Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sannsynlighetsregning og kombinatorikk"

Transkript

1 Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår. Vi kan ikke regne ut hva som kommer til å skje, men ved hjelp av sannsynligheter kan vi vurdere hva som er mest sannsynlige utfall av alternative beslutninger. Beste strategi i tilfeldige situasjoner er å velge det som gir best sannsynligheter, for det vil lønne seg "i detlangeløp". Begreper: Tilfeldighet, hending/hendelse, forsøk, resultat, utfall,mengder, sannsynlighetsmodell, avhengighet, betinget sannsynlighet, mm. Regneregler: P A B,P A B,P A B, Total sannsynlighet, Bayes setning Viktige tips: Bruk av figurer: Venndiagram, sannsynlighetstrær, tabeller Hendinger og mengder Matematikken gir oss i de andre naturvitenskapene tallmessig oversikt over hva som vil skje i eksperimenter, forsøk og virkelige situasjoner når vi kjenner en del forutsetninger og premisser. Resultatet er altså ofte forutsigbart. Når vi derimot kaster en terning, er det umulig å si noe sikkert om resultatet. Likevel er det fruktbart å kunne si noe om hva som kan skje og prøve å tallfeste de forskjellige mulighetene. Sannsynlighetsregning prøver å kvantifisere (tallfeste) tilfeldighet. Dette gjøres ved å angi en sannsynlighet (sjanse, odds) til de forskjellige, mulige resultater. Tilfeldig: Umulig å forutsi resultatet Eksperiment: Kaste en mynt og observere om vi får M eller K, kaste en terning og observere om vi får 6, kaste to terninger og observere summen av antall øyne, trekke 2 kuler fra en krukke og observere om de har lik farve, osv. Legg merke til at vi må angi både hva som skal gjøres og hva som skal observeres! Kaste en terning er intet stokastisk forsøk, vi må spesifisere hva som skal observeres: Observere antall øyne Observere om vi får like antall øyne Observereomvifår3 eller Ulven sannsynlighet.tex

2 Utfall, elementær begivenhet: Et mulig enkeltresultat av et forsøk. Alle utfall er mulige, gjensidig utelukkende og utgjør tilsammen Utfallsformmet til et forsøk. Hendelse, hending, begivenhet: Samling av flere utfall, delmengder av utfallsrommet. Sannsynlighet: Tall mellom 0 og 1 (0 og 100% brukes av vanlige folk, men ikke matematikere/statistikere!). At sannsynligheten for å få 6 med et terningkast er P X 6 1 betyr i praksis at 6 hvis vi gjentar eksperimentet ganger, så kan vi regne med at ca av kastene gir sekser. ( De store talls lov ) Eksempler: Gjøremål: Observasjon: Utfallsrom med utfall: Eksempler på hendelser: A. Kaste mynt Kron eller mynt S {M,K} {M},{K},{M,K} B. Kaste terning Sekser? S {J,N} {J},{N},{J,N} C. Kaste terning Antall øyne? S {1,2,3,,,6} {1},{2,,6},{1,3,} D. Kaste to terninger Sum øyne? S {2,3,,,6,7,8,,10,11,12} {7},{3,6,,12} E. Undersøke lyspære Hvor lenge lyser den? S 0, 0,1000, 1000, F. Trekke ut en rekrutt Observere høyde S 10,20 (f.eks.) 180,20, 10, 180 Legg merke til: A.,B.,C. og D. har endelige utfallsrom, E. og F. har uendelige utfallsrom A.,B.,C. og D. har diskrete utfallsrom, E. og F. har kontinuerlige utfallsrom I E. og F. kan ikke utfall defineres (f.eks. 180), kun hendelser (f.eks. 17., 180. ) da ingen lyspære varer nøyaktig 180 timer og ingen rekrutt er nøyaktig 180 cm. Må angi intervaller i disse to tilfellene. Hendelsen {M,K} angir ikke noe som kan skje (umulig å få M og K samtidig), men en samling av flere mulige utfall.vi kan derfor si at P({M,K}) 1, da enten M eller K må skje. Notasjonseksempler med mengder: A.: P M 1, P M,K 1, P 0 2 C.: P 2,,6 1 2 eller L 2,,6 : Likeantalløyne U 1,3, : Ulikeantalløyne Ulven sannsynlighet.tex

