10.5 Mer kombinatorikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "10.5 Mer kombinatorikk"

Transkript

1 bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske problemer som er utført i avsnitt 10.4, ligger tett opp til måten å arbeide med slike problemstillinger i grunnskolen. Vi skal legge merke til at vi i avsnitt 10.4 behandlet problemer som gikk over to trinn. Så lenge vi begrenser oss til to-tre trinn er trediagrammet en oversiktlig måte å arbeide på. I en vanlig LOTTO-trekning er det f.eks.7 trinn (trekninger) som avgjør førstepremie-rekken (jfr. oppg. 75). Vi skal i dette avsnittet se nærmere på alternative måter å finne antall kombinasjoner på Enkle sammensettinger I læreboken Matematikk (Breiteig, Pedersen, Skoogh) for KAPITTEL 9. klassetrinn, finner vi følgende problem: Når Tom skal trene, kan han velge mellom tre ulike trøyer og to forskjellige shortser. På hvor mange ulike måter kan han kombinere treningstøyet sitt? I læreboken gis det ingen algoritme for løsningen av dette problemet og lignende problemer. Oppgaven er med andre ord en problemløsningsoppgave hvor vi som lærere må være åpne for ulike løsningsforslag og strategier fra elevenes side. I dette heftet skal vi derimot jobbe oss fram til en generell skrivemåte (formel). Oppgaven gir inntrykk av at det er slik at hver trøye passer til hver av shortsene. Da kan Tom velge blant 3 trøyer. For hver trøye kan han velge 2 shortser. Dette gir i alt 3 2 = 6 ulike kombinasjoner. Denne situasjonen kan utvides til å gjelde valg av sokker. Har Tom i tillegg 4 par treningssokker å velge blant, vil antall mulige kombinasjoner av treningstøy være = 24 (forviss deg om at dette er riktig ved å tegne en skisse). Generelt Et forsøk kan inndeles i r trinn. I første trinn er det n 1 mulige valg, i andre trinn har vi n 2 mulige valg osv. Da er det totale antall kombinasjoner forsøket kan utføres på lik n 1 n 2... n r siden vi har r trinn Ordnet utvalg med tilbakelegging I avsnitt 10.4 behandlet vi fødselsrekkefølgen i en tobarnsfamilie. Her sa vi at GJ betyr at det først ble født en gutt, så en jente. Den motsatte rekkefølgen betegnes JG. Det at vi betrakter rekkefølgen barna blir født, innebærer en ordning. F.eks. vil JG innebære at jenta er eldst og gutten er yngst, noe som altså vil være motsatt for rekkefølgen GJ. Dersom alder (dvs. rekkefølge ved fødsler) har betydning, har en altså et eksempel på det som går under betegnelsen ordnet utvalg. Vi skal merke oss at dersom det er født en jente i første fødsel, er det klart at det er mulig med jente også i andre fødsel. Altså at forekomsten av et bestemt utfall i første trinn ikke utelukker samme utfall i neste trinn. Det er dette som ligger i 128 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

