Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sannsynlighetsregning og kombinatorikk"

Transkript

1 Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår. Vi kan ikke regne ut hva som kommer til å skje, men ved hjelp av sannsynligheter kan vi vurdere hva som er mest sannsynlige utfall av alternative beslutninger. Beste strategi i tilfeldige situasjoner er å velge det som gir best sannsynligheter, for det vil lønne seg "i detlangeløp". Begreper: Tilfeldighet, hending/hendelse, forsøk, resultat, utfall,mengder, sannsynlighetsmodell, avhengighet, betinget sannsynlighet, mm. Regneregler: P A B,P A B,P A B, Total sannsynlighet, Bayes setning Viktige tips: Bruk av figurer: Venndiagram, sannsynlighetstrær, tabeller Hendinger og mengder Matematikken gir oss i de andre naturvitenskapene tallmessig oversikt over hva som vil skje i eksperimenter, forsøk og virkelige situasjoner når vi kjenner en del forutsetninger og premisser. Resultatet er altså ofte forutsigbart. Når vi derimot kaster en terning, er det umulig å si noe sikkert om resultatet. Likevel er det fruktbart å kunne si noe om hva som kan skje og prøve å tallfeste de forskjellige mulighetene. Sannsynlighetsregning prøver å kvantifisere (tallfeste) tilfeldighet. Dette gjøres ved å angi en sannsynlighet (sjanse, odds) til de forskjellige, mulige resultater. Tilfeldig: Umulig å forutsi resultatet Eksperiment: Kaste en mynt og observere om vi får M eller K, kaste en terning og observere om vi får 6, kaste to terninger og observere summen av antall øyne, trekke 2 kuler fra en krukke og observere om de har lik farve, osv. Legg merke til at vi må angi både hva som skal gjøres og hva som skal observeres! Kaste en terning er intet stokastisk forsøk, vi må spesifisere hva som skal observeres: Observere antall øyne Observere om vi får like antall øyne Observereomvifår3 eller Ulven sannsynlighet.tex

2 Utfall, elementær begivenhet: Et mulig enkeltresultat av et forsøk. Alle utfall er mulige, gjensidig utelukkende og utgjør tilsammen Utfallsformmet til et forsøk. Hendelse, hending, begivenhet: Samling av flere utfall, delmengder av utfallsrommet. Sannsynlighet: Tall mellom 0 og 1 (0 og 100% brukes av vanlige folk, men ikke matematikere/statistikere!). At sannsynligheten for å få 6 med et terningkast er P X 6 1 betyr i praksis at 6 hvis vi gjentar eksperimentet ganger, så kan vi regne med at ca av kastene gir sekser. ( De store talls lov ) Eksempler: Gjøremål: Observasjon: Utfallsrom med utfall: Eksempler på hendelser: A. Kaste mynt Kron eller mynt S {M,K} {M},{K},{M,K} B. Kaste terning Sekser? S {J,N} {J},{N},{J,N} C. Kaste terning Antall øyne? S {1,2,3,,,6} {1},{2,,6},{1,3,} D. Kaste to terninger Sum øyne? S {2,3,,,6,7,8,,10,11,12} {7},{3,6,,12} E. Undersøke lyspære Hvor lenge lyser den? S 0, 0,1000, 1000, F. Trekke ut en rekrutt Observere høyde S 10,20 (f.eks.) 180,20, 10, 180 Legg merke til: A.,B.,C. og D. har endelige utfallsrom, E. og F. har uendelige utfallsrom A.,B.,C. og D. har diskrete utfallsrom, E. og F. har kontinuerlige utfallsrom I E. og F. kan ikke utfall defineres (f.eks. 180), kun hendelser (f.eks. 17., 180. ) da ingen lyspære varer nøyaktig 180 timer og ingen rekrutt er nøyaktig 180 cm. Må angi intervaller i disse to tilfellene. Hendelsen {M,K} angir ikke noe som kan skje (umulig å få M og K samtidig), men en samling av flere mulige utfall.vi kan derfor si at P({M,K}) 1, da enten M eller K må skje. Notasjonseksempler med mengder: A.: P M 1, P M,K 1, P 0 2 C.: P 2,,6 1 2 eller L 2,,6 : Likeantalløyne U 1,3, : Ulikeantalløyne Ulven sannsynlighet.tex

