Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Transkript

1 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen for at det stopper på tallet ditt? b) Du snurrer lykkehjulet to ganger hva er sjansen for at det stopper på tallet ditt akkurat en gang. c) Vi tenker oss nå at vi snurrer lykkehjulet 4 ganger. En student tenker da at sjansen for at det stopper på hans tall minst en gang vil være P = = 4 8 Hva vil du svare denne studenten? Prøv å gi en overbevisende forklaring på hvorfor denne tankemåten ikke fører frem. d) Sett opp et uttrykk for hva sjansen er for å vinne på akkurat to ganger når du snurrer lykkehjulet 8 ganger. Oppgave 2 På en pakke med blomsterfrø står det at spireprosenten er 60. Det betyr at når du planter et frø på forskriftsmessig måte er det 60 % sjanse for at det spirer. a) Vi planter nå 2 frø i en blomsterkasse. Hva er sannsynligheten for begge disse frøene vil spire? Hva er sjansen for at akkurat ett av dem vil spire? b) Vi tenker oss nå at vi planter 6 frø i en blomsterkasse. Hva er sannsynligheten for at akkurat et av frøene vil spire? c) Hva er sannsynligheten for at akkurat 3 frø vil spire? På en av de andre posene med blomsterfrø er spireprosenten 25. Blomsterhandleren sier at om du planter minst 4 frø av denne typen vil du være garantert at minst et av dem spirer. Hva vil du svare blomsterhandleren? Bruk sannsynlighetsregning til å forklare.

2 Oppgave 3 En terning ar form som et tetraeder. Det vil si at terningen består av fire like sider. Sidene har henholdsvis 1, 2, 3 og 4 øyne. a) Hva er sjansen for å få en firer når du kaster denne terningen? b) Vi kaster nå to slike terninger samtidig. Hva er sjansen for at du får firer på begge terningene? c) Hva er sjansen for at minst en av dem ender med en firer? d) Du kaster nå 4 slike terninger samtidig. Hva er sjansen for at akkurat to av kastene ender med firer? Oppgave 4 I en skoleklasse i Finnmark er det 25 elever. Vi skal plukke ut 4 stykker som skal være med i en komité. a) Hvor mange ulike komiteer er det mulig å sette sammen? b) I denne klassen er det 10 som snakker samisk og 15 som ikke snakker samisk. Hva er sannsynligheten for at det er to personer i komiteen og snakker samisk og to som ikke snakker samisk? Det er viktig at komiteen har minst en som behersker samisk. Hva er sjansen for at det skjer om vi velger komiteen tilfeldig. Oppgave 5 En skoleklasse på videregående består av 30 elever. Av disse blir 6 stykker trukket ut til å komme opp til muntlig eksamen i naturfag. a) Hvor mange forskjellige elevkombinasjoner er det mulig å trekke ut? b) Av elevene er det 20 gutter og 10 jenter. Hva er sannsynligheten for å trekke ut 4 gutter og 2 jenter. c) Forklar tenkemåten som ligger til grunn for det som du har gjort i a) og b) Likestillingsutvalget krever at det skal være minst 2 av vært kjønn oppe til muntlig. Hvor mange mulige kombinasjoner er det mulig å sette sammen når vi legger denne betingelsen til grunn?

3 Oppgave 6 I fotballgruppen til Skrim er det 24 unger. Vi skal plukke 6 av spillerne som skal utgjøre Skrim gul. a) Hvor mange måte forskjellige måter kan dette gjøres på? Av disse 24 spillerne går 10 på Wennersborg skole og 14 går på Kongsgårdsmoen skole. b) Hva er sjansen for at når vi plukker ut tilfeldig at vi får 3 spillere fra Wennersborg og 3 fra Kongsgårdsmoen skole Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut minst to spillere fra hver skole? Oppgave 7 Alle flyplasser i verden har en 3 bokstavers kode. Gardermoen har f. eks OSL som kode, Kirkenes har KKN som kode. a) Hvor mange ulike 3 bokstavers koder er det mulig å lage? (Æ,Ø, Å brukes ikke slik at det er 26 bokstaver som kan brukes) b) Hvilken kalles dette utvalget? Begrunn. c) Gi et eksempel på det vi kaller et uordnet utvalg uten tilbakelegging. La oss si at vi skal trekke ut 3 personer av 30 til å være med i en gruppe. (forutsetter uordnet utvalg). Hvor mange måter kan dette gjøres på? Forklar tankemåten som ligger til grunn for formelen du setter opp. Oppgave 8 a) Hva kjennetegner en uniform sannsynlighetsmodell? Gi eksempler på både uniform modell og på en modell som ikke er uniform. b) Hvordan regner en ut sannsynligheten i en uniform modell? Hvorfor vil ikke denne tankemåten fungere i en ikke uniform modell? c) I godtedisken på Mix har de små røde og blå drops. Dropsene er helt like utenom fargen. Vi kjøper 10 av disse dropsene, 4 av de er røde og 6 er blå. Vi plukker tilfeldig ut en drops. Hva er sjansen for at den er blå? d) Hvilken sannsynlighetsmodell ligger til grunn? Begrunn e) Vi plukker ut 2 drops. Hva er sjansen for at vi plukker ut 1 rød og 1 blå drops?

