Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene
|
|
- Klaus Jørgensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet. 1 Sannsynlighetsmodellen er P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = a Hjulet har seks farger det kan stoppe på: grønn, rød, blå, oransje, rosa og gul. Utfallsrommet er U = {grønn, rød, blå, oransje, rosa, gul}. b Det gule og det blå feltet dekker en firedel av hjulet hver, mens de andre fargene dekker en åttedel. Sannsynlighetsmodellen blir 1 1 P(blå) = P(gul) =, P(grønn) = P(rød) = P(oransje) = P(rosa) = a Hendelsen "minst fire øyne" omfatter utfallene fire, fem og seks øyne Sannsynligheten blir P(minst fire øyne) = P(4) + P(5) + P(6) = + + = 3 = b Hendelsen "minst 2 øyne" omfatter utfallene to, tre, fire, fem og seks øyne. 1 5 Sannsynligheten blir P(minst to øyne) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 5 =. 6 6 c Hendelsen "høyst 2 øyne" omfatter utfallene ett og to øyne. 1 1 Sannsynligheten blir P(høyst to øyne) = P(1) + P(2) = 2 =. 6 3 d Hendelsen "høyst 4 øyne" omfatter utfallene ett, to, tre og fire øyne. 1 2 Sannsynligheten blir P(høyst fire øyne) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 4 = I oppgave 2.5 fant vi sannsynlighetene for hver av fargene: 1 1 P(blå) = P(gul) =, P(grønn) = P(rød) = P(oransje) = P(rosa) = 4 8 a Sannsynligheten for at hjulet stopper på gul eller oransje, er P(gul eller oransje) = P(gul) + P(oransje) = + = + = b Sannsynligheten for at hjulet stopper på rød eller rosa, er P(rød eller rosa) = P(rød) + P(rosa) = + = = Aschehoug Undervisning Side 1 av 10
2 c Hvis hjulet ikke skal stoppe på rød eller rosa, må det stoppe på enten grønn, blå, oransje eller gul. Sannsynligheten er P(ikke rød eller rosa) = P(grønn) + P(blå) + P(oransje) + P(gul) = = = = a P(blodtype B eller AB) = P(blodtype B) + P(blodtype AB) = 0,08 + 0,04 = 0,12. Det er 12 % sannsynlig at blodgiveren har type B eller type AB. b Skal blodgiveren ikke ha blodtype 0, må hun enten ha A, B eller AB. Sannsynligheten for det er P(ikke blodtype 0) = P(blodtype A) + P(blodtype B) + P(blodtype AB) = 0, ,08 + 0,04 = 0,60 Det er 60 % sannsynlig at blodgiveren ikke har blodtype 0. c Sannsynligheten for at blodgiveren skal ha type A eller type 0, er P(blodtype A eller 0) = P(blodtype A) + P(blodtype 0) = 0, , 40 = 0,88 Det er 88 % sannsynlig at en person med blodtype A kan få overført blod fra den nye blodgiveren. 2.9 a "Minst 5 øyne" = A = {5, 6} b A = {1, 2, 3, 4}. Med ord har vi at A er hendelsen "høyst 4 øyne". c PA ( ) = P(5) + P(6) = + = 2 = PA ( ) = 1 PA ( ) = 1 = Når du kaster én terning, er det m = 6 mulige utfall som alle er like sannsynlige. a Det er g = 5 gunstige utfall: 2, 3, 4, 5 og 6 øyne. g 5 Dermed er P (minst to øyne) = =. m 6 b Her er det g = 4 gunstige utfall: 1, 2, 3 og 4 øyne. 4 2 Vi får P (høyst fire øyne) = =. 6 3 c Det er g = 3 gunstige utfall: 1, 3 og 5 øyne. 3 1 Vi får P (odde tall) = =. 6 2 d Det er g = 3 gunstige utfall: 2, 4 og 6 øyne. 3 1 Det gir P(partall) = =. 6 2 Aschehoug Undervisning Side 2 av 10
3 2.12 a Vi kan merke av hendelsene i utfallsrommet slik: 1 sum øyne lik sju 2 sum øyne minst ni 3 minst én ener 4 terningene viser like mye (par) b Det er 36 mulige utfall. Vi teller antall gunstige utfall for hver av hendelsene og finner sannsynlighetene: P (sum øyne lik sju) = = P (sum øyne minst ni) = = P (minst én ener) = P (par) = = 36 6 Aschehoug Undervisning Side 3 av 10