2 formuleringen med tilbakelegging. Vi har i avsnitt 10.4 sett at det er 4 mulige fødselsrekkefølger: GG, GJ, JG og JJ. Dette antallet kan vi finne ved å se på antall mulige utfall ved hver fødsel. Det er 2 muligheter ved første fødsel (J eller G). For hver av disse mulighetene er det også 2 muligheter i andre fødsel. I alt blir det 2 2 = 4 muligheter, som vist i avsnitt Dette resonnementet kan vi føre videre. Tenker vi oss en firebarnsfamilie (ingen eneggede tvillinger), vil antall rekkefølger av fire barn med hensyn til kjønn være = 2 4 = 16 (bruk f.eks. et trediagram til å forvisse deg om dette). Ved å betrakte potensen 2 4, ser vi at 2-tallet stammer fra antall mulige utfall i hvert trinn (G eller J) og 4-tallet angir antall fødsler (trinn) vi betrakter. Eksempel 10.4 En tippekupong består av 12 kamper. Hver kamp kan enten ende med H (hjemmeseier), U (uavgjort) eller B (borteseier). Hvor mange ulike tipperekker finnes det? Siden det i hver kamp (trinn) kan være 3 ulike utfall, og vi i alt har 12 kamper (trinn), vil antall mulige rekker være 3 12 = (forviss deg med f.eks. trediagram at dette er riktig). Skal vi være garantert 12 rette, må vi altså levere inn rekker. Eksempel 10.5 I en normert prøve i matematikk i grunnskolen gitt i 1992 lød en oppgave slik: En familie planlegger å få to barn. Vi regner med at det er like stor sannsynlighet for å få en gutt som for å få en jente. Hvor stor er sannsynligheten for at familien får to jenter? Problemet med tobarns-fødsler ble analysert også i avsnitt 10.4 ved hjelp av trediagram. En annen måte å gjøre det på er å benytte loven om antall gunstige delt på antall mulige. Antall mulige vil da være antall kombinasjoner i løpet av 2 fødsler, nemlig 2 2, mens antall gunstige vil være hvor mange måter av de mulige en kan få to jenter på, nemlig 1. Dette gir at P 2 jenter antall gunstige antall mulige ( ) = = = = Generelt Vi har r trinn hvor antall utfall i hvert trinn er n. Det totale antall ordnede kombinasjoner er da lik n n... n = n r. KAPITTEL

3 Ordnet utvalg uten tilbakelegging I læreboken Formel (Viken, Seeberg, Karlsen) for ungdomstrinnet kan en finne følgende problemstilling: Are, Bjørn, Knut og Dan løper 60 m. Dersom ingen kommer samtidig i mål, hvor mange forskjellige rekkefølger kan vi få? At dette er et ordnet utvalg, betyr at rekkefølgen disse fire kommer i mål på har betydning. Formuleringen uten tilbakelegging er dekkende i denne situasjonen fordi hver enkelt elev kan passere mål bare en gang. Sagt på en annen måte: Dersom Are er først i mål (trinn 1), kan ikke Are bli nummer to i mål. Are vil ikke komme i betraktning ved andre trinn, bare de tre gjenværende elevene. For å finne svaret på spørsmålet i oppgaven, kan vi ta utgangspunkt i at alle 4 kan komme først i mål. Dersom Are er først i mål, ser vi at det er 3 muligheter for andremann i det både Bjørn, Knut og Dan kan bli nummer 2. For de 2 første plassene er det altså 4 3 = 12 forskjellige muligheter. For hver av disse 12 mulighetene kan vi ha 2 elever på tredje plass. Den siste plassen kan da bare besettes av den siste eleven, og det kan gjøres på bare en måte. I alt blir det altså = 24 måter. Denne situasjonen kan lett utvides til flere trinn. Er det 9 elever som stiller til start, vil antall forskjellige rekkefølger i mål være = I matematikken skriver en dette antallet på en enklere form, nemlig 9! som uttales ni fakultet, hvor vi altså har at 9! = Dette utropstegnet benyttes altså som symbol på en gjentatt multiplikasjon fra tallet foran utropstegnet ned til 1. Legg ellers merke til at dette symbolet finnes på de fleste kalkulatorer. Eksempel 10.6 I en skoleklasse på 25 elever skulle de velge tillitsvalgt, vara og sekretær. Dersom alle kan velges fritt slik at den som får flest stemmer blir klassens tillitsvalgt, nest flest stemmer vara osv., hvor mange forskjellige utvalg på tre elever kan en få i disse vervene? Når alle elever stiller likt og er på valg, er det 25 elever som kan bli tillitsvalgt. Denne eleven kan ikke bli valgt til noen andre verv slik at det etter at tillitsvalgt er valgt, er det 24 elever igjen. For hver av de 25 som kan bli valgt på første trinn, er det 24 muligheter på andre trinn. I alt vil det da være forskjellige kombinasjoner på tillitsvalgt og vara. For hver av disse kombinasjonene er det igjen 23 elever som kan bli sekretær. I alt vil dette gi = forskjellige kombinasjoner eller utvalg på tre elever (sjekk dette ved hjelp av f.eks. trediagram). oooooo 130 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