3 P L 1 2, P U 1 2 D.: L 2,,6,8,10,12 : Liketall D3 3,6,,12 : Delelig med 3 P L 18 12, P D3 (Se lenger ned hvis du ikke skjønner hvorfor.) Kommentar: Når vi har utfall (6) skriver vi: P X 6 Når vi har hendelser skriver vi: P A når vi mener P X A Sannsynlighetsmodeller Som sagt: Hvis P(seks) 1 6, så betyr dette at ca. 1 6 av et stort antall kast vil gi seks. Dette kan formuleres som De Store Talls lov: " P seks lim n antall seks n 1 6 " (Anførselstegn, da dette ikke er helt riktig, korrekt formulering er: antall seks lim n P n Hvis det første uttrykket hadde vært riktig, hadde vi hatt determinisme istedenfor tilfeldighet! Dette problemet, som bøker ikke nevner, er faktisk utgangspunktet for at man isteden valgte å definere sannsynlighetsregningen aksiomatisk (matematisk), ikke empirisk (De Store Talls lov). Da gjør man seg uavhengig av, og trenger ikke ta hensyn til problemene med de store talls lov. Aksiomene baserer seg altså ikke på de store talls lov, men vi kan utlede de store talls lov (korrekt formulering) ut fra aksiomene. Viktige resultater: (Aksiomene!) Motsatt sannsynlighet: P(A 1 P A er viktig fordi det ofte er letter å regne ut det motsatte av det det spørres om! Addisjonssetningen: P A B P A P B P A B når A og B ikke er disjunkte, dvs A B ikke er tom mengde. Ulven sannsynlighet.tex

4 Produktsetningen: P A B P A P B når A og B er uavhengige, dvs når hendelsene A og B ikke influerer på hverandre. (Avhengighet: Se betinget sannsynlighet senere.) Når vi skal finne sannsynligheter, er de vanligste mulighetene: Empirisk sannsynlighet: Brukes når det er umulig å utlede noen teoretisk sannsynlighet. Da må vi basere oss på erfaring. P(guttefødsel) er litt større enn P(jentefødsel) og tallfestingen av disse er kun basert på empirisk vurdering av fødselsstatistikker. Tegnestifteksemplet må også undersøkes empirisk. (Sannsynligheten for at en tegnestift skal lande med spissen opp.) Geometrisk/Symmetrisk sannsynlighet: P X 6 p 1 for et terningkast er basert på at alle utfall er like sannsynlige, da det rent 6 geometrisk ikke er noen grunn til at et resultat skal være mer sannsynlig enn de andre.med 6 like sannsynligeutfallmådap p p p p p 1 p 1 6 Tilfeller med like sannsynlige utfall kalles Uniforme sannsynlighetsmodeller. Her gjelder den viktige huskeregelen: Sammensatte sannsynligheter: P noe skjer antall gunstige enkeltutfall antall mulige enkeltutfall I mer komplekse tilfeller må man se på modellen som en sammensetning av uniforme modeller, slik at p gunstige kan brukes. Det vil si at utfall i det forsøket vi studerer betraktes som mulige hendelser satt sammen av utfall i et enklere, uniformt forsøk! Eksempel på sammensatte sannsynligheter: E. Kast med to terninger hvor summen av øyne studeres. Utfallsrom: S 2,3,,,6,7,8,,10,11,12 Utfallene her kan sees på som hendelser i et annet forsøk, nemlig kast med to terninger hvor man observerer øyne og i hvilken rekkefølge vi fikk dem. I dette forsøket har vi utfallsrommet: S { Ulven 200 sannsynlighet.tex