4 2.13 Det er 52 kort i kortstokken, så det er m = 52 mulige utfall. a Det er 13 hjerterkort i stokken, så det er g = 13 gunstige utfall. g 13 1 Sannsynligheten blir P(hjerterkort øverst) = = =. m 52 4 b Stokken har fire konger, én i hver farge, så det er g = 4 gunstige utfall. 4 1 Sannsynligheten blir P (konge øverst) = = c Det er fire honnørkort i hver farge, så det er g = 16 gunstige utfall Sannsynligheten er P (honnørkort øverst) = = a Det er 3 mulige måter å trekke den første kula på. Siden vi ikke legger tilbake, er det to kuler igjen når du trekker andre gang. Antall utfall (måter å trekke to kuler på) blir derfor 32 = 6. b Valgtreet viser de seks måtene du kan trekke de to kulene på: 2.15 a Antall måter å velge to elever på er m = Det er de mulige utfallene. Antall måter å velge to jenter på er g = Det er de gunstige utfallene for hendelsen at både medlem og varamedlem blir jenter. Sannsynligheten for denne hendelsen er g P(medlem og varamedlem blir jenter) = = = = 0,35 m b Hendelsene "minst én gutt blir valgt" og "både medlem og varamedlem blir jenter" er komplementære. Ved regelen for komplementære hendelser har vi at P(minst én gutt blir valgt) = 1 P(både medlem og varamedlem blir jenter) 7 13 = 1 = = 0, Aschehoug Undervisning Side 4 av 10
5 2.16 a Siden vi ikke legger tilbake, er det m = 54 mulige måter å trekke to kuler på. Antall gunstige utfall for hendelsen "to røde kuler" er g = 3 2. Sannsynligheten for å trekke to røde kuler er derfor g 32 3 P(to røde kuler) = = = m b Hendelsene "minst én blå kule" og "to røde kuler" er komplementære. Ved regelen for komplementære hendelser, har vi at 3 7 P(minst én blå kule) = 1 P(to røde kuler) = 1 = a Av de 90 medlemmene er det 20 som spiller fotball, og 20 som spiller håndball Det gir P (fotballspiller) = og P (håndballspiller) = Addisjonssetningen gir at P(fotballspiller eller håndballspiller) = P(fotballspiller) + P(håndballspiller) = + = = 0, b Det er 20 som løper orientering, og 15 som driver med friidrett Dermed er P (orienteringsløper) = og P (friidrettsutøver) = Addisjonssetningen gir at P(orienteringsløper eller friidrettsutøver) = P(orienteringsløper) + P(friidrettsutøver) = + = = 0, c De som spiller ballspill, er de som ikke driver med friidrett eller løper orientering. Av regelen for komplementære hendelser får vi derfor at sannsynligheten for å trekke en som driver med ballspill, blir P(ballspiller) = 1 P(orienteringsløper eller firidrettsutøver) = 1 0,389 = 0, a Får du en sekser i ett av kastene, må summen bli sju eller større. Begge hendelsene kan derfor ikke inntreffe samtidig, så de er disjunkte. b Får du en femmer i første kast og en sekser i andre kast, inntreffer begge hendelsene. Hendelsene er ikke disjunkte. c Får du en sekser i første kast og en treer i andre kast, inntreffer begge hendelsene. Hendelsene er ikke disjunkte. d Får du en treer i andre kast, må summen bli ni eller mindre. Begge hendelsene kan derfor ikke inntreffe samtidig, så de er disjunkte. Aschehoug Undervisning Side 5 av 10
