6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

Transkript

1 . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten for å vinne i ulike spill? Og hva er egentlig sannsynlighet? På barnetrinnet er det viktig at elevene blir presentert for sannsynlighet og kombinatorikk på en sånn måte at de forstår at dette er logisk. Med utgangspunktet at sannsynlighet er antall gunstige delt på antall mulige, kan vi nå ganske langt hvis vi skal løse kombinatoriske problemer. Formler for sannsynlighet er ikke nødvendig eller ønskelig på barnetrinnet. Vi må øve oss, og møte ulike problemstillinger i kombinatorikk og sannsynlighetsregning på varierte måter. Vi kan oppgi sannsynlighet som en brøk mellom 0 og, eller som prosent. ) Aktivitet Alle tar terning hver. Velg favoritt-tallet ditt på terningen, og kast 0 ganger. Tell hvor mange ganger du fikk tallet ditt på de 0 kastene. - Hvem fikk sitt tall flest ganger? Alle på gruppa sier tallet de har valgt og hvor mange ganger det forekom. Man kan gjerne lage en stor felles-tabell på overheaden eller på tavla der resultatene samles. - Er det et tall det er mer sannsynlig å få enn de andre? Kan vi si det etter 0 kast? - Hva hvis vi kaster 00 ganger? - Hva hvis vi kaster 000 ganger? Diskusjon: Barn tror ofte det er vanskeligst å få på terningen. De ønsker så sterkt å få, men får følelsen av at de aldri får det. Hvorfor? Jo, fordi terningen har sideflater, og tallet er bare på en sideflate. På de andre sideflatene er det tall de ikke ønsker å få. Det betyr at de ganger så ofte får et tall de ikke vil ha. Sannsynligheten for ikke + sannsynligheten for er alltid Alle tar terninger hver. Bruk to farger på terningene slik at det er enklere å skille dem. Vi er nå ute etter summen av antall øyne. Velg en sum, kast begge terningene samtidig, legg sammen antall øyne og se om du får summen du har valgt. Kast 0 ganger og tell hvor mange treff du får. - Hvem fikk flest treff? - Lag en felles tabell med resultatene. Hvilket tall forekommer flest ganger? - På 0 kast er det vanskelig å bedømme. Det er i alle fall umulig å få. - Alle kaster 0 ganger til. Før disse resultatene inn i tabellen også. Ser vi en tendens? - Fins det flere måter å få ulike summer på? - Hvilket tall tror vi forekommer flest ganger? Finn alle måtene/ kombinasjonene vi kan få de ulike summene på.

2 Tabell over terningkast som gir de ulike summene: Sum Rød terning Hvit terning Mulige kombinasjoner Tabellen viser alle kombinasjonene for summene vi får ved å kaste med terninger og legge sammen antall øyne. er det umulig å få. Vi ser at tabellen er symmetrisk. Det er like sannsynlig å få summen som å få summen, og det er like sannsynlig å få summen som å få summen. Slik fortsetter det inn mot midten, og vi ser at det er mest sannsynlig å få summen 7. Dette kan gjøres på måter. - Stemmer resultatene våre med tabellen? - Hvorfor/ hvorfor ikke? - Tabellen viser at vi kan få ulike summer.

3 Diskusjon/ Oppsummering: - Sannsynlighet går ut på å finne hvor mange mulige utfall vi har, og deretter se hvor mange av disse som er gunstige i akkurat vårt tilfelle. Eksempel: Hva er sannsynligheten for å få ved kast med én terning? Ettersom terningen har sideflater har vi mulige utfall. Tallet finnes bare på sideflate, slik at utfall er gunstig for gunstige oss. Det gir: s = = mulige - Fra tabellen ovenfor ser vi at sannsynligheten for å få summen 7 ved kast med to gunstige terninger er: s = = = mulige - For å finne alle mulige kombinasjoner må vi ta i bruk kombinatorikk. Det er det vi har gjort i tabellen ovenfor for å finne alle mulige kombinasjoner av summer. - Sannsynlighet er en veldig teoretisk verdi. Det sier noe om hvor sannsynlig noe er, vi kan ikke si det helt sikkert, i den forstand at jo flere kast vi foretar, desto nærmere den teoretiske sannsynligheten vil antall gunstige kast delt på antall kast vi har foretatt bli. - I forsøkene vi har gjort kan resultatene stemme dårlig overens med den teoretisk beregnede sannsynligheten. Dette kommer av tilfeldighet, og at med noen få forsøk så kan tilfeldigheten gjøre at vi får et annet resultat enn forventet. Men i det lange løp, med mange forsøk vil resultatene gå mot det teorien tilsier. Dette kalles Store Talls Lov. Det viser seg at man ofte må opp i forsøk for at resultatene skal stemme, men noen ganger kan kast gi akkurat seksere. Da er det tilfeldigheten som rår.. - Man kan bruke digitale verktøy som pc og kalkulator for å simulere forsøk. Da får man raskt ut veldig mange forsøk. Men det har vist seg at det er veldig vanskelig å programmere en datamaskin til å simulere tilfeldig tall. - Hvordan ville forsøket ovenfor bli med, eller terninger? Hvis vi brukte terninger ville vi få summene til og med 8. Vi må sette opp en lignende tabell for å finne ut hvor mange muligheter det er for å få de ulike summene. - Få med barna og lek med terninger og mulige kombinasjoner. La barna erfare at det er like sannsynlig å få Yatzy med -ere som det er å få det med -ere. Men så fort vi er ute etter summer spiller det en rolle hva vi velger som sum. Da kommer det an på hvor mange muligheter det er for å få denne summen med terningene. Bruk dette til å finne ulike kombinasjoner for å samme sum i Hus i Yatzy. ) Aktivitet A) Til denne aktiviteten bruker vi runde tellebrikker. Hver person velger seg brikker i en farge og brikke i en annen farge. Vi velger lilla og grønn. Trekk brikke i gangen og legg tilbake. Trekk 0 ganger. Hva er sannsynligheten for å få grønn, og hva er sannsynligheten for lilla? - Alle på gruppa sier resultatene sine høyt. Resultatene samles i en tabell? - Hva hadde vi forventa å få? Stemmer resultatene vi fikk med det vi hadde forventa? Hvorfor/ hvorfor ikke? - av brikker er grønn, mens av brikker er lilla. Det kan være lurt å bruke av, slik at elevene ser

