10.5 Mer kombinatorikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "10.5 Mer kombinatorikk"

Transkript

1 bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske problemer som er utført i avsnitt 10.4, ligger tett opp til måten å arbeide med slike problemstillinger i grunnskolen. Vi skal legge merke til at vi i avsnitt 10.4 behandlet problemer som gikk over to trinn. Så lenge vi begrenser oss til to-tre trinn er trediagrammet en oversiktlig måte å arbeide på. I en vanlig LOTTO-trekning er det f.eks.7 trinn (trekninger) som avgjør førstepremie-rekken (jfr. oppg. 75). Vi skal i dette avsnittet se nærmere på alternative måter å finne antall kombinasjoner på Enkle sammensettinger I læreboken Matematikk (Breiteig, Pedersen, Skoogh) for KAPITTEL 9. klassetrinn, finner vi følgende problem: Når Tom skal trene, kan han velge mellom tre ulike trøyer og to forskjellige shortser. På hvor mange ulike måter kan han kombinere treningstøyet sitt? I læreboken gis det ingen algoritme for løsningen av dette problemet og lignende problemer. Oppgaven er med andre ord en problemløsningsoppgave hvor vi som lærere må være åpne for ulike løsningsforslag og strategier fra elevenes side. I dette heftet skal vi derimot jobbe oss fram til en generell skrivemåte (formel). Oppgaven gir inntrykk av at det er slik at hver trøye passer til hver av shortsene. Da kan Tom velge blant 3 trøyer. For hver trøye kan han velge 2 shortser. Dette gir i alt 3 2 = 6 ulike kombinasjoner. Denne situasjonen kan utvides til å gjelde valg av sokker. Har Tom i tillegg 4 par treningssokker å velge blant, vil antall mulige kombinasjoner av treningstøy være = 24 (forviss deg om at dette er riktig ved å tegne en skisse). Generelt Et forsøk kan inndeles i r trinn. I første trinn er det n 1 mulige valg, i andre trinn har vi n 2 mulige valg osv. Da er det totale antall kombinasjoner forsøket kan utføres på lik n 1 n 2... n r siden vi har r trinn Ordnet utvalg med tilbakelegging I avsnitt 10.4 behandlet vi fødselsrekkefølgen i en tobarnsfamilie. Her sa vi at GJ betyr at det først ble født en gutt, så en jente. Den motsatte rekkefølgen betegnes JG. Det at vi betrakter rekkefølgen barna blir født, innebærer en ordning. F.eks. vil JG innebære at jenta er eldst og gutten er yngst, noe som altså vil være motsatt for rekkefølgen GJ. Dersom alder (dvs. rekkefølge ved fødsler) har betydning, har en altså et eksempel på det som går under betegnelsen ordnet utvalg. Vi skal merke oss at dersom det er født en jente i første fødsel, er det klart at det er mulig med jente også i andre fødsel. Altså at forekomsten av et bestemt utfall i første trinn ikke utelukker samme utfall i neste trinn. Det er dette som ligger i 128 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

2 formuleringen med tilbakelegging. Vi har i avsnitt 10.4 sett at det er 4 mulige fødselsrekkefølger: GG, GJ, JG og JJ. Dette antallet kan vi finne ved å se på antall mulige utfall ved hver fødsel. Det er 2 muligheter ved første fødsel (J eller G). For hver av disse mulighetene er det også 2 muligheter i andre fødsel. I alt blir det 2 2 = 4 muligheter, som vist i avsnitt Dette resonnementet kan vi føre videre. Tenker vi oss en firebarnsfamilie (ingen eneggede tvillinger), vil antall rekkefølger av fire barn med hensyn til kjønn være = 2 4 = 16 (bruk f.eks. et trediagram til å forvisse deg om dette). Ved å betrakte potensen 2 4, ser vi at 2-tallet stammer fra antall mulige utfall i hvert trinn (G eller J) og 4-tallet angir antall fødsler (trinn) vi betrakter. Eksempel 10.4 En tippekupong består av 12 kamper. Hver kamp kan enten ende med H (hjemmeseier), U (uavgjort) eller B (borteseier). Hvor mange ulike tipperekker finnes det? Siden det i hver kamp (trinn) kan være 3 ulike utfall, og vi i alt har 12 kamper (trinn), vil antall mulige rekker være 3 12 = (forviss deg med f.eks. trediagram at dette er riktig). Skal vi være garantert 12 rette, må vi altså levere inn rekker. Eksempel 10.5 I en normert prøve i matematikk i grunnskolen gitt i 1992 lød en oppgave slik: En familie planlegger å få to barn. Vi regner med at det er like stor sannsynlighet for å få en gutt som for å få en jente. Hvor stor er sannsynligheten for at familien får to jenter? Problemet med tobarns-fødsler ble analysert også i avsnitt 10.4 ved hjelp av trediagram. En annen måte å gjøre det på er å benytte loven om antall gunstige delt på antall mulige. Antall mulige vil da være antall kombinasjoner i løpet av 2 fødsler, nemlig 2 2, mens antall gunstige vil være hvor mange måter av de mulige en kan få to jenter på, nemlig 1. Dette gir at P 2 jenter antall gunstige antall mulige ( ) = = = = Generelt Vi har r trinn hvor antall utfall i hvert trinn er n. Det totale antall ordnede kombinasjoner er da lik n n... n = n r. KAPITTEL

3 Ordnet utvalg uten tilbakelegging I læreboken Formel (Viken, Seeberg, Karlsen) for ungdomstrinnet kan en finne følgende problemstilling: Are, Bjørn, Knut og Dan løper 60 m. Dersom ingen kommer samtidig i mål, hvor mange forskjellige rekkefølger kan vi få? At dette er et ordnet utvalg, betyr at rekkefølgen disse fire kommer i mål på har betydning. Formuleringen uten tilbakelegging er dekkende i denne situasjonen fordi hver enkelt elev kan passere mål bare en gang. Sagt på en annen måte: Dersom Are er først i mål (trinn 1), kan ikke Are bli nummer to i mål. Are vil ikke komme i betraktning ved andre trinn, bare de tre gjenværende elevene. For å finne svaret på spørsmålet i oppgaven, kan vi ta utgangspunkt i at alle 4 kan komme først i mål. Dersom Are er først i mål, ser vi at det er 3 muligheter for andremann i det både Bjørn, Knut og Dan kan bli nummer 2. For de 2 første plassene er det altså 4 3 = 12 forskjellige muligheter. For hver av disse 12 mulighetene kan vi ha 2 elever på tredje plass. Den siste plassen kan da bare besettes av den siste eleven, og det kan gjøres på bare en måte. I alt blir det altså = 24 måter. Denne situasjonen kan lett utvides til flere trinn. Er det 9 elever som stiller til start, vil antall forskjellige rekkefølger i mål være = I matematikken skriver en dette antallet på en enklere form, nemlig 9! som uttales ni fakultet, hvor vi altså har at 9! = Dette utropstegnet benyttes altså som symbol på en gjentatt multiplikasjon fra tallet foran utropstegnet ned til 1. Legg ellers merke til at dette symbolet finnes på de fleste kalkulatorer. Eksempel 10.6 I en skoleklasse på 25 elever skulle de velge tillitsvalgt, vara og sekretær. Dersom alle kan velges fritt slik at den som får flest stemmer blir klassens tillitsvalgt, nest flest stemmer vara osv., hvor mange forskjellige utvalg på tre elever kan en få i disse vervene? Når alle elever stiller likt og er på valg, er det 25 elever som kan bli tillitsvalgt. Denne eleven kan ikke bli valgt til noen andre verv slik at det etter at tillitsvalgt er valgt, er det 24 elever igjen. For hver av de 25 som kan bli valgt på første trinn, er det 24 muligheter på andre trinn. I alt vil det da være forskjellige kombinasjoner på tillitsvalgt og vara. For hver av disse kombinasjonene er det igjen 23 elever som kan bli sekretær. I alt vil dette gi = forskjellige kombinasjoner eller utvalg på tre elever (sjekk dette ved hjelp av f.eks. trediagram). oooooo 130 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

4 Også denne situasjonen kan vi utvide til å gjelde flere trinn. Tenker vi oss at det skal velges et styre på 5 deltakere i denne klassen, hvor rekkefølgen har betydning for hvilke verv en får, vil antall forskjellige utvalg være lik = På kalkulatorer kan en finne dette antallet ved hjelp av funksjonen npr, der n er antall elementer (elever) totalt og r er antallet vi trekker ut. P en står for permutasjon, som betyr ombytting, måter å bytte om rekkefølgen på. Legg merke til som en huskeregel at vi i den siste utregningen får 5 faktorer, like mange som elever vi trekker ut. Generelt Når vi skal trekke ut r individer fra en samling på n individer, kan dette gjøres på n (n 1) (n 2)... (n r + 1) forskjellige måter (i alt r faktorer). Trekkes alle de n ut, vil antall forskjellige kombinasjoner være lik n! = n (n 1) (n 2) Uordnet utvalg uten tilbakelegging I læreboken Formel (Viken, Seeberg, Karlsen) for ungdomstrinnet kan en finne følgende problemstilling: Treneren i Gjedde IL skulle velge mellom Gina, Hanne, Inger, Janne og Kjersti når han skulle ta ut et lag på tre til stafett. Hvor mange forskjellige lag kunne han ta ut? Denne trekningssituasjonen er annerledes enn de vi har behandlet tidligere. At denne problemstillingen er et uordnet utvalg, kommer fram av at en ikke spør om i hvilken av de tre trekningene en løper blir tatt ut, men bare om en løper blir tatt ut eller ikke. Enten blir en med blant de tre uttrukne (i vilkårlig rekkefølge) eller så blir en det ikke. At disse trekningene skjer uten tilbakelegging, innebærer at ingen kan bli trukket ut mer enn en gang. Dette er rimelig og i tråd med situasjonen i avsnitt Når vi nå skal prøve å løse dette problemet, kan vi først tenke oss at trekningene skjer ordnet, men uten tilbakelegging som i forrige avsnitt. Siden vi i alt har 5 jenter å velge disse 3 jentene fra, vet vi fra avsnitt at dette kan gjøres på = 60 måter. Altså, tenker vi oss at rekkefølgen spiller en rolle, vil antall mulige lag treneren kan ta ut være 60. Siden en i oppgaven tenker et uordnet utvalg, skjønner vi at antall forskjellige lag vil være færre enn 60. Dette ser vi av det følgende: La oss si at G(ina), H(anne) og I(nger) er de tre jentene som er trukket ut. Tenker en et ordnet KAPITTEL

5 utvalg, kan disse trekkes ut på disse 6 mulige måtene: GHI, GIH, HIG, HGI, IGH, IHG. Dette viser at for hvert uordnet utvalg på tre jenter, får vi 6 ordnede utvalg. Antall uordnede utvalg er ukjent og skal finnes. La oss kalle dette antallet for X. Vi har altså funnet at X 6 = 60. Dette gir X = 10. Svaret på oppgaven er altså at treneren kan få 10 forskjellige lag (prøv å komme fram til disse ved å skrive opp de mulige kombinasjonene). La oss betrakte denne utregningen noe nærmere. Vi får altså at 60 5 X = = 4 3. Telleren står for antall ordnede utvalg på 3 når vi har 5 å trekke fra, mens nevneren angir antall måter å ordne de 3 utvalgte. Denne situasjonen kan vi utvide til å gjelde 4 trekninger. Hvor mange forskjellige lag kan treneren velge ut dersom det trengs 4 av 5 disponible løpere? Løsningsmåten vi har skissert her, er at en først finner antall ordnede utvalg på 4, og så deler dette antallet på antall måter å ordne de 4 utvalgte på. Dette gir følgende antall: = 5. I matematikk skriver en dette antallet som et eget symbol, nemlig. Denne leses 5 over 4 og en slik oppstilling 4 kalles en binomialkoeffisient. Vi ser at 5-tallet er antallet vi har å velge blant, mens 4-tallet representerer antallet vi skal trekke ut. I det opprinnelige problemet i dette avsnittet, hvor mange forskjellige lag på 3 løpere en kunne få når en har 5 løpere å velge blant, er oppsettet for antallet følgelig 5 3. Vi har sett at = = Legg merke til at vi får like mange faktorer i telleren som i nevneren. Antall faktorer er like stort som antall individer vi trekker ut. På kalkulatorer kan en finne antall utvalg ved hjelp av funksjonen ncr, der n er antall elementer (elever) totalt og r er antallet vi trekker ut. 5 På kalkulatorer vil en også finne at 1 0 =. Den praktiske situasjonen er her noe vanskelig å se, men matematisk er dette en rimelig definisjon. Eksempel 10.7 I oppgave 75 ble tallspillet Lotto lagt til grunn. Vi skal nå benytte binomialkoeffisienten til å finne sannsynligheten for 7 rette i Lotto, eller nærmere bestemt antall ulike rekker en må levere inn for å være sikret 7 rette. Det er i alt 7 tall som trekkes tilfeldig fra samlingen av 34 tall. Ved overføring av Lotto-trekningen på fjernsyn blir vi klar over at rekkefølgen trekningen skjer er likegyldig («kulene» blir ordnet etter trekning) og ingen kule som blir trukket ut, blir lagt 132 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

6 tilbake igjen. Det er altså et uordnet utvalg uten tilbakelegging. Antall ulike rekker som finnes er da = = Leverer du inn én rekke, er sannsynligheten for å få 7 rette lik = = Generelt Vi skal trekke ut r individer fra en samling på n individer uten tilbakelegging. Antall måter dette kan gjøres på er ( ) ( ) ( + ) ( ) n n n n n r r = r r Oppgaver Oppgave 80 Finn 6 2 7, 3 7, 4 6, 4 8 og 6. Oppgave 81 En elev kan fargelegge en blomst bestående av korg og korgdekkblad. Korga kan farges gul, rød eller blå. Korgdekkbladene kan farges hvite eller grønne. Hvor mange forskjellige blomster kan du farge? av Kjøsnes, Kvammen, Tvete). Oppgave 82 Knut og Ellen er på sykkeltur i Danmark. Fra Snildby til Godby kan de velge mellom tre veier. Fra Godby til Storby har de to veivalg, og fra Storby til Strandby går det fire veier. Hvor mange forskjellige sykkelturer kan de ta fra Snildby til Strandby, når de skal innom Godby og Storby? Tegn problemet! KAPITTEL

7 Oppgave 83 Klasse 8C har 15 gutter og 12 jenter. De skal velge en gutt og en jente til elevrådet. Hvor mange måter kan det gjøres på? Tegn en skisse av løsningen. Oppgave 84 Hvor mange forskjellige «ord» (eller tegn) på fire bokstaver kan lages ved å bruke bokstavene A, B, C og D? («ordet» kan bruke samme bokstav flere ganger.) Oppgave 85 Hvor mange «ord» på fire bokstaver kan lages av A, B, C og D når hvert «ord»skal ha forskjellige bokstaver? Oppgave 86 I hvor mange ulike rekkefølger kan sju personer stille seg i kø? Oppgave 87 På Maries koffert er det et kodelås med 5 siffer. Alle 5 sifrene kan innstilles på tallene 0, 1, 2,..., 9. Låsen går opp på bare en kode. Hvor mange kombinasjoner må Marie i verste fall utføre dersom hun har glemt koden? Oppgave 88 a) I kortspillet poker får hver deltaker utdelt 5 kort. Hvor mange ulike korthender finnes det i poker? b) Hva er sannsynligheten for å få inngitt «flush» (5 kort av samme sort)? Oppgave 89 a) En lærer trenger hjelp av tre elever. Hvor mange forskjellige utvalg på tre elever kan han få dersom det er 25 elever i klassen? b) Det er 12 jenter i klassen. Hvor mange forskjellige utvalg består av bare jenter? c) Hva er sannsynligheten for at læreren får et utvalg bestående av bare jenter? d) Forklar hvilke forutsetninger du gjør når du utførte oppgave c). 134 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

8 Oppgave 90 En skoleklasse blir satt sammen av 23 elever. Finn sannsynligheten for at minst to av elevene har fødselsdag på samme dag (Hint: Finn først sannsynligheten for at ingen har fødselsdag på samme dag). Oppgave 91 En bokstav i blindeskrift består av et lite seksdelt felt. Noen av disse seks kan være opphøyde punkter på papiret. En som har lært systemet, kan da kjenne med fingertuppene hvilken bokstav det er. Det blir 63 mulige kombinasjoner eller grupper av de seks punktene. Hver kombinasjon står da for en bokstav, et tall eller et annet skrifteller regnetegn. a) Kontroller at det blir i alt 63 tegn. b) Dersom du skal opphøye to av de seks punktene, er det mulig å gjøre dette på 15 måter. Kontroller dette ved å skrive ned systematisk alle mulighetene. c) Hvor mange muligheter har vi om vi skal opphøye fire av de seks punktene? d) Hvor mange bokstaver eller tegn i blindeskriften kan lages ved å opphøye hhv. ett punkt, fem punkter og tre punkter? (fra Matematikk (Breiteig, Pedersen, Skoogh) for 9. klassetrinn). Oppgave 92 I Lotto må en levere inn minst to rekker for å kunne delta i spillet. Anta at du leverer inn to ulike rekker. Hva er sannsynligheten for å få 7 rette? Hvilke forutsetninger gjør du? Oppgave 93 a) Eivind leverer inn en Lotto-kupong med 10 ulike rekker. Hva er sannsynligheten for at Eivind får 7 rette? b) Hva er sannsynligheten for at Eivind ikke får 7 rette? c) Eivind levererer inn de samme 10 rekkene i fire omganger. Finn sannsynligheten for at Eivind får 7 rette minst en av de fire omgangene. d) Eivind levererer inn de samme 10 rekkene i 52 omganger. Finn sannsynligheten for at Eivind får 7 rette minst en av de 52 omgangene. KAPITTEL

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk? 1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe

Detaljer

Moro med matematikk 5. - 7. trinn 90 minutter

Moro med matematikk 5. - 7. trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Moro med matematikk 5. - 7. trinn 90 minutter Moro med matematikk er et skoleprogram i matematikk hvor elevene får jobbe variert med problemløsingsoppgaver, spill

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs

Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Generelt om Microsoft Mathematics... 2 Nedlasting... 2 Innholdsoversikt... 2 Fremgangsmåte... 3 Tall og algebra... 4 Omgjøring mellom enheter... 4 Likninger...

Detaljer

1.2 Posisjonssystemer

1.2 Posisjonssystemer MMCDXCIII. c) Skriv som romertall: 1) Ditt fødselsår 2) 1993 3) År 2000. 1.2 Posisjonssystemer Vi ser her nærmere på begrepet plassverdi og ulike posisjonssystemer. Utgangspunktet er at en vil beskrive

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK For elever fra 1. 5. trinn Del D: Dynamisk kartlegging, elevark Mange av oppgavene er muntlige eller praktiske og har derfor ikke oppgaveark til eleven. Til noen

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Bokmål. Eksamensinformasjon

Bokmål. Eksamensinformasjon Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del

Detaljer

Oversikt over kryptografi

Oversikt over kryptografi Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen

Detaljer

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK

DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK DYNAMISK KARTLEGGINGSPRØVE I MATEMATIKK For elever fra 1. 5. trinn Del C: Notatark til kartleggingsleder Elev: Født: Skole: Klassetrinn: Kartleggingsleder: Andre til stede: Sted og dato for kartlegging:

Detaljer

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 51014 Emnenavn: Matematikk 1 (5 10), emne 1 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Figuren viser hvordan en nettside forklarer en metode for addisjon og

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2012 Eksamen REA306 S1, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) 8 8 0 1 1 4 1 8 4 3 6

Detaljer

Backtracking som løsningsmetode

Backtracking som løsningsmetode Backtracking Backtracking som løsningsmetode Backtracking brukes til å løse problemer der løsningene kan beskrives som en sekvens med steg eller valg Kan enten finne én løsning eller alle løsninger Bygger

Detaljer

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) =

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) = Oppgaver sannsynlighetsregning Oppgave 1. a) Hva er sannsynligheten for at et terningkast gir 3 eller 4 som resultat? Et terningkast har 6 mulige utfall. 2 av utfallene gir 3 eller 4 som resultat. Det

Detaljer

Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner

Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner side 1 Detaljert eksempel om Addisjon og subtraksjon av brøker finne fellesnevner Dette er et forslag til undervisningsopplegg der elevene skal finne fellesnevner ved hjelp av addisjon og subtraksjon av

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 37 dag 1 1. Dersom vi dobler et bestemt tall, og så trekker fra tre, får vi tre mer enn halvparten av det tallet vi begynte med. Hvilket tall begynte vi med?