4 Oppgave 9 En person som liker å jogge har 12 par sko som han veksler på å bruke. Av disse 12 parene er 4 av merket Adidas og 8 er av merket Nike. a) Til en joggetur tar personen ut et tilfeldig par. Hva er sjansen for dette er av merket Nike? b) Også på neste tur velger han ut et par helt tilfeldig blant de 12. Hva er sjansen for at han endte opp med Adidas på begge disse to turene? c) Joggeren skal reise bort noen dager. Han bestemmer seg for å ta med 3 tilfeldige par på turen. Hvor mange forskjellige skokombinasjoner er det mulig å sette sammen? Forklar tankemåten som ligger til grunn d) Når han plukker ut 3 par tilfeldig for å ta med på turen, hva er da sannsynligheten for at 1 av disse er fra Adidas og to fra Nike? Oppgave 10 Vi har 105 kvinner og 45 menn på en arbeidsplass. Vi skal trekke ut 4 av disse til å være med i en komitee. a) Hva er sannsynligheten for at vi trekker ut 2 jenter og 2 gutter? b) En matematikkstudenten regner ut svaret og gjør det på denne måten P = ( 4 2 ) 0,72 0,3 2 = 0,2646 Han tenker at det er 70% med kvinner og 30% men menn. Hva vil du si om denne studentens tenkemåte? Er det tilfeldig at denne måten gir omtrent samme svar som det vi fant i a)? c) En annen student tenker slik P = ( 4 2 ) Han tenker at det er for først å trekke en kvinne. Deretter for å trekke ny kvinne, så for å trekke en mann og til slutt for å trekke en ny mann. Totalt har vi ( ) kombinasjoner og derfor ganger vi med det. Hva synes du om denne forklaringen?

5 Løsningsforslag Oppgave 1 a) P = 1 8 b) P = = c) Det enkleste er å se på hva som skjer med 8 kast med den modellen. Vi får da en sannsynlighet på 1, men vi er på ingen måte sikret gevinst selv om snurrer hjulet 8 ganger d) P = ( 8 2 ) (1 8 )2 ( 7 8 )6 = 0,196 Oppgave 2 a) P = = 0,36 b) P = 6 ( 6 10 )1 ( 4 10 )5 = 0,036 c) P = ( 6 3 ) ( 6 10 )3 ( 4 10 )3 = 0,27 d) Blomsterhandleren roter. En er selvsagt ikke garantert at et frø spirer selv om han planter 4 frø. Han har nok tenkt 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 = 1. Vi kan regne det ut ved å regne ut P = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) eller enklere P = 1 P(0) = 1 ( 3 4 ) 4 = 0,683 Oppgave 3 a) P = 1 4 b) P = = 0,0625 c) P = = 7 16 d) P = ( 4 2 ) (1 4 )2 ( 3 4 )2 = 0,21

6 Oppgave 4 a) P = ( 25 4 ) = b) P = (10 2 ) (15 2 ) ( 25 4 ) = 0,37 c) P = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) eller enklere P = 1 P(0) = 1 (10 0 ) (15 4 ) ( 25 4 ) = 0,89 Oppgave 5 a) ( 30 6 ) = b) P = (10 2 ) (20 4 ) ( 30 6 ) = 0,367 c) Her viser jeg til notatene mine. På a) bør de kunne si noe om vi først regner ut antall ordende utvalg og vi etterpå (under brøkstreken) luker ut kombinasjonene som inneholder de samme personene. På b) bør de kunne si at vi tar antall gunstige og deler på antall mulige. De bør også kunne forklare hvorfor vi ganger sammen tallene i telleren. d) ( 10 2 ) (20 4 ) + (10 3 ) (20 3 ) + (10 4 ) (20 ) = Oppgave 6 a) ( 24 6 ) = b) P = (10 3 ) (14 3 ) ( 24 6 ) = 0,32 c) P = (10 2 ) (14 4 ) ( 24 + ( 10 ) ( ) 6 ) ( 24 + ( 10 6 ) ) ( ) ( 24 6 ) = 0,79 Oppgave 7 a) 26 3 = b) Dette er et ordnet utvalg med tilbakelegging c) Lottotrekningen er eksempel på uordnet utvalg uten tilbakelegging.

7 ( 30 3 ) = 4060 (Dette var en oppgave som var brukt til muntlig eksamen en gang på et annet kurs) Oppgave 8 a) Her finnes det mange gode eksempler. På ikke uniform vil noen en del komme med en asymmetrisk terning eller et lykkehjul med ulike sektorer. b) Her er jeg ute etter gunstige delt på mulige, og hvorfor det ikke fungerer i en ikke uniform modell. c) P = 6 10 d) Her bruker vi den uniforme modellen. Alle dropsene har lik størrelse og vekt og har like stor sjanse for å bli trukket ut. e) P = (4 1 ) (6 1 ) ( 10 2 ) = 0,53 Oppgave 9 a) P = 8 12 b) P = = 0,09 c) ( 12 3 ) = 220 d) P = (4 1 ) (8 2 ) ( 12 3 ) = 0,50

8 Oppgave 10 a) P = (105 2 ) (45 2 ) ( ) = 0,2668 b) Vi har ikke en fast sannsynlighet og derfor kan vi ikke bruke en binomisk modell. Siden vi har så pass mange ansatte er det ikke mye sannsynligheten forandrer seg fra gang til gang og det gjør at denne modellen er tilnærmet rett. c) Det som denne studenten tenker er riktig. Hvis vi f. eks tenker oss at vi først skal trekke kvinne, så mann, deretter kvinne og så mann får vi Vi ser at dette uttrykket er det samme som i spørsmålet, bortsett fra rekkefølgen på faktorene. Det har imidlertid ikke noe betydning så derfor kan vi gange med ( 4 2 )