4 sammenhengen mellom antall gunstige og antall mulige. Sannsynligheten for å trekke en grønn brikke er og sannsynligheten for å trekke en lilla brikke er. Summen av sannsynlighetene er (siden du trekker alltid enten en grønn eller en lilla). B) Bruker de samme brikkene som i A), men nå skal vi trekke brikker. - Hva er sannsynligheten for at begge er lilla? - Spiller det noen rolle om vi trekker først, så en til (uten å legge tilbake imellom), eller om vi trekker med en gang? Oppsummering: Resultatet blir det samme om vi trekker først, så en til (uten å legge tilbake imellom), eller om vi trekker med en gang. Men det kan være enklere å lage et oppsett slik at vi tydelig kan se hvor stor sannsynlighet det er for lilla hvis vi trekker først og deretter til. Vi vil vise to mulige framgangsmåter:

5 A) Når første brikke skal trekkes er det av som er grønn, derfor sjanse for grønn, mens det er sjanse for lilla. Hvis første brikke var grønn, er det bare lilla igjen, og det er sjanse for å trekke en lilla i neste trekk. Hvis første brikke var lilla, er det nå av som er grønn, mens av gjenværende som er lilla. Det gir sjanse for grønn, og sjanse for lilla.

6 Dette gjør at vi kan sette opp et valgtre for å systematisere: Valgtreet kan vi bruke til å regne ut sannsynligheten for at begge er lilla. ) Sannsynligheten for at begge er lilla: ) Sannsynligheten for en av hver: + = = Vi kan også finne sannsynligheten for en av hver slik: = = B) Kan også sette opp tabell med mulige kombinasjoner av brikker: Vi nummererer de lilla brikkene fra til, og setter bokstaven G på den grønne.

7 Alle kombinasjonene blir: G,,,,, G,,,, G,,, G,, G, Totalt er det altså mulige, og vi ser at det er 0 gunstige, dvs lilla. Det gir: gunstige 0 s = = = mulige ) Aktivitet Hver person har lilla og grønne brikker. Trekk brikker. Hva er sannsynligheten for å få alle ensfarga? Gjør eksperimentet, og sett opp valgtre eller tabell. Lag fordelingstre:

8 Sannsynlighet for bare ensfarga: = 0 Eller tabell: Merk brikkene A, B, C og, og Antall gunstige: A, B, A,, A, B, A,, A, B, A,, A, C, B,, A, C, B,, A, C, B,, B, C, C,, B, C, C,, B, C, C,, A, B, C,, Her ser vi totalt antall mulige er 0. Antall gunstige er (A, B, C) og (,, ). gunstige Det gir: s = = = mulige 0 0 ) Ulike kombinasjoner Til denne aktiviteten har hver deltaker brikker i ulike farger. Gul, grønn, blå, rød og lilla. A) Hvor mange ulike fargekombinasjoner kan du lage når du skal trekke ut to brikker? Vi setter opp tabell: Gul, grønn grønn, blå blå, lilla lilla, rød Gul, blå grønn, lilla blå, rød Gul, rød grønn, rød Gul, lilla Dette gir oss: = 0 Dette er trekanttallene, og de går ofte igjen i ulike mønster. B) På hvor mange ulike måter kan vi plassere brikkene i båser? Eller sagt på en annen måte; hvor mange ulike fargemønster får vi hvis vi skal tre perler med ulik farge på en snor? Den gule kan plasseres på ulike steder. Når den er plassert er det bare steder den grønne kan plasseres.

9 Når disse to fargene er det bare steder å plassere den blå: Da er det mulig å plassere den røde på steder: Når alle de første er plassert er det bare en mulighet for å plassere den lilla: Mulige fargemønster: = 0 Diskusjon: - Hva med bankkoder? Er det så få kombinasjoner? - Hva med LOTTO? Hvor sannsynlig er det å vinne? Oppsummering: Det er mange flere kombinasjoner med en bankkode. Der brukes sifrene fra 0 til 9, og i tillegg kan samme siffer brukes flere ganger. Det er veldig liten sjanse for å vinne i LOTTO. En matematiker har regna på det og kommet fram til følgende: Du reiser med toget fra Trondheim til Oslo. En eller annen har plassert en søppeldunk et eller annet sted på ruta. Du kaster tilfeldig en ting ut gjennom vinduet et tilfeldig sted underveis fra Trondheim til Oslo. Sjansen for at du da treffer søppeldunken er større enn at du vinner i LOTTO!

10 ) TREKANTER I en pose er det pinner som er buntet sammen tre og tre. Lengdene til alle pinnene er et helt antall centimeter. Summen av lengden av pinnene i hver bunt er cm, og alle mulige kombinasjoner av slike treerbunter finnes i posen. Alle buntene er forskjellige. Dere trekker en tilfeldig bunt fra posen. Hvor stor er sannsynligheten for å trekke en bunt med pinner som kan danne en trekant? Løsning: Sannsynligheten er %. Buntene består av disse kombinasjonene av pinner: cm cm 0cm cm cm 9cm cm cm 8cm cm cm 7cm cm cm cm cm cm 8cm cm cm 7cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm Oppsummering: av bunter inneholder pinner som kan danne en trekant. Det vil si at sannsynligheten for å trekke en slik bunt er /=/ (summen av de to korteste pinnene må være større enn den lengste pinnen). Denne oppgaven går både på geometri, sannsynlighet og kombinatorikk. ) Farget eller fargeløs? Dere har tre pinner. En er farget i begge ender. En er farget i én ende. En er ikke farget.

11 Pinnene er skjult slik at du ikke ser dem. Du griper en tilfeldig ende på en av pinnene uten å se. Du kan da bare se den andre enden på pinnen du har grepet. Du skal nå gjette hvilken farge det er på den enden som er skjult. Er det størst sjanse for å få rett hvis du gjetter A. Samme type ende som du ser (farget hvis du ser en farget ende, ikke farget hvis du ser en ikke farget ende) B. Motsatt type av det du ser. (farget hvis du ser en ikke faget ende, ikke farget hvis du ser en farget ende) C. Eller er det like stor sjanse for å få rett uansett hva du velger? Løsning: Svaralternativ A er rett. A B C D La oss si at du ser en farget ende. Da har vi garantert ikke tatt pinnen uten farge. Vi ha enten tatt den med to røde ender eller den med én rød ende. Vi holder da på én av tre ender, enten A, B eller C. Holder vi på A, er skjult ende lik den vi ser. Holder vi på B, er skjult ende lik den vi ser. Holder vi på C, er skjult ende IKKE lik den vi ser. I to av tre tilfelle vil skjult ende være lik den vi ser. Det er,7 % sjanse for at den skjulte enden er lik den vi ser.

12 Statistikk 8) Logiske brikker og venndiagram A) og arbeider sammen. Hver gruppe har et sett med logiske brikker og mengderinger. I) Legg ut den gule ringen, og plasser alle de gule brikkene inni denne. Be gjerne elevene om å beskrive brikkene. Det er trekanter, kvadrater, rektangler, sekskanter og sirkler i to ulike tykkelser. Få dem til å beskrive kjennetegnene til de ulike formene. A: Gule B: ikke gule A B II) Legg den røde mengderingen slik at han overlapper den første. Brikkene i denne ringen skal være kvadratiske. Betingelsen om gule brikker i den gule ringen skal fortsatt være bevart. Plasser brikkene i riktig felt, og sett navn på de ulike områdene. A: Gule B: ikke gule, ikke kvadratiske C: gule, kvadratiske B D: kvadratiske A C D B III) Legg den blå mengeringen slik at han overlapper begge de to andre ringene. Brikkene inni denne ringen skal være tynne. De betingelsene for de to andre ringene skal fortsatt være bevart. Plasser brikkene i riktig felt, og sett navn på de ulike områdene. A: gule B: ikke gule, ikke kvadratiske, ikke tynne C: gule, kvadratiske A F C G H D E B

13 D: kvadratiske, ikke gule E: tynne, ikke gule, ikke kvadratiske F: gule, tynne, ikke kvadratiske G: gule, kvadratiske, tynne H: kvadratiske, tynne, ikke gule B B) og arbeider sammen og bruker mengderinger som overlapper hverandre. Den ene lager en regel som hun skriver ned. Den andre velger en og en brikke og holder den opp. Den som har laget regelen sier i hvilket område brikken skal plasseres i. Det er om å gjøre å avsløre hvilke egenskaper brikkene er sortert etter. Tell opp antall brikker og finn ut hvor mange gjett du brukte. Bytt roller. Hvem trengte færrest brikker for å finne reglene?