5 1,1 1,2 1,3 1, 1, 1,6 2,1 2,2 2,3 2, 2, 2,6 3,1 3,2 3,3 3, 3, 3,6,1,2,3,,,6,1,2,3,,,6 6,1 6,2 6,3 6, 6, 6,6 } og dette utfallsrommet er uniformt med p 1. Utfallet 7 er f.eks. hendelsen {(6,1),(,2),(,3),(3,),(2,),(1,6)} i det uniforme forsøket. Vi får P 7 P 6,1 P,2... P 1,6 p p p p p p 6 (da utfallene i det uniforme forsøket er disjunkte) Vi får sannsynlighetsfordelingen: x P X x Betinget sannsynlighet Her anbefaler jeg meget sterkt at dere lærer dere til å bruke tabeller og sannsynlighetstrær, slik det blir vist lenger ned! Reglene for betinget sannsynlighet er særlig aktuelle ved sammensatte hendelser og forsøk som går i flere trinn, eller er sammensatt av flere forsøk Også aktuelt når man bare kjenner sannsynligheter for hendelser, altså sammensatte utfall. Forsøk: Trekke kort fra kortstokk og observere valør. E: Ess H: Honnørkort S: Spar Begrepet og notasjonen for betinget sannsynlighet er enkel nok: a) P Ess, når vi vet at det er en spar P E S (sier E gitt S) b) P Ess, når vi vet at det er en honnør P E H (sier E gitt H) Men hvordan regner vi det ut? a) Vi befinner oss i praksis i et redusert utfallsrom, nemlig de 13 forskjellige sparkortene. Av disse er bare ett ess og vi får P E S 1 eller forholdet mellom antall muligheter i E S; 1 13 og S; I et uniformt utfallsrom kan vi regne: P E S P S b) Redusert utfallsrom er her de 16 honnørene, og da vi har ess får vi: P E H 16 som også kunne vært skrevet P E H 2 P H Regel for betinget sannsynlighet: P A B P A B P B Ulven 200 sannsynlighet.tex

6 som gir to andre regler: P A B P B P A B eller P A B P A P B A Uavhengige hendelser Legg merke til at P E 1 som er lik P E S men forskjellig fra P E H Hendelsen E er derfor uavhengig av S, men avhengig av H. To hendelser A og B er uavhengige hvis: P A B A ellerpåenannenmåtep A B P A P B Betingede sannsynligheter kommer kanskje best frem hvis man tegner Venn-diagrammene som tabeller eller sannsynlighetstrær: Eksempel: Vi skal trekke en elev fra en gruppe på 100 elever, der vi har 60 jenter og 0 gutter. Av jentene røyker 18, av guttene 10. Vi tegner venndiagrammet som oppdelt i de fire mulighetene: J G R R R J R J R G R G Som kan illustreres med tabeller: J G Med antall: R Med sannsynlighet: R J G R R Fordelen med tabeller er at vi kan regne ut det meste rett fra tabellen uten å tenke så mye på formlene med betinget sannsynlighet: P R J og P J P R J P R J P J Tilsvarende: P R G P R G 0 0. P G Dessuten: P R P R J P R G 100 Total sannsynlighet I mange oppgaver kan de betingede sannsynlighetene være oppgitt f.eks. slik: P J 0.6, P G 0., P R J 0.3 og P R G 0.2 I tabell: J G R R Ulven sannsynlighet.tex

7 fordi P R J P J P R J og P R G P G P R G Da kan vi regne ut P R P R J P R G Vi kunne også ha skrevet P R P J P R J P G P R G som er setningen for total sannsynlighet. (Forsøk på formulering: Hvis utfallsrommet er delt opp i D 1,D 2,...der D i er disjunkte og tilsammen utgjør hele utfallsrommet, så kan en mengde skrives som unionen: A A D 1 A D 2...) For oversiktens skyld, tabellen fullstendig utfyllt: J G R R Legg merke til at summering av rader og kolonner stemmer hele veien. Dette gir gode muligheter for å kontrollere svar! Med sannsynlighetstre: Å trekke ut en person kan omformes til et såkalt to-trinns-forsøk der vi først undersøker kjønn og deretter undersøker om personen røyker. Dette kan illustreres med et sannsynlighetstre der alle muligheter listes opp slik: R J J R J R G G R G For å få en jente som røyker må vi først få en jente, deretter en jente som røyker, dvs først J og deretter R J hvilket fører til at P R J P J P R J Tilsvarende P R G P G P R G Samler vi opp alle som røyker, uavhengig av kjønn, får vi: P R P R J P R G P J P R J P G P R G Vi har igjen sett et eksempel på total sannsynlighet: Hvis utfallsrommet S er fullstendig oppdelt i O 1,O 2,O 3,...,O n og vi har gitt P A O 1, P A O 2,...,P A O n i tillegg til P O 1,P O 2,...,P O n har vi P A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n (Med fullstendig oppdeling mener vi at O-ene dekker hele S og at alle O-ene er disjunkte.) Dette kan illustreres slik med en tabell: Ulven sannsynlighet.tex

8 O 1 O 2... O n A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n P A A P O 1 P O 2... P O n 1 Eksempel på et rent fler-trinns-forsøk: I rene fler-trinns-forsøk er det som regel sannsynlighetstre som gir best oversikt. Vi har en urne med 2 røde, 3 svarte og hvite kuler. Vi trekker to kuler og observerer farven og rekkefølgen vi trekker farvene i. Vi bruker notasjonen for hvit kule trukket først og H 2 for hvit kule trukket sist osv. Uten tilbakelegging: (Avhengighet) Vi trekker uten tilbakelegging og får derfor avhengighet, sannsynligheter for den andre kulen avhenger av hva den første var. Vi ønsker å regne ut sannsynligheten for at en, og bare en, av kullene er hvit. H 2 H 2 H 2 H 2 Sannsynligetstreet over viser at P(en hvit) kan settes sammen av hendelsene H 2 og H 2 og vi får derfor: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H I tabell kan det fremstilles slik: H 2 H Med tilbakelegging: (Uavhengighet) Hvis vi legger tilbake den første kulen før vi trekker den andre, vil sannsynligheter for den andre kulen være helt uavhengig av hva den første var, og vi kan bruke multiplikasjonsregelen uten betinging. Vi får samme sannsynlighetstreet, men i utregningen forsvinner alle betinginger: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H Ulven sannsynlighet.tex

9 I tabell blir det seende slik ut: H 2 H 2 1 Jeg håper disse eksemplene illustrerer at det er lettere å takle oppgaver med betinget sannsynlighet og setningen for total sannsynlighet, hvis dere alltid tegner sannsynlighetstrær eller tabeller. Tabellene har også den fordelen at det er lett å kontrollere om man har regnet riktig. Med sannsynligheter i alle ruter skal alle vannrette og loddrette summer stemme og til slutt gi 1 nederst i høyre hjørne. Kombinatorikk Kombinatorikk er læren om hvordan vi kan gruppere og ordne et utvalg av elementer, og brukes til å regne ut sannsynligheter. Hvis vi trekker ut r elementer fra en mengde på n elementer, har vi hovedtilfeller: Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet n r n r Uordnet n r 1 n r r Tips: Prøv å gjøre om alle kombinatorikkoppgaver til et lappetrekkingseksperiment, der du skal trekke ut r av de n lappene. Still deg selv spørsmålene: Spiller rekkefølgen på de r uttukne lappene noen rolle? (Ordnet/uordnet utvalg?) Kan samme lappen trekkes flere ganger? (Med/uten tilbakelegging?) Eksempler: MTL/O Det skal spilles fotballkamper i en serie, hvor mange utfall kan vi få? Har n 3 lapper hvor vi har skrevet H,U eller B. Trekker r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, fordi hver lapp er resultatet på en spesiell kamp. Vi må legge tilbake lappen vi trekker hver gang, da flere kamper kan få samme resultat. Altså: Ordnet, med tilbakelegging: n r 3 23 UTL/O Vi har 28 elever og skal ta ut et stafettlag på personer. På hvor mange måter kan dette gjøres? Skriver navnene på n 28 lapper. Trekker ut r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, forskjell på å bli trukket ut til første eller siste etappe. Hver løper kan trekkes ut bare en gang. Altså: Ordnet, uten tilbakelegging: n r LR: 6 npr UTL/U: Du skal trekke ut kort fra en kortstokk. Hvor mange forskjellige hender kan du få? Kortstokken er allerede n 2 lapper, ferdig påskrevet. Rekkefølgen spiller ingen rolle, du har den samme hånden uansett hvordan du stiller den opp. Hvert kort kan bare trekkes en gang. n 2 Altså: Uordnet, uten tilbakelegging: r LR: 2 nc 13 MTL/U: (Egentlig ikke pensum, sjelden variant, men for fullstendighetens skyld) Du skal kjøpe r 10 aksjer fra n 1 forskjellige selskaper. På hvor mange måter kan du sette opp porteføljen din? Ulven 200 sannsynlighet.tex