6 2.19 a Venndiagrammet kan vi tegne slik: Vi kan også lage en oversiktstabell: Mobil Ikke mobil Sum MP Ikke MP Sum b Det er 13 elever som har både MP3-spiller og mobiltelefon. Sannsynligheten blir 13 P (både mobiltelefon og MP3-spiller) = = 0, c Det er 12 elever som bare har mobiltelefon, 2 som bare har MP3-spiller og 13 som har begge deler. Sannsynligheten blir P(mobiltelefon eller MP3-spiller eller begge deler) = = = 0, d Fra oversiktstabellen eller venndiagrammet ser vi at det er 3 elever som verken har mobiltelefon eller MP3-spiller, så sannsynligheten blir 3 P (verken mobiltelefon eller MP3-spiller) = = 0, Vi kan også bruke regelen om komplementære hendelser: P(verken mobiltelefon eller MP3-spiller) = 1 P(mobiltelefon eller MP3-spiller eller begge deler) = 1 0,900 = 0, a Hver gang vi snurrer, er sannsynligheten 1 8 for at lykkehjulet stopper på det røde feltet. Produktsetningen gir at P(rød begge gangene) = P(rød første gang) P(rød andre gang) = = b Sannsynligheten er 1 4 for at lykkehjulet stopper på det blå feltet. Produktsetningen gir at P(først rød så blå) = P(rød) P(blå) = = Aschehoug Undervisning Side 6 av 10
7 2.21 a Sannsynligheten for at alle tre barna er jenter blir ved produktsetningen P(alle er jenter) = P( J) P( J) P( J) = 0, 486 0, 486 0, 486 = 0,115 b Hendelsene "alle er jenter" og "minst én er gutt" er komplementære. Det gir P(minst én gutt) = 1 P(alle er jenter) = 1 0,115 = 0,885 c Produktregelen for uavhengige hendelser gir oss at P(eldste gutt, to yngste jenter) = P( G) P( J) P( J) = 0,514 0,486 0,486 = 0,121 d Vi regner ut på samme måte som i oppgave c: P(to eldste jenter, yngste gutt) = P( J) P( J) P( G) = 0,486 0,486 0,514 = 0, a Sannsynligheten for at en gutt ikke er rødgrønn fargeblind, er 1 0,08 = 0,92. Sannsynligheten for at ingen av de 12 guttene er rødgrønn fargeblinde, blir da 12 P (ingen fargeblinde gutter) = 0,92 = 0,368 Vi må anta at guttene ikke er i slekt fordi fargeblindhet går i arv. Så hvis guttene var i slekt, kunne vi ikke ha brukt produktsetningen for uavhengige hendelser. b Hendelsene "ingen er fargeblinde" og "minst én er fargeblind" er komplementære. Dermed får vi at P(minst én fargeblind gutt) = 1 P(ingen fargeblinde gutter) = 1 0,368 = 0, a Sannsynligheten for å trekke en blå kule første gang er Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en blå kule andre gang Produktsetningen for avhengige hendelser gir oss at 7 6 P (begge kulene er blå) = = 0, b Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en rød kule andre gang Dermed er P (begge kulene er røde) = = 0, c Sannsynligheten for å trekke en rød kule første gang er Gitt at vi gjør det, er sannsynligheten for å trekke en blå kule andre gang Dermed er P (første kule rød, andre kule blå) = = 0, Aschehoug Undervisning Side 7 av 10
8 2.24 a Det er 1 29 sannsynlig at den første bokstaven er P. Gitt at den første bokstaven er P, er sannsynligheten 1 28 for at den neste er E. Gitt at de to første bokstavene er P og E, er sannsynligheten 1 27 Ganger vi sammen disse sannsynlighetene, får vi P (PER) = = 0, for at den siste er R a Sannsynligheten for å tippe det første tallet galt er Gitt at du tippet det første tallet galt, er sannsynligheten 26 for at du også tipper det 33 andre tallet galt. Gitt at du tippet de to første talene galt, er sannsynlighet 25 for at du også tipper det 32 tredje tallet galt. Osv. Sannsynligheten for at du ikke får et eneste riktig vinnertall, er dermed P (ingen riktige vinnertall) = = 0, Du har 16,5 % sannsynlighet for ikke å få ett eneste riktig vinnertall. b Hendelsene "minst ett riktig vinnertall" og "ingen riktige vinnertall" er komplementære. Dermed har vi at P(minst ett riktig vinnertall) = 1 P(ingen riktige vinnertall) = 1 0,165 = 0,835 Det er 83,5 % sannsynlig at du får minst ett riktig vinnertall a Vi tegner valgtreet. Her står F for en FOX-karamell, og N for en NOX-karamell. Aschehoug Undervisning Side 8 av 10