4 Også denne situasjonen kan vi utvide til å gjelde flere trinn. Tenker vi oss at det skal velges et styre på 5 deltakere i denne klassen, hvor rekkefølgen har betydning for hvilke verv en får, vil antall forskjellige utvalg være lik = På kalkulatorer kan en finne dette antallet ved hjelp av funksjonen npr, der n er antall elementer (elever) totalt og r er antallet vi trekker ut. P en står for permutasjon, som betyr ombytting, måter å bytte om rekkefølgen på. Legg merke til som en huskeregel at vi i den siste utregningen får 5 faktorer, like mange som elever vi trekker ut. Generelt Når vi skal trekke ut r individer fra en samling på n individer, kan dette gjøres på n (n 1) (n 2)... (n r + 1) forskjellige måter (i alt r faktorer). Trekkes alle de n ut, vil antall forskjellige kombinasjoner være lik n! = n (n 1) (n 2) Uordnet utvalg uten tilbakelegging I læreboken Formel (Viken, Seeberg, Karlsen) for ungdomstrinnet kan en finne følgende problemstilling: Treneren i Gjedde IL skulle velge mellom Gina, Hanne, Inger, Janne og Kjersti når han skulle ta ut et lag på tre til stafett. Hvor mange forskjellige lag kunne han ta ut? Denne trekningssituasjonen er annerledes enn de vi har behandlet tidligere. At denne problemstillingen er et uordnet utvalg, kommer fram av at en ikke spør om i hvilken av de tre trekningene en løper blir tatt ut, men bare om en løper blir tatt ut eller ikke. Enten blir en med blant de tre uttrukne (i vilkårlig rekkefølge) eller så blir en det ikke. At disse trekningene skjer uten tilbakelegging, innebærer at ingen kan bli trukket ut mer enn en gang. Dette er rimelig og i tråd med situasjonen i avsnitt Når vi nå skal prøve å løse dette problemet, kan vi først tenke oss at trekningene skjer ordnet, men uten tilbakelegging som i forrige avsnitt. Siden vi i alt har 5 jenter å velge disse 3 jentene fra, vet vi fra avsnitt at dette kan gjøres på = 60 måter. Altså, tenker vi oss at rekkefølgen spiller en rolle, vil antall mulige lag treneren kan ta ut være 60. Siden en i oppgaven tenker et uordnet utvalg, skjønner vi at antall forskjellige lag vil være færre enn 60. Dette ser vi av det følgende: La oss si at G(ina), H(anne) og I(nger) er de tre jentene som er trukket ut. Tenker en et ordnet KAPITTEL