3 P L 1 2, P U 1 2 D.: L 2,,6,8,10,12 : Liketall D3 3,6,,12 : Delelig med 3 P L 18 12, P D3 (Se lenger ned hvis du ikke skjønner hvorfor.) Kommentar: Når vi har utfall (6) skriver vi: P X 6 Når vi har hendelser skriver vi: P A når vi mener P X A Sannsynlighetsmodeller Som sagt: Hvis P(seks) 1 6, så betyr dette at ca. 1 6 av et stort antall kast vil gi seks. Dette kan formuleres som De Store Talls lov: " P seks lim n antall seks n 1 6 " (Anførselstegn, da dette ikke er helt riktig, korrekt formulering er: antall seks lim n P n Hvis det første uttrykket hadde vært riktig, hadde vi hatt determinisme istedenfor tilfeldighet! Dette problemet, som bøker ikke nevner, er faktisk utgangspunktet for at man isteden valgte å definere sannsynlighetsregningen aksiomatisk (matematisk), ikke empirisk (De Store Talls lov). Da gjør man seg uavhengig av, og trenger ikke ta hensyn til problemene med de store talls lov. Aksiomene baserer seg altså ikke på de store talls lov, men vi kan utlede de store talls lov (korrekt formulering) ut fra aksiomene. Viktige resultater: (Aksiomene!) Motsatt sannsynlighet: P(A 1 P A er viktig fordi det ofte er letter å regne ut det motsatte av det det spørres om! Addisjonssetningen: P A B P A P B P A B når A og B ikke er disjunkte, dvs A B ikke er tom mengde. Ulven sannsynlighet.tex

4 Produktsetningen: P A B P A P B når A og B er uavhengige, dvs når hendelsene A og B ikke influerer på hverandre. (Avhengighet: Se betinget sannsynlighet senere.) Når vi skal finne sannsynligheter, er de vanligste mulighetene: Empirisk sannsynlighet: Brukes når det er umulig å utlede noen teoretisk sannsynlighet. Da må vi basere oss på erfaring. P(guttefødsel) er litt større enn P(jentefødsel) og tallfestingen av disse er kun basert på empirisk vurdering av fødselsstatistikker. Tegnestifteksemplet må også undersøkes empirisk. (Sannsynligheten for at en tegnestift skal lande med spissen opp.) Geometrisk/Symmetrisk sannsynlighet: P X 6 p 1 for et terningkast er basert på at alle utfall er like sannsynlige, da det rent 6 geometrisk ikke er noen grunn til at et resultat skal være mer sannsynlig enn de andre.med 6 like sannsynligeutfallmådap p p p p p 1 p 1 6 Tilfeller med like sannsynlige utfall kalles Uniforme sannsynlighetsmodeller. Her gjelder den viktige huskeregelen: Sammensatte sannsynligheter: P noe skjer antall gunstige enkeltutfall antall mulige enkeltutfall I mer komplekse tilfeller må man se på modellen som en sammensetning av uniforme modeller, slik at p gunstige kan brukes. Det vil si at utfall i det forsøket vi studerer betraktes som mulige hendelser satt sammen av utfall i et enklere, uniformt forsøk! Eksempel på sammensatte sannsynligheter: E. Kast med to terninger hvor summen av øyne studeres. Utfallsrom: S 2,3,,,6,7,8,,10,11,12 Utfallene her kan sees på som hendelser i et annet forsøk, nemlig kast med to terninger hvor man observerer øyne og i hvilken rekkefølge vi fikk dem. I dette forsøket har vi utfallsrommet: S { Ulven 200 sannsynlighet.tex

