Løsningsskisse for oppgavene til uke 7

Transkript

1 1 HG Februar 08 Løsningsskisse for oppgavene til uke 7 (Forbehold om trykk- og regnefeil.) Oppg..17 A Løgntesten sier at Per lyver B Per lyver faktisk PAB ( ) 0,8 PAB ( ) 0,70 PB ( ) 0, Vi får av Bayes regel PBPA ( ) ( B) (0,)(0,8) PB ( A) 0,60 PBPA ( ) ( B) PBPA ( ) ( B) + (0,)(0,8) + (1 0,)(1 0,70). Oppg Oppg..2 Posisjoner: Løsning 1:

2 2 Løsning 2 gitt ved følgende tabell Antall punkter Antall mulige posisjoner med gitt antall punkter Sum 6 Oppg..27 N 000 produserte biler. M 8 av disse har feil. Et utvalg på n 100 biler trekkes rent tilfeldig. La px ( ) være sannsynligheten for at x biler i utvalget har feil. Dermed x 100 x px ( ) Spesielt p(0) , (Uten binomialkoeffisienter på kalkulatoren, er det vel best å bruke logaritmer på det tredje siste uttrykket for å regne ut Prøv dette for eksempel i Excel så slipper du en masse

3 slaveregning på kalkulatoren: Legg tallene i telleren inn i en kolonne. Så beregner du logaritmen til tallene i neste kolonne. Hvis for eksempel 2900 ligger i celle A1, beregner du først logaritmen til tallet i B1 (skriv ln(a1) i celle B1. Deretter kopierer du celle B1 nedover. Så tar du summen av alle logaritmene. Det tilsvarende gjør du for tallene i nevneren og beregner etterpå differensen mellom de to summene. Til slutt beregner du e opphøyet i denne differensen. Bruk da formelen exp() der celle-referensen til differensen står mellom de to parentesene.) Oppg P (Alle 7 riktige) Anta vi satser forskjellige rekker i en spilleomgang. Det er som å trekke tilfeldig et utvalg på n rekker fra en populasjon på N rekker hvorav bare 1 er den riktige. Sannsynligheten for å finne denne rekken i utvalget blir da N 1 ( N 1)! n 1 ( n 1)! ( N n)! ( N 1)! n! P(Toppgevinst) N N! N! ( n 1)! n n!( N n)! 1 n n 0,186 N N [ Merk at vi har brukt: ( N 1 ( n 1))! ( N n)! ] Gjør vi dette mange uker vil vinne toppgevinsten noen ganger og ikke vinne den andre ganger. Den relative frekvensen av antall uker vi vinner vil da ligge i nærheten av sannsynligheten 0,186. Hvis gjennomsnittlig størrelse på toppgevinsten er for eksempel 1,7 millioner (her gjetter jeg bare), vil vi altså i gjennomsnitt pr. uke vinne ca (0,186) kr samtidig som vi bruker 1 million kr. hver uke (hvis hver rekke koster 1 kr.) (Dette intuitive resonnementet vil forhåpentligvis bli noe klarere etter at dere har lært om forventning i kapittel.)

4 Oppg.. Antall mulige hender i poker er Straight flush. (For eksempel 7,6,,, i samme farge, og der ess kan være både høy og lav verdi.) Skriver vi verdiene i rekkefølge, A J D K A, ser vi at vi har 10 muligheter for slike sekvenser i en gitt farge - hvorav i alt x10 0 muligheter. av disse er royal straight flush, (A,K,D,J,10). Dermed P (Royal str. flush) 0, P (Vanlig str. flush) 0, Fire like. Antall muligheter: som gir sannsynlighet (s.h.) 0,0002 Hus. 1 Antall muligheter: , som gir s.h. 0, Flush. ( i samme faege som ikke er blant de 0 str. flush.) 1 Muligheter for i samme farge: Vi må trekke fra 0 str. flush. Altså # (flush) 108, som gir s.h. 0,0020 (Symbolet # betyr antall ) Straight. ( kort i sekvens som ikke er blant de 0 str. flush.) En sekvens kan være av typen 2,,,,6 og det er 10 slike typer. For hver av disse er det mulige fargekombinasjoner. Altså: # (Straight) , som gir s.h. 0,09. Tre like. 8 #(tre like) 1 minus #(hus) 912. Dette gir s.h. 0,021. 2

5 To par. (Løst i boka.) 1 #(to par) 12 2, som gir s.h. 0, Ett par. Antall mulige par er: 1. De resterende kortene må ha forskjellig verdi (antall fargekombinasjoner. Altså i alt: 12 ), og for hver av disse er det 12 #( ett par) Dette gir s.h. 0,2. Oppg..6 De tre første formlene er forklart på forelesningene. Pascals trekant kan for eksempel vises slik: Vi flytter over et av leddene på høyre side til venstre side og viser at differensen på venstre side blir lik det gjenværende leddet til høyre: n n 1 n! ( n 1)! n! ( n 1)! k k 1 k!( n k)! ( k 1)!( n 1 ( k 1))! k!( n k)! ( k 1)!( n k)! Merk at vi kan skrive n! n ( n 1)! og k! k ( k 1)!. Setter vi dette inn i uttrykket over, kan vi sette utenfor en parantes mange felles faktorer, og vi får: n n 1 ( n 1)! n ( n 1)! n k ( n 1)! n 1 1. k k 1 ( k 1)!( n k)! k ( k 1)!( n k)! k k!( n k 1)! k som var det vi skulle fram til. [Merk at vi i den nest siste likheten har brukt følgende: n k n k 1 ( n k)! ( n k) ( n k 1)! ( n k 1)! ] [ Alternativt kunne du ha flyttet over det andre leddet fra høyre til venstre side og gjennomført en tilsvarende regning. Prøv det selv!]