TMA4240 Statistikk 2014

Transkript

1 TMA0 Statistikk 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan ha noen felles elementer. De fire hendelsene A B, A B, A B og A B er representert med skravert område i venndiagrammene i figur til. Figur : Venn-diagram for hendelsen A B Fra venn-diagrammene i figur og ser vi at Figur : Venn-diagram for hendelsen A B der S er utfallsrommet. Det vil si at A B S \ A B. A B A B S, ov-lsf-b 3. september 0 Side

2 TMA0 Statistikk 0 Figur 3: Venn-diagram for hendelsen A B Figur : Venn-diagram for hendelsen A B Oppgave En eske inneholder 00 gjenstander som kan ha defekter av type A, type B og type C. Følgende defekter er oppgitt i oppgaven: Beskrivelse Symbol Antall Ingen defekt A B C 6 Har kun defekt av type A A B C 3 Har kun defekt av type B A B C Har kun defekt av type C A B C 9 Har defekt av type A og B, ikke C A B C 3 Har defekt av type A og C, ikke B A B C Har defekt av type B og C, ikke A A B C Har defekt av alle typer A B C La gjenstandene være nummerert,..., 00. Et naturlig utfallsrom er da S {,, 3,..., 99, 00}. Venn-diagrammet for defekter av type A, type B og type C er vist i figur. Vi har videre ov-lsf-b 3. september 0 Side

3 TMA0 Statistikk 0 Figur : Venn-diagram for defekter av type A, type B og type C. Beskrivelse Symbol Antall Minst en type defekt A B C Bare en type defekt A B C A B C A B C 6 Minst to typer defekt A B A C B C 8 ov-lsf-b 3. september 0 Side 3

4 Oppgave 3 a b P En er med en terning P n ere med n terninger Antall måter å få en er Totalt antall utfall Antall måter å få n ere Totalt antall utfall TMA0 Statistikk n c Anta at rekkefølgen har noe å si: Dersom rekkefølgen på terningene har noe å si kan man først plassere erne på n m måter. Deretter er det måter å velge hver verdi på de andre terningene. Dermed får vi m ere på n m n m måter. Anta at rekkefølgen ikke har noe å si: De terningene vi ikke vet alt om er de n m terningene vi ikke har fått femmere på. Hvis vi sorterer disse terningene fra lavest til høyest, er det lett å skille mellom forskjellige kastene. Ethvert slikt kast har brudd transisjoner fra en verdi til den neste, og beskrives unikt ved å vite hvor disse bruddene er de kan være både på starten og på slutten. Antall måter å sette inn brudd på er det samme som antall måter vi kan ta n m + posisjoner og dele opp i en gruppe på og en gruppe på n m. Dermed får vi m ere på n m+ måter. d n og m 3. Svar på b: Svar på c: P n ere med n terninger Måter å få 3 ere på 3 3 Vi kan for eksempel kjøre Matlab-filen throw dice,00000,, vi kaster altså n terninger ganger den siste parameteren angir bare om noe skal plottes. I Figur 6 ser vi et resultat av disse kastene. Den første figuren angir hvor mange ere, ere osv vi har fått til sammen på enkelte terningkast. Vi leser av at vi har fått 8308 ere som gir altså tilnærmet likt svaret i a Den andre figuren angir hvor mange ganger de ulike terningsummene har blitt kastet, med minimum terningsum ere og maksimum 30 6 ere. Vi leser av at terningsummen, altså bare ere, er blitt kastet av ganger som gir som er tilnærmet likt tallsvaret fra b. Merk: Resultatene fra kjøringen hadde vært enda nærmere svarene fra a og b dersom vi hadde kastet terningene enda flere ganger. ov-lsf-b 3. september 0 Side

5 TMA0 Statistikk 0 Figur 6: Eksempel barplot med terningkast med terninger. Oppgave Det er 00 lodd: lodd gir gevinst A, lodd gir gevinst B og 98 gir ingen gevinst. Per trekker lodd uten tilbakelegging. La A være at Per vinner gevinst A, B være at Per vinner gevinst B og C være at Per vinner minst en gevinst. P A P B A P A B C P B A P A P A B C P A B P C P C Oppgave Definer M : Mann K : Kvinne F : Fargeblind med oppgitte sannsynligheter P M 0. ov-lsf-b 3. september 0 Side

6 TMA0 Statistikk 0 P K 0. P F M 0.0 P F K Vi skal beregne P M F, og bruker Bayes regel: P M F P M F P F P M P F M P M P F M + P K P F K Oppgave 6 a Ett par, dvs kort med samme verdi og 3 kort med ulike andre verdier. Det finnes 3 verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter. Verdiene til de tre siste kortene kan velges på ulike måter etter at verdien på 3 paret er valgt ut, har en tolv ulike verdier igjen. Hvert av disse tre kortene har mulige fargekombinasjoner. Tilsammen har en ulike måter å trekke ut kort fra. Dette gir 3 3 P Ett par 0.6. b To par, dvs to kort med en verdi, to kort med en annen verdi og ett kort med en tredje 3 verdi. Vi har nå kombinasjoner av verdiene på parene, og de to kortene i hvert par kan kombineres på måter. Det siste kortet kan velges på ulike måter etter at verdiene på parene er valgt ut, har en ulike verdier igjen, og kortet har ulike fargekombinasjoner. Vi får dermed 3 P To par ov-lsf-b 3. september 0 Side 6

7 TMA0 Statistikk 0 c Tress, dvs tre kort med samme verdi samt to kort med to forskjellige verdier. De tre like 3 kan ta verdier, og de kan kombineres på ulike måter. De resterende to 3 kortene kan velges på ulike måter, der hvert kort har fargekombinasjoner. Dette gir P Tress d Straight, dvs fem kort med verdier i rekkefølge uansett kortfarge. Vi har tilsammen 0 måter å lage en straight A 3, 3 6,..., 0 3 A. Hvert av de fem kortene kan velges blandt fire farger. P Straight e Flush, dvs fem kort i samme farge. Det er fire farger i en kortstokk. Når en farge er valgt, må de fem kortene trekkes fra de 3 verdiene. 3 P Flush f Fullt hus, dvs ett par og tress. Ett par kan velges av tretten verdier, og tressen kan velges av de resterende. P Fullt hus g Fire lange, dvs fire kort med samme verdi. De fire kortene tar en av 3 verdier, og de kan kombineres på måter. Det resterende kortet velges fra mulige verdier med fire mulige fargekombinasjoner. 3 P Fire lange ov-lsf-b 3. september 0 Side 7

8 TMA0 Statistikk 0 h Straight flush, dvs fem kort i rekkefølge i samme farge. I hver farge har vi ti straighter, og det finnes fire farger. Dette gir P Straight flush i Royal straight flush, dvs straight flush med ess som høyeste kort. Av hver av straightene er det bare en i hver farge som har ess på toppen. P Royal straight flush ov-lsf-b 3. september 0 Side 8