5 1,1 1,2 1,3 1, 1, 1,6 2,1 2,2 2,3 2, 2, 2,6 3,1 3,2 3,3 3, 3, 3,6,1,2,3,,,6,1,2,3,,,6 6,1 6,2 6,3 6, 6, 6,6 } og dette utfallsrommet er uniformt med p 1. Utfallet 7 er f.eks. hendelsen {(6,1),(,2),(,3),(3,),(2,),(1,6)} i det uniforme forsøket. Vi får P 7 P 6,1 P,2... P 1,6 p p p p p p 6 (da utfallene i det uniforme forsøket er disjunkte) Vi får sannsynlighetsfordelingen: x P X x Betinget sannsynlighet Her anbefaler jeg meget sterkt at dere lærer dere til å bruke tabeller og sannsynlighetstrær, slik det blir vist lenger ned! Reglene for betinget sannsynlighet er særlig aktuelle ved sammensatte hendelser og forsøk som går i flere trinn, eller er sammensatt av flere forsøk Også aktuelt når man bare kjenner sannsynligheter for hendelser, altså sammensatte utfall. Forsøk: Trekke kort fra kortstokk og observere valør. E: Ess H: Honnørkort S: Spar Begrepet og notasjonen for betinget sannsynlighet er enkel nok: a) P Ess, når vi vet at det er en spar P E S (sier E gitt S) b) P Ess, når vi vet at det er en honnør P E H (sier E gitt H) Men hvordan regner vi det ut? a) Vi befinner oss i praksis i et redusert utfallsrom, nemlig de 13 forskjellige sparkortene. Av disse er bare ett ess og vi får P E S 1 eller forholdet mellom antall muligheter i E S; 1 13 og S; I et uniformt utfallsrom kan vi regne: P E S P S b) Redusert utfallsrom er her de 16 honnørene, og da vi har ess får vi: P E H 16 som også kunne vært skrevet P E H 2 P H Regel for betinget sannsynlighet: P A B P A B P B Ulven 200 sannsynlighet.tex

6 som gir to andre regler: P A B P B P A B eller P A B P A P B A Uavhengige hendelser Legg merke til at P E 1 som er lik P E S men forskjellig fra P E H Hendelsen E er derfor uavhengig av S, men avhengig av H. To hendelser A og B er uavhengige hvis: P A B A ellerpåenannenmåtep A B P A P B Betingede sannsynligheter kommer kanskje best frem hvis man tegner Venn-diagrammene som tabeller eller sannsynlighetstrær: Eksempel: Vi skal trekke en elev fra en gruppe på 100 elever, der vi har 60 jenter og 0 gutter. Av jentene røyker 18, av guttene 10. Vi tegner venndiagrammet som oppdelt i de fire mulighetene: J G R R R J R J R G R G Som kan illustreres med tabeller: J G Med antall: R Med sannsynlighet: R J G R R Fordelen med tabeller er at vi kan regne ut det meste rett fra tabellen uten å tenke så mye på formlene med betinget sannsynlighet: P R J og P J P R J P R J P J Tilsvarende: P R G P R G 0 0. P G Dessuten: P R P R J P R G 100 Total sannsynlighet I mange oppgaver kan de betingede sannsynlighetene være oppgitt f.eks. slik: P J 0.6, P G 0., P R J 0.3 og P R G 0.2 I tabell: J G R R Ulven sannsynlighet.tex

7 fordi P R J P J P R J og P R G P G P R G Da kan vi regne ut P R P R J P R G Vi kunne også ha skrevet P R P J P R J P G P R G som er setningen for total sannsynlighet. (Forsøk på formulering: Hvis utfallsrommet er delt opp i D 1,D 2,...der D i er disjunkte og tilsammen utgjør hele utfallsrommet, så kan en mengde skrives som unionen: A A D 1 A D 2...) For oversiktens skyld, tabellen fullstendig utfyllt: J G R R Legg merke til at summering av rader og kolonner stemmer hele veien. Dette gir gode muligheter for å kontrollere svar! Med sannsynlighetstre: Å trekke ut en person kan omformes til et såkalt to-trinns-forsøk der vi først undersøker kjønn og deretter undersøker om personen røyker. Dette kan illustreres med et sannsynlighetstre der alle muligheter listes opp slik: R J J R J R G G R G For å få en jente som røyker må vi først få en jente, deretter en jente som røyker, dvs først J og deretter R J hvilket fører til at P R J P J P R J Tilsvarende P R G P G P R G Samler vi opp alle som røyker, uavhengig av kjønn, får vi: P R P R J P R G P J P R J P G P R G Vi har igjen sett et eksempel på total sannsynlighet: Hvis utfallsrommet S er fullstendig oppdelt i O 1,O 2,O 3,...,O n og vi har gitt P A O 1, P A O 2,...,P A O n i tillegg til P O 1,P O 2,...,P O n har vi P A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n (Med fullstendig oppdeling mener vi at O-ene dekker hele S og at alle O-ene er disjunkte.) Dette kan illustreres slik med en tabell: Ulven sannsynlighet.tex

8 O 1 O 2... O n A P O 1 P A O 1 P O 2 P A O 2... P O n P A O n P A A P O 1 P O 2... P O n 1 Eksempel på et rent fler-trinns-forsøk: I rene fler-trinns-forsøk er det som regel sannsynlighetstre som gir best oversikt. Vi har en urne med 2 røde, 3 svarte og hvite kuler. Vi trekker to kuler og observerer farven og rekkefølgen vi trekker farvene i. Vi bruker notasjonen for hvit kule trukket først og H 2 for hvit kule trukket sist osv. Uten tilbakelegging: (Avhengighet) Vi trekker uten tilbakelegging og får derfor avhengighet, sannsynligheter for den andre kulen avhenger av hva den første var. Vi ønsker å regne ut sannsynligheten for at en, og bare en, av kullene er hvit. H 2 H 2 H 2 H 2 Sannsynligetstreet over viser at P(en hvit) kan settes sammen av hendelsene H 2 og H 2 og vi får derfor: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H I tabell kan det fremstilles slik: H 2 H Med tilbakelegging: (Uavhengighet) Hvis vi legger tilbake den første kulen før vi trekker den andre, vil sannsynligheter for den andre kulen være helt uavhengig av hva den første var, og vi kan bruke multiplikasjonsregelen uten betinging. Vi får samme sannsynlighetstreet, men i utregningen forsvinner alle betinginger: P en hvit P H 2 P( H 2 P P H 2 P P H Ulven sannsynlighet.tex

9 I tabell blir det seende slik ut: H 2 H 2 1 Jeg håper disse eksemplene illustrerer at det er lettere å takle oppgaver med betinget sannsynlighet og setningen for total sannsynlighet, hvis dere alltid tegner sannsynlighetstrær eller tabeller. Tabellene har også den fordelen at det er lett å kontrollere om man har regnet riktig. Med sannsynligheter i alle ruter skal alle vannrette og loddrette summer stemme og til slutt gi 1 nederst i høyre hjørne. Kombinatorikk Kombinatorikk er læren om hvordan vi kan gruppere og ordne et utvalg av elementer, og brukes til å regne ut sannsynligheter. Hvis vi trekker ut r elementer fra en mengde på n elementer, har vi hovedtilfeller: Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet n r n r Uordnet n r 1 n r r Tips: Prøv å gjøre om alle kombinatorikkoppgaver til et lappetrekkingseksperiment, der du skal trekke ut r av de n lappene. Still deg selv spørsmålene: Spiller rekkefølgen på de r uttukne lappene noen rolle? (Ordnet/uordnet utvalg?) Kan samme lappen trekkes flere ganger? (Med/uten tilbakelegging?) Eksempler: MTL/O Det skal spilles fotballkamper i en serie, hvor mange utfall kan vi få? Har n 3 lapper hvor vi har skrevet H,U eller B. Trekker r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, fordi hver lapp er resultatet på en spesiell kamp. Vi må legge tilbake lappen vi trekker hver gang, da flere kamper kan få samme resultat. Altså: Ordnet, med tilbakelegging: n r 3 23 UTL/O Vi har 28 elever og skal ta ut et stafettlag på personer. På hvor mange måter kan dette gjøres? Skriver navnene på n 28 lapper. Trekker ut r lapper. Rekkefølgen spiller rolle, forskjell på å bli trukket ut til første eller siste etappe. Hver løper kan trekkes ut bare en gang. Altså: Ordnet, uten tilbakelegging: n r LR: 6 npr UTL/U: Du skal trekke ut kort fra en kortstokk. Hvor mange forskjellige hender kan du få? Kortstokken er allerede n 2 lapper, ferdig påskrevet. Rekkefølgen spiller ingen rolle, du har den samme hånden uansett hvordan du stiller den opp. Hvert kort kan bare trekkes en gang. n 2 Altså: Uordnet, uten tilbakelegging: r LR: 2 nc 13 MTL/U: (Egentlig ikke pensum, sjelden variant, men for fullstendighetens skyld) Du skal kjøpe r 10 aksjer fra n 1 forskjellige selskaper. På hvor mange måter kan du sette opp porteføljen din? Ulven 200 sannsynlighet.tex