9 b Av valgtreet finner vi: P (to FOX) = = = 0, P (to NOX) = = = 0, P(én FOX) = P(først FOX, så NOX) + P(først NOX, så NOX) = + = = 0, P(minst én FOX) = 1 P(to NOX) = 1 = = 0, a Valgtreet er tegnet opp under. Her står R står for rød, G for gul og B for blå kule. b Av valgtreet finner vi at: 1 P(én rød kule) = P( RG) + P( RB) + P( GR) +P( BR) = = = 0, P(én blå kule) = P( RB) + P( GB) + P( BR) +P( BG) = = = 0, Aschehoug Undervisning Side 9 av 10
10 3 P(én gul kule) = P( RG) + P( GR) + P( GB) + P( BG) = = = 0, P(forskjellig farge) = 1 P(lik farge) = 1 PRR ( ) PGG ( ) PBB ( ) = 1 = = 0, a Vi kaller det å trekke en spar for hendelsen S. Det å trekke noe annet enn en spar kaller vi hendelsen A. Da kan vi tegne valgtreet slik: b Vi er interessert i hendelsen at det øverste kortet er en spar, dvs. hendelsen SAA Den har sannsynlighet PSAA ( ) = = 0, c Her finner vi at P(én spar) = P( AAS) + P( ASA) + P( SAA) = + + = 0, Aschehoug Undervisning Side 10 av 10
1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene
1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.
Detaljer6 Sannsynlighet. Læreplanmål for 1P og 2P-Y. Læreplanmål for 1T
6 Sannsynlighet 6.1 Læreplan 6A Sannsynlighet og relativ frekvens 6B Sannsynlighet for en hendelse 6C Antall utfall i sammensatte forsøk 6D Komplementære hendelser 6E Krysstabell og venndiagram 6F Addisjonssetningen
DetaljerBasisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet
Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser
DetaljerBetinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel
DetaljerS1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11
DetaljerBetinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet
DetaljerBetinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel
DetaljerS1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 6 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 6 6 6 1 P(sum antall øyne lir høyst 4) = = 6 6 11 P(minst
DetaljerKOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET 4 MER ØVING
Oppgave 1 En dag lurer du på hva du skal ha på deg. Du ser i skapet og ser at det ligger 3 bukser, en lys og en mørk olabukse og en grå bukse. Du leter etter en genser og finner fire forskjellige gensere.
DetaljerS1 kapittel 3 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene
S kapittel Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene. a Utfallsrom U KK, KM, MK, MM Sannsynlighetsmoell P( KK) P ( KM) P ( MK) P ( MM) Sannsynlighetsmoellen er uniform fori alle utfallene har samme
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 1
Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Løsninger Innhold Modul. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 7 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 3 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler
DetaljerKompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2
3 Sannsynlighet Innhold Kompetansemål... 2 3. Hva er sannsynlighet?... 2 Utfall og utfallsrom... 3 Tilfeldig forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet... 5 Sannsynlighetsmodeller... Andre eksempler på tilfeldige
Detaljer4.4 Sum av sannsynligheter
4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten
DetaljerQuiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 2 4.2 Addisjon av sannsynligheter... 6 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet... 12 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning...
