014 Sammendrag Denne artikkelen forsøker å gi en god forklaring på grunnleggende kombinatorikk og sannsynlighetsregning,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken 16.januar 014 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt! tone.bakken@ohg.vg.no

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer.

Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres inn senest etter 5 timer. Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: Andre opplysninger: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 2014 MAT1017 Matematikk 2T Ny eksamensordning våren 2015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 2 timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1

Løsningsforslag eksamen høsten 2010. DEL 1: Uten hjelpemidler. Oppgave 1 Løsningsforslag eksamen høsten 2010 DEL 1: Uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Løs likningssystemet y 4 3 y 8 y 4 y 4. Setter inn i den andre likninga: 3 4 8, får 3 y 4 3 1 3 y 1 b) Løs likningen 1 4 2 2 5

Detaljer

Regler for: getsmart Grønn. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Grønn. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! -6 Regler for: getsmart Grønn Hele tall 3 4 Hele tall 8-6 -6 3-6 3 8 Hele tall Hele tall 3 4 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

Eksamen 29.11.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 29.11.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 9.11.011 REA308 Matematikk S Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del : 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter timer. Del skal leveres inn

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

Eksamen 02.05.2008. VG1340 Matematikk 1MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 02.05.2008. VG1340 Matematikk 1MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 02.05.2008 VG1340 Matematikk 1MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel: Vedlegg: Andre opplysningar: Framgangsmåte og forklaring: 5 timar

Detaljer

Kengurukonkurransen 2011

Kengurukonkurransen 2011 Kengurukonkurransen 2011 «Et sprang inn i matematikken» ECOLIER (4. 5. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2011 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for sjuende gang i Norge.

Detaljer

Førskolebarnets matematikk-kunnskaper

Førskolebarnets matematikk-kunnskaper Førskolebarnets matematikk-kunnskaper Vad kan förskolebarn om tal? Hur löser de problem? Lärarstuderande Grethe Midtgård, Bergen, berättar om Marit, 6 år och hennes sätt att hantera situationer med matematik.

Detaljer

Eksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.11.2011. MAT1008 Matematikk 2T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.11.2011 MAT1008 Matematikk 2T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: 5 timar: Del 1 skal leverast inn etter 2 timar.

Detaljer

Sannsynlighet i kortspill

Sannsynlighet i kortspill Prosjektoppgave i MAT400 vår 0 Sannsynlighet i kortspill Av: Paul Høglend Mats Myhr Hansen. mai 0 Prosjektoppgave i MAT400 vår 0 Sannsynlighet i 7-kortpoker I denne presentasjonen av sannsynlighetene for

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og

Detaljer

Regler for: getsmart Kids. - Regning med sedler og mynt!

Regler for: getsmart Kids. - Regning med sedler og mynt! Regler for: getsmart Kids - Regning med sedler og mynt! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I

Eksamen. Fag: AA6516 Matematikk 2MX. Eksamensdato: 7. desember 2005. Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Eksamen Fag: AA6516 Matematikk 2MX Eksamensdato: 7. desember 2005 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg

Detaljer

Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av

Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av Mattemoro! Mona Røsseland, R som har tenkt å gjøre et forsøk! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den gode lærer? l Entusiasme og engasjement. Kjennskap til

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag

Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Eksamen Fag: AA6516 Matematikk 2MX Eksamensdato: 3. mai 2005 Vidaregåande kurs I / Videregående kurs I Studieretning: Allmenne, økonomiske og administrative fag Privatistar / Privatister Oppgåva ligg føre

Detaljer

Hvordan lykkes med tilpasset undervisning?

Hvordan lykkes med tilpasset undervisning? Hvordan lykkes med tilpasset undervisning? Mona Røsseland Doktorgradsstipendiat Universitetet i Agder www.fiboline.no Oversikt 10-11.30: Makronivå: Hva er god matematikkundervisning og hvordan legger det

Detaljer

Spill "Til topps" - transkripsjon av samtalen

Spill Til topps - transkripsjon av samtalen Spill "Til topps" - transkripsjon av samtalen Elevene på 6. trinn sitter to og to ved pultene. Thomas er læreren og sier at de skal ha et spill i dag. 1 Thomas Det er slik at dere skal være på lag med

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007

Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA3022 - Desember 2007 Løsningsforslag Eksamen eksempeloppgave R1 - REA022 - Desember 200 eksamensoppgaver.org October 2, 2008 eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksempeloppgave i R1

Detaljer

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014

Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Høsten 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange bøker en forfatter har solgt hvert år de fire siste årene. Når var den prosentvise økningen i salget fra

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Kengurukonkurransen 2015

Kengurukonkurransen 2015 Kengurukonkurransen 2015 «Et sprang inn i matematikken» BENJAMIN (6. 8. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for 11. gang i Norge. Dette heftet inneholder: Informasjon til

Detaljer

Forenklet bridge (f-bridge)

Forenklet bridge (f-bridge) Forenklet bridge (f-bridge) Marianne Harding og Sven-Olai Høyland 14. mai 2007 Dette ble først skrevet i forbindelse med bridgekurs for barn i alderen 9 13 år, men vi tror deg egner seg som en introduksjon

Detaljer

Eksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.05.2014. MAT1013 Matematikk 1T. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.05.2014 MAT1013 Matematikk 1T Nynorsk/Bokmål Nynorsk Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemiddel på Del 1: Hjelpemiddel på Del 2: Framgangsmåte: Rettleiing om vurderinga: Andre opplysningar:

Detaljer

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Ungdomstrinnet 8 _ (x²) 1 2 4 (x²) 1 2 _ (x²) 1 2 _ 4 _ 8 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer