Løsningsforslag, eksamen MAT104 våren 2013

Transkript

1 Løsningsforslag, eksamen MAT104 våren 2013 Oppgave 1 (35%) La ( ) a) Bruk definisjonen på den deriverte til å finne ( ). Løsning: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). b) Hva er stigningstallet til ( ) når? Løsning: ( ). c) Finn uttrykket til tangenten til grafen når. Løsning: Stigningstallet fant vi i (b)-oppgave: Det er. Altså er tangenten gitt ved. Vi må finne. Vi vet at når, er ( ). Så vi setter dette inn i uttrykket for tangenten og får. Altså er, og tangenten er dermed gitt ved. La ( ). d) Finn ( ). Løsning: ( ). e) Finn -koordinaten til topp/bunn-punktene til ( ). Løsning: Vi setter ( ) og får. Vi deler med 6 på begge sider av likhetstegnet og får. Vi setter inn i andregradsformelen og får ( ) ( ), hvilket gir oss og. f) Finn -koordinaten til topp/bunn-punktene og vurder hva som må være toppunkt og hva som må være bunnpunkt av disse. Løsning: Vi har ( ) og ( ) ( ) ( ) ( ). Det følger at ( ) må være toppunkt og ( ) må være bunnpunkt, siden y-koordinaten i ( ) er minst. g) Skisser grafen basert på opplysningene du fant i (f)-oppgaven. Løsning: Se figuren under.

2 Oppgave 2 (10%) a) Sett opp sentralvinkel/periferivinkel-teoremet og bevis teoremet. Løsning: Sentralvinkel/periferivinkel-teoremet sier at gitt en bue PQ, er sentralvinkelen til buen dobbelt så stor som enhver tilhørende periferivinkel. På figuren under ser vi sentralvinkelen markert som, og periferivinkelen markert som. Teoremet kan vises som følger: Vi viser først tilfellet der det ene vinkelbeinet til sentralvinkelen og til periferivinkelen danner en diameter til sirkelen. Se figuren under. Vi viser at. Vi ser at er likebeinet. Det følger at. Dermed er. Men og er nabovinkler. Altså er. Altså er.

3 Vi viser nå de andre tilfellene. I figuren under ser vi at vi kan trekke en diameter som går gjennom toppunktet til sentral- og periferivinkelen. Vi kan da bruke samme argumentasjon som over for å vise at og. Det følger da at ( ). Altså er sentralvinkelen her også 2 ganger periferivinkelen. Det resterende tilfellet er gitt på figuren under. Her har vi markert sentralvinkelen med grønt og periferivinkelen med svart. Merk her at sentralvinkelen er gitt som og periferivinkelen er gitt som. Vi ser fra beviset vi gav i det første tilfellet, at og. Det følger da at ( ). Altså er også her. b) Bevis at halveringslinjene til en trekant går gjennom samme punkt. c) Løsning: Se figuren under. Vi har begynt med å tegne den innskrevne sirkelen, og viser så at halverer. Vi gjør det ved å vise at. Vi bruker side-side-vinkel-postulatet på sidene, (som begge er radius i sirkelen) og (som begge er fordi og er tangenter til sirkelen). Altså er trekantene kongruente,, og altså er en halveringslinje til. Beviset for at og er halveringslinjer, er helt identisk.

4 Altså går halveringslinjene gjennom samme punkt ( ). Q.E.D. Oppgave 3 (15%) a) I en trekant er vinkel, vinkel og siden Bestem lengden til sidene og Løsning. b) I en trekant er vinkel, lengden og lengden Bestem lengden og vinklene og. Løsning For å finne BC må vi bruke cosinussetningen

5 Vinkel B kan vi finne ved å bruke sinussetningen c) Regn ut arealet av trekanten i som er beskrevet i spørsmål b). Løsning Oppgave 4 (35%) Det er 10 dager siden det var 17. mai. På mange av landets skoler var det ulike arrangement på denne dagen. På skolen vi skal se på hadde de blant annet et lykkehjul. Lykkehjulet er delt inn i 5 like store sektorer. En av dem er farget med grønn og de 4 andre er farget røde. Hvis lykkehjulet stopper på den grønne sektoren vinner du en premie. Hvis den stopper på en av røde vinner du ingenting. Vi antar at det lik sjanse for at hjulpet stopper på hver av de 5 sektorene. Et spill koster 10 kroner. a) Hva er sjansen for å vinne dersom du spiller en gang? Løsning. b) Du velger å spille to ganger for å øke sjansen for å vinne. Hva er sjansen for at du vinner minst en gang? Løsning.. Alternativ metode: c) Hva er sjansen for å vinne akkurat to ganger dersom du spiller 10 ganger? Løsning. ( ) ( ) ( ) d) Din sønn Lille Ole har fulgt spent med på spillingen. Så sier han til pappaen sin: «Du pappa, hvis du spiller 5 ganger vil du ikke da være sikret gevinst?»

6 Hva vil du svare Lille Ole? I svaret skal du legge vekt på at dette blir forståelig for en elev i skolen, f. eks på mellomtrinnet. Hva er sjansen for å vinne minst en gang dersom du spiller fem ganger? Løsning. Lille Ole har nok tenkt at sannsynligheten kan regnes ut slik Lykkehjulet er egentlig ganske parallelt med terningene. En er ikke garantert en 6 er selv om en kaster 6 ganger. De kan lille Ole få prøve og han vil nok oppdage ganske fort at resonnementet hans ikke stemmer. ( ) ( ) e) I en av de andre bodene på skolen hadde de et lotteri. De startet med 100 lodd i en hatt. Av disse er det 8 vinnerlodd. Du kom først til denne boden, slik at det er ikke er noen andre som har kjøpt lodd. Du bestemte deg for å kjøpe 5 lodd. Hva var sjansen for at du vant på akkurat to av disse loddene. Løsning. ( ) ( ) ( ) f) Det finnes mange ulike spill og aktiviteter som kan brukes i arbeidet med kombinatorikk og sannsynlighetsregning. Beskriv en aktivitet/et spill etter eget valg. Forklar hvilke læringsmål den støtter og hva du kan oppnå ved å bruke denne aktiviteten i egen undervisning. Løsning. Vanskelig å lage løsningsforslag her siden studentene selv kan velge aktivitet. Det som imidlertid bør være med i besvarelsen på denne oppgaven er hva du kan oppnå med å bruke denne aktiviteten i undervisningen, og som det kan være vanskeligere å oppnå med bruk av tradisjonelle metoder. Oppgave 5 (5%) Det finnes mange ulike typer app er i matematikk til nettbrett og smarttelefoner. Ta for deg en app og beskriv denne. Gjør også en vurdering av hva du mener om app en. Sørg for å begrunne ditt synspunkt. Løsning. Vanskelig å lage løsningsforslag her siden studentene selv kan velge aktivitet