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå matematikk.

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde

Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Norsk informatikkolympiade 2012 2013 1. runde Uke 45, 2012 Tid: 90 minutter Tillatte hjelpemidler: Kun skrivesaker. Det er ikke tillatt med kalkulator eller trykte eller håndskrevne hjelpemidler. Instruksjoner:

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

STK1100: Kombinatorikk

STK1100: Kombinatorikk 1100: ombiatorikk auar 2009 Ørulf orga Matematisk istitutt Uiversitetet i Oslo 1 Uiform sasylighetsmodell: t stokastisk forsøk har N utfall Det er de mulige utfallee for forsøket i atar at de N utfallee

Detaljer

Oppgaver til julekalenderen 2005 for ungdomstrinnet; 8. - 10.trinn

Oppgaver til julekalenderen 2005 for ungdomstrinnet; 8. - 10.trinn Oppgaver til julekalenderen 2005 for ungdomstrinnet; 8. - 10.trinn Løsningsord for kalenderen er RAKETTBASE PRESIS KLOKKA TO A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

Kengurukonkurransen 2008 > Et sprang inn i matematikken <

Kengurukonkurransen 2008 > Et sprang inn i matematikken < Kengurukonkurransen 2008 > Et sprang inn i matematikken < Benjamin (6. 8. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2008 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for fjerde gang i Norge.

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL Uten hjelpemidler Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) 7 + + = 6 3 6 ) = 0 b) Løs likningssystemet y= y+ = 3 c) ) Løs likningen 3 = 4 ) Finn en formel for når y = a b d) Vi har gitt funksjonen: (

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Utvalg med tilbakelegging

Utvalg med tilbakelegging Utvalg med tilbakelegging Gitt n forskjellige objekter. Vi skal velge r objekter på en slik måte at for hvert objekt vi velger, noterer vi hvilket det er og legger det tilbake. Det betyr at vi kan velge

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av

Mattemoro! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den. Oversikt. Spill til hjelp i automatiseringen av Mattemoro! Mona Røsseland, R som har tenkt å gjøre et forsøk! Går r det virkelig an å leke seg til ferdigheter i matematikk? Hva kjennertegner den gode lærer? l Entusiasme og engasjement. Kjennskap til

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Regler for: getsmart Grønn. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Grønn. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! -6 Regler for: getsmart Grønn Hele tall 3 4 Hele tall 8-6 -6 3-6 3 8 Hele tall Hele tall 3 4 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2013

Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2013 Matematisk julekalender for 8.-10. trinn, 2013 Årets julekalender for 8.-10. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver som kan løses uavhengig av hverandre. Alle oppgavene har flere svaralternativer, hvorav

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Forskningsrapport. Hvordan er karakterene og miljøet på en aldersblandet ungdomsskole i forhold til en aldersdelt ungdomsskole?

Forskningsrapport. Hvordan er karakterene og miljøet på en aldersblandet ungdomsskole i forhold til en aldersdelt ungdomsskole? Forskningsrapport Hvordan er karakterene og miljøet på en aldersblandet ungdomsskole i forhold til en aldersdelt ungdomsskole? Navn og fødselsdato: Ida Bosch 30.04.94 Hanne Mathisen 23.12.94 Problemstilling:

Detaljer

ADDISJON FRA A TIL Å

ADDISJON FRA A TIL Å ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger

Detaljer

Kengurukonkurransen 2015

Kengurukonkurransen 2015 Kengurukonkurransen 2015 «Et sprang inn i matematikken» BENJAMIN (6. 8. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for 11. gang i Norge. Dette heftet inneholder: Informasjon til

Detaljer

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken 16.januar 014 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt! tone.bakken@ohg.vg.no

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

ESERO AKTIVITET UNIVERSETS HISTORIE. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8

ESERO AKTIVITET UNIVERSETS HISTORIE. Lærerveiledning og elevaktivitet. Klassetrinn 7-8 ESERO AKTIVITET Klassetrinn 7-8 Lærerveiledning og elevaktivitet Oversikt Tid Læremål Nødvendige materialer 60 min Å: lære at universet er veldig kaldt oppdage at Jorden ble dannet relativt nylig lære

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

arbeide med konkreter praktisk arbeid stasjoner uteskole pc samtale samarbeid gruppearbeid arbeide i læreverket andre skriftlige oppgaver

arbeide med konkreter praktisk arbeid stasjoner uteskole pc samtale samarbeid gruppearbeid arbeide i læreverket andre skriftlige oppgaver Årsplan i matematikk for 3. trinn 2015/2016 Lærerverk og bøker: Tusen millioner, oppgavebok og tallbok Uke Mål: eleven skal kunne Tema Arbeidsform Vurdering 34,35,36 T.M s. 4-21 tallene, bruke positive

Detaljer

Matematikk 2, 4MX25-10

Matematikk 2, 4MX25-10 Skriftlig eksamen i Matematikk 2, 4MX25-10 30 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 5. mai 2014. Sensurfrist: 26. mai 2014. BOKMÅL Resultatet blir gjort tilgjengelig fortløpende på studentweb., senest første virkedag

Detaljer

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum og Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking og aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå

Detaljer

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at

1 C z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Kengurukonkurransen 2011

Kengurukonkurransen 2011 Kengurukonkurransen 2011 «Et sprang inn i matematikken» ECOLIER (4. 5. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2011 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for sjuende gang i Norge.

Detaljer

Terminprøve vår matematikk

Terminprøve vår matematikk Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen nye MEGA 8 Terminprøve vår matematikk 2013 Bokmål CAPPELEN DAMM AS Terminprøver vår for 8. trinn 2013 nye MEGA 1 Terminprøver vår 2013 nye MEGA 8 Vårens terminprøve er

Detaljer

FRI KOPIERING "MATTE-PRØVA" Kartlegging av kunnskap og innsikt i matematikk. Oppgaver til bruk ved direkte observasjon

FRI KOPIERING MATTE-PRØVA Kartlegging av kunnskap og innsikt i matematikk. Oppgaver til bruk ved direkte observasjon FRI KOPIERING "MATTE-PRØVA" Kartlegging av kunnskap og innsikt i matematikk Oppgaver til bruk ved direkte observasjon Elev: Prøvd dato: Reidunn Ødegaard & Ragnhild Skaar. - 4. rev.utg., Gjøvik, Øverby

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

God morgen! Alle Teller dag 4

God morgen! Alle Teller dag 4 God morgen Alle Teller dag 4 Gerd Åsta Bones & Mike Naylor www.matematikkbølgen.com Røde Gule Regning 5 5 5 + 5 = 10 3 7 3 + 7 = 10 4 6 4 + 6 = 10. Alle Teller Dag 4 Algoritme med base 10 Divisjon Brøk

Detaljer

SKR-C. ORDINÆR/UTSATT EKSAMEN 06.06.08. Sensur faller innen 27.06.08.

SKR-C. ORDINÆR/UTSATT EKSAMEN 06.06.08. Sensur faller innen 27.06.08. Høgskolen i Sør-Trøndelag Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Individuell skriftlig eksamen i MATEMATIKK, MX30SKR SKR-C 20 studiepoeng ORDINÆR/UTSATT EKSAMEN 06.06.08. Sensur faller innen 27.06.08. BOKMÅL

Detaljer

Sannsynlighetsparadokser

Sannsynlighetsparadokser Universitetet i Oslo Matematisk institutt Mat4010 Sannsynlighetsparadokser Skrevet av: Eivind Hillesund Henrik Seehusen Fredrik Vänskä Preben Lie 6. mai 2015 1 1. Innledning Et paradoks er en påstand

Detaljer

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21 Innhold Velkommen til studiet... 13 Oppbygning... 15 Sammenheng og helhet... 16 Pedagogisk struktur... 17 Lykke til med et spennende kurs... 19 DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21 Kapittel 1 Tall...

Detaljer

KARTLEGGING AV MATEMATIKKFERDIGHETER

KARTLEGGING AV MATEMATIKKFERDIGHETER KARTLEGGING AV MATEMATIKKFERDIGHETER Denne kartleggingen skal kun brukes på elever dere vurderer å henvise til PPT pga vansker i matematikk. Resultatet drøftes i førhenvisningssamtalen som grunnlag for

Detaljer

Årsplan i matematikk for 10. trinn

Årsplan i matematikk for 10. trinn Årsplan i matematikk for 10. trinn Uke 34-40 Geometri undersøkje og beskrive eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og bruke eigenskapane i samband med konstruksjonar og berekningar Begreper. Utregning

Detaljer

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at

Detaljer

NASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter.

NASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter. Bokmål Skolenr. Elevnr. NASJONALE PRØVER Matematikk 10. trinn delprøve 2 Tid: 90 minutter 15. april 2004 Gutt Jente Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tillatte hjelpemidler: lommeregner,

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer

Forelesning 24 mandag den 10. november

Forelesning 24 mandag den 10. november Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av

Detaljer

3 Største felles faktor og minste felles multiplum

3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3 Største felles faktor og minste felles multiplum 3.1 Største felles faktor og minste felles multiplum. Metodiske aspekter Største felles faktor og minste felles multiplum er kjente matematiske uttrykk

Detaljer

Kengurukonkurransen 2009

Kengurukonkurransen 2009 Kengurukonkurransen 2009 «Et sprang inn i matematikken» Ecolier (4. 5. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2009 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for femte gang i Norge. Dette

Detaljer

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet

Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Undervisningsopplegg for ungdomstrinnet om statistikk og sannsynlighet Kilde: www.clipart.com 1 Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk. Lærerens ark Hva sier læreplanen? Statistikk, sannsynlighet og

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen Matematikk 1 3.juni 2009

Løsningsforslag til eksamen Matematikk 1 3.juni 2009 Løsningsforslag til eksamen Matematikk 1.juni 009 Oppgave 1 a) Det kan være ulike tolkninger når det gjelder geometriske figurer på flismønsteret. Vi kan finne trekanter i de fire hjørnene og også på midten.

Detaljer

SKR-B. UTSATT EKSAMEN 06.06.08. Sensur faller innen 27.06.08.

SKR-B. UTSATT EKSAMEN 06.06.08. Sensur faller innen 27.06.08. Høgskolen i Sør-Trøndelag Avdeling for lærer- og tolkeutdanning Individuell skriftlig eksamen i MATEMATIKK 1, M1SKR SKR-B 1 studiepoeng UTSATT EKSAMEN 6.6.8. Sensur faller innen 27.6.8. BOKMÅL Resultatet

Detaljer

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn

Læreplan i matematikk. Kompetansemål etter 10. årstrinn Læreplan i matematikk Kompetansemål etter 10. årstrinn Tall og algebra Eleven skal kunne: 1. Sammenlikne og regne om hele tal, desimaltall, brøker, prosent, promille og tall på standardform 2. Regne med

Detaljer

Kengurukonkurransen 2013

Kengurukonkurransen 2013 Kengurukonkurransen 2013 «Et sprang inn i matematikken» ECOLIER (4. 5. trinn) Hefte for læreren Kengurukonkurransen 2013 Velkommen til Kengurukonkurransen! I år arrangeres den for niende gang i Norge.

Detaljer

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.

Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver. Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk

Detaljer

Så kaster neste spiller og gjør det samme. Den som kommer nærmest får 1 poeng. Er begge like nært får ingen poeng.

Så kaster neste spiller og gjør det samme. Den som kommer nærmest får 1 poeng. Er begge like nært får ingen poeng. REGNING DE FIRE REGNINGSARTENE: Når tallbegrepet er godt innarbeidet, og elevene forstår posisjonssystemet, begynner arbeidet med de fire regningsartene: sum (+), differens (-), multiplikasjon ( ) og divisjon(:).

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Arbeidsplan for 8.trinn

Arbeidsplan for 8.trinn Uke:20 og 21 Info: Dette skjer i mai: - Torsdag 14.mai skal vi delta i Tine stafetten på Melløs. Det kommer eget skriv om dette. - Det nærmer seg 17.mai.Vi håper at alle elevene møter opp for å delta i

Detaljer