10 Rekkefølgen spiller ingen rolle. Du kan kjøpe samme aksje flere ganger. n r Altså: Uordnet, med tilbakelegging: r LR: 2 nc 10 Sannsynlighetsfordelinger To viktige sannsynlighetsfordelinger ble introdusert i vg1: Binomisk fordeling: Forsøk: Kaste en mynt n ganger og observere antall kron. P K P M 0. Sannsynligheten for å få x kron blir da: P X x n x p x 1 p n x x 0. x 0. x Formelen kan utledes ved kombinatorikk. La oss se på muligheten for å få 3 kron. Mulige forsøksserier er f.eks. KKKMM, KKMMK, KMMKK osv. Sannsynligheten for å få akkurat en av disse blir da Vi innser at vi har slike serier, da vi kan få seriene ved å trekke ut n forskjellige 3 plasseringer for r 3 kron som en uordnet trekning uten tilbakelegging. Hypergeometrisk fordeling: En klasse har N 28 elever hvorav A 10 er jenter. Vi trekker ut n elever. Hvaer sannsynligheten for at x av disse er jenter? Her får vi A N A 10 P X x x n x x N n x 28 Hypergeometrisk fordeling: Avhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker uten tilbakelegging! Binomisk fordeling: Uavhengighet mellom trekninger, fordi vi trekker med tilbakelegging. (Eller har så stor n at sannsynligheten holder seg konstant uansett.) I begge tilfeller gjør vi n enkeltforsøk med bare to utfall og teller antall suksesser tilsammen i alle enkeltforsøkene. Ulven sannsynlighet.tex

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Aasum, Jon-Henning & Maers, Rafael Lukas 1. april 2014 Sammendrag Denne artikkelen forsøker å gi en god forklaring på grunnleggende kombinatorikk og sannsynlighetsregning,

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2014 MAT110 Statistikk 1 Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal 2 Figur 1: But under a different accounting convention... 3 4 Forord Dette er del I (av II) av kompendiet i faget MAT110 Statistikk

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

En kort innføring i sannsynlighetsregning

En kort innføring i sannsynlighetsregning En kort innføring i sannsynlighetsregning Harald Goldstein Sosialøkonomisk institutt Januar 2000 Innhold 1 Innledning 1 2 Begivenheter og sannsynlighet 4 2.1 Matematiskbeskrivelseavbegivenheter... 4 2.2

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Loven om total sannsynlighet. Bayes formel. Testing for sykdom. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Loven om total sannsynlighet La A og Ā være komplementære hendelser, mens B er en annen hendelse. Da er: P(B) P(B oga)+p(b ogā) P(B A)P(A)+P(B Ā)P(Ā) ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

Simulering - Sannsynlighet

Simulering - Sannsynlighet Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Simulering på regneark

Simulering på regneark Anne Berit Fuglestad Simulering på regneark Trille terninger eller kaste mynter er eksempler som går igjen i sannsynlighetsregningen. Ofte kunne vi trenge flere forsøk for å se en klar sammenheng og få

Detaljer

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1 La være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?

1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk? 1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418 4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012

FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012 FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012 2 Innhold TALL OG ALGEBRA... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: ADDISJON OG SUBTRAKSJON... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: MULTIPLISERE MED NEGATIVE TALL... 5 Å REGNE MED NEGATIVE TALL:

Detaljer

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV.. 21

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV.. 21 Innhold Velkommen til studiet... 13 Oppbygning... 15 Sammenheng og helhet... 16 Pedagogisk struktur... 17 Lykke til med et spennende kurs... 19 DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV.. 21 Kapittel 1 Tall...

Detaljer

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21

Innhold DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21 Innhold Velkommen til studiet... 13 Oppbygning... 15 Sammenheng og helhet... 16 Pedagogisk struktur... 17 Lykke til med et spennende kurs... 19 DEL I MATEMATIKK SKOLEFAG OG KULTURARV 21 Kapittel 1 Tall...

Detaljer

Kontinuerlige stokastiske variable.