5 utvalg, kan disse trekkes ut på disse 6 mulige måtene: GHI, GIH, HIG, HGI, IGH, IHG. Dette viser at for hvert uordnet utvalg på tre jenter, får vi 6 ordnede utvalg. Antall uordnede utvalg er ukjent og skal finnes. La oss kalle dette antallet for X. Vi har altså funnet at X 6 = 60. Dette gir X = 10. Svaret på oppgaven er altså at treneren kan få 10 forskjellige lag (prøv å komme fram til disse ved å skrive opp de mulige kombinasjonene). La oss betrakte denne utregningen noe nærmere. Vi får altså at 60 5 X = = 4 3. Telleren står for antall ordnede utvalg på 3 når vi har 5 å trekke fra, mens nevneren angir antall måter å ordne de 3 utvalgte. Denne situasjonen kan vi utvide til å gjelde 4 trekninger. Hvor mange forskjellige lag kan treneren velge ut dersom det trengs 4 av 5 disponible løpere? Løsningsmåten vi har skissert her, er at en først finner antall ordnede utvalg på 4, og så deler dette antallet på antall måter å ordne de 4 utvalgte på. Dette gir følgende antall: = 5. I matematikk skriver en dette antallet som et eget symbol, nemlig. Denne leses 5 over 4 og en slik oppstilling 4 kalles en binomialkoeffisient. Vi ser at 5-tallet er antallet vi har å velge blant, mens 4-tallet representerer antallet vi skal trekke ut. I det opprinnelige problemet i dette avsnittet, hvor mange forskjellige lag på 3 løpere en kunne få når en har 5 løpere å velge blant, er oppsettet for antallet følgelig 5 3. Vi har sett at = = Legg merke til at vi får like mange faktorer i telleren som i nevneren. Antall faktorer er like stort som antall individer vi trekker ut. På kalkulatorer kan en finne antall utvalg ved hjelp av funksjonen ncr, der n er antall elementer (elever) totalt og r er antallet vi trekker ut. 5 På kalkulatorer vil en også finne at 1 0 =. Den praktiske situasjonen er her noe vanskelig å se, men matematisk er dette en rimelig definisjon. Eksempel 10.7 I oppgave 75 ble tallspillet Lotto lagt til grunn. Vi skal nå benytte binomialkoeffisienten til å finne sannsynligheten for 7 rette i Lotto, eller nærmere bestemt antall ulike rekker en må levere inn for å være sikret 7 rette. Det er i alt 7 tall som trekkes tilfeldig fra samlingen av 34 tall. Ved overføring av Lotto-trekningen på fjernsyn blir vi klar over at rekkefølgen trekningen skjer er likegyldig («kulene» blir ordnet etter trekning) og ingen kule som blir trukket ut, blir lagt 132 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

6 tilbake igjen. Det er altså et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall ulike rekker som finnes er da = = Leverer du inn én rekke, er sannsynligheten for å få 7 rette lik = = Generelt Vi skal trekke ut r individer fra en samling på n individer uten tilbakelegging. Antall måter dette kan gjøres på er ( ) ( ) ( + ) ( ) n n n n n r r = r r Oppgaver Oppgave 80 Finn 6 2 7, 3 7, 4 6, 4 8 og 6. Oppgave 81 En elev kan fargelegge en blomst bestående av korg og korgdekkblad. Korga kan farges gul, rød eller blå. Korgdekkbladene kan farges hvite eller grønne. Hvor mange forskjellige blomster kan du farge? av Kjøsnes, Kvammen, Tvete). Oppgave 82 Knut og Ellen er på sykkeltur i Danmark. Fra Snildby til Godby kan de velge mellom tre veier. Fra Godby til Storby har de to veivalg, og fra Storby til Strandby går det fire veier. Hvor mange forskjellige sykkelturer kan de ta fra Snildby til Strandby, når de skal innom Godby og Storby? Tegn problemet! KAPITTEL

7 Oppgave 83 Klasse 8C har 15 gutter og 12 jenter. De skal velge en gutt og en jente til elevrådet. Hvor mange måter kan det gjøres på? Tegn en skisse av løsningen. Oppgave 84 Hvor mange forskjellige «ord» (eller tegn) på fire bokstaver kan lages ved å bruke bokstavene A, B, C og D? («ordet» kan bruke samme bokstav flere ganger.) Oppgave 85 Hvor mange «ord» på fire bokstaver kan lages av A, B, C og D når hvert «ord»skal ha forskjellige bokstaver? Oppgave 86 I hvor mange ulike rekkefølger kan sju personer stille seg i kø? Oppgave 87 På Maries koffert er det et kodelås med 5 siffer. Alle 5 sifrene kan innstilles på tallene 0, 1, 2,..., 9. Låsen går opp på bare en kode. Hvor mange kombinasjoner må Marie i verste fall utføre dersom hun har glemt koden? Oppgave 88 a) I kortspillet poker får hver deltaker utdelt 5 kort. Hvor mange ulike korthender finnes det i poker? b) Hva er sannsynligheten for å få inngitt «flush» (5 kort av samme sort)? Oppgave 89 a) En lærer trenger hjelp av tre elever. Hvor mange forskjellige utvalg på tre elever kan han få dersom det er 25 elever i klassen? b) Det er 12 jenter i klassen. Hvor mange forskjellige utvalg består av bare jenter? c) Hva er sannsynligheten for at læreren får et utvalg bestående av bare jenter? d) Forklar hvilke forutsetninger du gjør når du utførte oppgave c). 134 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

8 Oppgave 90 En skoleklasse blir satt sammen av 23 elever. Finn sannsynligheten for at minst to av elevene har fødselsdag på samme dag (Hint: Finn først sannsynligheten for at ingen har fødselsdag på samme dag). Oppgave 91 En bokstav i blindeskrift består av et lite seksdelt felt. Noen av disse seks kan være opphøyde punkter på papiret. En som har lært systemet, kan da kjenne med fingertuppene hvilken bokstav det er. Det blir 63 mulige kombinasjoner eller grupper av de seks punktene. Hver kombinasjon står da for en bokstav, et tall eller et annet skrifteller regnetegn. a) Kontroller at det blir i alt 63 tegn. b) Dersom du skal opphøye to av de seks punktene, er det mulig å gjøre dette på 15 måter. Kontroller dette ved å skrive ned systematisk alle mulighetene. c) Hvor mange muligheter har vi om vi skal opphøye fire av de seks punktene? d) Hvor mange bokstaver eller tegn i blindeskriften kan lages ved å opphøye hhv. ett punkt, fem punkter og tre punkter? (fra Matematikk (Breiteig, Pedersen, Skoogh) for 9. klassetrinn). Oppgave 92 I Lotto må en levere inn minst to rekker for å kunne delta i spillet. Anta at du leverer inn to ulike rekker. Hva er sannsynligheten for å få 7 rette? Hvilke forutsetninger gjør du? Oppgave 93 a) Eivind leverer inn en Lotto-kupong med 10 ulike rekker. Hva er sannsynligheten for at Eivind får 7 rette? b) Hva er sannsynligheten for at Eivind ikke får 7 rette? c) Eivind levererer inn de samme 10 rekkene i fire omganger. Finn sannsynligheten for at Eivind får 7 rette minst en av de fire omgangene. d) Eivind levererer inn de samme 10 rekkene i 52 omganger. Finn sannsynligheten for at Eivind får 7 rette minst en av de 52 omgangene. KAPITTEL

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

Permutasjoner og utvalg

Permutasjoner og utvalg Permutasjoner og utvalg En permutasjon av en samling objekter er en eller annen rekkefølge objektene i samlingen kan settes opp i. Eksempel 1 Gitt bokstavene a, b, c og d. Da er følgende oppstillingen

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

Matematikk 2, 4MX25-10

Matematikk 2, 4MX25-10 Skriftlig eksamen i Matematikk 2, 4MX25-10 30 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 31. mai 2013. Sensur faller innen tirsdag 25. juni 2013. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Eksamen i matematikk 102 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT102 Ordinær prøve Tid: 5 timer Dato: 2.6.2015 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal, tegne- og skrivesaker Studiested: Nett, Notodden Antall sider:

Detaljer

Moro med matematikk 5. - 7. trinn 90 minutter

Moro med matematikk 5. - 7. trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Moro med matematikk 5. - 7. trinn 90 minutter Moro med matematikk er et skoleprogram i matematikk hvor elevene får jobbe variert med problemløsingsoppgaver, spill

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Kapittel 1. Tallregning

Kapittel 1. Tallregning Kapittel 1. Tallregning Regning med tall er grunnlaget for mer avansert matematikk. I dette kapitlet repeteres følgende fra grunnskolen: Brøkregning Desimaltall Regning med positive og negative tall Potenser

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs

Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Generelt om Microsoft Mathematics... 2 Nedlasting... 2 Innholdsoversikt... 2 Fremgangsmåte... 3 Tall og algebra... 4 Omgjøring mellom enheter... 4 Likninger...

Detaljer

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 1 HG Februar 2013 Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 Oppgave 3.17 Definer to begivenheter Oppgitt A = løgntesten sier at Per lyver B = Per lyver faktisk PAB ( ) = 0.85 PA ( B) = 0.70 PB ( ) =

Detaljer

KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 4 MER ØVING

KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 4 MER ØVING Oppgave 1 En dag lurer du på hva du skal ha på deg. Du ser i skapet og ser at det ligger 3 bukser, en lys og en mørk olabukse og en grå bukse. Du leter etter en genser og finner fire forskjellige gensere.

Detaljer

Multiplikasjon 1. Introduksjonsoppgave:

Multiplikasjon 1. Introduksjonsoppgave: Multiplikasjon 1 Multiplikasjon er en av de fire regneartene som i mange tilfeller er en effektiv måte å skrive og regne ut gjentatt addisjon på. Svaret i et multiplikasjonsstykke kalles produkt, og tallene

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator... 1 Enkel kalkulator... 2 Regneuttrykk uten parenteser... 2 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 2 Negative tall... 3 Regneuttrykk

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

ELEVAKTIVE METODER: Snakke matte, samarbeidslæring og problemløsing. PÅBYGG TIL GENERELL STUDIEKOMPETANSE Skolering av lærere

ELEVAKTIVE METODER: Snakke matte, samarbeidslæring og problemløsing. PÅBYGG TIL GENERELL STUDIEKOMPETANSE Skolering av lærere ELEVAKTIVE METODER: Snakke matte, samarbeidslæring og problemløsing PÅBYGG TIL GENERELL STUDIEKOMPETANSE Skolering av lærere MATEMATIKK 2P-Y 15.januar 2013 Tone Elisabeth Bakken tone.bakken@ohg.vgs.no

Detaljer

Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling.

Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling. 1 ECON 2130 HG mars 2015 Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling. Grunnen til dette supplementet er dels at forholdet mellom hypergeometrisk og binomisk fordeling

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

Løsningsforslag til tidligere mappeoppgaver

Løsningsforslag til tidligere mappeoppgaver til tidligere mappeoppgaver Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 007 9. november 007 Her legger vi ut løsningsforslag til noen oppgaver fra tidligere i år. Se på http://www-lu.hive.no/team/t06ab/todelt-logg.htm

Detaljer

Læringsmiljø Hadeland. Felles skoleutviklingsprosjekt for Gran, Lunner og Jevnaker. Vurderingsbidrag

Læringsmiljø Hadeland. Felles skoleutviklingsprosjekt for Gran, Lunner og Jevnaker. Vurderingsbidrag Vurderingsbidrag Fag: Matematikk Tema: Sannsynlighet Trinn: 10 Tidsramme: 10 12 timer ----------------------------------------------------------------------------- Undervisningsplanlegging Konkretisering

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk? 1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe

Detaljer

Kengurukonkurransen 2017

Kengurukonkurransen 2017 2017 «Et sprang inn i matematikken» Benjamin (6. 8. trinn) Løsninger og registreringsskjema Dette heftet inneholder: Fasit og korte løsningsforslag Registreringsskjema Fasit med korte kommentarer Mange

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) =

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) = Oppgaver sannsynlighetsregning Oppgave 1. a) Hva er sannsynligheten for at et terningkast gir 3 eller 4 som resultat? Et terningkast har 6 mulige utfall. 2 av utfallene gir 3 eller 4 som resultat. Det

Detaljer

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK For elever fra 1. 5. trinn Del C: Notatark til kartleggingsleder Elev: Født: Skole: Klassetrinn: Kartleggingsleder: Andre til stede: Sted og dato for kartlegging:

Detaljer

1.2 Posisjonssystemer

1.2 Posisjonssystemer MMCDXCIII. c) Skriv som romertall: 1) Ditt fødselsår 2) 1993 3) År 2000. 1.2 Posisjonssystemer Vi ser her nærmere på begrepet plassverdi og ulike posisjonssystemer. Utgangspunktet er at en vil beskrive

Detaljer

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 SETT 25 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Et fotballag spilte 26 kamper i en serie, og fikk til sammen 43 poeng. Det ble gitt tre poeng for seier, ett for uavgjort og null for tap. Laget tapte

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 37 dag 1 1. Dersom vi dobler et bestemt tall, og så trekker fra tre, får vi tre mer enn halvparten av det tallet vi begynte med. Hvilket tall begynte vi med?

