Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Transkript

1 Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten for å vinne i ulike spill? Og hva er egentlig sannsynlighet? Sannsynlighet oppleves vanskelig å litt uhåndterbart for mange elever. Det er så mange hensyn de må ta underveis i utregningene, få oppgaver som er like, og mange formler som må huskes. På barnetrinnet er det viktig at elevene blir presentert for sannsynlighet og kombinatorikk på en sånn måte at de forstår at dette er logisk. Med utgangspunktet at sannsynlighet er antall gunstige delt på antall, kan vi nå ganske langt hvis vi skal løse kombinatoriske problemer. Formler for sannsynlighet er ikke nødvendig eller ønskelig på barnetrinnet. Vi må øve oss, og møte ulike problemstillinger i kombinatorikk og sannsynlighetsregning på varierte måter. Dessuten er dette et område hvor vi kan eksperimentere og foreta labundersøkelser i matematikk. Vi kan sammenlikne eksperimentelle og teoretiske resultater. Vi oppgir sannsynlighet som en brøk mellom 0 og, eller som prosent. De hendelsene vi undersøker, kaller vi for. Og den hendelsen vi vil beregne sannsynligheten for at skal skje, kaller vi for gunstig. Da er sannsynligheten gitt ved: S gunstige Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik. Det er fordi: gunstige + ikkegunstige gunstige + ikkegunstige Vi anbefaler å begynne med helt enkle eksempler som kan gjøres eksperimentelt først, og deretter beregne sannsynligheten teoretisk. Eksempel Eksperiment: Legg lilla og grønn (eventuelt to andre farger) tellebrikke i en kopp som ikke er gjennomsiktig. Trekk to brikker fra koppen og noter om de har samme farge, eller en av hver. Gjenta så mange ganger dere orker. Beregn hvor stor brøkdel (eventuelt prosent) av gangene det er en brikke av hver farge. Teoretisk oppgave: På hvor mange måter kan vi trekke ut to brikker fra en kopp der det finnes lilla og grønn brikke? Hva er sannsynligheten for å få en av hver farge?

2 Løsningsmetode Resultatet blir det samme om vi trekker først, så en til (uten å legge tilbake imellom), eller om vi trekker med en gang. Men det kan være enklere å lage et oppsett slik at vi tydelig kan se hvor stor sannsynlighet det er for lilla hvis vi trekker først og deretter til. Vi vil vise to framgangsmåter: Når første brikke skal trekkes er det av som er grønn, derfor det er sjanse for lilla. sjanse for grønn, mens Hvis første brikke var grønn, er det bare lilla igjen, og det er sjanse for å trekke en lilla i neste trekk. Hvis første brikke var lilla, er det nå av som er grønn, mens av gjenværende som er lilla. Det gir sjanse for grønn, og sjanse for lilla. Vi kan illustrere dette med et valgtre, og bruke dette til å beregne sannsynligheten for å få en brikke av hver farge.

3 Sannsynligheten for en av hver: Sannsynligheten for at begge er lilla: + Vi kan også finne sannsynligheten for en av hver slik: Løsningsmetode Vi nummererer de lilla brikkene fra til, og setter bokstaven G på den grønne. Alle kombinasjonene blir: G,,,,, G,,,, G,,, G,, G,