Kontinuerlige stokastiske variable. Kontinuerlige stokastiske variable. I forelesning har vi sett på en kontinuerlig stokastisk variabel med sannsynlighetstetthet f() =2 og sannsynlighetsfunksjon F () = 2 for. Der hadde jeg et reint regneteknisk

Detaljer

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så

Detaljer

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet

oppgaver fra abels hjørne i dagbladet oppgaver fra abels hjørne i dagbladet sett 37 dag 1 1. Dersom vi dobler et bestemt tall, og så trekker fra tre, får vi tre mer enn halvparten av det tallet vi begynte med. Hvilket tall begynte vi med?

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 4 Statistikk og kvantitativ metode Kapittel 4 Oppgave 1. La x være antall øyne på terningen. a) Vi får følgende sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Jo Eidsvik og Arild Brandrud Næss Tlf: 90 12 74 72 og 99 53 82 94 Eksamensdato: 9. desember 2013 Eksamenstid

Detaljer

R2-01.09.14 - Løsningsskisser

R2-01.09.14 - Løsningsskisser R - 0.09.4 - Løsningsskisser Algebra Oppgave Finn den eksplisitte formelen for n te ledd i tallfølgene: a), 4, 6, 8, 0,... b),, 5, 7, 9,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 4, 5 4, 6 5,... a) Vi ser at følgen med

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

2 Om å lære matematikk og litt om vurdering av måloppnåelse/kompetanse

2 Om å lære matematikk og litt om vurdering av måloppnåelse/kompetanse Fagdag 5-3MX Innhold: 1. Tilbakemelding på første termin 2. Om å lære matematikk og vurdering 3. Sannsynlighetsfordelinger (7.2), forventning og varians (7.3, 7.4): Gjennomgåelse 4. Oppgaver 1 Tilbakemelding

Detaljer

Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for barnetrinnet

Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for barnetrinnet Tilfeldighetenes spill Undervisningsopplegg for barnetrinnet Utviklet med støtte fra Bakgrunn og innledning Tilfeldighetenes spill var et eksperiment som ble kjørt på Akvariet i Bergen under Forskningsdagene

Detaljer

1 Stokastisk variabel

1 Stokastisk variabel FY1/TFY415 Innføring i kvantefysikk - Notat om sannsynlegheit 1 1 Stokastisk variabel Før vi byrjar på oppgåvene gjev vi ein liten briefing om stokastiske variable, middelverdiar, usikkerheiter osb. Ein

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten.

DEL 1. Uten hjelpemidler. a) Forklar at likningssystemet nedenfor kan brukes til å regne ut sidene i trekanten. DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) 6 4 0 b) lg lg lg(4 ) Oppgave ( poeng) ABC er rettvinklet. Et punkt P på AC er plassert slik at PA AB PC CB. Vi setter PC og CB. C P 10 A 0

Detaljer

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Ungdomstrinnet 8 _ (x²) 1 2 4 (x²) 1 2 _ (x²) 1 2 _ 4 _ 8 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

Sannsynlighet (Kap 3)

Sannsynlighet (Kap 3) Sannsynlighet (Kap 3) Medisinsk statistikk Del I 3 sept. 2008 Eirik Skogvoll, 1.amanuensis/ overlege Hva er sannsynlighet? Grunnleggende sannsynlighetsregning 1 Brystkreft (Eks. 3.1) Forekomst av brystkreft

Detaljer

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter

Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn, Vg1 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som dere kan jobbe videre

Detaljer

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum og Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking og aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå

Detaljer

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans

Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens. - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans Denne uken: kap. 6.1-6.2-6.3: Introduksjon til statistisk inferens - Konfidensintervall - Hypotesetesting - P-verdier - Statistisk signifikans VG 25/9 2011 Statistisk inferens Mål: Trekke konklusjoner

Detaljer

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå matematikk.