10 Rekkefølgen spiller ingen rolle. Du kan kjøpe samme aksje flere ganger. n r Altså: Uordnet, med tilbakelegging: r LR: 2 nc 10 Sannsynlighetsfordelinger To viktige sannsynlighetsfordelinger ble introdusert i vg1: Binomisk fordeling: Forsøk: Kaste en mynt n ganger og observere antall kron. P K P M 0. Sannsynligheten for å få x kron blir da: P X x n x p x 1 p n x x 0. x 0. x Formelen kan utledes ved kombinatorikk. La oss se på muligheten for å få 3 kron. Mulige forsøksserier er f.eks. KKKMM, KKMMK, KMMKK osv. Sannsynligheten for å få akkurat en av disse blir da Vi innser at vi har slike serier, da vi kan få seriene ved å trekke ut n forskjellige 3 plasseringer for r 3 kron som en uordnet trekning uten tilbakelegging. Hypergeometrisk fordeling: En klasse har N 28 elever hvorav A 10 er jenter. Vi trekker ut n elever. Hvaer sannsynligheten for at x av disse er jenter? Her får vi A N A 10 P X x x n x x N n x 28 Hypergeometrisk fordeling: Avhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker uten tilbakelegging! Binomisk fordeling: Uavhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker med tilbakelegging. (Eller har så stor n at sannsynligheten holder seg konstant uansett.) I begge tilfeller gjør vi n enkeltforsøk med bare to utfall og teller antall suksesser tilsammen i alle enkeltforsøkene. Ulven sannsynlighet.tex

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Innhold: Produktsetning, avhengighet, betinget sannsynlighet (.2,.) Setningen om total sannsynlighet (.4) Bayes setning (.4) Disse tingene henger

Detaljer

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2016 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Geir Storvik Basert på presentasjon av Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6

Terningkast. Utfallsrommet S for et terningskast med en vanlig spillterning med 6 sider er veldefinert 1, 2, 3, 4, 5, 6 Terningkast Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Ett terningkast og utfallsrom... 1 Union og snitt... 4 Betinget sannsynlighet... 5 Forventningsverdi E(X) og varianse Var(X)... 5 Konfidensintervall for proporsjoner...

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2015 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel med en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

TMA4240 Statistikk 2014

TMA4240 Statistikk 2014 TMA0 Statistikk 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha

Detaljer

Tilfeldige variable (5.2)

Tilfeldige variable (5.2) Tilfeldige variable (5.) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet tilordner et tall, har vi laget en tilfeldig variabel. Tilfeldig variabel: En variabel som har en numerisk verdi for hvert utfall i

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Tilfeldige

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Aasum, Jon-Henning & Maers, Rafael Lukas 1. april 2014 Sammendrag Denne artikkelen forsøker å gi en god forklaring på grunnleggende kombinatorikk og sannsynlighetsregning,

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling

TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger : Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 5: Diskrete sannsynlighetsfordelinger 5.1-5.4: Uniform, binomisk, hypergeometrisk fordeling Mette Langaas 2 Arbeidshverdag etter endt studium Studere et fenomen (f.eks.

Detaljer

Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger

Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger Oppgaver: Kap. 7 - Sannsynlighetsfordelinger Oppgaver fra kapitlet Lærebok: 7.0-0-0-,7.--7, 7.-, 7., 7., 7.7 Oppgavesamling: 7.00, 7.0, 7.09, 7., 7.9, 7., 7.0, 7.0, 7.0 7.0-0-0-0- Stokastisk variabel:

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks

Detaljer

Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling.

Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling. 1 ECON 2130 HG mars 2015 Litt mer om den hypergeometriske fordelingen og dens tilnærming av binomisk fordeling. Grunnen til dette supplementet er dels at forholdet mellom hypergeometrisk og binomisk fordeling

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Binomisk modell. Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller (k. 3.6 Hyergeometrisk modell (k. 3.7 Geometrisk

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se

Detaljer

Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag. Vi har fått oppgitt at X poisson(λ) med

Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag. Vi har fått oppgitt at X poisson(λ) med Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalte oppgaver 5, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Vi lar X være antall tankskip som ankommer havnen i løpet av en dag.

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2014 MAT110 Statistikk 1 Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal 2 Figur 1: But under a different accounting convention... 3 4 Forord Dette er del I (av II) av kompendiet i faget MAT110 Statistikk

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 5: Sannsynlighetsfordelinger for diskrete variabler Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Tilfeldige variabler (5.1) Dersom vi til hvert utfall av eksperimentet

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Ny rammeplan for ingeniørfag Sannsynlighetsregning

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer