ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019

Transkript

1 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019 Oppgaver fra oka La (R, B, G) være utfallet av øyne ved et kast av de tre terningene. Hendelsen A er da gitt ved R+B +G = 5 og mengden av de forskjellige kominasjonene av (R, B, G) som oppfyller dette utgjør utfallsrommet for A. Dvs. A = {(1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1)} La P være mengden av rettvinklede trekanter med lengden av hypotenusen lik 5, og la a og være lengdene på katetene. Pytagoras teorem for rettvinklede trekanter sier at a = c 2, dvs. P kan eskrives som P = { Rettvinklede trekanter med sider (a,, 25) : a = 5 2} a Utfallet (u, v) eskriver at den første dartpilen treffer region u og at den andre treffer region v. Utfallsrommet lir da mulige kominasjoner av u og v. S = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 4)} Nå etraktes utfallet av summen u + v, så utfallsrommet lir de unike (uten gjentagelse) elementene i mengden av summer funnet over utfallsrommet for (u, v). Dvs. S = {2, 3, 4, 5, 6, 8} Hendelsen A er definert ved at andregradsligningen har komplekse røtter. ax 2 + x + c = 0 Reelle tall er en delmengde av komplekse tall, som etyr at reelle røtter også er komplekse røtter. Da vil svaret være 14. januar 2019 Side 1 av 6

2 S = {(a,, c) : a 0 eller 0 eller c = 0} (når a 0 kan og c ta alle mulige verdier, også 0, og tilsvarende for de to andre utsagnene), siden ligningen har komplekse røtter (altså en eller to løsninger) for alle verdier av a, og c ortsett fra for a = = 0 og c 0. Hvis du tolker complex roots fra oppgaveteksten som ikke-reelle røtter er svaret på oppgaven følgende: Ligningen har ikke-reelle røtter når diskriminanten 2 4ac < 0 og dermed vil utfallsrommet være S = { (a,, c) : 2 4ac < 0 } Vi skal finne snittet A B C, hvor mengdene A, B og C er gitt ved: A = {x : 0 x 4} B = {x : 2 x 6} C = {x : x = 0, 1, 2, 3,... } Snittet mellom A og B vil være gitt ved interval A B = {x : 2 x 4}. Og snittet mellom denne og mengden C, som er ikke-negative heltal, vil da være heltal i intervallet [2, 4], dvs. utfallsrommet lir S = {2, 3, 4} A = {x : 0 x 1} B = {x : 0 x 3} C = {x : 1 x 2} a Komplementærmengden A C er {x : x ((, 0) (1, ))} mens snittet B C = {x : x [0, 2]} og dermed A C B C = {x : x (1, 2]} Fellesmengden lir da A C (B C) = {x : x (, )} c Komplementærmengdens C C = {x : x ((, 1) (2, ))} overlapp med snittet A B = {x : 0 x 1} er tomt, dvs. A B C C = 14. januar 2019 Side 2 av 6

3 d A B = {x : 0 x 3} (A B) C C = {x : x (2, 3]} og dermed ((A B) C C ) C = {x : x ((, 2] (3, ))} Det er gitt at P (A) = 0.4, P (B) = 0.5 samt at P (A B) = 0.1. Sannsynligheten for at A eller B men ikke egge skjer, er uttrykt som P ( (A B C ) (A C B) ) Ettersom P ( A B C) = P (A) P (A B) og vice versa for A C B, samt at hendelsene A B C og A C B er disjunkte, fås at P ( (A B C ) (A C B) ) = P ( A B C) + P ( A C B ) = = a Ved ruk av de Morgan s og komplementreglen fås P (A C B C ) = P ((A B) C ) = 1 P (A B) P (A C (A B)) = P (A B) P (A (A B)) = [P (A) + P (B) P (A B)] [P (A) + P (A B) P (A (A B))] = [P (A) + P (B) P (A B)] [P (A) + P (A B) P (A B)] = P (B) P (A B) Det er oppgitt at sannsynligheten for at minst én av hendelsene A og B er 0.3, dvs. P (A B) = 0.3. I tillegg er det oppgitt at sannsynligheten for at A skjer men ikke B er 0.1, dvs. P (A) P (A B) = 0.1. Da P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) fås P (B) = P (A B) [P (A) P (A B)] = = a Hvis det gjelder at P (A B) = P (B) etyr det også at P (A) = P (A B) og dermed B A. A B 14. januar 2019 Side 3 av 6

4 I tråd med foregående spørsmålet vil P (B) = P (A B) ety at A B. B A De to hendelser A 1 og A 2 er disjunkte (A 1 A 2 = ) og dermed er P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ). Dermed utgjør de to hendelser hele utfallsrommet (A 1 A 2 = S) så loven om total sannsynlighet gir at P (A 1 ) + P (A 2 ) = 1. Dvs. 3p 1 p 2 = 3p 1 (1 p 2 ) = 0.5 p 1 = 3/8 og p 2 = 5/ Den minste mulige verdi for P ( (A B C) C) er lik 1 minus den største mulige for P ((A B C)). Denne oppnås når de tre hendelsene er disjunkte, så minst mulig verdi for P ( (A B C) C) er da lik 1 ( ) = januar 2019 Side 4 av 6

5 R-oppgave lirary(ggplot2) a n < x <- rnorm(n = n, mean = 0, sd = 1) ggplot(data.frame(x = x), aes(x = x, y =..density..)) + geom_histogram(ins = 30) density x mean(x) ## [1] var(x) ## [1] # kommentar: ikke så langt fra sanne verdier (som er 0 og 1) c p_hat <- sum(x > 2)/n p_hat ## [1]

6 d X er standard normalfordelt, og våre tilfeldige tall lagret i variaelen x er trukket fra en standard normalfordeling. Når vi får nok tilfeldige tall vil antallet av varialene som er større enn 2 være likt den faktiske sannsynligheten for at en standard normalfordelt variael er større enn 2. Dette skjer fordi sannsynligheten for at vi trekker en standard normalfordelt variael som større enn 2 er lik den sanne sannsynligheten. # slå opp i taell eller ruk R-funskjoner, da får vi dette tallet for sannsynligheten: pnorm(2, 0, 1, lower.tail = FALSE) ## [1] p_hat ## [1] Tallene er ganske like. e Vi vil ha verdien i x der det kun er 10 prosent som er større. For å finne den sorterer vi de tilfeldige tallene og henter ut verdi nummer 900, da vil det være 100 verdier som er høyere, altså 10 prosent. sort(x)[900] ## [1] # vi kan sammenligne med den samme verdien qnorm(0.1, 0, 1, lower.tail = FALSE) # den sanne verdien (vi vil ha øvre persentil, ikke nedre) ## [1] # ser at det stemmer ganske godt 2