Detaljer

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i

Tall: Hovedområdet tall og algebra handler om å utvikle tallforståing og innsikt i hvordan tall og tallbehandling inngår i Lærebok: Tusen Millioner, Gjerdrum og Skovdahl Tallbok (rutebok i A5 format) Barn lærer matematikk gjennom spill, leik, utforsking og aktiv samhandling. Språkets betydning er veldig viktig for å forstå

Detaljer

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015

MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 MATEMATIKK 1 (for 8. 10. trinn) Emnebeskrivelser for studieåret 2014/2015 Emnenavn Grunnleggende matematikk Precalculus MA6001 Undervisningssemester Høst 2014 Professor Petter Bergh petter.bergh@math.ntnu.no

Detaljer

OVERFLATE FRA A TIL Å

OVERFLATE FRA A TIL Å OVERFLATE FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til overflate... 2 2 Grunnleggende om overflate.. 2 3 Overflate til:.. 3 3 3a Kube. 3 3b Rett Prisme... 5 3c

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Innledning og litt historie Flere almanakker viser hvilke dager det er fullmåne og når

Detaljer

Innhold. Innledning. Del I

Innhold. Innledning. Del I Innhold Del I Innledning 1 Hva er statistikk?...17 1.1 Bokas innhold 18 1.1.1 Noen eksempler 18 1.1.2 Historie 21 1.1.3 Bokas oppbygning 22 1.2 Noen viktige begreper 23 1.2.1 Populasjon og utvalg 23 1.2.2

Detaljer

Motivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008

Motivasjon for kurset. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2008. Oppsummering. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 2008 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 008 Oppsummering ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk våren 008 Pensum: Pensumbok: Per Chr. Hagen: "Innføring i sannsynlighetsregning og statistikk",

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk.

Sannsynlighetsregning og Statistikk. Sannsynlighetsregning og Statistikk. Leksjon Velkommen til dette kurset i sannsynlighetsregning og statistikk! Vi vil som lærebok benytte Gunnar G. Løvås:Statistikk for universiteter og høyskoler. I den

Detaljer

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling Om du ikkje alt har gjort det: https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/start Video http://video.adm.ntnu.no/serier/55d47b463d96a Referansegruppe

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØONOIS INSTITUTT Eksamensdag: 01.06.2015 Sensur kunngjøres: 22.06.2015 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus

NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus NyGIV Regning som grunnleggende ferdighet Akershus Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken 16.januar 014 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt! tone.bakken@ohg.vg.no

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

Dersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller.

Dersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller. "FBI-spillet" ------------- Et spill for 4 spillere av Henrik Berg Spillmateriale: --------------- 1 vanlig kortstokk - bestående av kort med verdi 1 (ess) til 13 (konge) i fire farger. Kortenes farger

Detaljer

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013 Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Magisk Matematikk. 75 minutter. Passer for: Varighet:

Magisk Matematikk. 75 minutter. Passer for: Varighet: Lærerveiledning Passer for: Varighet: Magisk Matematikk 9. - 10. trinn 75 minutter Magisk Matematikk er et skoleprogram som tar utgangspunkt i «magiske» talltriks i plenum som enkelt avsløres med algebra,

Detaljer

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Mappeoppgave om sannsynlighet

Mappeoppgave om sannsynlighet Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en

Detaljer

Heldagsprøve. Matematikk - S2. 6 Mai 2010

Heldagsprøve. Matematikk - S2. 6 Mai 2010 S2 -Heldagsprøve V0 Heldagsprøve Matematikk - S2 6 Mai 200 Løsningsskisser Del Oppgave a) En rekke er gitt ved 7 3 9... ) Finn ledd nummer 25 i rekken. a 25 a d n 6 25 45 2) Finn summen av de første 50

Detaljer

Hvordan lykkes med matematikkundervisningen?

Hvordan lykkes med matematikkundervisningen? Mona Røsseland Nasjonalt senter for matematikk i Opplæringen Leder i LAMIS Lærebokforfatter, MULTI Hvordan lykkes med matematikkundervisningen? Kongsberg 15.mai 07 14-May-07 Oversikt Hvordan skal vi i

Detaljer

3 x 3 ruter. Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver

3 x 3 ruter. Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver 3 x 3 ruter Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver som kan brukes i matematikktimene. Magisk kvadrat Du har

Detaljer

Tallinjen FRA A TIL Å

Tallinjen FRA A TIL Å Tallinjen FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til tallinjen T - 2 2 Grunnleggende om tallinjen T - 2 3 Hvordan vi kan bruke en tallinje T - 4 3.1 Tallinjen

Detaljer

Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007

Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007 Forslag til opplegg for en foreldrekveld om matematikk (varighet: 2 timer) v/ Ingvill M. Stedøy-Johansen, 2007 Inviter foreldrene på matematisk aften (forslag til invitasjon nederst i dette dokumentet).

Detaljer