Oppgave 1 dvs 2 kort med samme verdi og 3 kort med ulike andre verdier. 4 verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter.

Transkript

1 TMA0 Statistikk Vår 008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer Løsningsskisse Oppgave a Ett par, dvs kort med samme verdi og kort med ulike andre verdier. Det finnes verdier paret kan ta, og de to kortene i paret kan velges på måter. Verdiene til de tre siste kortene kan velges på ulike måter etter at verdien på paret er valgt ut, har en tolv ulike verdier igjen. Hvert av disse tre kortene har mulige fargekombinasjoner. Tilsammen har en ulike måter å trekke ut kort fra. Dette gir PEtt par 0.6. b To par, dvs to kort med en verdi, to kort med en annen verdi og ett kort med en tredje verdi. Vi har nå kombinasjoner av verdiene på parene, og de to kortene i hvert par kan kombineres på måter. Det siste kortet kan velges på ulike måter etter at verdiene på parene er valgt ut, har en ulike verdier igjen, og kortet har ulike fargekombinasjoner. Vi får dermed PTo par c Tress, dvs tre kort med samme verdi samt to kort med to forskjellige verdier. De tre like kan ta verdier, og de kan kombineres på ulike måter. De resterende to oving-lsf-b. januar 008 Side

2 kortene kan velges på Dette gir PTress ulike måter, der hvert kort har fargekombinasjoner d Straight, dvs fem kort med verdier i rekkefølge uansett kortfarge. Vi har tilsammen 0 måter å lage en straight A, 6,..., 0 A. Hvert av de fem kortene kan velges blandt fire farger. PStraight e Flush, dvs fem kort i samme farge. Det er fire farger i en kortstokk. Når en farge er valgt, må de fem kortene trekkes fra de verdiene. PFlush f Fullt hus, dvs ett par og tress. Ett par kan velges av tretten verdier, og tressen kan velges av de resterende. PFullt hus g Fire lange, dvs fire kort med samme verdi. De fire kortene tar en av verdier, og de kan kombineres på måter. Det resterende kortet velges fra mulige verdier med fire mulige fargekombinasjoner. PFire lange h Straight flush, dvs fem kort i rekkefølge i samme farge. I hver farge har vi ti straighter, og det finnes fire farger. Dette gir PStraight flush

3 i Royal straight flush, dvs straight flush med ess som høyeste kort. Av hver av straightene er det bare en i hver farge som har ess på toppen. PRoyal straight flush Oppgave Definer M : Mann K : Kvinne F : Fargeblind med oppgitte sannsynligheter PM 0. PK 0. PF M 0.0 PF K Vi skal beregne PM F, og bruker Bayes regel: PM F PM F PF PM PF M PM PF M + PK PF K Oppgave Definer: I : Person er innfødt T : Person er turist E : Person snakker engelsk Det er oppgitt at :

4 PT 0. PI PT 0.8 PE I 0. PE T 0. Vi bruker følgende formler: Betinget sannsynlighet : Total sannsynlighet : PB A PA B. PA k PA PB i A i k PB i PA B i. i Bayes regel: PB r A PB r PA B r k i PB i PA B i. a Beregner: PI E PE I PI PT E PE T PT PI E PE I PI [ PE I]PI PT E PE T PT [ PE T]PT Venn-diagrammet over situasjonen er vist i figur. b c PE PE I PI + PE T PT PI E PE I PI PE I PI + PE T PT Oppgave For alle hendelser A og B er PA B PA + PB PA B, og Anta nå dessuten at PB c PB. PA B PAPB c + PB.

5 I T 8/ E /0 /0 / Figur : Venn-diagram Da er PA B PA + PB PA B PA + PB PAPB c + PB PA + PB PAPB c PB PA PA PB PA PA + PAPB PAPB, dvs. A og B er uavhengige. Oppgave Eksamen mai 000, oppgave av PE E PE ikke uavhengige dvs E E ikke disjunkte PE E PE E.PE > 0 PE E PE + PE PE E La F minst to av tre pumper er i feiltilstand

6 Ser ved bruk av addisjonssetningen at: PF PE E + PE T + PE T.PE E T PE E + PE.PT + PE.PT.PE E.PT Oppgave 6 Definer M: studenten tar matematikk H: studenten tar historie. Følgende opplysninger er gitt i oppgaveteksten: PM 00 PH PM H 00. a Sannsynligheten for at studenten tar enten matematikk eller historie, PM H, kan beregnes ved hjelp av addisjonssetningen: PM H PM + PH PM H b Sannsynligheten for at studenten ikke tar noen av de to fagene fagene, PM H, kan beregnes ved teoremet for komplementære hendelser: PM H PM H. c Sannsynligheten for at studenten tar historie men ikke matematikk, PH M : PH M PH PM H Dersom dette er uklart kan det være lurt å tegne et venn-diagram. Oppgave 7 Vi ser på 0 junior studenter, 0 senior studenter, 0 graduate studenter. Eksamensresultatene viser at juniorer, 0 seniorer og graduate fik A. Vi skal finne PSenior Fikk A PS A.

7 Til dette bruker vi multiplikasjonssetningen: PS A PAPS A. PA PA S Antall studenter som fikk A Antall studenter Antall senior studenter som fikk A Antall studenter PS A PA S PA /0 8/ Oppgave 8 Definerer D : Besøk hos tannlegen X : Røntgen C : Hull fylles E : Tann trekkes Fra oppgaven har vi oppgitt PX D 0.6 PC X D 0. PE C X D 0. Skal beregne PX C E D. Bruker definisjonen av betinget sannsynlighet og multiplikasjonssetningen, og får PD X C E PX C E D PD PD PX D PC X D PE C X D PD