Mappeoppgave om sannsynlighet

Transkript

1 Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en times kasting med terninger, og et kort søk på Internett, viste det seg at dette var vanskeligere å beregne enn vi hadde antatt. Derfor kan vi bare vise til vår statistiske sannsynlighet for disse utfallene. Vi forkastet derfor ønsket om å begrunne disse sannsynlighetene teoretisk. Andre situasjon Vi fant ut at det greieste var å gjøre forsøk med to terninger. Vi tok utgangspunkt i spillet monopol der vi valgte å undersøke to ulike scenarier. Det første scenariet var å komme seg ut av fengsel ved å kaste et likt antall øyne på de to terningene. Det andre scenariet var å finne ut hva sannsynligheten var for å komme seg forbi Rådhusplassen, Luksus-skatten og Ullevål hageby dersom du sto på den siste togstasjonen. Du havner på disse tre hvis du får en sum på 2, 3 eller 4. Vi merket oss derfor om vi fikk en sum mindre enn 4 eller ikke. Statistisk gjennomføring av scenario Vi var 4 på gruppa som hadde to terninger hver. Hver av oss merket av antall like, også kalt et par i andre sammenhenger, og ulike øyne. Når vi hadde oppnådd rimelig antall data slo vi det sammen, og fant frekvens. Deretter regnet vi ut den relative frekvensen som i følge de store talls lov vil nærme seg den teoretiske sannsynligheten. Vi kastet i denne gjennomføringen terningene 764 ganger tilsammen. Antallet tilfeller med like øyne var 28. Relativ frekvens

2 Statistisk gjennomføring av scenario 2 Som den forrige gjennomførte vi et stort antall forsøk i gruppa og registrerte sum mindre eller lik 4. Denne gangen kastet vi ganger tilsammen. Vi registrerte 56 tilfeller med sum lik 2, 23 tilfeller med sum lik 3 og 87 tilfeller med sum lik 4. Det gir den relative frekvensen til hver av dem henholdsvis , og Relativ frekvens for sum lik Relativ frekvens for sum lik 4 Relativ frekvens for sum lik Bilde: Eksempel på statistisk føring under manuelle forsøk -2-

3 Simulering på regneark Scenario To terninger er simulert kastet 500 ganger. For å sjekke hvert kast for par har kastene en tilhørende celle med formelen «terning terning 2». Dette vises da som sann/usann i denne cellen. Det totale antallet celler med «sann» summeres og deles også på antall kast for å få den relative frekvens for par. Scenario 2 Vi har brukt den samme simuleringen til å finne andelen som har sum mindre eller lik 4. Det er trekt ut frekvensen til mulige utfall, men ettersom vi var ute etter frekvensen til 2, 3 og 4 er disse de eneste som står oppført med relativ frekvens. Den blå søylen viser en sammenslåing av frekvensen av sum lik 2, 3 og

4 Teoretiske beregninger Sannsynlighet for å få par: 6 Den første terningen kan være hvilken som helst av de seks 6 6 utfallene altså seks av seks mulige. Den andre er derimot avhengig av den «første» terningen og har en sannsynlighet på en sjettedel. Vi må bruke produktregelen fordi terning 2 er avhengig av terning. Vi ser fra oversikten at det er 6 gunstige av mulige, altså en sannsynlighet på /6. Sannsynligheten for å få en sum mindre eller lik fire: Muligheter for sum lik 2 Muligheter for sum lik Muligheter for sum lik 4 6 6

5 Refleksjon etter sannsynlighetsberegninger Scenario Denne hendelsen valgte vi fordi vi ønsket å finne ut hva sannsynligheten var for å komme seg ut av fengsel i spillet Monopol ved å kaste terningene. Ut ifra statistisk gjennomføring, manuelle forsøk og simulering, og teoretisk beregning kom vi frem til at sannsynligheten var henholdsvis 5,93%, 6,9% og 6,67% noe som teoretisk er like sannsynlig som å kaste en sekser for å komme igang i spillet Ludo. Selv om vi har kastet seks ganger så vil ikke sannsynligheten endre seg, fordi terningene ikke kan huske de foregående resultatene. Det eneste vi kan si noe om er at dersom vi kaster mange nok ganger vil utfallet av antall par bli ca /6 av antall kast. Scenario 2 I denne hendelsen ønsker en person å komme seg forbi de tre siste feltene før start, og lurer derfor på hva den nøyaktige sannsynligheten er for å treffe eller passere Start. Vi samlet sannsynligheten for å få en sum mindre eller lik 4 ved å legge sammen den relative frekvensen for sum lik 2, 3 og 4. I en reell spillsituasjon vil kanskje ikke det å havne på luksus-skatten være like interessant, det vil heller være en liten redning fra de to andre feltene (Ullevål-hageby og Rådhusplassen) Vi så derfor på sannsynligheten for å havne på enten Ullevål-hageby eller Rådhusplassen. Ut ifra simuleringen kan vi slå sammen den relative frekvensen altså 2,7% og 8,4% som tilsammen blir,%. Sannsynligheten for derfor å ikke havne på noen av disse plassene blir 00%-,% 88,9%. Vi kan derfor være ganske sikre på å passere eller treffe Start. Faktisk er det like stor teoretisk sjanse for å treffe Start (og motta dobbel mengde passeringspenger) som det å være uheldig og havne på Ullevål-Hageby eller Rådhusplassen. I tillegg ser vi at det er like stor sjanse for å komme seg ut av fengsel (scenario ) som det er å treffe et av de tre siste feltene når man står på det femte siste feltet. Refleksjon rundt valg av spillsituasjon Selv om det er fullt gjennomførbart å teste empirisk sannsynligheten for forskjellige situasjoner i ulike spill, erfarte vi at å lage simuleringer i regneark og å regne ut den teoretiske sannsynligheten for dem, kan være utfordrende for aspirerende matematikklærere. For eksempel, fant vi ved et søk på Internett at sannsynligheten for å slå å slå to par med ett kast i yatzy er: 6 4 5! 2 2! 2-5-