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 101 Innføring i statistikk og sannsynlighetsregning. Eksamensdag: Mandag 30. november 1992. Tid for eksamen: 09.00 15.00.

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK For elever fra 1. 5. trinn Del D: Dynamisk kartlegging, elevark Mange av oppgavene er muntlige eller praktiske og har derfor ikke oppgaveark til eleven. Til noen

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus. Hefte med praktiske eksempler

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus. Hefte med praktiske eksempler Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Akershus Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Sandvika, 12.september 2011 På denne og neste tre sider er det kopier fra Tangentens oppgavehefte:

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Eksamen i matematikk 102 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT102 Ordinær prøve Tid: 5 timer Dato: 1.6.2015 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal,

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå matematikk.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Backtracking som løsningsmetode

Backtracking som løsningsmetode Backtracking Backtracking som løsningsmetode Backtracking brukes til å løse problemer der løsningene kan beskrives som en sekvens med steg eller valg Kan enten finne én løsning eller alle løsninger Bygger

Detaljer

Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner

Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner side 1 Detaljert eksempel om Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner Dette er et forslag til undervisningsopplegg der elevene skal finne fellesnevner ved hjelp av addisjon og subtraksjon av

Detaljer

Matematisk førstehjelp

Matematisk førstehjelp Matematisk førstehjelp Brøk prosent desimaltall Brynhild Farbrot Foosnæs Matematisk kompetanse Kunnskapsløftet Kompetansemål Ferdigheter Forståelse Anvendelse Kunnskapsløftet Kompetansemål Ferdigheter:

Detaljer

Divisjon med desimaltall

Divisjon med desimaltall Divisjon med desimaltall Mål Generelt: Divisjon med desimaltall. Mønster og sammenhenger i divisjon. Spesielt: Bruke overslag til å vurdere plassering av desimalkomma. Se hva som skjer med kvotienten når

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 15

Løsningskisse seminaroppgaver uke 15 HG April 0 Løsningskisse seminaroppgaver uke 5 Oppg. 5.6 La X = antall barn i utvalget som har lærevansker. Andel barn med lærevansker i populasjonen av barn antas å være p = 0,5. Utvalgsstørrelsen er

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

3.1 Betinget sannsynlighet

3.1 Betinget sannsynlighet 3. Betinget sannsynlighet Oppgave 3.0 På en skole er det 20 elever på vg2. 72 elever har valgt matematikkfaget R og 34 elever har valgt kjemi Blant de 72 som har valgt R, er det 28 som har valgt kjemi

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 6 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 6 6 6 1 P(sum antall øyne lir høyst 4) = = 6 6 11 P(minst

Detaljer

FAKTORISERING FRA A TIL Å

FAKTORISERING FRA A TIL Å FAKTORISERING FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til faktorisering F - 2 2 Grunnleggende om faktorisering F - 2 3 Fremgangsmåter F - 3 3.1 Den grunnleggende

Detaljer

KARTLEGGING AV MATEMATIKKFERDIGHETER

KARTLEGGING AV MATEMATIKKFERDIGHETER KARTLEGGING AV MATEMATIKKFERDIGHETER Denne kartleggingen skal kun brukes på elever dere vurderer å henvise til PPT pga vansker i matematikk. Resultatet drøftes i førhenvisningssamtalen som grunnlag for

Detaljer

Kapittel 3: Kombinatorikk

Kapittel 3: Kombinatorikk Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger).

Detaljer