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål
Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at
Detaljer9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
DetaljerKapittel 8. Sannsynlighetsregning
Kapittel 8. Sannsynlighetsregning Mål for kapittel 8: Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendelser og redegjøre for begrepet sannsynlighet
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige
DetaljerMAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka
STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel
DetaljerOppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerOppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Oppgaver Innhold 3.1 Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 5 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 9 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
DetaljerSannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter
Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast
DetaljerDeterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig
DetaljerKarakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p
07.0.017 MATEMATIKK (MAT100) Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 0 minutter DEL (MED HJELPEMIDLER) 0 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 0 minutter og før hjelpemidlene kan benyttes)
DetaljerKapittel 8. Sannsynlighetsregning
Kapittel 8. Sannsynlighetsregning Mål for Kapittel 8, Sannsynlighetsregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendelser og redegjøre
DetaljerKapittel 9. Sannsynlighetsregning
Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
DetaljerKapittel 10. Sannsynlighetsregning
Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne
DetaljerKapittel 9. Sannsynlighetsregning
Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Mål for Kapittel 9, Sannsynlighetsregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne Læringsmål lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendelser
DetaljerKapittel 4. Sannsynlighetsregning
Kapittel 4. Sannsynlighetsregning Mål for Kapittel 4, Sannsynlighetsregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendelser og redegjøre
DetaljerSannsynlighet 1T, Prøve 2 løsning
Sannsynlighet T, Prøve 2 løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Du snurrer et lykkehjul som stanser tilfeldig på én av bokstavene. Se figuren ovenfor. a) Hvor mange mulige utfall finnes
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,
DetaljerKapittel 7. Sannsynlighetsregning
Kapittel 7. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske
DetaljerKapittel 9. Sannsynlighetsregning
Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Mål for Kapittel 9, Sannsynlighetsregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendelser og redegjøre
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;
DetaljerBetinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5
Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se
DetaljerForsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet
Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri
DetaljerSannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
Detaljer1 Sannsynlighetsrgning
1 Sannsynlighetsrgning 1.1 Det er 13 grønne og 18 røde baller i en eske. Vi trekker ut to baller etter hverandre. a) Hva er sannsynligheten for å få to grønne baller? Svar: P(g 1, g 2 ) = p(g 1 ) p(g 2
DetaljerSannsynlighet 1P, Prøve 1 løsning
Sannsynlighet P, Prøve løsning Del Tid: 0 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Klassen holder på med brøkregning. Elevene sitter i grupper. Hver gruppe har en bunke med fem røde kort merket med tallene,,,
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Eksamensoppgaver Våren 2015 OPPGAVE 4 (UTEN HJELPEMIDLER) Tenk deg at du har ti bananer i skapet. Fem av dem er gule, tre er grønne, og to er blitt brune. Du tar tilfeldig to bananer.
DetaljerSTK1100 våren 2017 Kombinatorikk
STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige
DetaljerSTK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.
ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt
DetaljerSannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329,
3 Sannsynlighet Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige begivenheter og gjøre rede for sannsynlighetsbegrepet beregne sannsynligheter ved
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerINNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet
INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 3
Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen
Detaljer3 Sannsynlighet, Quiz
3 Sannsynlighet, Quiz Innhold 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 1 3.2 Addisjon av sannsynligheter... 3.3 Produtsetningen for sannsynlighet... 11 3. Binomis sannsynlighet... 17 3.1 Begreper i sannsynlighetsregning
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall
DetaljerFagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?
Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon
DetaljerBasisoppgaver til Matematikk 1P
til Matematikk 1P Basisoppgaver 1 Tall og algebra Økonomi Geometri 4 Sannsynlighet 5 Funksjoner Basisoppgaver til 1P kap. 1 Tall og algebra 1.1 Regning med hele tall 1. Brøk 1. Store og små tall 1.4 Bokstavuttrykk
DetaljerPåbygging kapittel 6 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i læreboka
Påygging kpittel 6 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6.1 (Vi nøyer oss me å lge én tell, hvor vi også fører inn svrene fr oppgve og.) Antll kst 50 100 500 1000 5000 10 000 Antll enere
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet
Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk
DetaljerNotater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
DetaljerBetinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning
etinget sannsynlighet, total sannsynlighet og ayes setning Vi vil først ved hjelp av et eksempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr: Vi legger fire røde kort og to svarte kort i en bunke
DetaljerBetinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11
Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel
DetaljerNotat kombinatorikk og sannsynlighetregning
Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er
DetaljerTema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19
Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerStatistikk 1 kapittel 3
Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der
DetaljerBasisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging
Basisoppgaver til Tall i areid Påygging Tall og algera Sannsynlighet Funksjoner 4 Modellering 5 Statistikk Basisoppgaver til Tall i areid Påygging kap. Tall og algera. Potenser. Nye potenser. Store og
DetaljerSannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418
4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter
DetaljerTrekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,
DetaljerSannsynlighet løsninger
Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1
STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.
DetaljerSannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for
DetaljerSannsynlighet 1P, Prøve 2
Sannsynlighet 1P, Prøve 2 Del 1 Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Du snurrer et lykkehjul som stanser tilfeldig på en av bokstavene. Se figuren ovenfor. a) Hvor mange mulige utfall finnes
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel
DetaljerSlide 1. Slide 2 Statistisk inferens. Slide 3. Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition
Slide 1 David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 9/22/2010 Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Slide
DetaljerHvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerSannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 1 6 50 x x 6 50 x 300 Feilen lir 300 mm 30 cm. Oppgave 617 L 600L og 15,3L 15L 600 40
DetaljerIntroduction to the Practice of Statistics
David S. Moore George P. McCabe Introduction to the Practice of Statistics Fifth Edition Chapter 4: Probability: The Study of Randomness Copyright 2005 by W. H. Freeman and Company Statistisk inferens
Detaljer9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
DetaljerKarakter 2: 12p Karakter 3: 19p Karakter 4: 27p Karakter 5: 35p Karakter 6: 42p
03.05.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser, Prosent, Mønster, Tid, Tabeller, Diagrammer, Sentralmål, Spredningsmål, Rette linjer, Lineære funksjoner, Funksjoner og vekst, Sannsynlighetsregning DEL 1 (UTEN
DetaljerStatistikk 1 kapittel 3
Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der
DetaljerOPPGAVER FRA ABELS HJØRNE DAGBLADET
OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE DAGBLADET SETT 3 DAG 1 1. I en klasse med 30 elever var det 12 som drev med orientering, mens 17 spilte på fotballag. 5 av elevene gjorde begge deler. Hvor mange av de 30 drev
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall
ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning
DetaljerOppgave 1 a) Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt av binomialkoeffisienten
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 2, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 a) Antall måter å velge ut k elementer fra en populasjon på n er gitt
DetaljerKompetansemål Sannsynlighet, S Innledning Pascals talltrekant Binomialkoeffisienter Kombinatorikk...
Sannsynlighet Innhold Kompetansemål Sannsynlighet, S1... 2 Innledning... 2 3.1 Pascals talltrekant... 3 Binomialkoeffisienter... 6 3.2 Kombinatorikk... 9 Ordnet og uordnet utvalg... 10 Med og uten tilbakelegging...
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk
Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2
DetaljerTotal sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med
DetaljerR1 kapittel 7 Sannsynlighet
Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke
Detaljer- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
DetaljerKapittel 3: Kombinatorikk
Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger.
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA0 Statistikk 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha
Detaljer10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
Detaljer