4 Totalt gir det: kombinasjoner Av disse kombinasjonene er tofargede. Da er sannsynligheten gitt ved den brøkdelen dette utgjør av totalen: Sannsynlighet oppgis i brøk eller prosent, litt avhengig av situasjonen. Brøk blir alltid eksakt, mens prosent kan bli en tilnærmet verdi. Hvordan stemte det med eksperimentet? Eksempel Eksperiment: Del Velg favorittallet ditt på terningen, og kast 0 ganger. Tell hvor mange ganger du fikk tallet ditt på de 0 kastene. - Hvem fikk sitt tall flest ganger? Alle på gruppa sier tallet de har valgt og hvor mange ganger det forekom. Man kan gjerne lage en stor felles-tabell på overheaden eller på tavla der resultatene samles. - Er det et tall det er mer sannsynlig å få enn de andre? Kan vi si det etter 0 kast? - Hva hvis vi kaster 00 ganger? - Hvahvis vi kaster 000 ganger? Diskusjon: Barn tror ofte det er vanskeligst å få på terningen. De ønsker så sterkt å få, men får følelsen av at de aldri får det. Det er fordi de får et tall de ikke vil ha ganger så ofte som de får den -eren de ønsker seg. Sannsynligheten for ikke + sannsynligheten for er Teoretisk beregning: Det er ingen forskjell på sideflatene i en terning, bortsett fra antall øyne. Antall mulig er. Antall gunstige er (favorittallet ditt). Sannsynligheten er / uansett hvilket tall som er favorittallet. Eksperiment: Del Bruk to terninger med to ulike farger, slik at det er enklere å skille dem. Vi skal se på summen av terningkastene. Velg en sum, kast begge terningene samtidig, legg sammen antall øyne og se om du får summen du har valgt. Kast så mange ganger dere orker, og tell hvor mange treff dere får. Beregn treffene som en brøkdel eller prosentdel av alle kastene. Lag en oversikt over klassens eksperimenter. Hvilket tall hadde høyest treffprosent?

5 Teoretisk beregning Fins det flere måter å få hver sum på? Hvilket tall forekommer flest ganger? Finn alle kombinasjoner av terningkast som gir de ulike summene på. Beregn deretter sannsynligheter for å få de ulike summene Tabell over terningkast som gir de ulike summene: Sum Rød terning Hvit terning Mulige kombinasjoner Tabellen viser alle kombinasjonene for summene vi får ved å kaste med terninger og legge sammen antall øyne. er det umulig å få. Vi ser at tabellen er symmetrisk. Det er like sannsynlig å få summen som å få summen, og det er like sannsynlig å få summen som å få summen. Slik fortsetter det inn mot midten, og vi ser at det er mest sannsynlig å få summen 7. Dette kan gjøres på måter.

6 Tabellen viser at vi kan få ulike summer. Totalt er det kombinasjoner. Fra tabellen ovenfor ser vi at sannsynligheten for å få summen 7 ved kast med to terninger er: gunstige s Sannsynlighet er en teoretisk verdi. Det sier noe om hvor sannsynlig noe er, vi kan ikke si det helt sikkert, i den forstand at jo flere kast vi foretar, desto nærmere den teoretiske sannsynligheten vil antall gunstige kast delt på antall kast vi har foretatt bli. I forsøkene vi har gjort kan resultatene stemme dårlig overens med den teoretisk beregnede sannsynligheten. Dette kommer av tilfeldighet, og at med noen få forsøk så kan tilfeldigheten gjøre at vi får et annet resultat enn forventet. Det kan godt hende vi får gunstige kast ganger etter hverandre, men i det lange løp vil det jevne seg ut og nærme seg den teoretiske verdien. Dette kalles Store Talls Lov. Eksempel Bruk samme ide som i eks. Hver person har lilla og grønne brikker. Trekk brikker. Eksperimenter først, og beregn teoretisk etterpå. Teoretisk beregning: Lag fordelingstre: Sannsynlighet for bare ensfarga: 0

7 Eller tabell: Merk brikkene A, B, C og, og Antall kombinasjoner av brikker: A, B, A,, A, B, A,, A, B, A,, A, C, B,, A, C, B,, A, C, B,, B, C, C,, B, C, C,, B, C, C,, A, B, C,, Her ser vi totalt antall er 0. Antall gunstige er (A, B, C) og (,, ). gunstige Det gir: s 0 0 Det er viktig at elevene får jobbe lenge nok med slike aktiviteter, slik at de blir fortrolige med logikken bak kombinatorikk og sannsynlighet.