Prøve 6 1T minutter. Alle hjelpemidler

Transkript

1 Prøve 6 T minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten for å få en svart kule når vi trekker fra boks A? Sannsynligheten kan vi finne ved forholdet antall gunstige antall mulige Sannsynligheten for å få en svart kule når vi trekker fra boks A er 4 b) Vi vinner en premie hvis vi trekker en svart kule. ar vi størst sjanse for å vinne hvis vi trekker fra boks A eller fra boks B? Begrunn svaret! Trekker vi fra boks B vil sannsynligheten være 8 2. Siden 2 vil det være mer 2 4 sannsynlig hvis vi trekker fra boks A Boks A gir størst mulighet for gevinst Vi tømmer alle kulene i en boks og trekker kuler uten å legge dem tilbake. c) vor stor sannsynlighet er det for at den første kula er hvit? Nå er det 20 kuler i boksen og 6 av dem er hvite. Det gir sannsynligheten: Sannsynlighet er det for at den første kula er hvit er 0 d) vor stor sannsynlighet er det for at den første kula er hvit og den andre svart? Da vi trekker for andre gang er sannsynligheten for å trekke svart: 4 9 endigen er sammensatt og sannsynligheten blir Sannsynlighet er det for at den første kula er hvit og den andre svart er 2 95 ans og Grete deltar i en konkurranse hvor boksen over blir benyttet. De kan vinne 000 kr hvis de trekker ei hvit kule. Begge skal trekke en gang. ans er en gentlemann og lar Grete starte. er er det lurt å starte med et valgtre med disse symbolene G - Grete vinner - ans vinner

2 G Start G e) va er sannsynligheten for at Grete vinner? PG Sannsynligheten er 0 f) va er sannsynligheten for at ans vinner? På hvilke måter kan det skje? Jo, enten kan Grete trekke ei svart kule og så må ans gjøre det samme. Det andre alternativet er at Grete trekker ei hvit kule og at ans trekker ei svart. Det gir denne sannsynligheten: P PG P G PG P G Sannsynligheten er 0 Oppgave 2 I oppgangen i boligblokken du bor kan du taste en kode med fire siffer for å åpne ytterdøra istedenfor å bruke nøkkel. Som vist på bildet kan du velge mellom 0 tall, tallene mellom 0 og 9. a) vor mange ulike koder kan det lages? Antall kombinasjoner: ulike koder kan lages b) va er sannsynligheten for å stille inn låsen slik at døra åpnes? En gunstig mulighet for at den går opp. Ved første forsøk er sannsynligheten. vis vi 0000 går systematisk til verks og velger en annen kode neste gang er sannsynligheten da Slik fortsetter det. Etter n forsøk er sannsynligheten: n I denne oppgaven burde du kommentert at sannsynligheten er avhengig av antall ganger. c) Du får oppgitt at ingen av tallene kan brukes flere ganger, hvor mange ulike koder kan du velge blant nå? Først kan vi velge blant 0, neste gang blant 9 osv. Da finner vi antall kombinasjoner ved: Det er 5040 ulike koder Oppgave Du kaster to terninger. va er sannsynligheten for å få 2

3 I denne oppgaven har vi to muligheter. Vi kan enten regne med sannsynlighetene eller telle antall gunstige utfall. a) To seksere Ved å anta at sannsynligheten for å få en sekser (eller alle andre sider) er, kan vi regne 6 ut sannsynligheten slik: Vi kan også se at det bare er ett gunstig utfall av 6 på figuren over. Sannsynligheten er 6 b) En sekser og en firer? Vi går fram på samme måte, men her må vi ta med at vi kan får en sekser og en firer ved to forskjellige kombinasjoner. Se også figuren Sannsynligheten er 8 Oppgave 4 Agda er bueskytter og når hun skyter er det sannsynligheten 0,75 for at hun treffer blinken. Vi definerer hendingen: T - hun treffer og T - hun treffer ikke PT PT a) un skyter fire piler. va er sannsynligheten for at hun ) treffer med alle fire pilene Ptreffe med alle fire pilene PT PT PT PT Sannsynligheten for å treffe med alle fire pilene er ) bommer med alle fire pilene Pbomme med alle fire pilene PT PT PT PT Sannsynligheten for å bomme med alle fire skuddene er ) treffer med minst ei pil vis hun ikke bommer med alle fire pilene må hun treffe med minst ei pil. Vi vet sannsynligheten for å bomme med alle fire. Sannsynligheten for alle andre hendinger blir da:

4 Sannsynligheten for å treffe med minst ett skudd er b) På hvor mange måter kan hun treffe med tre piler når hun skyter fem piler? vor mange forskjellig måter kan hun gjøre det på? I tabellen under har jeg prøvd å illustrere alle kombinasjonene av å treffe målet (T) og å bomme (-): T T T - - T T - T - T T - - T T - T T - T - T - T T - - T T - T T T - - T T - T T - T T - - T T T Vi kan også regne ut det samme ved binomialkoeffisienten: 5 0 un kan treffe på 0 forskjellige måter c) va er sannsynligheten for at hun treffer tre av fem ganger? Enten slik: Sannsynligheten for hver av disse kombinasjonene blir: PT PT PT PT PT Det kan skje på ti forskjellige måter. Da blir sannsynligheten: Eller med formelen for binomisk forsøk: PX Sannsynligheten for å treffe to av fire ganger er d) Agda skyter 00 piler. va er sannsynligheten for at hun treffer på 50 av dem? er må vi bruke formelen: PX Eller: binompdf (00, 0.75, 50) Sannsynligheten for at hun treffer på 50 er e) For å bli mesterskytter må Agda treffe med minst 48 av 50 piler. va er sannsynligheten for det? Enten slik: Dette kan vi se på som den komplementære sannsynligheten av at hun treffer med 99 eller 00 skudd. Phun treffer med 98, 99 eller Eller: - binomcdf(50, 0.75, 47) Sannsynligheten for at hun blir mesterskytter er

5 Oppgave 5 I en spørreundersøkelse ved en bedrift ble det spurt om hvem som ønsket å delta i bedriftsidrettslaget. Resultatene er gitt i tabellen under: Ønsker å delta Ønsker ikke å delta Kvinner 4 20 Menn 27 0 Vi plukker ut en tilfeldig ansatt og definerer hendingene: B : den ansatte ønsker å delta i bedriftsidrettslaget M : den ansatte er en mann a) Forklar hva vi mener med sannsynlighetene Alle er sannsynligheten for at vi plukker ut en ansatt PB M er sannsynligheten for at den ansatte er mann som vil være med i bedriftidrettslaget PB M er sannsynligheten for at den ansatte er en som ikke vil være med i bedriftsidrettslaget eller er en mann PM B er sannsynligheten for at den ansatte er en mann når vi vet at den som plukkes ut vil være med på idrettslaget b) Bestem sannsynlighetene over. Det er lurt å utvide tabellen med summene Ønsker å delta Ønsker ikke å delta Sum Kvinner Menn Sum For å finne sannsynlighetene kan vi lese direkte av tabellen og sette inn i brøken antall gunstige antall mulige PB M PB M PM B Vi kan også finne PB M slik: PB M PB PM PB M PB M Legg også merke til at PM B PB og at PB M PB PM B PB M 0. 09, PB M 0. 86, PM B