Oppgaver i sannsynlighetsregning

Transkript

1 Oppgaver i sannsynlighetsregning Oppgave 1 En skoleklasse på Elvebakken skole er trukket ut til å delta i TV programmet 5-PÅ. Klassen skal stille med et lag bestående av 4 personer. Siden samtlige elever i klassen har gode allmennkunnskaper, har klassestyreren bestemt at de 4 som skal delta skal plukkes ut ved loddtrekning. Klassen består av 28 elever, 17 jenter og 11 gutter. a) På hvor mange forskjellige måter kan de 4 personene trekkes ut? b) Hvor stor er sjansen for at det bare trekkes ut jenter? c) Hvor stor er sjansen for at det trekkes ut 3 gutter og en jente? d) Hva er den mest sannsynlige fordelingen mellom jenter og gutter når det trekkes tilfeldig? Forklar resultatet. (Hentet fra Oppgavesamling i matematikk av Peer Andersen) Oppgave 2 I en potetkasse ligger det 30 poteter av sorten pimpernell og 20 poteter av sorten beate. Vi tar ut 4 tilfeldige poteter som vi skal bruke til middag. a) Hva er sannsynligheten for at vi tar ut to av hver sort? b) Finn sannsynligheten for at alle er av sorten pimpernell. c) Hva er sannsynligheten for at alle er av samme sort? d) Anta at de to første vi tok ut var av typen pimpernell. Hva er nå sannsynligheten for at de to siste også er pimpernell. Oppgave 3 Ved Høgskolen i Finnmark er det 2000 studenter. Av disse antar vi at 1200 er kvinner. Nylig har det vært valg til Høgskolestyret og studentene skulle velge 3 representanter. Vi tenker oss at valget skjer ved loddtrekning blant alle studentene. Vi skal i denne oppgaven se på hvor stor sannsynligheten er for at det blir valgt inn to kvinner og en mann i styret hvis utvelgelsen skjer ved loddtrekning. To studenter som heter Fiskum og Elvestrand er uenig om hvordan dette skal gjøres. Fiskum og Elvestrand argumenterer slik:

2 Fiskum Han setter opp følgende uttrykk: 2 jenter og 1 gutt , Han argumenterer med at totalt kan vi trekke ut 3 av 2000 studenter på 2000 måter. Av disse 3 kombinasjonene vil det være som inneholder 2 jenter og en gutt. Sannsynligheten 2 1 skulle derfor bli som i uttrykket over. Elvestrand Han setter opp følgende uttrykk: 2 jenter og 1 gutt 3 0,6 0,4 0,4320 Han argumenterer med at det er 60% jenter på skolen og 40% gutter på skolen. Av den grunn vil sannsynligheten for at første person som trekkes ut er en jente være 0,6. Sannsynligheten for at andre person er en jente vil også være 0,6 og sannsynligheten for at siste person er en gutt vil da være 0,4. Siden det ikke betyr noe om gutten blir trukket ut som nummer 1, 2 eller 3 så må vi multiplisere uttrykket 0,6 0,6 0,4 med 3. Dermed får vi uttrykket som vist over. a) Det er ikke tilfeldig at disse to metodene gir tilnærmet likt svar. Imidlertid er det bare en av dem som er matematisk korrekt. Drøft hvilken av metodene som er den matematisk korrekte, og hvorfor de gir tilnærmet det samme svaret. (Hentet fra Oppgavesamling i matematikk av Peer Andersen) Oppgave 4 Åpne hjerteoperasjoner er blitt ganske vanlig å utføre i Norge. La oss anta at 90 % av de hjerteopererte blir helt friske, 3 % dør under operasjonen eller i forbindelse med operasjonen og 7 % overlever operasjonen, men blir ikke bedre enn det de var før operasjonen. a) Haukeland sykehus i Bergen utfører normalt 500 åpne hjerteoperasjoner i året. Hvor mange av pasientene kan gjøre regning med å bli helt friske? Ekteparet Gjert og Gjertrud Gjertsen skal begge hjerteopereres om ikke så lenge. De funderer litt på hvor stor sjansen er for at begge vil bli helt friske, begge vil dø, samt de andre mulighetene. b) Hva er sannsynligheten for at begge vil dø som følge av operasjonen? c) Hva er sannsynligheten for at den ene av ekteparet blir helt frisk, og at den andre dør? d) Hva er sannsynligheten for at minst en av dem blir helt frisk og at begge overlever? (Hentet fra Oppgavesamling i matematikk av Peer Andersen)

3 Oppgave 5 I en sykkelklubb er det 8 medlemmer. Fem av dem er seniorer og 3 av dem er juniorer. Klubben skal sende tre av rytterne til et spesielt ritt. Disse tre blir plukket ut ved loddtrekning. a) Hva er sannsynligheten for at alle tre er seniorer? b) Hva er sannsynligheten for at akkurat to er seniorer? c) Hva er sannsynligheten for at det er med minst en senior og minst en junior? Pål og Truls er to av klubbens medlemmer. d) Hva er sannsynligheten for at begge disse blir plukket ut til rittet? e) Hva er sannsynligheten for at akkurat en av dem blir trukket ut? Oppgave 6 Av og til hender det dessverre at rødvinen som en har kjøpt på Vinmonopolet er sur. Dette skyldes gjerne at korken ikke er helt tett. Hos en spesiell vin har det vist at 6 % av flaskene er sure. Du liker denne vinen spesielt godt og du bestemmer deg for å kjøpe inn to flasker til et selskap du skal ha. a) Hva er sannsynligheten for at begge flaskene er av god kvalitet? b) Hva er sannsynligheten for at minst en av flaskene er sur? c) Hva er sannsynligheten for at begge flaskene er sure? Litt senere skal du ha en litt større tilstelling og du bestemmer deg for å kjøpe inn 4 flasker av nevnte vinsort. d) Hva er sjansen for at alle flaskene er av god kvalitet? e) Hva er sjansen for at akkurat en er sur? f) Hva er sjansen for at akkurat to av flaskene er av god kvalitet?

4 Løsning på oppgaver i sannsynlighetsregning Oppgave 1 a) Dette er et problem tilsvarende lottotrekningen. Antall kombinasjoner blir b) Her bruker vi gunstige delt på mulige. Det gir oss , Bare jenter 4 c) Også her bruker vi gunstige delt på mulige Tre gutter og en jente , d) Sannsynligheten for å trekke 3 jenter og 1 gutt er like stor som å trekke 2 gutter og 2 jenter. Begge disse fordelingene har en sannsynlighet på 0,37. Oppgave 2 a) Vi bruker gunstige delt på mulige. To av hver , b) Vi bruker samme tankegang som i a) Bare pimpernell 0,119 4 c) Vi må ta sannsynligheten for at alle er pimpernell og addere med sannsynligheten for at alle er beate. Sjansen for at alle er beate er Bare beate , Alle er samme sort 0,119 0,021 0,140

5 d) Her har vi trukket opp 2 poteter som begge er av sorten pimpernell. Det betyr at det kun er 48 poteter igjen i kassen. Av disse er det 28 av sorten pimpernell og 20 av sorten beate. Vi skal trekke ut 2 av disse og vi er interessert i sjansen for at begge er pimpernell slik at vi har fire poteter av sorten pimpernell. Oppgave 3 To pimpernell , a) Fiskum har rett. Elvestrand har en liten feil i sitt resonnement. Problemet til Elvestrand er at han opererer med en fast sannsynlighet på 0,6 for jente og 0,4 for gutt. Det er riktig for første personen, men galt for de neste. Feilen er i praksis ubetydelig. Hvis vi f. eks. trekker ut en jente som første person, vil sjansen for jente neste gang bli 1199/1999 = 0,5998 og det er så nært 0,6 at avvikene blir minimale. Dersom vi følger Elvestrand sin ide kan vi sette opp sannsynligheten matematisk korrekt på følgende måte Oppgave 4 3 0,4323 a) Vi kan forvente at om lag 500 0,9 450 personer blir helt friske. b) Om dere ikke får helt oversikt over situasjonen kan det være fornuftig å tegne opp et tre. I dette tilfelle blir sannsynligheten Begge dør 0,03 0,03 0,0009 c) En blir helt frisk og en dør 0,9 0,03 0,03 0,9 0,054 d) Minst en blir helt frisk, begge overlever 0,9 0,9 0,9 0,07 0,07 0,9 0,936 Oppgave 5 a) Vi bruker gunstige delt på mulige. Det gir oss Alle er senior ,179

6 b) Vi bruker samme tankegang som i a) To er seniorer og en er junior ,536 c) Her er det to muligheter. Den ene er at det er to seniorer og en junior. Den andre er at det er en senior og to juniorer. Vi må legge sammen sannsynlighetene for disse to. Den første har vi regnet ut i b). Den andre må vi regne ut her. En er senior og to er junior ,268 Minst en junior og en senior 0,536 0,268 0,804 d) I dette spørsmålet er det ikke lenger viktig om det er seniorer eller juniorer som blir trukket ut. Vi tenker oss to grupper, en av gruppene består av Pål og Truls og den andre av de 6 øvrige rytterne. Vi bruker igjen gunstige på mulige og får 2 Pål og Truls blir trukket ut ,107 e) Sjansen for at akkurat en av dem blir trukket ut er En av dem blir trukket ut ,536 Oppgave 6 a) Her kan det lønne seg å tegne opp et tre om en ikke får oversikt over situasjonen. Begge er av god kvalitet 0,94 0,94 0,884 b) Minst en er sur 1 0,884 0,116 Alternativt kan en sette det opp slik Minst en er sur 0,94 0,06 0,06 0,94 0,06 0,06 0,116 c) Begge er sur 0,06 0,06 0,004 d) Alle er av god kvalitet 0,94 0,94 0,94 0,94 0,781 e) Akkurat en er sur 4 0,94 0,94 0,94 0,06 0,199

7 f) Akkurat to er sur 6 0,94 0,94 0,06 0,06 0,019 De to sure vinene kan plasseres på 6 måter. Som flaske 1 og 2, flaske 1 og 3, flaske 1 og 4, flaske 2 og 3, flaske 2 og 4 og til slutt som flaske 3 og 4.